内蒙古自治区赤峰市红山区2021-2022学年高一上学期期末数学试题

红山区2021—2022学年第一学期质量检测

高一年级数学

注意事项：

1．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考生作答时，请将第Ⅰ卷选择题的答案用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后重新填涂；请将第Ⅱ卷的答案用黑色中性笔答在答题卡指定答题区域内，在本试卷上答题无效．考试结束后，将答题卡交回，试卷自行保留．

2．所有同学们答卷时请注意：

（1）题号后标注学校的，相应学校的学生解答；

（2）没有标注学校的题所有学生均需解答．

3．本试卷共150分，考试时间120分钟．

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知集合，，则A∩B中元素的个数为（    ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

【答案】B

【解析】

【分析】采用列举法列举出中元素的即可.

【详解】由题意，，故中元素的个数为3.

故选：B

【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.

2. 下列函数中与是同一函数的是（   ）

（1）（2）（3）（4）（5）

A. （1）（2） B. （2）（3） C. （2）（4） D. （3）（5）

【答案】C

【解析】

【分析】

将5个函数的解析式化简后，根据相等函数的判定方法分析，即可得出结果.

【详解】（1）与定义域相同，对应关系不同，不是同一函数；

（2）与的定义域相同，对应关系一致，是同一函数；

（3）与定义与相同，对应关系不同，不是同一函数；

（4）与定义相同，对应关系一致，是同一函数；

（5）与对应关系不同，不是同一函数；

故选：C.

3. 某国近日开展了大规模COVID-19核酸检测，并将数据整理如图所示，其中集合S表示（ ）

A. 无症状感染者 B. 发病者 C. 未感染者 D. 轻症感染者

【答案】A

【解析】

【分析】由即可判断S的含义.

【详解】解：由图可知，集合S是集合A与集合B的交集，

所以集合S表示：感染未发病者，即无症状感染者，

故选：A.

4. 要得到函数的图象，只需要将函数的图象

A. 向左平移个单位

B. 向右平移个单位

C. 向左平移个单位

D. 向右平移个单位

【答案】B

【解析】

【详解】因为函数，要得到函数的图象，只需要将函数的图象向右平移个单位．

本题选择B选项.

点睛：三角函数图象进行平移变换时注意提取x的系数，进行周期变换时，需要将x的系数变为原来的ω倍，要特别注意相位变换、周期变换的顺序，顺序不同，其变换量也不同．

5. 已知函数，若，则x的值是（    ）

A. 3 B. 9 C. 或1 D. 或3

【答案】A

【解析】

【分析】分段解方程即可.

【详解】当时，，解得（舍去）；

当时，，解得或（舍去）.

故选：A

6. 已知扇形的弧长是，面积是，则扇形的圆心角的弧度数是（    ）

A.  B.  C.  D. 或

【答案】C

【解析】

【分析】根据扇形面积公式，求出扇形的半径，再由弧长公式，即可求出结论.

【详解】因为扇形的弧长为4，面积为2，

设扇形的半径为，则，

解得，则扇形的圆心角的弧度数为.

故选:C.

【点睛】本题考查扇形面积和弧长公式应用，属于基础题.

7. 已知函数，则在下列区间中必有零点的是(　  　)

A. (－2，－1) B. (－1,0) C. (0,1) D. (1,2)

【答案】B

【解析】

【详解】试题分析：根据存在零点定理，看所给区间的端点值是否异号，，，，所以，那么函数的零点必在区间．

考点：函数的零点

8. 下图是函数的部分图象，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由图象求出函数的周期，进而可得的值，然后逆用五点作图法求出的值即可求解.

【详解】解：由图象可知，函数的周期，即，所以，

不妨设时，由五点作图法，得，所以，

所以

故选：B.

9. 设，则的大小关系为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出的大小关系.

【详解】因为，

，

，

所以.

故选：D.

【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.

比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：

（1）利用指数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；

（2）利用对数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；

（3）借助于中间值，例如：0或1等.

10. 设f(x)为偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数，，则xf(x)＜0解集为（    ）

A. (－1，0)∪(2，＋∞) B. (－∞，－2)∪(0，2)

C. (－2，0)∪(2，＋∞) D. (－2，0)∪(0，2)

【答案】C

【解析】

【分析】结合函数的性质，得到，画出函数的图象，结合图象，即可求解.

【详解】根据题意，偶函数f(x)在(－∞，0)上为增函数，又，

则函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且，

函数f(x)的草图如图，

又由，可得或，

由图可得－2＜x＜0或x＞2，

即不等式的解集为(－2，0)∪(2，＋∞).

故选：C.

本题主要考查了函数的奇偶性与单调性的应用，其中解答中熟记函数的奇偶性与单调性，结合函数的图象求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.

11. 中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，三角形的面积S可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦----秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为（    ）

A. 6 B. 9 C. 12 D. 18

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意可得，代入面积公式，配方即可求出最大值.

【详解】由，，

则，

所以

，

当时，取得最大值，

此时.

故选：C

12. 设函数,则使成立的的取值范围是

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【详解】试题分析：，定义域为，∵，∴函数为偶函数，当时，函数单调递增，根据偶函数性质可知：得成立，∴，∴，∴的范围为故答案为A.

考点：抽象函数的不等式.

【思路点晴】本题考查了偶函数的性质和利用偶函数图象的特点解决实际问题，属于基础题型，应牢记．根据函数的表达式可知函数为偶函数，根据初等函数的性质判断函数在大于零的单调性为递增，根据偶函数关于原点对称可知，距离原点越远的点，函数值越大，把可转化为，解绝对值不等式即可．

13. 已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据函数是上的减函数，则两段函数都是减函数，并且在分界点处需满足不等式，列不等式求实数的取值范围.

【详解】由条件可知，函数在上是减函数，

需满足，解得：.

故选：C

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

二、填空题（共4小题，每小题5分，本题共20分．请把正确答案填在答题卡中相应题号的横线上）

14. ____________．

【答案】

【解析】

【详解】试题分析：,故答案为.

考点：对数的运算.

15. 如果二次函数在区间上是增函数，则实数的取值范围为________．

【答案】

【解析】

【分析】函数对称轴为，则由题意可得，解出不等式即可.

【详解】∵函数的对称轴为且在区间上是增函数，

∴，即.

【点睛】已知函数在某个区间上的单调性，则这个区间是这个函数对应单调区间的子集.

16. 已知＝－5，那么tanα＝________.

【答案】－

【解析】

【分析】由已知得＝－5，化简即得解.

【详解】易知cosα≠0，由＝－5，

得＝－5，

解得tanα＝－.

故答案为：－

【点睛】本题主要考查同角的商数关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

17. 如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它由四个全等的直角三角形围成，其中，现将每个直角三角形的较长的直角边分别向外延长一倍，得到如图2的数学风车，则图2“赵爽弦图”外面（图中阴影部分）的面积与大正方形面积之比为_______________．

【答案】24:25

【解析】

【分析】设三角形三边的边长分别为，分别求出阴影部分面积和大正方形面积即可求解.

【详解】解：由题意，“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形围成，其中，

设三角形三边的边长分别为，则大正方形的边长为5 ，所以大正方形的面积，

如图，将延长到，则，所以，又到的距离即为到的距离，

所以三角形的面积等于三角形的面积，即，

所以“赵爽弦图”外面（图中阴影部分）的面积，

所以“赵爽弦图”外面（图中阴影部分）的面积与大正方形面积之比为.

故答案为：24:25.

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

18. 已知集合，或．

（1）若，求a取值范围；

（2）若，求a的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据交集的定义，列出关于的不等式组即可求解；

（2）由题意，，根据集合的包含关系列出关于的不等式组即可求解；

【小问1详解】

解：∵或，且，

∴，解得，

∴a的取值范围为；

【小问2详解】

解：∵或，且，

∴，

∴或，即或，

∴a的取值范围是.

19. 已知角α的终边经过点P.

（1）求sinα的值；

（2）求的值.

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】（1）由正弦函数定义计算；

（2）由诱导公式，商数关系变形化简，由余弦函数定义计算代入可得.

【详解】（1）因为点P，

所以|OP|=1，sinα=.

（2）

由三角函数定义知cosα=，故所求式子的值为．

20. 已知是定义在上的偶函数，且时，．

（1）求函数的表达式；

（2）判断并证明函数在区间上的单调性．

【答案】（1）   

（2）单调减函数，证明见解析

【解析】

【分析】（1）设，则，根据是偶函数，可知，然后分两段写出函数解析式即可；

（2）利用函数单调性的定义，即可判断函数的单调性，并可证明结果．

【小问1详解】

解：设，则，，

因为函数为偶函数，所以，即，

所以．

【小问2详解】

解：设，，

∵，∴，，

∴，∴在为单调减函数．

21. 某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x万件，其总成本为万元，其中固定成本为3万元，并且每生产1万件的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入满足，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：

（1）写出利润函数的解析式（利润=销售收入−总成本）；

（2）工厂生产多少万件产品时，可使盈利最多？

【答案】（1）   

（2）4万件

【解析】

【分析】（1）由题意，总成本，由即可得利润函数解析式；

（2）根据反比例函数及二次函数的单调性，求出分段函数的最大值即可求解.

【小问1详解】

解：由题意，总成本，

因为销售收入满足，

所以利润函数；

小问2详解】

解：当时，因为函数单调递减，所以万元；

当时，函数，

所以当时，有最大值为13 (万元) .

所以当工厂生产4万件产品时，可使盈利最多为13万元.

22. 已知函数满足下列3个条件：

①函数的周期为；②是函数的对称轴；③.

（1）请任选其中二个条件，并求出此时函数的解析式；

（2）若，求函数的最值.

【答案】（1）答案见解析，；（2）最大值；最小值.

【解析】

【分析】(1)由①知，由②知，由③知，结合即可求出的解析式.

(2)由可得，进而可求出函数最值.

【详解】解：（1）选①②，则，解得，

因为，所以，即；

选①③，，由得，

因，所以，即；

选②③，，由得，

因为，所以，即.

（2）由题意得，因为，所以.

所以当即时，有最大值，

所以当即时，有最小值.

【点睛】本题考查了三角函数的周期，考查了三角函数的对称轴，考查了三角函数的值域，考查了三角函数表达式的求解，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.

23. 已知函数的图象过点.

（Ⅰ）求实数的值;

（Ⅱ）若不等式恒成立，求实数的取值范围；

（Ⅲ）若函数，，是否存在实数使得的最小值为，若存在请求出的值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

【分析】（Ⅰ）根据图象过点，代入函数解析式求出k的值即可；

（Ⅱ）令，则命题等价于，根据函数的单调性求出a的范围即可；

（Ⅲ）根据二次函数的性质通过讨论m的范围，结合函数的最小值，求出m的值即可．

【详解】（I）函数的图象过点

（II）由（I）知

恒成立

即恒成立

令，则命题等价于

而单调递增

即

（III） ，

令

当时，对称轴

①当，即时

，不符舍去.

②当时,即时

.

符合题意.

综上所述：

【点睛】本题考查了对数函数的性质，考查函数的单调性、最值问题，考查转化思想以及分类讨论思想，换元思想，是一道中档题．

24. 已知函数（a为实常数）．

（1）若，设在区间的最小值为，求的表达式：

（2）设，若函数在区间上是增函数，求实数a的取值范围．

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】（1）用二次函数法求函数的最小值，要注意定义域，同时由于不确定，要根据对称轴分类讨论．
（2）首先用单调性定义证明单调性，可将“函数在区间上是增函数”转化为恒成立问题求即可．

【详解】（1）由于，当时，
①若，即，则在为增函数 ，；
②若，即时，；
③若，即时，在上是减函数，；
综上可得；
（2）在区间上任取，
 

　　　　　　（*）
在上是增函数

∴（*）可转化为对任意且都成立，即
①当时，上式显然成立
②，由得，解得；
③，由得，，得，
所以实数的取值范围是．

【点睛】本题考查二次函数在区间上的最值问题，注意要对对称轴和区间的位置进行讨论，考查单调性的应用，这类问题要转化为恒成立问题，实质还是研究最值，这里就会涉及到构造新函数的问题，本题是一道难度较大的题目．