湖北省黄石市2021-2022学年高一上学期期末数学试题

这是一份湖北省黄石市2021-2022学年高一上学期期末数学试题，共21页。试卷主要包含了选择题的作答， 非选择题的作答， 已知，，，则的大小关系为， 已知，则， 已知， 图中阴影部分所表示的集合是， 下列说法正确的有等内容，欢迎下载使用。
秘密★启用前黄石市2021～2022学年度上学期期末考试高一年级数学试题本试卷满分150分.考试用时120分钟.全卷共4页，22小题.★祝考试顺利★注意事项：1. 答题前，先将自己的姓名、淮考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3. 非选择题的作答：用黑色签宇笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.第I卷 选择题(共60分)一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意，求出函数，的值域，得到集合，取交集得答案.【详解】因为，所以，故选：B.2. 已知函数，则（    ）A. 0 B.  C.  D. 1【答案】D【解析】【分析】根据分段函数解析式计算可得.【详解】解：因为，所以，所以；故选：D3. 若关于x的不等式在上有实数解，则a的取值范围是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意转化为不等式在上有实数解，结合函数的单调性，求得，即可求解.【详解】由不等式在上有实数解，等价于不等式在上有实数解，因为函数在上单调递减，在单调递增，又由，所以，所以，即实数的取值范围是.故选：A.4. 函数的图象大致为（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】首先求出函数的定义域，再判断函数的奇偶性，最后根据函数值的情况判断即可.【详解】解：因为函数的定义域为，，所以是偶函数，函数图象关于轴对称，排除A，B；当时，，当时，，排除C．故选：D．5. 已知，，，则的大小关系为（    ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】结合指数函数和对数函数单调性，利用临界值即可判断出结果.【详解】，.故选：C.6. 已知，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】将化为，利用诱导公式以及二倍角的余弦公式，化简求值，可得答案.【详解】因为，所以,故选：A.7. 已知.给出下列判断：①若，且，则；②存在使得的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于轴对称；③若在上恰有7个零点，则的取值范围为；④若在上单调递增，则的取值范围为.其中，判断正确的个数为（    ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】【分析】对函数化简可得，进而结合三角函数的最值、周期性、单调性、零点、对称性及平移变换，对四个命题逐个分析，可选出答案.【详解】因为，所以周期.对于①，因为，所以，即，故①错误；对于②，函数的图象向右平移个单位长度后得到的函数为，其图象关于轴对称，则，解得，故对任意整数，，所以②错误；对于③，令，可得，则，因为，所以在上第1个零点，且，所以第7个零点，若存在第8个零点，则，所以，即，解得，故③正确；对于④，因为，且，所以，解得，又，所以，故④正确.故选：B.【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，考查三角函数的平移变换、最值、周期性、单调性、零点、对称性，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于中档题.8. 已知函数，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】分和两种情况讨论：当时，等价于恒成立，可得；当时，去绝对值后分离变量可得或恒成立，可得或. 综合两种情况可得的取值范围.【详解】分和两种情况讨论：（1）当时，等价于恒成立，因为时，恒成立，所以；（2）当时，等价于恒成立，    即或 恒成立.    也就或恒成立    而当时，，，    所以或，即或.综合（1）（2）可知，的取值范围是.故选：B.【点睛】结论点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：（1）恒成立⇔；（2）恒成立⇔.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 图中阴影部分所表示的集合是（    ）
 A.  B. C.  D. 【答案】AC【解析】【分析】根据Venn图，由集合运算的概念，即可得出结果.【详解】阴影部分所表示的集合中的元素属于N，不属于M，故其表示集合或．故选:AC．10. 下列说法正确的有（    ）A. 若，则的最大值是 -1B. 若，，都是正数，且，则的最小值是3C. 若，，，则的最小值是2D. 若实数，满足，则的最大值是【答案】ABD【解析】【分析】对于A，凑分母，结合基本不等式，可得答案；对于B，根据基本不等式，结合“1”的妙用，可得答案；对于C，根据基本不等式变式，整理出关于所求整式的二次不等式，可得答案；对于D，采用整体思想进行换元，分离常数，结合基本不等式，可得答案.【详解】对于A，因为，所以，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为-1，故A正确；对于B，因为，，都是正数，且，所以，所以，当且仅当，即即时等号成立，所以的最小值为3，故B正确；对于C，因为，，所以，即（当且仅当时等号成立），因为，所以，所以，所以，解得(舍去)或，当且仅当时等号成立，所以的最小值为4，故C错误；对于D，令，，则，，因为，所以，同号，则，同号，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最大值是，故D正确，故选：ABD．11. 已知函数，则下列说法中正确的是（    ）A. 的最大值为2 B. 的最小正周期为C. 的图像关于直线对称 D. 的图像关于点对称【答案】ABC【解析】【分析】将解析式经过恒等变换后化为，再对其性质逐一判断即可.【详解】因为，所以的最大值为2，故A正确.最小正周期是，故B正确.将代入，可得，则其图像关于直线对称，故C正确.当时，，所以图像关于点对称．故D错误.故选: ABC12. 已知定义域为R的奇函数，当时，下列说法中正确的是（    ）A. 当时，恒有B. 若当时，的最小值为，则m的取值范围为C. 不存在实数k，使函数有5个不相等的零点D. 若关于x的方程所有实数根之和为0，则【答案】BC【解析】【分析】根据函数的奇偶性及时的解析式作出函数的图象，结合图象可判断AB选项，联立与可判断相切时切点横坐标为1，当，时最多一个交点，可判断C，根据函数奇偶性与对称性判断D．【详解】当时，且为R上的奇函数，作函数f（x）的图象如图：对于A，当时，函数f（x）不是单调递减函数，则f（x1）＞f（x2）不成立，故A不正确；对于B，令，解得，由图象可知，当时，的最小值为，则，故B正确；对于C，联立，得，△＝（k+1）2﹣4＝k2+2k﹣3=0，存在，使得△=0，此时,可知最多有3个不同的交点，∴不存在实数k，使关于x的方程f（x）＝kx有5个不相等的实数根，故C正确；对于D，由 可得或，∵函数f（x）是奇函数，若关于x的两个方程与所有根的和为0，∴函数的根与根关于原点对称，则，但x＞0时，方程有2个根，分别为，两根之和为，若关于x的两个方程与所有根的和为0，则的根为，此时 ，故D错误.故选：BC【点睛】关键点点睛：利用奇函数的对称性得出函数的图象是解决本题的关键所在，结合函数的单调性，函数值的变换，函数图象的交点，利用数形结合解决问题，属于难题.第II卷 非选择题(共90分)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 幂函数在区间上单调递减，则实数m的值为______．【答案】【解析】【分析】利用幂函数的定义，幂函数的单调性列式计算作答.【详解】因函数是幂函数，则，解得m=1或m=-3，又函数在上单调递减，则，所以实数m的值为-3.故答案为：-314. 若，，则_______．【答案】【解析】【分析】先由，求出，即可求出结果.【详解】因为，所以，又，所以，所以故答案为：15. 函数在上的单调递增区间为______．【答案】【解析】【分析】首先根据题意得到，再求其单调减区间即可.【详解】函数，令，解得，令得，所以函数在上的单调递增区间为．故答案为：16. 已知函数．若的定义域为，值域为，则__________．【答案】【解析】【分析】由题意知函数为开口向下，且对称轴为的二次函数，讨论与的大小关系，即可得出在区间上的单调性，则可列出等式，即解出的值，则可求出答案.【详解】因为，对称轴为，当时：在上单调递减，所以，无解；当时：在上单调递增，所以，解得：或，或，又，所以，;当时：在上单调递增，在上单调递减，此时，与矛盾；综上所述：，，此时故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知集合，．（1）若，求实数的取值范围；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由集合A可得，利用列出不等式组，求出实数的取值范围；（2）若，则，分和两种情况，分别列不等式可得实数的取值范围．【详解】（1）因，所以或．又且，所以，解得所以实数的取值范围是．（2）若（补集思想），则．当时，，解得；当时，，即，要使，则，得．综上，知时，，所以时，实数的取值范围是．18. 已知函数是定义在R上的增函数，并且满足，．（1）求的值；（2）若，求的取值范围．【答案】（1）；    （2）.【解析】【分析】（1）利用赋值法即得；（2）利用赋值法得，然后结合条件转化已知不等式为，最后根据单调性即得.【小问1详解】因为，令，得，即；【小问2详解】由题意知，，∴由，可得，又在R上单调递增，∴，即，∴的取值范围是．19. 已知定义在上的奇函数．在时，．（1）试求的表达式；（2）若对于上的每一个值，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）依题意可得，再设，根据奇偶性及上的函数解析式，计算可得；（2）依题意参变分离可得，令，，根据指数函数的性质求出函数的单调性，即可求出函数最小值，从而得解；【小问1详解】解：是定义在上的奇函数，，因为在时，， 设，则， 则， 故 .【小问2详解】解：由题意，可化为 化简可得， 令，，因为在定义域上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递减， ，故．20. 已知，，，，求：（1）的值；（2）的值.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）先由已知条件判断的范围，再利用同角三角函数的关系求出，则由利用两角差的余弦公式可求得，（2）由同角三角函数的关系求出，从而可求得的值，再利用正切的二倍角公式可求得的值.【小问1详解】因为，，所以，，所以，，所以.【小问2详解】因为，，所以，所以，所以.21. 某市地铁项目正在如火如荼地进行中，全部通车后将给市民带来很大的便利．已知地铁7号线通车后，列车的发车时间间隔单位：分钟满足，经市场调研测算，地铁的载客量与发车的时间间隔t相关，当时，地铁为满载状态，载客量为500人；当时，载客量会减少，减少的人数与成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，记地铁的载客量为．（1）求的表达式，并求发车时间间隔为5分钟时列车的载客量；（2）若该线路每分钟的净收益为元问：当列车发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？【答案】（1），人    （2）间隔为4时，该线路每分钟的净收益最大为132元【解析】【分析】（1）根据发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人可求得比例系数，分段写出地铁的载客量的解析式即可；（2）结合二次函数的性质以及对勾函数的单调性，分段求出每分钟净收益的最大值，比较可得答案.【小问1详解】当时，,
当时，，
，
，解得,
，
, (人).【小问2详解】当时，,,可得．当时，,
，函数在上为减函数，在上为增函数，当时，,
当列车发车时间间隔为4分钟时，该线路每分钟的净收益最大为132元22. 已知函数为偶函数.（1）求实数的值;（2）解关于的不等式;（3）设，若函数与图象有个公共点，求实数的取值范围.【答案】（1）    （2）    （3）【解析】【分析】（1）根据偶函数的定义及性质直接化简求值；（2）判断时函数的单调性，根据奇偶性可得函数在各区间内的单调性，解不等式即可；（3）由函数与图象有个公共点，可得有两个实数根，再利用换元法转化为二次方程有两个根，利用判别式求参数范围.【小问1详解】函数的定义或为，函数为偶函数.，即 ，，；【小问2详解】，当时，，单调递增，在上单调递增，又函数为偶函数，所以函数在上单调递增，在上单调递减；，，解得或，所以所求不等式的解集为 ；【小问3详解】函数与图象有个公共点，，即，，设，则，即，又在上单调递增，所以方程有两个不等的正根；，解得，即的取值范围为.