


四川省泸州市2021-2022学年高一上学期期末数学试题
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这是一份四川省泸州市2021-2022学年高一上学期期末数学试题,共16页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
泸州市高2021级高一上学期末统一考试数学第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题:本大题共有12个小题,每小题5分,共60分.每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.1 已知,,则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据补集的定义,直接计算即得.【详解】集合,,根据集合的补集,可知.故选:B.2. 已知幂函数经过点,则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析】把点代入幂函数解析式,即可确定幂函数,再去求解即可解决.【详解】设幂函数,则有,可得故,则故选:C3. 函数(且)的图象恒过定点( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据过定点,即得.【详解】因为在函数中,当时,恒有 ,函数的图象恒过定点.故选:B.4. 神学家阿奎那说:“愉快的感觉来自恰当的比例”,当折扇的张角为时给人们带来好的视觉效果.现有一张角为,半径为4的扇形,则该扇形的面积为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据扇形面积公式即可求解.【详解】由题意得,扇形的面积为.故选:C.5. ( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据诱导公式即可求得答案.【详解】.故选:A.6. 下列函数中,既是奇函数又是减函数的是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据奇函数的定义,结合函数的单调性进行判断即可.【详解】A:因为,,不是奇函数,不符合题意;B:设,因为,,所以该函数为奇函数,且在上是减函数,符合题意;C:设,因为,所以该函数是奇函数,当时,,显然此时二次函数单调递增;当时,,显然此时二次函数单调递增,因此函数是实数集上的增函数,不符合题意;D: 因为,函数,为偶函数,不符合题意.故选:B.7. 已知函数,则函数的图象大致为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意,结合的定义域,再代入特殊值判断即可.【详解】由题意得,,故,因此的定义域为,因此AB错误,当时,,故C错误,因此选D.故选:D.8. 已知单位向量,,则下列说法正确的是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用向量的有关概念及单位向量的定义依次判断即得.【详解】对于A,向量,为单位向量,向量,的方向不一定相同,A错误;对于B,向量,为单位向量,但向量, 不一定为相反向量,B错误;对于C,向量,为单位向量,则,C正确;对于D,向量,为单位向量,向量,的方向不一定相同或相反,即与不一定平行,D错误.故选:C.9. 已知第三象限角的顶点与原点重合,始边与轴的非负半轴重合,终边与单位圆交于点,则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据任意角三角函数的定义即可求解.【详解】由题意得,,解得,又为第三象限角,所以,故,所以,故选:D.10. 已知函数的部分图象如图所示,则( )A. , B. ,C. , D. ,【答案】A【解析】【分析】根据函数的最大值为2求出A,然后由间的距离求出周期,进而求出,最后根据最值点求出.【详解】根据函数的图象,A=2,,所以,根据函数在处取得最大值可知,.故选:A.11. 函数在上的值域为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意求出上的解析式,由得,然后由得 ,可得此时的,根据,得到的范围,再根据已知条件计算出可得答案.【详解】当时,,当时,,此时,故,所以,当时,,此时,故,所以;因为,所以,,所以,,当时,,综上所述,当时,.故选:C.12. 已知实数,,满足(其中为自然对数的底数),则下列关系中不可能成立的是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据指数函数、对数函数图象,作出不同的,分析即可得答案.【详解】由题意得,且.分别作出的图象,如图,易得的图象关于直线对称,直线与图象的交点的横坐标分别为,数形结合可得,,均可能成立,不可能成立,故选:A【点睛】解题的关键是熟练掌握指数函数、对数函数的图象与性质,作图求解,考查数形结合的能力,属中档题.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分.13. 若函数的最小正周期为,则的值为______.【答案】1【解析】【分析】代入正切型函数的最小正周期公式即可解决.【详解】由函数的最小正周期为,可知,得故答案为:114. 已知向量,,,若,则______.【答案】2【解析】【分析】先求出的坐标,再根据向量平行的坐标运算求得答案.【详解】由题意,,因为,所以.故答案为:2.15. 若函数是上的偶函数,则的值为______.【答案】【解析】【分析】根据偶函数的定义域的对称性得到a的值,进一步根据偶函数的定义和函数的解析式得到b的值,即得.【详解】函数是定义在上的偶函数,,即.,,,∴,故答案为:.16. 已知函数在上单调递减,则的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】由的单调递减区间包含可计算 的取值范围.【详解】 在 上单调递减令 得 令得 故答案:三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 计算:.【答案】2【解析】【分析】利用根式的性质和指数幂的运算和对数运算求解.【详解】,,.18. 已知集合,集合.(1)求;(2)若集合,且,求实数的取值范围.【答案】(1)R (2)【解析】【分析】(1)先求出,,进而求出;(2)集合的端点值大小比较,求出实数的取值范围.【小问1详解】恒成立,所以,故,,所以;【小问2详解】易知,因为,所以要满足或,解得:或,实数的取值范围为.19. 如图,在△中,为中线上一点,且,过点的直线与边,分别交于点,.(1)用向量,表示;(2)设向量,,求的值.【答案】(1); (2).【解析】【分析】(1)根据,结合向量的线性运算,再用,表达即可;(2)用,表达,结合三点共线即可求得.【小问1详解】∵为中线上一点,且,∴;【小问2详解】∵,,,∴,又,,三点共线,∴,解得,故的值为.20. 已知函数的两个相邻零点之间的距离为.已知下列条件:①函数的图象关于直线对称②函数为奇函数.请从条件①,条件②中选择一个作为已知条件作答.(1)求函数的解析式;(2)将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),得到函数的图象,当,,且,恒有,求实数的取值范围.(注:如果选择条件①,条件②分别解答,则按第一个解答计分)【答案】(1); (2).【解析】【分析】(1)由题可得,若选①利用正弦函数的性质可得,即求,若选②利用奇函数及正弦函数的性质可得,即得;(2)利用图象变换可得,根据条件可得在上有两个不等根,利用数形结合即得.【小问1详解】∵函数的两个相邻零点之间的距离为,∴函数的最小正周期,即,∴,,如果选择条件①,由函数的图象关于直线对称可得,,又,∴,∴;如果选择条件②,函数为奇函数,即为奇函数,∴,又,∴,∴;【小问2详解】∵,∴,∵当,,且,恒有,所以在上有两个不等根,由,可得,令,则在上有两个不等根,作函数,的图象,则由图可得,故实数的取值范围为.21. 2021年10月16日.神舟十三号载人飞船在长征二号遥十三运载火箭的托举下点火升空,创造了中国航天太空驻留时长的新纪录.我国在航天领域取得的巨大成就,得益于我国先进的运载火箭技术.根据火箭理想速度公式,可以计算理想状态下火箭的最大速度,其中是喷流相对速度,是火箭(除推进剂外)的质量是推进剂与火箭质量的综合,称为“总质比”,已知型火箭喷流相对速度为.(1)当总质比为50时,求型火箭的最大速度(保留整数);(2)经过材料更新和技术改进后,型火箭的喷流相对速度提高到原来的2倍,总质比变为原来的,若要使火箭的最大速度至少增加,求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值.(参考数据:,,).【答案】(1)3129 (2)68【解析】【分析】(1)根据总质比为50,代入求解; (2)易知经过材料更新和技术改进后,型火箭的喷流相对速度为,总质比为,然后由求解.【小问1详解】解:当总质比为50时,型火箭的最大速度为:;【小问2详解】经过材料更新和技术改进后,型火箭的喷流相对速度为,总质比为,要使火箭的最大速度至少增加,则,即 ,即 ,即 ,所以,所以在材料更新和技术改进前总质比最小整数值是68.22. 已知函数.(1)探究在上的单调性,并用单调性的定义证明;(2)判断方程是否存在实根?若存在,设此根为,请求出一个长度为的区间,使;若不存在,请说明理由.(注:区间的长度为)【答案】(1)函数在上减函数,证明见解析; (2)存在,且满足条件的一个区间为.【解析】【分析】(1)判断出函数在上为减函数,任取、且,作差,因式分解后判断的符号,由此可证得结论成立;(2)分析可得,构造函数,求出函数的定义域,分析函数的单调性,利用二分法可求得的零点所在的一个区间,且满足.【小问1详解】解:,则函数在上为减函数,证明如下:任取、且,则,因为,则,即,故函数在上为减函数.【小问2详解】解:由,可知,即,解得,即,可得,构造函数,由(1)可知,函数在上为减函数,而函数为定义域上的增函数,则函数在上为增函数,又因为函数在上也为增函数,故函数在上为增函数,因为,,由零点存在定理可知,函数在区间上存在零点,且零点记为,,即,,故,,故,且区间的长度为.故满足条件的一个区间为.
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