天津市河东区2021-2022学年高一上学期期末数学试题

这是一份天津市河东区2021-2022学年高一上学期期末数学试题，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共8个小题，每小题4分，满分32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确结论的代号填在下表内．
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查特殊角的三角函数值.
【详解】，
故选：C.
2. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用诱导公式计算可得；
【详解】解：因为，所以，所以，所以；
故选：B
3. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先判断函数的奇偶性，再根据特殊值计算可得；
【详解】解：因为，所以
由于，所以函数不是偶函数，排除C，D选项.
当时，，排除B选项，
故选：A.
4. 已知，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据指数函数、对数函数的性质计算可得；
【详解】解：因为，即，即，，即，
所以；
故选：C
5. 函数的一个零点所在的区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据零点存在性定理，计算出区间端点的函数值即可判断；
【详解】解：因为，在上是连续函数，且，即在上单调递增，
，，，
所以在上存在一个零点.
故选：.
【点睛】本题考查函数的零点的范围，注意运用零点存在定理，考查运算能力，属于基础题．
6. 要得到函数的图象，只需将的图象（ ）
A. 向左平移长度B. 向右平移长度
C. 向左平移长度D. 向右平移长度
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角函数的平移原则，由题中条件，可直接得出结果.
【详解】因为，
因此要得到函数的图象，只需将的图象向右平移单位.
故选：D.
【点睛】本题主要考查描述三角函数的平移过程，属于基础题型.
7. 被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：，其中为最大数据传输速率，单位为；为信道带宽，单位为Hz；为信噪比. 香农公式在5G技术中发挥着举足轻重的作用.当，时，最大数据传输速率记为；当，时，最大数据传输速率记为，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据定义，代入数据分别求和，再根据换底公式计算的值.
【详解】由条件可知，
，
.
故选：D
8. 已知函数，若关于的方程有8个不等的实数根，则的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】画出函数的图象，利用函数的图象，判断的范围，然后利用二次函数的性质求解的范围．
【详解】解：函数，的图象如图：
关于的方程有8个不等的实数根，必须有两个不相等的实数根且两根位于之间，由函数图象可知，．令，
方程化为：，，
，开口向下，对称轴为：，
可知：的最大值为：，
最小值为：2．
．
故选：．
【点睛】本题考查函数与方程的应用，函数的零点个数的判断与应用，考查数形结合以及计算能力，属于中档题．
二、填空题：本大共6个小题，每小题4分，满分24分．请将答案填在题中横线上．
9. 已知在半径为4的圆上，有一条弧所对的圆心角的弧度数为3，则这条弧的弧长为___.
【答案】12
【解析】
【分析】由弧长公式直接求解即可．
【详解】由题可得这条弧的弧长为．
故答案：12
10. 函数的定义域是________________.
【答案】 ，
【解析】
【详解】试题分析：根据题意由于有意义，则可知 ，结合正弦函数的性质可知，函数定义域， ，故可知答案为， ，
考点：三角函数的性质
点评：主要是考查了三角函数的性质的运用，属于基础题．
11. 若，则__________．
【答案】0.3##
【解析】
【详解】原式，分子分母同时除以得到.
12. 已知函数，则的值为__________．
【答案】1.
【解析】
【分析】根据指数、对数的运算算出答案即可.
【详解】因为
所以，
所以
故答案为：1
13. 已知，且，，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】
先判断的范围，然后计算，，利用角的配凑展开计算即可.
【详解】因为，，所以，又因为，所以，故，，
故答案为：
14. 已知函数满足，，且在区间上单调，则的最大值为_________.
【答案】
【解析】
【分析】由函数在区间上单调，求出的取值范围，再由，得到，即可求出的取值集合，从而求出的最大值；
【详解】解：因为在区间上单调，所以，，，解得；
因为，，
所以，所以，所以，
所以；
当，解得，所以.
故答案为：.
【点睛】本题考查正弦函数的性质的应用，对正弦函数的性质的理解及灵活应用是解答的关键；
三、解答题：本大题共5小题，满分44分．解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程．
15. 已知，．
（1）分别求，的值；
（2）若角终边上一点，求的值．
【答案】（1），；（2）
【解析】
【分析】
（1）由的值以及的范围，利用同角三角函数的基本关系即可求的值，进而可得的值.
（2）利用三角函数的定义可求的值，利用正切的二倍角公式可求出的值，再由两角和的正切公式即可求解.
【详解】（1）因为，，
所以，
所以，
（2）由三角函数定义可得，
由正切的二倍角公式可得，
.
16. 已知函数．
（1）当时，求该函数的值域；
（2）若对恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）换元令，将函数转化为关于的二次函数，由二次函数的性质，
即可求得函数的值域；
（2）换元令，将不等式转化为含参的一元二次不等式恒成立问题，通过分离参数法，将其再转化为求函数的最值，即可求出.
【详解】（1）令，，则，
设，，
则二次函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取到最小值，
当时，取到最大值7，
故当时，函数的值域为．
（2）令，，则，
即在上恒成立，
所以上恒成立，
因为函数在上单调递增，也在上单调递增，
所以函数在上单调递增，它的最大值为0．
故的取值范围是．
【点睛】本题主要考查了对数的运算性质、求二次函数的值域，一元二次不等式恒成立问题的解法等，解题关键是通过换元将含对数式的函数转化为二次函数，含对数式的不等式恒成立问题转化为一元二次不等式恒成立问题，意在考查学生的转化与化归以及数学运算能力．
17. 已知函数的最小正周期为，且其图象经过点．
(1)求函数的解析式；
(2)若函数，，，且，，求的值．
【答案】(1)；(2).
【解析】
【分析】(1)利用正弦型三角函数的最小正周期公式求出，然后将代入，并结合的取值范围即可求解；
(2)结合(1)中结论，先求出的解析式，然后结合已知条件以及三角恒等变换即可求解.
【详解】(1)因为函数的最小正周期为，且，所以，解得，
所以，
因为函数的图象经过点，所以，
得，，即，，
由，得．
所以函数的解析式为：.
(2)由(1)中结论可得，，
由，得，
，得，
又因为，，所以，，
所以
18. 已知函数.
（1）求函数的定义域和最小正周期；
（2）当时，求的值域.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）先对进行化简，再根据函数有意义以及周期公式即可求解；
（2）先根据的范围求出的范围，即可求解.
【详解】解：（1）

，
定义域为，
；
（2），
，
即 ，
，
.
19. 已知函数
（1）求函数的零点；
（2）若实数满足，求的取值范围.
【答案】（1）零点为；（2）.
【解析】
【分析】（1）分类讨论，函数对应方程根的个数，综合讨论结果，可得答案；
（2）分析函数的奇偶性和单调性，进而可将不等式化为，解得的取值范围．
【详解】（1），
或，
函数的零点为；
（2）当时，，
此时，
当时，，
同理，，
故函数为偶函数，
又时，为增函数，
（2）时，（2），
即，
，
，
综上所述，的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：（1）函数的零点即相应方程的根；
（2）处理抽象不等式要充分利用函数的单调性与奇偶性去掉绝对值，转化为具体的不等式.