山东省日照市2021-2022学年高一上学期期末数学试题

这是一份山东省日照市2021-2022学年高一上学期期末数学试题，共19页。试卷主要包含了单项选择题，选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021级高一上学期期末校际联合考试数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知全集，集合，，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】先求出，进而求出.【详解】，故故选：B2. 函数的定义域为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据偶次根式被开方数非负，对数的真数大于零可得出关于实数的不等式，进而可求得原函数的定义域.【详解】对于函数，有，解得.因此，函数的定义域为.故选：B.【点睛】本题考查具体函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题.3. 已知命题，，那么命题p的否定是（    ）A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】C【解析】【分析】命题是特称命题，其否定为全称命题，需修改量词，否定原命题的结论，即可得到命题的否定.【详解】解：命题，的否定是：，.故选：C4. 已知，，，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根据指对数函数的性质判断a、b、c的大小.【详解】由，所以.故选：A5. Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（    ）（ln19≈3）A. 60 B. 63 C. 66 D. 69【答案】C【解析】【分析】将代入函数结合求得即可得解.【详解】，所以，则，所以，，解得.故选：C.【点睛】本题考查对数运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.6. 函数的图象大致是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】先根据函数的奇偶性排除B，再根据时函数值的符号排除D，最后结合趋近于时函数值的范围求解即可.【详解】解：函数的定义域为，，所以函数为奇函数，图像关于原点对称，排除B选项，因为当时，，所以当时，，时，，故排除D，当趋近于时，由于指数呈爆炸型增长，故函数值趋近于，故排除A选项，故选：C7. 已知且，函数，满足时，恒有成立，那么实数a的取值范围（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】由题可知函数在区间R上为增函数，则f(x)在x＝1左右两侧均为增函数，且左侧在x＝1出函数值小于或等于右侧在x＝1出函数值.【详解】由题可知函数在区间R上为增函数，则，解可得.故选：D.8. 函数的图象关于原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，则的对称中心为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意设函数的对称中心为点，进而结合为奇函数得，再解方程即可得答案.【详解】解：由题设函数的对称中心为点，则，所以，即，因为，所以，，所以恒成立，所以，解得，所以函数的对称中心为点故选：C二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9. 下列结论正确的是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】BC【解析】【分析】根式的运算及根式与指数互化判断A、B；应用对数的运算性质判断C、D.【详解】A：，故错误；B：，故正确；C：，故正确；D：，故错误.故选：BC.10. 从装有2个红球和2个白球的口袋中任取2个球，下列选项互为互斥事件的是（    ）A. 至少有一个白球和全是白球 B. 至少有一个白球和全是红球C. 恰有一个白球和恰有2个白球 D. 至少有一个白球和至少有一个红球【答案】BC【解析】【分析】需要区分互斥事件与对立事件的区别，再结合发生事件的特点逐一判断即可．【详解】互斥事件不一定是对立事件，可类比为集合中互无交集的几个子集，而对立事件一定是互斥事件且满足两事件概率之和为1；对A：至少有一个白球包括：一个红球一个白球和两个白球两种情况，全是白球指的是：两个白球，显然两个事件不是互斥事件，不符合题意；对B：至少一个白球包括：一红一白和两个白球，显然至少有1个白球和全是红球是互斥事件和对立事件，符合题意；对C：恰有1个白球和恰有两个白球显然互斥事件，但不是对立事件，事件还包括：恰有两个红球，符合题意；对D：至少一个白球包括：一红一白和两个白球，至少一个红球包括：一红一白和两个红球，两事件不互斥，不符合题意；故选：BC11. 下列说法中，正确的有（    ）A. 若，则B. 若，则C. 若对，恒成立，则实数m的最大值为2D. 若，， ，则的最小值为4【答案】ACD【解析】【分析】根据不等式性质可以说明A正确；利用中间值验证B错误；利用基本不等式加上恒成立可以说明C正确；巧用“”可以说明D正确.【详解】，，左右两边同时乘以得，故A正确； ，故B错误；，，要使恒成立，则，故实数m的最大值为2，故C正确；，，，故的最小值为4，故D正确.故选：ACD.12. 中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美，定义：圆O的圆心在原点，若函数的图像将圆O的周长和面积同时等分成两部分，则这个函数称为圆O的一个“太极函数”，则（    ）A. 对于圆O，其“太极函数”有1个B. 函数是圆O的一个“太极函数”C. 函数不是圆O的“太极函数”D. 函数是圆O的一个“太极函数”【答案】BD【解析】【分析】根据题意，只需判断所给函数的奇偶性即可得答案.【详解】解：对于A选项，圆O，其“太极函数”不止1个，故错误；对于B选项，由于函数，当时，，当时，，故为奇函数，故根据对称性可知函数为圆O的一个“太极函数”，故正确；对于C选项，函数定义域为，，也是奇函数，故为圆O的一个“太极函数”，故错误；对于D选项， 函数定义域为，，故为奇函数，故函数是圆O的一个“太极函数”，故正确.故选：BD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 若函数且的图象恒过定点A，则A坐标为______．【答案】【解析】【分析】令，函数值是一个定值，与参数a无关，即可得到定点.【详解】令，则，，所以函数图象恒过定点为.故答案为：14. 某样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3．若该样本的平均数为1,则样本方差为_______．【答案】2【解析】【分析】先由数据的平均数公式求得，再根据方差的公式计算．【详解】解：由题可知样本的平均值为1，，解得，样本的方差为．故答案为2.【点睛】本题考查一组数据的平均数公式、方差公式，属于基础题．15. 如图，在平面直角坐标系中，已知曲线、、依次为，，的图像，其中为常数，，点是曲线上位于第一象限的点，过分别作轴、轴的平行线交曲线分别于点、，过点作轴的平行线交曲线于点，若四边形为矩形，则的值是________.【答案】【解析】【分析】设点，其中，可求出点、的坐标，进一步求出点的坐标，再将点的坐标代入函数的解析式可求出实数的值.【详解】设点，其中，设点、，则，解得，所以，点、，则点的坐标为，将点的坐标代入函数的解析式，得，，解得.故答案为.【点睛】本题考查对数的运算，解题的关键就是由点的坐标计算出点的坐标，考查计算能力，属于中等题.16. 已知函数，若存在实数a，，使在上的值域为，则实数m的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】由题设，将问题转化为与在上有两个交点，进而构造，研究其在上有两个零点的情况下的取值范围即可.【详解】由题设，为增函数且定义域为，要使在上的值域为，∴，易知：，∴与在上有两个交点，即在上有两个根且恒成立即，∴对于，有，可得，故答案为：四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 已知集合，．（1）当时，求集合B与；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【答案】（1），；    （2）.【解析】【分析】（1）解分式不等式求集合B，再由集合的交运算求.（2）由题设可知，结合已知列不等式求参数a的范围.【小问1详解】由，则或，得．当时，集合，所以；【小问2详解】若“”是“”的充分不必要条件，则，又，所以，解得，即实数a的取值范围是．18. 已知函数．（1）求函数的定义域，并判断函数的奇偶性；（2）解关于x的不等式．【答案】（1），奇函数    （2）【解析】【分析】（1）根据对数函数的性质可求得定义域；根据函数奇偶性的定义可判断函数的奇偶性；（2）将化为，再利用函数的单调性得到，解不等式结合函数的定义域可得答案.【小问1详解】由，得函数的定义域为，定义域关于原点对称，又,所以函数奇函数；【小问2详解】因为，所以不等式可化为，因为在是增函数，所以有，又，所以，解得，又，因此不等式的解集为．19. 已知函数.（1）若，求不等式的解集；（2）已知在上单调递增，求的取值范围；（3）求在上的最小值.【答案】（1）    （2）    （3）【解析】【分析】（1）当时，得到函数，结合一元二次不等式的解法，即可求解不等式的解集；（2）结合二次函数的图象与性质，即可求解；（3）根据二次函数的图象与性质，分、和，三种情况讨论，即可求解.【小问1详解】解：当时，函数，不等式，即，解得或，即不等式的解集为.【小问2详解】解：由函数，可得的图象开口向上，且对称轴为，要使得上单调递增，则满足，所以的取值范围为.【小问3详解】解：由函数，可得的图象开口向上，且对称轴为，当时，函数在上单调递增，所以最小值为；当时，函数在递减，在上递增，所以最小值为；当时，函数在上单调递减，所以最小值为，综上可得，在上的最小值为.20. 某学校高一学生学习兴趣小组为了了解某种产品的挥发性物质含量，从该产品中随机抽取100个，测量其挥发性物质含量，得到如下频率分布直方图（单位：‰），产品的挥发性物质含量落入各组的频率视为概率．（1）若这100个产品的挥发性物质含量的平均值大于16，则需进行技术改进，试问该产品是否需要技术改进？（同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替）（2）用分层抽样的方法从挥发性物质含量落在，内的产品中抽取6个产品进行分析，求这6个产品中有2个产品的挥发性物质含量落在内的概率．【答案】（1）需要进行技术改进    （2）【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图计算平均数估计即可得答案；（2）根据分层抽样得从组中抽取个，从组中抽取个，进而根据古典概型列举基本事件求解即可.【小问1详解】解：根据题意：故该产品需要进行技术改进；【小问2详解】解：组的产品的个数为，组的产品的个数，所以从组中抽取个，从组中抽取个，记组中抽取的5个分别为a，b，c，d，e，组中抽取的一个为f，则从6个中抽取2个的所有情况如下：，，，，，，，，，，，，，，共15种情况，其中在中恰有2个的有，，，，，，，，，共10种情况，所以所求的概率．21. 已知函数（a＞0且）是偶函数，函数（a＞0且）．（1）求b的值；（2）若函数有零点，求a的取值范围；（3）当a＝2时，若，使得恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）    （2）    （3）【解析】【分析】（1）根据f（x）为偶函数，由f（－x）＝－f（x），即对恒成立求解；（2）由有零点，转化为有解，令，转化为函数y＝p（x）图象与直线y＝a有交点求解；（3）根据，使得成立，由求解.【小问1详解】解：因为f（x）为偶函数，所以，都有f（－x）＝－f（x），即对恒成立，对恒成立，对恒成立，所以．【小问2详解】因为有零点即有解，即有解．令，则函数y＝p（x）图象与直线y＝a有交点，当0＜a＜1时，无解；当a＞1时，在上单调递减，且，所以在上单调递减，值域为．由有解，可得a＞0，此时a＞1，综上可知，a的取值范围是；【小问3详解】，当时，，由（2）知，当且仅当时取等号，所以的最小值为1，因为，使得成立，所有，即对任意恒成立，设，所以当t＞1时，恒成立，即，对t＞1恒成立，设函数在单调递减，所以，所以m≥0，即实数m的取值范围为．22. “春节”期间，某商场进行如下的优惠促销活动：优惠方案1：一次购买商品的价格，每满60元立减5元；优惠方案2：在优惠1之后，再每满400元立减40元．例如，一次购买商品的价格为130元，则实际支付额元，其中表示不大于x的最大整数．又如，一次购买商品的价格为860元，则实际支付额元．（1）小明计划在该商场购买两件价格分别是250元和650元的商品，他是分两次支付好，还是一次支付好？请说明理由；（2）已知某商品是小明常用必需品，其价格为30元/件，小明趁商场促销，想多购买几件该商品，其预算不超过500元，试求他应购买多少件该商品，才能使其平均价格最低？最低平均价格是多少？【答案】（1）一次支付好，理由见解析    （2）购买15件或16件时，该生活日用品的平均价格最低，最低平均价格为25元/件【解析】【分析】（1）计算两种支付方式的支付额，比较可得答案；（2）先确定在优惠条件下最多可以购买的件数，然后依据优惠方案2进行分类讨论，比较每种情况下的平均价格，可得答案.【小问1详解】分两次支付：支付额为元;一次支付：支付额为元,因为，所以一次支付好；【小问2详解】设购买件，平均价格为y元/件．由于预算不超过500元，但算上优惠，最多购买19件，当时，不能享受每满400元再减40元的优惠当时，，，当时，，；当时，，．所以当时，购买偶数件时，平均价格最低，为27.5元/件．当时，能享受每满400元再减40元的优惠当时，，当，时，;当时，，y随着n的增大而增大，所以当，时，．综上，购买15件或16件时，该生活日用品的平均价格最低，最低平均价格为25元/件．