湖北省黄冈市2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题

黄冈市2021年秋季高一年级期末考试

 数 学 试 题

本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟.

第I卷（选择题 共60分）

一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1.若集合，则下列选项正确的是(   )

  A. B.    C.    D.     

2. 若点在角的终边上，则的值为(  )

A.  B.  C.  D.

3. 若函数f(x)＝ax2＋(2b－a)x＋b－a是定义在[2－2 a , a]上的偶函数，则＝(　　)

A．1           B．2            C．3                D．4

4. 已知,不等式不成立,则下列的取值范围是(  )

  A.       B.         C.      D.

5. 已知函数f(x)＝3x5+x3+5x＋2，若f(a)＋f(2a－1)>4，则实数a的取值范围是(　　)

A．(,＋∞)      B．(－∞,)          C．(－∞,3)       D．(3,＋∞)

6.已知实数a的取值能使函数的值域为,实数b的取值能使函数

的值域为,则            (  )

A.4       B.5       C.6        D.7

7. 函数的图像大致是(  )

8. 已知函数，则(  ).

   A.2019       B.2021       C.2020            D.2022

二､多选题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.)

9. 德国数学家狄利克雷（1805~1859）在1837年时提出：“如果对于的每一个值，总有一个完全确定的

  值与之对应，那么是的函数．”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范

  围中的每一个，有一个确定的和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示，

  例如狄利克雷函数，即：当自变量取有理数时，函数值为1；当自变量取无理数时，函数值为0．以

  下关于狄利克雷函数的性质正确的有：①；②③

  ④，其中表述正确的个数是(  )

   A.  B. 的值域为；

C. 为奇函数；      D.

10. 已知，，那么的可能值为(  )

A. B. C． D.

11. 已知函数的定义域是，当时，，且，且，下列说法正确的是(  )

  A.                                      B.函数在上单调递减

  C.

  D.满足不等式的的取值范围为

12. 已知函数，若方程 有四个不同的零点,,,，且

，则下列结论正确的是(   )

A.    B.       C.      D.

三､填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）四、解答题(本题共6小题，共70分，其中第16题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.)

13.木雕是我国古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统木雕精致细腻､气韵生动､极富书卷气.如图是一扇环形木雕，可视为扇形OCD截去同心扇形OAB所得部分.已知，

，，则该扇环形木雕的面积为________.

14.若函数在区间[1,2]上的最小值为3,则的最小值为_______.

15.已知函数满足：①；②,则的值为______．

16.已知函数,，且方程有两个不同的解，则实数的取值范围为__________ ，方程解的个数为_________．

四、解答题(本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.)

17.(本题满分10分) 化简求值

（1）; 

18. (本题满分12分) 已知函数.

   (1)求函数的单调区间；

   (2)求函数在区间上的最小值和最大值.

19. (本题满分12分) 2020年我国面对前所未知，突如其来，来势汹汹的新冠肺炎疫情，中央出台了一系列助力复工复产好政策.城市快递行业运输能力迅速得到恢复,市民的网络购物也越来越便利.根据大数据统计，某条快递线路运行时，发车时间间隔t（单位：分钟）满足：，，平均每趟快递车辆的载件个数(单位：个)与发车时间间隔t近似地满足

，其中.

  (1)若平均每趟快递车辆的载件个数不超过1600个，试求发车时间间隔t的值；

  (2)若平均每趟快递车辆每分钟的净收益 (单位：元)，问当发车时间间隔t为多少时，平均每趟快递车辆每分钟的净收益最大？并求出最大净收益(结果取整数).

20. (本题满分12分)已知函数,.

   (1)求的最大值及取最大值时的值;

   (2)设实数,求方程存在8个不等的实数根时的取值范围.

21. (本题满分12分)已知函数f (x)＝x2－4x＋a，g(x)＝ax＋5－a.

(1)若函数y＝f (x)在区间[－1,0]上存在零点，求实数a的取值范围；

(2)若对任意的x1∈[-1,3]，总存在x2∈[-1,3]，使得f (x1)＝g(x2)成立，求实数a的取值范围．

22. (本题满分12分)已知函数的定义域为，且满足:对任意,都有

.

(1)求证:函数为奇函数;

(2)若当,<0,求证: 在上单调递减;

(3)在(2)的条件下解不等式: .

黄冈市2021年秋季高一年级期末考试

 数学试题参考答案

一 、选择题

1.C  2.B   3.A  4.A  5.A  6.B  7.A  8.B  9.ABD  10. BD   11.ABD   12.BCD

4.A  ∵, 不等式不成立,则不等式对恒成立,等价于时,当时, 故BCD不正确.

5.A　设g(x)＝f(x)－2，则g(x)为奇函数，且在R上单调递增，又f(a)＋f(2a－1)>4可化为

f(a)－2>－f(2a－1)＋2＝-[ f(2a－1)-2]＝g(1－2a)，即g(a)>g(1－2a)，∴a >1－2a，∴ a >.

6.B  依题意知 若函数的值域为,则的最小值为2,

    ，∴5.

7.A  ∵,∴函数定义域为关于原点对称,

     ,函数为奇函数,易得的图象为A.

8. B  因为,

所以

2021.

9.ABD  由题得，则，①正确；

容易得的值域为，②正确；

因为，所以，为偶函数，③不正确；

因为，所以，④正确．故选ABD．

10.BD  因为①，又sin2α+cos2α=1②，

联立①②，解得或，

因为，所以或.

故选：BD

11.ABD   对于A：令，得，所以，故选项A正确；

对于B：令，得，所以，

任取，，且，则，

因为，所以，所以，所以在上单调递减，故选项B正确；

对于C：

   =

故选项C不正确；

对于D：因为，由可得，所以，所以不等式等价于即，因为在上单调递减，

所以解得：，所以原不等式的解集为，故选项D正确；

故选：ABD．

12.BCD   如图示，在同一个坐标系内作出

和的图像，从图像可知：

要使方程有四个不同的零点，只需，故A错误；

对于B,由得：，所以

令，当且仅当时取最小值.故B正确；

对于C,，是的两根，所以，即，所以，所以；由是的两根，所以,所以成立.故C正确；

对于D,由得：

令在上当增，所以.故D正确.

二、填空题

13． （准确与精确都给满分）  14．.   15. 3  16. （2分）； 4（3分）   

 15.解析：  因为函数满足: ①；②,

 即函数在上的最小值为-8，

因为，对称轴是，开口向上，

当时，在单调递减，在单调递增，

故的最小值为，解得,，不合题意，

当时，在单调递减,

解得,，符合题意．综上所述，．

16 .解析：函数图象如下：方程有两个不同的解，

则函数与直线有两个不同的交点，故；

方程中，设，

即，即函数与直线的交点问题，

图象如下：

故结合图象可知，函数与有3个交点，

即有三个根，其中

，

再结合图象可知，方程有2个不同的x根；

方程有1个不同的x根；

方程有1个不同的x根.

综上，方程方程解的个数为4.

故答案为：；4.

17.(1)解: =1+=2.…………………5分

 (2)解:∵原式=…………………6分

            =.…………………8分

      ∴当时,原式=.…………………10分

18.解: (1)∵…………………1分

   令，，得，，…………………3分

   令，，得，，…………………5分

 故函数的递调递增区间为，；单调递减区间为，.

                                                             …………………6分

(2)当时，，…………………7分

   ∴当，即时，取得最大值，，…………………9分

    当，即时，取得最小值，，……11分

∴函数在区间上的最小值和最大值分别为，.…………………12分

19.解: (1)当时，，不满足题意，舍去. …………………1分

当时，，即.…………………3分

解得（舍）或.

∵且，∴.

所以发车时间间隔为5分钟. …………………5分

(2)由题意可得.…………………7分

  当，时，（元）…………………9分

  当，时，（元）…………………11分

  所以发车时间间隔为6分钟时，净收益最大为140（元）. …………………12分

20. 解: (1)∵,…………………3分

  ∴当时, ∴当时, .

       故当时, .…………………5分

 (2)令,则，使方程存在8个不等的实数根,

则，方程在上存在两个相异的实根, …………………7分

令,则，解得.…………………11分

 故所求的的取值范围是.…………………12分

21.解: (1)因为函数f (x)的对称轴是x＝2，所以y＝f (x)在区间[－1,0]上是减函数，

因为函数y＝f (x)在区间[－1,0]上存在零点，则必有…………………3分

即解得－5≤a≤0.故所求实数a的取值范围[－5,0]．…………………5分

(2)若对任意的x1∈[-1,3]，总存在x2∈[-1,3]，

使得f (x1)＝g(x2)成立，只需当x∈[-1,3]时函数y＝f (x)的函数值组成的集合为函数y＝g(x)的函数值组成的集合的子集．…………………7分

f (x)＝x2－4x＋a在区间x∈[-1,3]的函数值组成的集合为[a－4，a＋5]，…………………8分

①当a＝0时，g(x)＝5为常数，不符合题意，舍去；…………………9分

②当a>0时，g(x)在区间[-1,3]的值域为[5－2a，5+2a]，

所以, 解得.…………………10分

③当a<0时，g(x)在区间[-1,3]的值域为[5+2a, 5－2a]，

所以,．…………………11分

综上所述，实数a的取值范围为．…………………12分

22.(1)因为函数的定义域为关于原点对称,   ……………1分

由，

取x=y=0,得,∴.……………2分

     取y=-x,则,∴,故函数为奇函数.

                                               ……………3分

 (2)对,且,则,

     由,得,∴,……………5分

     又, ∴,……………7分

     ∴,由,<0知

     即，故在上单调递减. ……………8分

(3)由(1)和(2)知函数既为奇函数,同时在上单调递减，

则不等式等价于:,

                                                   ……………10分

∴,解得,故不等式的解集为.……………12分

命题人：蕲春一中  

审题人：闻一多中学