四川省泸州市2021-2022学年高一上学期期末数学试题

这是一份四川省泸州市2021-2022学年高一上学期期末数学试题，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
泸州市高2021级高一上学期末统一考试数学第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共有12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1 已知，，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据补集的定义，直接计算即得.【详解】集合，，根据集合的补集，可知.故选：B.2. 已知幂函数经过点，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】分析】把点代入幂函数解析式，即可确定幂函数，再去求解即可解决.【详解】设幂函数，则有，可得故，则故选：C3. 函数（且）的图象恒过定点（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据过定点，即得.【详解】因为在函数中，当时，恒有 ,函数的图象恒过定点.故选：B.4. 神学家阿奎那说：“愉快的感觉来自恰当的比例”，当折扇的张角为时给人们带来好的视觉效果.现有一张角为，半径为4的扇形，则该扇形的面积为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根据扇形面积公式即可求解.【详解】由题意得，扇形的面积为.故选：C.5. （    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根据诱导公式即可求得答案.【详解】.故选：A.6. 下列函数中，既是奇函数又是减函数的是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据奇函数的定义，结合函数的单调性进行判断即可.【详解】A：因为，，不是奇函数，不符合题意；B：设，因为，，所以该函数为奇函数，且在上是减函数，符合题意；C：设，因为，所以该函数是奇函数，当时，，显然此时二次函数单调递增；当时，，显然此时二次函数单调递增，因此函数是实数集上的增函数，不符合题意；D： 因为，函数，为偶函数，不符合题意.故选：B.7. 已知函数，则函数的图象大致为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意，结合的定义域，再代入特殊值判断即可.【详解】由题意得，，故，因此的定义域为，因此AB错误，当时，，故C错误，因此选D.故选：D.8. 已知单位向量，，则下列说法正确的是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】利用向量的有关概念及单位向量的定义依次判断即得.【详解】对于A，向量，为单位向量，向量，的方向不一定相同，A错误；对于B，向量，为单位向量，但向量， 不一定为相反向量，B错误；对于C，向量，为单位向量，则，C正确；对于D，向量，为单位向量，向量，的方向不一定相同或相反，即与不一定平行，D错误.故选：C.9. 已知第三象限角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根据任意角三角函数的定义即可求解.【详解】由题意得，，解得，又为第三象限角，所以，故，所以，故选：D.10. 已知函数的部分图象如图所示，则（    ）A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】A【解析】【分析】根据函数的最大值为2求出A，然后由间的距离求出周期，进而求出，最后根据最值点求出.【详解】根据函数的图象，A=2，，所以，根据函数在处取得最大值可知，.故选：A.11. 函数在上的值域为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意求出上的解析式，由得，然后由得 ，可得此时的，根据，得到的范围，再根据已知条件计算出可得答案.【详解】当时，，当时，，此时，故，所以，当时，，此时，故，所以；因为，所以，，所以，，当时，，综上所述，当时，.故选：C.12. 已知实数，，满足（其中为自然对数的底数），则下列关系中不可能成立的是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根据指数函数、对数函数图象，作出不同的，分析即可得答案.【详解】由题意得，且.分别作出的图象，如图，易得的图象关于直线对称，直线与图象的交点的横坐标分别为，数形结合可得，，均可能成立，不可能成立，故选：A【点睛】解题的关键是熟练掌握指数函数、对数函数的图象与性质，作图求解，考查数形结合的能力，属中档题.第Ⅱ卷（非选择题    共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13. 若函数的最小正周期为，则的值为______.【答案】1【解析】【分析】代入正切型函数的最小正周期公式即可解决.【详解】由函数的最小正周期为，可知，得故答案为：114. 已知向量，，，若，则______.【答案】2【解析】【分析】先求出的坐标，再根据向量平行的坐标运算求得答案.【详解】由题意，，因为，所以.故答案为：2.15. 若函数是上的偶函数，则的值为______.【答案】【解析】【分析】根据偶函数的定义域的对称性得到a的值，进一步根据偶函数的定义和函数的解析式得到b的值，即得.【详解】函数是定义在上的偶函数，，即．，，，∴,故答案为：.16. 已知函数在上单调递减，则的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】由的单调递减区间包含可计算 的取值范围.【详解】 在 上单调递减令 得 令得 故答案：三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 计算：.【答案】2【解析】【分析】利用根式的性质和指数幂的运算和对数运算求解.【详解】，，.18. 已知集合，集合.（1）求；（2）若集合，且，求实数的取值范围.【答案】（1）R    （2）【解析】【分析】（1）先求出，，进而求出；（2）集合的端点值大小比较，求出实数的取值范围.【小问1详解】恒成立，所以，故，，所以；【小问2详解】易知，因为，所以要满足或，解得：或，实数的取值范围为.19. 如图，在△中，为中线上一点，且，过点的直线与边，分别交于点，.（1）用向量，表示；（2）设向量，，求的值.【答案】（1）；    （2）.【解析】【分析】（1）根据，结合向量的线性运算，再用，表达即可；（2）用，表达，结合三点共线即可求得.【小问1详解】∵为中线上一点，且，∴；【小问2详解】∵，，，∴，又，，三点共线，∴，解得，故的值为.20. 已知函数的两个相邻零点之间的距离为.已知下列条件：①函数的图象关于直线对称②函数为奇函数.请从条件①，条件②中选择一个作为已知条件作答.（1）求函数的解析式；（2）将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，当，，且，恒有，求实数的取值范围.（注：如果选择条件①，条件②分别解答，则按第一个解答计分）【答案】（1）；    （2）.【解析】【分析】（1）由题可得，若选①利用正弦函数的性质可得，即求，若选②利用奇函数及正弦函数的性质可得，即得；（2）利用图象变换可得，根据条件可得在上有两个不等根，利用数形结合即得.【小问1详解】∵函数的两个相邻零点之间的距离为，∴函数的最小正周期，即，∴，，如果选择条件①，由函数的图象关于直线对称可得，，又，∴，∴；如果选择条件②，函数为奇函数，即为奇函数，∴，又，∴，∴；【小问2详解】∵，∴，∵当，，且，恒有，所以在上有两个不等根，由，可得，令，则在上有两个不等根，作函数，的图象，则由图可得，故实数的取值范围为.21. 2021年10月16日.神舟十三号载人飞船在长征二号遥十三运载火箭的托举下点火升空，创造了中国航天太空驻留时长的新纪录.我国在航天领域取得的巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术.根据火箭理想速度公式，可以计算理想状态下火箭的最大速度，其中是喷流相对速度，是火箭（除推进剂外）的质量是推进剂与火箭质量的综合，称为“总质比”，已知型火箭喷流相对速度为.（1）当总质比为50时，求型火箭的最大速度（保留整数）；（2）经过材料更新和技术改进后，型火箭的喷流相对速度提高到原来的2倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度至少增加，求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值.（参考数据：，，）.【答案】（1）3129    （2）68【解析】【分析】（1）根据总质比为50，代入求解； （2）易知经过材料更新和技术改进后，型火箭的喷流相对速度为，总质比为，然后由求解.【小问1详解】解：当总质比为50时，型火箭的最大速度为：；【小问2详解】经过材料更新和技术改进后，型火箭的喷流相对速度为，总质比为，要使火箭的最大速度至少增加，则，即 ，即 ，即 ，所以，所以在材料更新和技术改进前总质比最小整数值是68.22. 已知函数.（1）探究在上的单调性，并用单调性的定义证明；（2）判断方程是否存在实根？若存在，设此根为，请求出一个长度为的区间，使；若不存在，请说明理由.（注：区间的长度为）【答案】（1）函数在上减函数，证明见解析；    （2）存在，且满足条件的一个区间为.【解析】【分析】（1）判断出函数在上为减函数，任取、且，作差，因式分解后判断的符号，由此可证得结论成立；（2）分析可得，构造函数，求出函数的定义域，分析函数的单调性，利用二分法可求得的零点所在的一个区间，且满足.【小问1详解】解：，则函数在上为减函数，证明如下：任取、且，则，因为，则，即，故函数在上为减函数.【小问2详解】解：由，可知，即，解得，即，可得，构造函数，由（1）可知，函数在上为减函数，而函数为定义域上的增函数，则函数在上为增函数，又因为函数在上也为增函数，故函数在上为增函数，因为，，由零点存在定理可知，函数在区间上存在零点，且零点记为，，即，，故，，故，且区间的长度为.故满足条件的一个区间为.