吉林省吉林市2021-2022学年高一上学期期末数学试题

这是一份吉林省吉林市2021-2022学年高一上学期期末数学试题，共16页。

注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码、姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上．
2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．
3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．
4．作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．
一、单项选择题：本大题共8题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求．
1. 设全集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出集合A,B,接着求出，根据集合的交集运算求得答案.
【详解】 ， ，
故
故，
故选：D
2. 命题“R，”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据含有一个量词的命题的否定方法即可解答.
【详解】命题的否定是“”.
故选：C.
3. 若为第三象限角，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据角所在象限，可判断其三角函数值的正负，即可得答案.
【详解】为第三象限角，
则，，，，
由此可得：A，B，D错误，C正确，
故选：C.
4. 下列函数中与是同一个函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数相等的定义是：定义域相同且对应关系相同，逐个分析可得答案.
【详解】对于A，的定义域为，与的定义域为不同，故A不正确；
对于B，与是同一函数，故B正确；
对于C，与的对应关系不同，故C不正确；
对于D，与的定义域不同，故D不正确.
故选：B
5. 若，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据指数函数、对数函数、正切函数的单调性进行判断即可.
【详解】因，
所以，
故选：D
6. 若，则（ ）
A B. C. 3D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角函数的性质进行计算.
【详解】解：由题意得：
故选：A
7. 已知函数是定义域为R的偶函数，且在区间上单调递增，若，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可．
【详解】是定义在R上的偶函数，且在区间，上单调递增，
若，则不等式等价为，
即，即，
故不等式的解集为：.
故选：B．
8. 屏风文化在我国源远流长，可追溯到汉代.某屏风工艺厂设计了一款造型优美的扇环形屏风，如图，扇环外环弧长为，内环弧长为，径长（外环半径与内环半径之差）为，若不计外框，则扇环内需要进行工艺制作的面积的估计值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
设扇环的圆心角为，内环半径为，外环半径为，根据题设可得和，从而可求扇环的面积.
【详解】设扇环的圆心角为，内环半径为，外环半径为，则，
由题意可知，，，所以，
所以扇环内需要进行工艺制作的面积的估计值为
.
故选：C.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为符号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，，，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，，则D. 若，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】分别由不等式的同加同乘性质可得，注意选项B中为0的情况.
【详解】选项A：，在不等式两边同除以得，A正确；
选项B：当时，，B错误；
选项C：同向不等式相加，不等号方向不变，C正确；
选项D：，，两边同除以得，，D正确.
故选：ACD.
10. 下列函数在定义域内既是奇函数，又是减函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】利用函数奇偶性的定义判断和基本函数的单调性判断.
【详解】A. 的定义域为R，因为，所以是奇函数，因为是增函数，所以是减函数；
B. 的定义域为R，因为，所以是奇函数，因为是增函数，则是减函数，所以是减函数；
C. 定义域为，不关于原点对称，所以不是奇函数；

D. 的定义域为，因为，所以是奇函数，在定义域上不单调.
故选：AB
11. 已知函数的图象如图所示，则的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】依题意可得、两个数一个大于，一个大于且小于，再分类讨论，结合指数函数的性质判断即可；
【详解】解：令，解得、，根据二次函数图形可知，、两个数一个大于，一个大于且小于，①当，时，则在定义域上单调递增，且，即，所以满足条件的函数图形为C；
②当，时，则在定义域上单调递减，且，所以满足条件的函数图形为A；
故选：AC
12. 已知函数，下列结论中不正确的有（ ）
A. 函数的最小正周期为且图象关于对称
B. 函数的对称中心是
C. 函数在区间上单调递增
D. 函数的图象可以由的图象向右平移个单位得到
【答案】BC
【解析】
【分析】首先把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质求出结果．
【详解】函数，
∴函数的最小正周期为，故A正确；
令，即，函数的对称中心是，故B错误；
时，，显然在其上不单调，故C错误；
的图象向右平移个单位得到，故D正确.
故选：BC
三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．其中第16题的第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．
13. 已知，，若，则的最小值为____________．
【答案】8
【解析】
【分析】由基本不等式求得最小值．
【详解】因为，，，
所以，当且仅当即时等号成立，
故答案为：8.
14. 已知幂函数的图象过点，则______．
【答案】3
【解析】
【分析】先利用待定系数法代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求的值.
【详解】设，由于图象过点,
得，
，
，故答案为3.
【点睛】本题考查幂函数的解析式，以及根据解析式求函数值，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.
15. 已知，均锐角，若，则值为____________．
【答案】
【解析】
【分析】由两角和的余弦公式求得的值，再由特殊角的三角函数值得结果．
【详解】由已知，
又，均为锐角，所以，所以．
故答案为：．
16. 已知函数 ，若函数有4个零点，，，，则____________；若关于的方程 有个不相等的实数根，则的取值范围是____________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据指数函数与二次函数的性质，作出函数的图象，结合函数图象的对称性，即可求解的值，再令令，根据有8个不等的实数根，转化为在有2个不同的实数根，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解.
【详解】由题意，函数，
根函数的图象变换，函数的图象关于对称，
根据二次函数的性质，可得函数的图象关于对称，
在坐标系中作出函数的图象，如图所示，
函数有4个零点，，，，
可得，所以；
令，则方程可化为，
因为有8个不等的实数根，
则方程必有4个实数根，所以，
所以在有2个不同的实数根，
令，可得其对称轴的方程为，
则满足ℎ54=2516−258+a<0ℎ1=1−52+a>0ℎ2=4−5+a>0，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：；.
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 已知集合，．
（1）当时，求，；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）求出集合B，进而求出交集和并集；（2）根据是的充分不必要条件得到A是B的真子集，进而得到不等式组，求出实数的取值范围.
【小问1详解】
．
当时，
所以，；
【小问2详解】
是的充分不必要条件
∴A是B的真子集，故
即
所以实数m的取值范围是.
18. 已知函数
（1）化简函数，并求；
（2）在以原点为圆心的单位圆中，已知角终边与单位圆的交点为，求的值．
【答案】（1），；
（2）－1.
【解析】
【分析】(1)根据诱导公式化简即可，化简后将x＝代入计算；
(2)根据三角函数的定义求出tanα，再利用正切的差角公式即可计算.
【小问1详解】
，
；
【小问2详解】
角终边与单位圆的交点为，
，
，
.
19. 已知函数的部分图象如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）将图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数 的图象，求函数的单调递减区间．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据函数图象，求得，，得到，将点，代入，结合，求得，即可求得函数的解析式；
（2）根据三角函数的图象变换求得，结合正弦型函数的性质，即可求解.
小问1详解】
解：由函数图象，可得，，所以，
因为，可得，所以，
又因为图象过点，可得，
所以，解得，
又由，所以，所以的解折式为.
【小问2详解】
解：将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到
令，解得，
所以函数的单调递减区间是.
20. 已知函数且，且．
（1）求值及函数的定义域；
（2）若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围．
【答案】（1）2，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据代入即可求出参数的值，再根据对数函数的真数大于零得到不等式，解得即可；
（2）依题意函数与在区间上有公共点，根据对数函数的单调性求出在上的值域，即可求出参数的取值范围；
【小问1详解】
解：因为且，且，所以
，所以，
令，解得，
所以的定义域为
【小问2详解】
解：方程在区间上有解，
所以函数与在区间上有公共点，
因为在区间上单调递增，
所以当时，取最小值0，当时，取最大值2，
所以函数的值域为，所以实数m的取值范围为时，函数与在区间上有公共点，
综上：实数m的取值范围为
21. 当前新冠肺炎疫情防控形势依然严峻，要求每个公民对疫情防控都不能放松．科学使用防护用品是减少公众交叉感染、有效降低传播风险、防止疫情扩散蔓延、确保群众身体健康的有效途径．某疫情防护用品生产厂家年投入固定成本万元，每生产万件，需另投入成本（万元）．当年产量不足万件时，；当年产量不小于万件时，．通过市场分析，若每万件售价为400万元时，该厂年内生产的防护用品能全部售完．(利润=销售收入－总成本)
（1）求出年利润（万元）关于年产量（万件）的解析式；
（2）年产量为多少万件时，该厂在这一防护用品生产中所获利润最大？并求出利润的最大值．
【答案】（1）Lx=−12x2+20x−150,x<60,x∈N2850−10x+81000x,x≥60,x∈N
（2）当年产量为90万件时，该厂在这一防护商品生产中所获利润最大为1050万元
【解析】
【分析】（1）根据题意直接利用利润=销售收入－总成本，写出分段函数的解析式即可；
（2）利用二次函数及其基本不等式分别求出各段的最大值，再取两个最大的即可.
【小问1详解】
当且时，
，
当且时，
综上：Lx=−12x2+20x−150,x<60,x∈N2850−10x+81000x,x≥60,x∈N
【小问2详解】
当且时，
∴当时，取最大值（万元）
当且时，
当且仅当，即时等号成立．
∴当时，取最大值（万元）
∵，
综上所述，当年产量为90万件时，该厂在这一防护商品生产中所获利润最大为1050万元.
22. 已知实数，函数是定义域为的奇函数．
（1）求函数的解析式；
（2）已知且，若对于，，使得恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的性质进行求解即可；
（2）构造函数，利用函数的单调性，结合任意性的定义进行求解即可.
【小问1详解】
实数，函数是定义域为的奇函数．
，
，要想对于时恒成立，
只需3b−t=02bt−6=0，
解得：b=−1t=−3或b=1t=3（因为，所以舍去）,
则,
【小问2详解】
令，
，
是上的增函数，
，
令，
，使得恒成立，
等价于成立，即成立，
当时，在上单调递减，
，故，解得，
当时，在上单调递增，
，故，解得，
综上所述，实数a的取值范围是.
【点睛】关键点睛：构造函数，结合任意性的定义是解题的关键.