广东省汕头市潮阳区2021-2022学年高一上学期期末数学试题

潮阳区2021-2022年度第一学期高一级教学质量监测试卷

数  学

注意事项：   

1．答题前，考生务必将自己的姓名、学校和座位号填写在答题卡上.

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，用黑色签字笔将答案写在答题卡上各题的答题区域.在试卷上作答无效.

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. （    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据诱导公式，即可求出结果.

【详解】.

故选：B.

2. 集合，集合或，则集合（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】先求得，结合集合并集的运算，即可求解.

【详解】由题意，集合或，可得，

又由，所以.

故选：C.

3. 在平面直角坐标系中，大小为的角始边与轴非负半轴重合，顶点与原点O重合，其终边与圆心在原点，半径为3的圆相交于一点P，点Q坐标为，则的面积为（    ）

A.  B.  C.  D. 2

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意可得、，结合三角形的面积公式计算即可.

【详解】由题意知，

，，

所以.

故选：B

4. 函数的部分图像是

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据函数的奇偶性和函数值在某个区间上的符号，对选项进行排除，由此得出正确选项.

【详解】∵是奇函数，其图像关于原点对称，∴排除A,C项；当时，，∴排除B项.

故选D.

【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查函数的单调性，属于基础题.

5. 已知函数，则函数（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据分段函数的定义域先求出，再根据，根据定义域，结合，即可求出结果.

【详解】由题意可知，，所以.

故选：C.

6. 关于函数，下列说法正确的是（    ）

A. 最小值为0 B. 函数为奇函数

C. 函数是周期为周期函数 D. 函数在区间上单调递减

【答案】D

【解析】

【分析】根据三角函数的性质，得到的最小值为，可判定A不正确；根据奇偶性的定义和三角函数的奇偶性，可判定C不正确；举例可判定C不正确；根据三角函数的单调性，可判定D正确.

【详解】由题意，函数，

当时，可得，所以，

当时，可得，所以，

所以函数的最小值为，所以A不正确；

又由，所以函数为偶函数，所以B不正确；

因为，，所以，

所以不是的周期，所以C不正确；

当时，，，

当时，，即函数在区间上单调递减，

又因为，所以函数在区间上单调递减，

所以D正确.

故选：D.

7. 下列结论中正确的是（    ）

A. 当时，无最大值 B. 当时，的最小值为3

C. 当且时， D. 当时，

【答案】D

【解析】

【分析】利用在单调递增，可判断A；利用均值不等式可判断B，D；取可判断C

【详解】选项A，由都在单调递增，故在单调递增，因此在上当时取得最大值，选项A错误；

选项B，当时，，故，当且仅当，即时等号成立，由于，故最小值3取不到，选项B错误；

选项C，令，此时，不成立，故C错误；

选项D，当时，，故，当且仅当，即时，等号成立，故成立，选项D正确

故选：D

8. 若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】将不等式变为，根据的单调性知，以此去判断各个选项中真数与的大小关系，进而得到结果.

【详解】由得：，

令，

为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，

，

，，，则A正确，B错误；

与的大小不确定，故CD无法确定.

故选：A.

【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. (多选)如图①是反映某条公交线路收支差额(即营运所得票价收入与付出成本的差)y与乘客量x之间关系的图象.由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图②③所示.

则下列说法中，正确的有（    ）

A. 图②的建议：提高成本，并提高票价

B. 图②的建议：降低成本，并保持票价不变

C. 图③的建议：提高票价，并保持成本不变

D. 图③的建议：提高票价，并降低成本

【答案】BC

【解析】

【分析】根据题意和图②知，此建议是降低成本而保持票价不变，由图③可以看出，此建议是提高票价而保持成本不变.

【详解】根据题意和图②知，两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为0时，收入是0但是支出变少了，即说明此建议是降低成本而保持票价不变，故B正确；

由图③可以看出，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，即说明此建议是提高票价而保持成本不变，故C正确.

故选：BC.

【点睛】本题考查了函数图象的应用，属于基础题.

10. 设正实数，满足，则（    ）

A. 的最大值为 B. 的最小值为4

C. 的最大值为 D. 的最小值为

【答案】BD

【解析】

【分析】由已知结合基本不等式及相关结论分别检验各选项即可判断．

【详解】对于选项，正实数，满足，由基本不等式得，当且仅当时取等号，则错误；

对于选项，，当且仅当时取等号，则正确；

对于选项，，当且仅当时取等号，即，则错误；

对于选项， ，即，当且仅当时取等号，则正确．

故选：．

11. 若、、均能满足使得下面式子有意义，则下列结论正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据指数幂和对数的运算性质逐项运算可得答案.

【详解】对于A， ，正确；   

对于B，，错误；

对于C，，故正确；

对于D，因为，所以，即，故正确.

故选：ACD.

12. 下列结论正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】AB

【解析】

【分析】根据函数和的单调性，即可判断A是否正确；作出函数函数的函数图象，根据图像即可判断B是否正确；作出函数的函数图象，根据图像即可判断C是否正确；利用诱导公式，即可判断D是否正确.

【详解】因为函数是单调递减函数，所以；

函数在上单调递增，所以，即，故A正确；

作出函数的函数图象，如下图所示：

由图象可知，；故B正确；

作出函数的函数图象，如下图所示：

当时，可知；故C错误；

， ，

,

所以，故D错误.

故选：AB.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 命题“，”的否定形式为__________________________.

【答案】##

【解析】

【分析】根据全称量词命题否定直接得出结果.

【详解】命题“”的否定为：

，

故答案为：

14. 若，则________.

【答案】

【解析】

【分析】利用三角函数的诱导公式，化简得到原式，代入即可求解.

【详解】因为，

由

.

故答案为：

15. 已知，且，则_______.

【答案】

【解析】

【分析】根据题意，可知，结合三角函数的同角基本关系，可求出和再根据，利用两角差的余弦公式，即可求出结果.

【详解】因为，所以，

因为，所以，

又，所以，

所以

.

故答案为：.

16. 已知函数，又有定义在R上函数满足：（1），

，均恒成立；

（2）当时，，则_____，

函数在区间中的所有零点之和为_______.

【答案】    ①. 1    ②. 42

【解析】

【分析】求出的周期和对称轴，再结合图象即可.

【详解】由条件可知函数的图象关于对称轴对称，

由可知，， 则周期，

即，

函数在区间中的所有零点之和即为函数与函数

图象的交点的横坐标之和，

当时，为单调递增函数，，

，且区间关于对称，

又∵由已知得也是的对称轴，∴只需用研究直线左侧部分即可，

由图象可知左侧有7个交点，则右侧也有7个交点，将这14个交点的横坐标从小到大排列，第个数记为，由对称性可知，则，

同理，…，，

∴.

故答案为：，.

四、解答题：本题共6小题，第17题满分10分，其它5个小题满分均为12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知函数，.

（1）求的最小正周期；

（2）求在区间上的最大值和最小值.

【答案】（1）   

（2）最大值为，最小值为

【解析】

【分析】（1）利用二倍角公式和两角和的正弦公式化简再由周期公式计算可得答案；

（2）根据当的范围可得，再计算出可得答案.

【小问1详解】

，

所以的最小正周期.

【小问2详解】

当时， ，

所以，

所以 ，

所以在区间上的最大值为和最小值.

18. 已知集合，集合，集合.

（1）若，求实数的取值范围；

（2）命题，命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.

【答案】（1）或   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据分式不等式的解法求出集合，利用集合间的基本关系即可求得的取值范围；

（2）根据必要不充分条件的定义可得，由一元二次不等式的解法求出集合，利用集合间的基本关系即可求出a的取值范围.

【小问1详解】

解：解不等式 得或， 所以或，

因为，所以所以或，解得或，

所以实数的取值范围为或.

【小问2详解】

解：是的必要不充分条件，所以，

解不等式，得，所以，

所以且，解得，

所以实数的取值范围.

19. （1）当取什么值时，不等式对一切实数都成立？

（2）解关于的方程：.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）分，两种情况讨论，利用判别式控制，即得解；

（2）利用对数定义，求解即可

【详解】（1）当时，，明显满足条件.

当时，由“不等式对一切实数都成立”

可知且

解得

综上可得

（2）由对数定义可得：

所以

所以

所以

20. 若函数，.

（1）当时，求函数的最小值；

（2）若函数在区间上的最小值是，求实数的值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）当时，，当时，函数的值最小，求解即可；

（2）由于，分，，三种情况讨论，再结合题意，可得实数的值．

小问1详解】

解：依题意得

若，则  

又，所以的值域为

所以当时， 取得最小值为

【小问2详解】

解：∵   ∴

所以

当时，，所以，不符合题意

当时，，解得

当时，，得，不符合题意

综上所述，实数的值为.

21. 节约资源和保护环境是中国的基本国策.某化工企业，积极响应国家要求，探索改良工艺，使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为，首次改良后所排放的废气中含有的污染物数量为.设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为，首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为，则第次改良后所排放的废气中的污染物数量，可由函数模型给出，其中是指改良工艺的次数.

（1）试求改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型；

（2）依据国家环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过，试问至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.（参考数据：取）

【答案】（1）；（2）至少进行6次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.

【解析】

【分析】（1）由题设可得方程，求出，进而写出函数模型；

（2）由（1）所得模型，结合题设，并应用对数的运算性质求解不等式，即可知要使该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标至少要改良的次数.

【详解】（1）由题意得：，，

∴当时，，即，解得，

∴，故改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型为.

（2）由题意得，，整理得：，即，

两边同时取常用对数，得：，整理得：，

将代入，得，又，

∴，

综上，至少进行6次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.

22. 我们知道：设函数的定义域为，那么“函数的图象关于原点成中心对称图形”的充要条件是“，”.有同学发现可以将其推广为：设函数的定义域为，那么“函数的图象关于点成中心对称图形”的充要条件是“，”.

（1）判断函数的奇偶性，并证明；

（2）判断函数的图象是否为中心对称图形，若是，求出其对称中心坐标；若不是，说明理由.

【答案】（1）函数为奇函数，证明见解析   

（2）中心对称图形，对称中心坐标为

【解析】

【分析】（1）根据奇函数定义，即可证明结果；

（2）根据题意，由函数的解析式可得，即可得结论．

【小问1详解】

解：函数为奇函数

证明如下：函数的定义域为R，关于原点对称

又

所以函数为奇函数.

【小问2详解】

解：函数的图象是中心对称图形，其对称中心为点

解方程得，所以函数的定义域为

明显定义域仅关于点对称

所以若函数的图象是中心对称图形，则其对称中心横坐标必为

设其对称中心为点， 则由题意可知有，

令，可得，   所以

所以若函数为中心对称图形，其对称中心必定为点

下面论证函数的图象关于点成中心对称图形：

即只需证明，

，得证