陕西省榆林市2021-2022学年高一上学期期末质量检测数学试题

这是一份陕西省榆林市2021-2022学年高一上学期期末质量检测数学试题，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

陕西省榆林市2021-2022学年高一上学期期末质量检测
数学试题
答案解析
一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）若集合U＝{1，3，4，7，11}，A＝{1，11}，B＝{1，4，7}，则（∁UA）∩B＝（　　）
A．{4} B．{1，4} C．{4，7} D．{1，4，7}
【分析】由集合U，A求得∁UA，由集合的交集运算可求得答案．
【解答】解：由U＝{1，3，4，7，11}，A＝{1，11}，B＝{1，4，7}，
所以∁UA＝{3，4，7}，
所以（∁UA）∩B＝{4，7}，
故选：C．
【点评】本题考查了集合之间的关系，考查集合的交、补集的运算，属于基础题．
2．（5分）下列说法正确的是（　　）
A．三点确定一个平面
B．四条首尾相连的线段确定一个平面
C．两条异面直线确定一个平面
D．两条相交直线确定一个平面
【分析】直接利用平面的性质和共面直线的判定确定A、B、C、D的结论．
【解答】解：对于A：不共线的三点确定一个平面，故A错误；
对于B：四条首尾相连的线段不一定确定一个平面，故B错误；
对于C：两条异面直线就不在一个平面内，故C错误；
对于D：两条相交直线确定一个平面，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查的知识要点：平面的性质和共面直线的判定，主要考查学生对基础知识的理解，属于基础题．
3．（5分）已知a＝log35，b＝π，c＝2﹣0.1，则（　　）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜c＜b
【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．
【解答】解：∵log33＜log35＜log39＝2，∴1＜a＜2，
∵0＜2﹣0.1＜20＝1，∴0＜c＜1，
∴c＜a＜b，
故选：B．
【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．
4．（5分）函数f（x）＝ln（﹣x+2）+的定义域是（　　）
A．（0，1）∪（1，2） B．[1，2）
C．（1，2） D．（0，2）
【分析】由对数式的真数大于0，分母中根式内部的代数式大于0，联立不等式组求解．
【解答】解：要使原函数有意义，则，解得1＜x＜2．
∴函数f（x）＝ln（﹣x+2）+的定义域是（1，2），
故选：C．
【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．
5．（5分）北京时间2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射，约582秒后，神舟十三号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，顺利将翟志刚、王亚平、叶光富3名航天员送入太空，飞行乘组状态良好，发射取得圆满成功．据测算，在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v（m/s）和燃料的质量M（kg）、火箭（除燃料外）的质量m（kg）的关系式为v＝2000ln（1+），若火箭的最大速达到10km/s，则燃料质量与火箭（除燃料外）质量的比值约为（　　）（参考数据：e5≈148.4

A．146.4 B．147.4 C．148.4 D．149.4
【分析】根据已知条件，结合对数函数的公式，即可求解．
【解答】解：由题意将v＝10km/s，代入v＝2000ln（1+），可得10×1000＝2000ln（1+），
则，即≈148.4，解得．
故选：B．
【点评】本题主要考查函数的实际应用，掌握对数函数的公式是解本题的关键，属于基础题．
6．（5分）函数f（x）＝的大致图像是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】首先判断f（x）的奇偶性，得到图象的特点，再求f（x）的零点，讨论x→+∞时，f（x）的变化，可得结论．
【解答】解：f（x）＝的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，
f（﹣x）＝＝f（x），可得f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，排除B；
由f（x）＝0，可得x＝±1，排除C；
当x→+∞时，f（x）→0，排除A．
故选：D．
【点评】本题考查函数图象的判断，考查数形结合思想，运用排除法是解题的关键，属于基础题．
7．（5分）点（2，4）关于直线x﹣2y+1＝0对称的点的坐标为（　　）
A．（4，0） B．（3，2） C．（2，1） D．（﹣1，﹣1）
【分析】设对称点为（s，t），运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，解方程即可得到所求对称点的坐标．
【解答】解：设对称点为（s，t），
∴①，（对称点与该点的连线垂直于对称轴）
对称点与该点所成线段的中点为（，）在直线x﹣2y+1＝0上，
∴﹣2×+1＝0②，
联立①②解出对称点为（4，0）．
故选：A．
【点评】本题考查点关于直线的对称点问题，考查中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，考查运算能力，属于中档题．
8．（5分）刘老师在课堂中与学生探究某个圆时，有四位同学分别给出了一个结论．
甲：该圆经过点（2，2）；
乙：该圆的半径为；
丙：该圆的圆心为（1，0）；
丁：该圆经过点（7，0）．
如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】由假设乙丙正确，求出圆的方程，再验证甲丁即可．
【解答】解：由题意若乙：该圆的半径为，丙：该圆的圆心为（1，0）正确，
可得圆的方程为（x﹣1）2+y2＝5，
甲：该圆经过点（2，2）正好成立，
丁：该圆经过点（7，0）不正确，
故选：D．
【点评】本题圆的方程和点与圆的位置关系，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
9．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其表面积为5π+π，则该几何体的体积为（　　）

A．2π B． C． D．
【分析】首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步利用表面积公式求出r，进一步求出组合体的体积．
【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体是由一个底面半径为r，高为r的圆锥和由一个底面半径为r，高为2r的圆柱组成的组合体；
如图所示：

所以＝5π+π，
解得r＝1．
故＝．
故选：B．
【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的体积和表面积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
10．（5分）已知直线l：mx﹣3y﹣4m+9＝0与圆C：x2+y2＝100相交于A、B两点，则|AB|的最小值为（　　）
A．5 B．5 C．10 D．10
【分析】求出直线恒过定点D，定点D在圆内，故当弦AB与CD垂直时，弦|AB|长度最小．
【解答】解：依题意，直线mx﹣3y﹣4m+9＝0恒过定点D（4，3），
∵D在圆C内部，
故弦|AB|长度的最小时，直线AB与直线CD垂直，又|CD|＝＝5，
此时|AB|＝2＝10．
故选：D．
【点评】本题考查了直线恒过定点的求法，考查了圆的弦长问题．考查逻辑思维能力和计算能力，本题属于中档题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
11．（5分）若直线2x+y+1＝0与直线mx+8y+4＝0互相垂直，则m＝　﹣4　．
【分析】根据已知条件，结合直线垂直的性质，即可求解．
【解答】解：∵直线2x+y+1＝0与直线mx+8y+4＝0互相垂直，
∴2×m+1×8＝0，解得m＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】本题主要考查直线垂直的性质，属于基础题．
12．（5分）已知a∈{﹣1，，1，2}，若幂函数f（x）＝bxa在（0，+∞）上单调递减，则a+b＝　0　．
【分析】根据幂函数的定义以及幂函数的单调性求出a，b的值，求和即可．
【解答】解：若幂函数f（x）＝bxa在（0，+∞）上单调递减，
则b＝1，a∈{﹣1，，1，2}时，a＝﹣1，
故a+b＝0，
故答案为：0．
【点评】本题考查了幂函数的定义和性质，是基础题．
13．（5分）已知某直线满足以下两个条件，则该直线的方程为 　x﹣3y±2＝0　．（用一般式方程表示）．
①倾斜角为30°；
②坐标原点到该直线的距离为1．
【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率，求出直线的斜率，再用斜截式设出直线的方程，利用点到直线的距离公式求得待定系数，可得要求的直线的方程．
【解答】解：由于直线的倾斜角为30°，故它的斜率为k＝tan30°＝，
这直线的方程为y＝x+b，即x﹣3y+3b＝0，求得b＝±，
故要求的直线的方程为x﹣3y±2＝0，
故答案为：x﹣3y±2＝0．
【点评】本题主要考查直线的倾斜角和斜率，用斜截式求直线的方程，点到直线的距离公式，属于基础题．
14．（5分）如图，某化学实验室的一个模型是一个正八面体（由两个相同的正四棱锥组成，且各棱长都相等），若该正八面体的表面积为，则该正八面体外接球的体积为 　　cm3；若在该正八面体内放一个球，则该球半径的最大值为 　　cm．

【分析】由已知求得正八面体的棱长为4，进而求得，即知接球的半径，进而求得体积；若球O在正八面体内，则球O半径的最大值为O到平面PBC的距离，证得OH⊥平面PBC，再利用相似可知，即可求得半径．
【解答】解：如图，记该八面体为PABCDQ，O为正方形ABCD的中心，则OP⊥平面ABCD，

设AB＝acm，则，解得a＝4．
在正方形ABCD中，，则，
在直角△BOP 中，知，
即正八面体外接球的半径为，
故该正八面体外接球的体积为．
若球O在正八面体内，则球O半径的最大值为O到平面PBC的距离．
取BC的中点E，连接 PE，OE，则OE⊥BC，
又OP⊥BC，OP∩OE＝O，
∴BC⊥平面 POE，
过O作OH⊥PE于H，又BC⊥OH，BC∩PE＝E，所以OH⊥平面 PBC，
又△POE∽△OHE，
∴，则，
则该球半径的最大值为．
故答案为：．

【点评】本题考查球的体积与表面积，考查学生的运算能力，属于中档题．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（12分）已知直线l：（2a﹣1）x+（a+1）y+a﹣5＝0．
（1）若直线l与直线l'：x+2y﹣1＝0平行，求a的值；
（2）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．
【分析】（1）由l∥l′，利用直线与直线平行的性质能求出a的值．
（2）令x＝0，求出直线l在y轴上的截距为．令y＝0，求出直线l在x轴上的截距为，由直线l在两坐标轴上的截距相等，求出a＝5或a＝﹣2，由此能求出直线l的方程．
【解答】解：（1）因为l∥l′，所以，
解得a＝1．
（2）令x＝0，得，即直线l在y轴上的截距为．
令y＝0，得，即直线l在x轴上的截距为．
因为直线l在两坐标轴上的截距相等，所以，
所以（a﹣5）（a﹣2）＝0，解得a＝5或a＝﹣2，
则直线l的方程9x+6y＝0或3x+3y﹣3＝0，
即3x+2y＝0或x+y﹣1＝0．
【点评】本题考查实数值、直线方程的求法，考查直线与直线平行的性质、直线方程等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16．（12分）如图1，在边长为4的等边三角形ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，沿DE把△ADE折起，得到如图2所示的四棱锥．
（1）证明：EF∥平面A1BD；
（2）若平面A1DE⊥平面BCED，求三棱锥A1﹣CEF的体积．

【分析】（1）证明EF∥BD，由此证明EF∥平面A1BD；
（2）过点A1作A1O⊥DE，得A1O⊥平面BCED，求出A1O和△CEF的面积，即可求出三棱锥A1﹣CEF的体积．
【解答】（1）证明：因为E，F分别是AC，BC的中点，
所以EF∥BD，又因为EF⊄平面A1BD，BD⊂平面A1BD，
所以EF∥平面A1BD；
（2）解：因为平面A1DE⊥平面BCED，
过点A1作A1O⊥DE，所以A1O⊥平面BCED，如图所示：

因为A1O＝4××sin60°＝，
△CEF的面积为S△CEF＝×22×sin60°＝，
所以三棱锥A1﹣CEF的体积为
＝S△CEF•A1O＝××＝1．
【点评】本题考查了空间中的线面平行证明问题，也考查了三棱锥体积的计算问题，是基础题．
17．（12分）已知圆C：（x﹣4）2+（y﹣2）2＝4，圆M：x2﹣4x+y2﹣5＝0．
（1）试判断圆C与圆M的位置关系，并说明理由；
（2）若过点（6，﹣2）的直线l与圆C相切，求直线l的方程．
【分析】（1）求出两圆的圆心距，知r2﹣r1＜CD＜r1+r2，从而可判断圆C与圆D的位置关系；
（2）分类讨论，利用圆心C（4，2）到直线l的距离＝半径，求直线l的方程．
【解答】解：（1）∵圆C的标准方程是：（x﹣4）2+（y﹣2）2＝4，
∴圆C的圆心坐标是（4，2），半径长r1＝2，
又圆M：x2﹣4x+y2﹣5＝0，所以化为标准方程为：（x﹣2）2+y2＝32，
圆心坐标是（2，0），半径长r2＝3，
∴圆C与圆D的连心线长为CD＝＝2，
又圆C与圆D的两半径之和为：r1+r2＝5，r2﹣r1＝1，
∴r2﹣r1＜CD＜r1+r2，∴圆C与圆D相交；
（2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝6，符合题意，
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k（x﹣6）﹣2，即kx﹣y﹣2﹣6k＝0
∵直线l与圆C相切，
∴圆心C（4，2）到直线l的距离d＝2，即d＝＝2，解得k＝﹣，
∴此时直线l的方程为﹣x−y﹣2+＝0，即3x+4y﹣10＝0．
综上，直线l的方程为x＝6或3x+4y﹣10＝0．
【点评】本题考查圆与圆的位置关系，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面为直角梯形，CD∥AB，AD⊥AB，且PA＝AD＝CD＝2，AB＝3，E为PD的中点．
（1）证明：AE⊥平面PCD；
（2）过A，B，E作四棱锥P﹣ABCD的截面，请写出作法和理由，并求截面的面积．

【分析】（1）由线面垂直的性质定理可得CD⊥PA，由已知可得CD⊥AD，由线面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD，推出CD⊥AE，由AE⊥PD，即可证明结论；
（2）过E作EF∥CD，交PC于F，连接BF，推导出EF∥AB，可得截面为四边形ABFE，计算可得面积．
【解答】（1）证明：因为PA⊥平面ABCD，所以CD⊥PA．
又CD∥AB，AD⊥AB，所以CD⊥AD．
因为AD∩PA＝A，所以CD⊥平面PAD，则CD⊥AE．
因为PA＝AD，E为PD的中点，所以AE⊥PD．
又CD∩PD＝D，所以AE⊥平面PCD．
（2）解：如图，过E作EF∥CD，交PC于F，连接BF，则截面为四边形ABFE．

理由如下：
因为AB∥CD，EF∥CD，所以EF∥AB，所以A，B，F，E四点共面，从而过A，B，E的截面为四边形ABFE．
由（1）知AE⊥平面PCD，所以AE⊥EF，
又，，AB＝3，
所以四边形ABFE为直角梯形，其面积．
【点评】本题主要考查线面垂直的判定与性质定理，截面面积的求法，考查逻辑推理与运算求解能力，属于中档题．
19．（12分）已知二次函数f（x）＝mx2+bx﹣1（m≠0）的图象关于直线x＝﹣1对称，且关于x的方程f（x）+2＝0有两个相等的实数根．
（1）g（x）＝2f（x）的值域；
（2）若函数h（x）＝f（logax）﹣logax4（a＞0且a≠1）在[，2]上有最小值﹣2，最大值7，求a的值．
【分析】（1）根据题意，由二次函数的性质可得关于b、m的方程，解可得b、m的值，即可得f（x）的解析式，结合指数函数的性质分析可得答案；
（2）根据题意，求出h（x）的解析式，设t＝logax，则y＝t2﹣2t﹣1＝（t﹣1）2﹣2，分0＜a＜1和a＞1两种情况讨论，求出a的值，综合可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，二次函数f（x）＝mx2+bx﹣1（m≠0）的图象关于直线x＝﹣1对称，
则有﹣＝﹣1，即b＝2m，①
又由方程f（x）+2＝0即mx2+bx+1＝0有两个相等的实数根，则有Δ＝b2﹣4m＝0，②
联立①②可得：m＝1，b＝2，则f（x）＝x2+2x﹣1，
则有f（x）≥﹣2，则g（x）＝2f（x）≥2﹣2＝，
即函数g（x）的值域为[，+∞）；
（2）根据题意，函数h（x）＝f（logax）﹣logax4＝（logax）2﹣2logax﹣1，
设t＝logax，则y＝t2﹣2t﹣1＝（t﹣1）2﹣2，
当0＜a＜1时，x∈[，2]，则有loga2＜t＜﹣loga2，而loga2+（﹣loga2）＝0，
若函数h（x）在[，2]上有最小值﹣2，最大值7，
则有，解可得loga2＝﹣2，即a＝，
当a＞1时，x∈[，2]，则有﹣loga2＜t＜loga2，而loga2+（﹣loga2）＝0，
若函数h（x）在[，2]上有最小值﹣2，最大值7，
则有，解可得loga2＝2，即a＝，
综合可得：a＝或．
【点评】本题考查函数最值的计算，涉及二次函数．指数函数的性质以及应用，属于基础题．