青海省西宁市2021-2022学年高一上学期期末数学试题（解析版）

西宁市2021-2022学年第一学期末调研测试卷高一数学

一、选择题

1. 设，，，若，则（   ）.

A  B.  C. .0 D. 1

【答案】A

【解析】

【分析】利用两个集合相等，元素相同，得到，进而求出答案.

【详解】由题意得：，所以

故选：A

2. 下列在法则的作用下，从集合到集合的对应中，不是映射的个数是（ ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

【答案】D

【解析】

【分析】根据映射的概念,逐项分析即可.

【详解】根据映射的概念，两个非空集合，对于集合中的每一个元素，在集合中都有唯一的元素与之对应，

①③中出现了一对多，②中，元素2､4没有对应元素，

只有④中对应符合映射的定义

故选：D.

3. 航海罗盘将圆周32等分，如图所示，则图中劣弧所对的圆心角为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据圆周角是，及劣弧所占份数可得．

【详解】因为劣弧的弧长占了32等分的7等分．所以劣弧所对的圆心角为．

故选：B．

4. 设，，则（   ）.

A  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由向量坐标的减法运算可得答案.

【详解】因为，，

所以.

故选：A

5. 若，，则等于（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据根式运算性质求解即可.

【详解】因为，，

所以.

故选：D

6. 若，则角终边上一点的坐标可能是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用任意角三角函数的定义求解即可

【详解】选项中的点均为平面直角坐标系下单位圆上的点，

由三角函数的定义，知，

故选：C．

7. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据对数函数的单调性及指数函数值可得结论．

【详解】,

，，

所以．

故选：．

8. 已知，则的值为（   ）.

A. 4 B. 3 C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用诱导公式得到，然后转化得解.

【详解】由可得，

所以.

故选：B.

9. 已知点在幂函数的图象上，则函数在区间上的值域为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据幂函数的概念求出的值，把点代入幂函数的解析式求出的值，从而根据函数的单调性可求出函数的值域.

【详解】因为函数是幂函数，所以，解得，

所以，

因为点在幂函数的图象上，所以，解得.

因为在单调递增，函数在上的值域为.

故选：D.

10. 已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图像是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由二次函数图象可得，然后利用排除法结合指数函数的性质分析判断即可

【详解】由函数（其中）的图象可得，

所以，所以排除BC，

因为，所以为增函数，所以排除A，

故选：D

11. 已知函数在上是减函数,则实数的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由分段函数的单调性列出不等式组，可解出实数的取值范围．

【详解】由题意可得，解得

故选：B

12. 已知函数，则下列说法正确的是（   ）.

A. 的图象上相邻两个最高点间的距离为

B. 的图象在区间上单调递减

C. 的图象关于直线成轴对称

D. 的图象向右平移个单位长度后，所得函数为偶函数

【答案】D

【解析】

【分析】求出函数的周期可判断A；求出函数的单调递减区间可判断B；求出由函数的对称轴方程可判断C；根据函数图象平移规律和奇偶性的定义可判断D正确.

【详解】由函数得，

的图象上相邻两个最高点间的距离为一个周期，即为，所以A错误；

由得，

当时的单调递减区间为，

当时的单调递减区间为，故B错误；

由得的对称轴方程为，

令由得，所以C错误；

的图象向右平移个单位长度后，

得，

由，所以函数为偶函数，故D正确.

故选：D.

二、填空题

13. 函数的定义域是_________.

【答案】.

【解析】

【分析】根据函数的解析式列出不等式组，进而解出答案即可.

【详解】由题意，.

故答案为：.

14. 函数的最小正周期是________．

【答案】4

【解析】

【分析】直接根据正弦型函数的周期公式计算可得.

【详解】因为，故的最小正周期为：

故答案为：4

15. 函数的零点为___________．

【答案】

【解析】

【分析】令求解.

【详解】令，得，

两边平方得：，

解得，

所以函数的零点为1.

故答案为：1.

16. 已知函数的图象恒过定点A，若角终边经过点A，则_____.

【答案】##

【解析】

【分析】利用对数函数的性质求出点的坐标，从而可求出角的三角函数值，进而可求得答案

【详解】由，得当时，，

所以函数的图象恒过定点，

因为角终边经过点A，

所以，

所以

，

故答案为：

三、解答题

17. 如图，已知圆O的半径r为10，弦AB的长为10．

（1）求弦AB所对的圆心角的大小；

（2）求圆心角所对应的弧长l及阴影部分的面积S．

【答案】（1）   

（2）；

【解析】

【分析】（1）根据为等边三角形，可得，即可求解.

（2）利用扇形的弧长公式以及扇形的面积公式即可求解.

【小问1详解】

由于圆O的半径r为10，弦AB的长为10，

所以为等边三角形，，所以．

【小问2详解】

因为，所以，

．

又，

所以．

18. 设函数.

（1）画出函数图象（画在答题卡上）；

（2）结合图象，试讨论方程根的个数.

【答案】（1）见解析    （2）当时，无根；当或时，有2个根；当时，有3个根；当时，有4个根.

【解析】

【分析】（1）先对化为分段函数，进而画出函数图象；（2）结合函数图象，讨论出方程根的个数.

【小问1详解】

，

图象如下图示：

小问2详解】

由（1）所得函数图象知：

当时，无根；当时，有2个根；

当时，有4个根；当时，有3个根；

当时，有2个根.

综上所述：时无根，或时有2个根，时有3个根，时，有4个根.

19. 已知向量与，其中.

（1）若，求和的值；

（2）若，求的值域.

【答案】（1），.   

（2）

【解析】

【分析】(1)由已知可得，再用同角三角函数的关系即可.

(2)根据向量数量积法则可得，再由正弦型三角函数性质得解.

【小问1详解】

因为，所以，则，

又，所以，所以，.

【小问2详解】

.

因为，则，

所以，则，所以函数的值域为.

20. 已知集合，集合，

（1）若，求和；

（2）若，求实数的取值范围.

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）由，得到，，再利用补集、并集和交集运算求解；

（2）由，得到，分， 求解.

【小问1详解】

解：时，，

所以，

所以

；

【小问2详解】

∵，

，

①若时，，解得，符合题意；

②若时，，解得.

综上可得.

21. 函数（，，）的一段图象如图所示.

（1）求函数的解析式；

（2）将函数的图象向右平移个单位，得到的图象，求函数的单调递增区间.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）由函数的图象得到，求得，得出，再由图象点，求得，求得，即可求解；

（2）根据三角函数的图象变换，求得，结合三角函数的性质，即可求解.

【详解】（1）由函数的图象，可得，可得，

因为，所以，所以，

又因为图象点，可得，

解得，可得，

因为，所以，

所以函数的解析式为.

（2）将的图象向右平移个单位得到的图象，

可得

令，可得，

所以的单调递增区间是.

22. 已知函数是定义在上的函数，恒成立，且

（1）确定函数的解析式；

（2）用定义证明在上是增函数；

（3）解不等式．

【答案】（1）   

（2）证明见解析    （3）

【解析】

【分析】（1）先由函数的奇偶性得到b=0，然后由求解；

（2）利用函数单调性定义证明；

（3）将，转化为，利用单调性求解.

【小问1详解】

解：因为函数，恒成立，

所以，则，

此时，所以，

解得，

所以；

【小问2详解】

证明：设，

则，

，

，且，则，

则，即，

所以函数是增函数．

【小问3详解】

，

，

是定义在上的增函数，

，得，

所以不等式的解集为．