山西省晋中市2021-2022学年高一上学期期末数学试题（解析版）

这是一份山西省晋中市2021-2022学年高一上学期期末数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年1月晋中市高一年级期末调研测试数学试题一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中有且只有一个选项符合题目要求．）1. 300°化为弧度制是（    ）．A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据角度和弧度转化关系，直接求值即可.【详解】根据，得.故选：B.2. 已知集合，集合，实数，则m可能是（    ）．A.  B. -1 C. 1 D. 2【答案】D【解析】【分析】解不等式，再求交集，进而得出m的可能值.【详解】解不等式得，由于，则，则m可能是2．故选：D3. “”是“”（    ）．A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】根据，求得；再根据，求得，即可从充分性和必要性进行判断.【详解】由于时，角的终边可能在第一象限，也可能在第三象限，计算得；同理，当时，，存在两种可能，因此“”是“”的既不充分也不必要条件．故选：.4. 对任意大于0的实数x，y，均满足的函数是（    ）．A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】举反例结合对数的运算判断即可.【详解】对于A，；对于B，；对于C，；对于D，根据对数的运算公式，可得D正确．故选：D5. 下列函数中，既是奇函数，又在上单调递增的函数为（    ）．A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根据基本初等函数的奇偶性、单调性逐项判断即可.【详解】是奇函数，但是减函数，而是增函数，因此是减函数，A不符合题意；的定义域为，不是奇函数，B不符合题意；是定义在R上的奇函数，并且和均是增函数，则也是增函数，C正确；是偶函数，D不符合题意．故选：C6. 已知，则函数的最小值为（    ）．A. 4 B. 6 C. 8 D. 10【答案】B【解析】分析】由题意得，则，然后利用基本不等式可求得结果【详解】由于，则，故当且仅当，即时取到等号，因此的最小值为6．故选：B7. 设，，，则a，b，c的大小关系为（    ）．A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】由对数函数的单调性得出，再结合指数函数的单调性得出大小关系.【详解】由于，并且，则；，即；．故．故选：B8. 如图所示的是函数（）的图像，是图像上任意一点，过点作轴的平行线，交图像于另一点（，可重合）.设线段的长为，则函数的图像是A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【详解】时，时表示递减的一次函数所以选A.点睛：(1)运用函数性质研究函数图像时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.如能求出具体解析式就可简化问题(2)在运用函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去，即将函数值的大小转化自变量大小关系二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9. 若a，b满足，则下列不等式中，一定成立的是（    ）．A.  B.  C.  D. 【答案】ABC【解析】【分析】由题可得，然后利用幂函数、指数函数及正切函数性质即得.【详解】若a，b满足，则，由于，都在上单调递增，则A，C正确；由于在上单调递减，故B正确；而在上不具有单调性，如，故D错误．故选：ABC.10. 下列各组函数中，与是同一函数的有（    ）．A. ，B. C. ，D. ，【答案】BCD【解析】【分析】分别判断定义域以及对应关系即可.【详解】对于A选项，的定义域为，的定义域为，因此这两个函数不是同一函数；对于B，C选项，两个函数定义域相同，，，对应关系相同，因此是同一函数；对于D选项，由于恒成立，因此与是同一函数．故选：BCD11. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，狄利克雷函数就以其名命名，其解析式为为有理数，为无理数），关于函数，下列说法正确的是（    ）．A. 既不是奇函数，也不是偶函数B. ，C. 是周期函数D. ，使得【答案】BCD【解析】【分析】分别讨论为有理数与为无理数时的情况，结合函数奇偶性与周期性的定义对选项逐一判断.【详解】因为有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，所以对，，故是偶函数，故A错误；当为有理数时，，当为无理数时，，当为有理数时，，当为无理数时，，所以恒成立，B正确；若是有理数，是有理数，则是有理数；若是无理数，是有理数，则是无理数，所以任取一个不为0的有理数，恒成立，即是周期函数，故C正确；若，为无理数，则也为无理数，所以，故D正确．故选：BCD12. 已知函数（其中，均为常数）的部分图象如图所示，则等于（    ）．A.  B. C.  D. 【答案】BC【解析】【分析】根据函数图象判断出周期范围进而求出，排除A选项，结合特殊点坐标代入，得到BC选项正确，而D选项错误.【详解】根据图上所标注两点之间的图象，可判断周期，,即，解得：，A错误；B选项，，当时，，当时，，所以，均在函数图象上，符合要求，因此B正确，由于恒成立，故C正确．图象过，D错误．故选：BC三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．请将正确答案填入答题卡中对应的位置．）13. 已知，则______．【答案】9【解析】【分析】根据对数的运算结合解析式得出函数值.【详解】故答案为：14. 已知，若，则______．【答案】【解析】【分析】由为奇函数得出.【详解】由于，即，故，令，则，即在定义域内是奇函数，满足，则，故．故答案为：15. _______.【答案】2【解析】【详解】试题分析：.考点：1、诱导公式；2、倍角公式.16. 某网络购物平台每年11月11日举行“双十一”购物节，今年推出的促销项目为“跨店购买每满200元，可减20元”，比如某商品总价为450元（满400元），则可减40元，最终实付款额为410元，若某购物者持有500元的预算，打算在双十一活动中购买生活用品，则他最终的实付款额y关于商品总价x的函数是一个分段函数，该函数解析式为______．（实付款额＝商品总价－跨店满减额），若该购物者最终实付款额为370元，则他所购买的商品总价为______元．【答案】    ①     ②. 390或410【解析】【分析】（1）根据题中的付款规则，对的取值进行分类讨论，即可求得函数关系式；（2）根据第一空中所求的函数关系，令，即可求得对应的.【详解】由题意可知，当元时，没有活动可参加，实付款额和商品总价相同；当时，跨店满减额为20元，因此；当商品总价为元时，跨店满减额为40元，因此，故实付款额y关于商品总价x的函数关系式为，当元时，若，则，得（元）；若，则，得（元），因此他购买的商品总价为390元或410元．故答案为：；390或410.四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. （1）求值：；（2）已知，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用指数和对数的运算性质求解，（2）利用诱导公式化简后再代值求解【详解】解：（1）原式．（2）因为，所以．18. 已知集合A为函数的定义域，集合，．（1）用区间表示集合A；（2）从下面的三个条件中任选其中一个：①；②；③，求解实数a的取值范围．【答案】（1）    （2）选①，；选②，；选③，【解析】【分析】（1）根据被开方数的范围得出定义域；（2）根据交集和包含关系得出实数a的取值范围．【小问1详解】根据被开方数的范围得，解得，用区间表示；【小问2详解】（2）由于．若选①，，则只需，则；若选②，，则只需，得，则；若选③，，只需，则．19. 已知是定义在上的奇函数，当时，（1）求的解析式；（2）求不等式的解集.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）当时，，利用，结合条件及可得解；（2）分析可得在上递增，进而得，从而得解.【详解】（1）当时，，则，为上的奇函数，且，；（2）因为当时，，所以在上递增，当时，，所以在上递增，所以在上递增，因为，所以由可得，所以不等式的解集为20. 已知，．（1）求的值；（2）若，请比较与的大小关系，并给出证明．【答案】（1）；    （2），证明见解析.【解析】【分析】（1）求得，再求结果即可；（2）根据题意，由基本不等式，即可判断和证明.【小问1详解】由于，则，，又，则.【小问2详解】，证明如下：根据题意有，，根据基本不等式，得，当且仅当时，取到等号，又，故．21. 如图，已知面积为的扇形，半径为，是弧上任意一点，作矩形内接于该扇形．（1）求扇形圆心角的大小；（2）点在什么位置时，矩形的面积最大？并说明理由．【答案】（1）；    （2）点是弧的中点时，矩形的面积最大，最大为.【解析】【分析】（1）利用扇形的面积公式可求得的大小；（2）连接，设，将、用的代数式表示，利用三角恒等变换化简矩形面积的表达式，利用正弦型函数的有界性可求得矩形面积的最大值及其对应的值，即可得出结论.【小问1详解】解：设，根据扇形面积公式可得，得.【小问2详解】解：连接，设，则，，在中，，则，于是矩形的面积，由于，则，当，即当时，矩形的面积最大，最大为，此时点是弧的中点．因此，当点是弧的中点时，矩形的面积最大，最大为.22. 2021年5月，“共和国勋章”获得者、“杂交水稻之父”袁隆平先生辞世，他的功绩将永远被人们铭记：在他和几代科学家的共同努力下，中国用全世界7%的耕地，养活了全世界22%的人口．目前，我国年人均粮食占有量已经稳定在470千克以上，远高于国际公认的400千克粮食安全线．某校数学建模小组的同学想研究假如没有杂交水稻的推广，没有合理的人口、土地政策，仅以新中国成立时的自然条件为前提，我国年人均粮食占有量会如何变化？根据英国经济学家马尔萨斯《人口论》的观点“人口呈几何级数增长，而生活资料呈直线型增长”，该小组同学做了以下研究．根据马尔萨斯的理论，自然状态下人口增长模型为 ①（其中表示经过的时间，表示时的人口数，表示人口的年平均增长率，表示年后的人口数，单位：万人）．根据国家统计局网站的数据，我国1950年末、1959年末的人口总数分别为55196万和67207万．该小组同学根据这两个数据，以1950年末的数据作为时的人口数，求得①式人口增长模型．经检验，1950~1959年的实际人口数与此模型基本吻合，如图．（1）若你是该小组成员，请求出①式的人口增长模型，并以该模型计算从1950年末开始，大约多少年后我国人口达到13亿？（年数取不小于的最小整数）（2）根据马尔萨斯的理论，该小组同学把自然状态下粮食增长模型近似看作直线型模型，通过查阅我国1950年末至1959年末粮食产量，得到粮食增长模型近似为（其中表示经过的时间，表示第年的粮食年产量，单位：万吨）．（）表示从1950年末开始第年的年人均粮食占有量，单位：吨/人．（ⅰ）求满足的正整数的最小值；（ⅱ）按此模型，我国年人均粮食占有量能达到400千克吗？试说明理由．参考数据：，，，．【答案】（1）40，（2）（ⅰ）24，（ⅱ）按此模型，我国年人均粮食占有量不能达到400千克【解析】【分析】（1）由题意得，两边取自然对数求出，所以，然后代入求出的值；（2）（ⅰ）由题意得，解不等式可得答案，（ⅱ）由（ⅰ）可知当时，，然后求出的值与400千克比较可得结论【详解】解：（1）由题意可得，则，，所以，所以，所以，当时，，所以，，所以所以大约40年后我国人口达到13亿，（2）（ⅰ）由，得，所以，化简得，即，解得，因为为正整数，所以正整数的最小值为24，（ⅱ）由（ⅰ）当时，，所以当时，最大，，即，所以按此模型，我国年人均粮食占有量不能达到400千克