湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2021-2022学年高一上学期期末数学试题

华中师大一附中2021-2022学年度上学期高一期末检测

数学试题

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】先根据对数的运算性质求出集合，由指数函数的单调性求出集合，然后后补集和交集的运算可得答案.

【详解】由，则，即

所以集合

又可得，所以集合

所以，则

故选：C

2. 下列函数既是奇函数，又在区间上单调递减的是

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

分别根据函数奇偶性和单调性的定义和性质进行判断，即可得到结论.

【详解】选项：，是奇函数，在是增函数，

不满足条件；

选项：不是奇函数，不满足条件；

选项：是偶函数，不满足条件；

选项：定义域为，

，是奇函数，

在是减函数；

故选:D.

【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性，属于基础题.

3. 已知幂函数图象过点，则下列两函数的大小关系为：（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据已知条件求得，运用作差法比较两式大小即可.

【详解】因为幂函数的图象过点，

所以，解得.

所以，

因为，

所以，

所以，

即.

故选：A

4. 下列四个函数：①，②，③，④，其中定义域和值域相同的函数有（    ）

A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个

【答案】B

【解析】

【分析】分别求出四个函数的定义域和值域即可判断.

【详解】解：对①：函数的定义域和值域都是R；

对②：根据分段函数和幂函数的性质，可知函数的定义域和值域都是R；

对③：函数的定义域为，值域为R；

对④：因为函数，所以函数的定义域为，值域为.

所以①②④是定义域和值域相同的函数，

故选：B.

5. 下列关于命题“若，则”（假命题）的否定，正确的是（    ）

A. 若，则

B. 存在一个实数，满足，但

C. 任意实数，满足，但

D. 若存在一个实数，满足，则

【答案】B

【解析】

【分析】先要明确“若，则”是一个全称命题，因此其否定是特称命题形式，由此可判断答案.

【详解】命题“若，则”（假命题）是一个全称命题，

因此其否定为“存在一个实数，满足，但”，

故选：B.

6. 函数的图象大致为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据函数解析式求得函数定义域，判断函数奇偶性，再取几个特殊值运用排除法得到答案.

【详解】由题意知，，解得，所以定义域关于原点对称，又因为，所以此函数为奇函数，图像关于原点对称，排除A.

当时，，排除B

，函数只有1个零点，排除C.

故选：D

7. “函数在上是增函数”是：“实数”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】导函数在上大于零恒成立可得的取值范围，进而比较得解.

【详解】在上恒成立，可得，，

所以“函数在上是增函数”是：“实数”的必要不充分条件.

故选：B.

8. 已知实数满足，函数有两个零点，则关于函数的零点的下列关系式一定正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】令化简可得：，

令，计算可得，，，进而可判断结果.

【详解】方程即为，

令，

，

，，.

根据零点存在性定理得出在上函数各有一个零点，所以.

故选：D.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下列计算结果为有理数的有（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】由对数的运算法则和性质可判断A,C选项；选项B. 求出的值可判断；选项D. ，由正弦的二倍角公式可判断.

【详解】选项A. ,是有理数.

选项B. ,不是有理数.

选项C. ，是有理数.

选项D. 是有理数.

故选：ACD

10. 已知角是锐角，若是关于的方程的两个实数根，则下列关于实数的判断正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据韦达定理得到，由角是锐角可判断，从而判断B;将两边平方，可得到之间关系，判断A对错；利用A的结论写出的表达式，配方后可判断C的对错；利用得到，结合的范围，确定的范围，判断D的正误.

【详解】是关于的方程的两个实数根,

所以，

因为角是锐角，所以，则，故B错误；

又，即，

所以，故A正确；

而，故C正确,

又， ，

所以， ，

由A知 ，则 ，故D正确；

故选：ACD

11. 已知函数，列说法正确的有（    ）

A. 当时，函数的定义域为

B. 当时，函数的值域为

C. 函数有最小值的充要条件为：

D. 若在区间上单调递增，则实数的取值范围是

【答案】AC

【解析】

【分析】对于AB，当时，直接求解函数的定义域和值域即可，对于C，换元后，只要即可，对于D，换元后利用复合函数求单调性的方法求解即可

【详解】对于A，当时，恒成立，所以函数的定义域为，所以A正确，

对于B，当时，，因为，所以，所以函数的值域为，所以B错误，

对于C，令，则，当，即时， 一定有最小值，反之也成立，所以C正确，

对于D，令，则，当在区间上单调递增时，，解得，所以D错误，

故选：AC

12. 如图所示，点是函数的图像与轴的交点，点在之间的图象上运动，若，且当的面积最大时，，则下列说法正确的有（    ）

A.

B. 的图象关于直线对称

C. 的单调增区间为

D. ，均有

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据题意求出从而求得此函数表达式，再运用三角函数相关知识对各选项逐一分析即可.

【详解】因为当的面积最大时，，在最高点，

所以此时在中，，

所以，，即，，

因为函数经过，则，即，又因为，所以取.

所以函数表达式为.

对于A，，故A正确；

对于B，，取得函数最小值，所以的图象关于直线对称，故B正确；

对于C，令，解得，所以的单调增区间为，故C错误；

对于D，由C选项分析以及题意可知函数图像在区间上轴上方单调递增部分，结合图像可知，此部分图像上凸，满足，均有，故D正确

故选：ABD

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填写在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.

13. 《九章算术》是我国古代数学名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”意思说：现有扇形田，弧长三十步，直径十六步，问面积多少？书中给出计算方法：以径乘周，四而一，即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以4，在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是___________.

【答案】

【解析】

【分析】根据题意可知扇形的弧长和直径，再计算扇形的面积和圆心角弧度数.

【详解】解：由题意，扇形的弧长，直径，

所以扇形的圆心角弧度数是，

故答案为：.

14. 已知，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边交圆心为坐标原点的单位圆于点，且，则___________.

【答案】

【解析】

【分析】由同角三角函数的关系先求出，由二倍角公式求出，由三角函数的定义以及同角三角函数的关系先求出，再分析出，从而求出的值，得出答案.

【详解】由，则

所以，

所以由，，可得

由角终边交圆心为坐标原点的单位圆于点，且，

则， 则

所以

所以由

所以

故答案为：

15. 已知函数是周期为4的奇函数，，则___________.

【答案】

【解析】

【分析】由对数运算计算取值区间，再根据函数的周期性和奇函数，可以求出.

【详解】因为 ，所以，

由题意知，

故答案为：

16. 若实数满足（为常数），为减小计算量，我们可以借助二元基本不等式求出的最大值.基本步骤如下：，当且仅当时，等号成立.这样得到的最大值为；类比上面的解题原理，我们可以解决下面的问题：若为锐角，则函数得最大值为___________，当且仅当___________时，等号成立.

【答案】    ①. ##0.125    ②.

【解析】

【分析】根据题中所给例题求解过程进行类比求解即可.

【详解】因为为锐角，所以，所以，，

所以，

当且仅当，即时等号成立.

故答案为：；

四､解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 已知，且.

（1）求的值；

（2）求的值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】(1)先求出，再化简代数式求值；

 (2) 利用二倍角，化简代数式求值.

【小问1详解】

由①两边平方并化简得，

②

由①②得：.

【小问2详解】

.

18. 已知函数的图象过点，且图象上与点最近的一个最低点坐标为.

（1）求函数的解析式；

（2）若将函数的图象向左平移个单位长度后，再向下平移2个单位长度得到的图象，写出函数在区间上的单调递增区间（不需要写过程）；并求出函数在区间上的值域.

【答案】（1）   

（2）单调递增区间为：，值域为

【解析】

【分析】(1)由条件确定最大值，周期求，，再代特殊点求，由此可得函数的解析式；(2)由三角函数图象变换结论求函数的解析式，再结合余弦函数的性质求的单调区间和值域.

【小问1详解】

依题意可知：，解得：，又的图像的一个最低点为，

，又

【小问2详解】

将函数的图象向左平移个单位长度可得的图象，

将函数的图象向下平移2个单位长度可得的图象，

所以，

由可得，

所以函数在区间()上为增函数，又

函数在区间上的单调递增区间为：

又，

所以函数在区间上的值域为

19. 如图，是半圆的直径，是半圆上的两点，，设，四边形的周长为.

（1）求函数的解析式；

（2）关于的方程在区间上有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】(1) 过点作，垂足为，在中求出的长，从而得出的长，从而得出答案.

（2）将问题转化为方程或在上有两个不等实数根，然后根据函数的单调性可得答案.

【小问1详解】

如图，过点作，垂足为，

在中，

【小问2详解】

由及等价转化为或

依题意：方程或在上有两个不等实数根.

函数在上单调递增，图像在直线的下方，值域为

函数在上单调递增，图像在直线的上方，值域为

要满足题意，则，即

故实数的取值范围为.

20. 函数.

（1）若，求；

（2）若函数的图象在区间有且仅有一条经过最高点的对称轴，求的取值范围（不需要证明唯一性）.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】(1) 先化简函数的解析式，由条件可得，由同角三角函数的关系，求出，再由角变换结合正弦函数的差角公式可得答案.

(2) 设，则,由题意，在时，有且仅有一条经过最高点的对称轴

即的对称轴或仅有一条在定义域内,得出端点与对称轴或间的大小关系，从而得出答案.

【小问1详解】

（1）由

又，

故

【小问2详解】

，

设，由，则

由，则，

由题意，在时，有且仅有一条经过最高点的对称轴

即的对称轴或仅有一条在定义域内.

所以或

解得或

又，故的取值范围为

故答案为：

21. 如图，直线，点是之间的一个定点，过点的直线垂直于直线，（为常数），点分别为上的动点，已知.设（）.

（1）求面积关于角的函数解析式；

（2）求的最小值.

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

(1)利用三角函数表示各个边长的关系,再用梯形的面积减去两个直角三角形表达出即可.

(2)由(1)有,将正切值用正弦除以余弦表示,再利用三角函数的和差角二倍角与辅助角公式化简成再求最值即可.

【详解】（1）由题意,,∴,

在中,,,

,

在中,.

∴的面积,

∴的面积,

∴梯形的面积.

∴

.

（2）令

.

∴当时,即时,取得最小值,

此时取得最小值.

【点睛】本题主要考查了三角函数求解几何图形中的关系的方法.同时也考查了三角函数的公式以及最值的方法等.属于难题.

22. 已知分别是定义在上的奇函数和偶函数，且

（1）分别求出函数解析式；

（2）若，都有成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用函数奇偶性，根据，得到，两式联立解得答案.

(2)用换元法，将原问题转化为在上恒成立的问题，然后根据二次函数在给定区间上的值的情况，分类讨论解答.

【小问1详解】

（1），①

，

分别是定义在上的奇函数和偶函数，，

由①②可得：;

【小问2详解】

令，则，

原命题等价转化为：在上恒成立，

（i）当时，则在上恒成立，成立.

（ii）当时，则等价转化为：在上恒成立，

令，要满足题意，

，解得：，

又

（iii）当时，则等价转化为：在上恒成立

令，要满足题意，

，解得：，

又，

综上，实数的取值范围为