2023年山东省普通高等学校招生全国统一考试全数学真模拟试题（Word版附解析）

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2023年山东省普通高等学校招生全国统一考试全真模拟数   学（考试时间120分钟，满分150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ）A． B． C． D．2．若复数满足，则（    ）A． B． C． D．3．已知，则“”是“为纯虚数”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．如图，点，在函数的图象上，点在函数的图象上，若为等边三角形，且直线轴，设点的坐标为，则　　A．2 B．3 C． D．5．为了得到曲线，只需把曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移（    ）A．个单位长度 B．个单位长度C．个单位长度 D．个单位长度6．（宁夏银川市第二中学2018届高三下学期高考等值卷（二模））的展开式中x2y2的系数为A．70 B．80C．－1 D．－807．若，是方程的两个根，则（    ）A．-1 B．1 C．-2 D．28．已知是双曲线的右焦点，点，连接与渐近线交于点，，则C的离心率为 （    ）A． B． C． D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分。9．下列命题为真命题的是（        ）A．若，则B．函数中最小值为C．若，则D．若，则10．在平面直角坐标系中，、、，动点满足，则（    ）A．B．C．有且仅有个点，使得的面积为D．有且仅有个点，使得的面积为11．已知等差数列的首项为1，公差为，若81是该数列中的一项，则公差可能的值是（    ）A．2 B．3 C．4 D．512．对于定义域为D的函数f（x），若存在区间[m，n]D，同时满足下列条件：①f（x）在[m，n]上是单调的；②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]，则称[m，n]为该函数的“和谐区间”.下列函数存在“和谐区间”的有（    ）A． B． C． D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．不共线的三个平面向量两两的夹角相等，且，．则_________．14．关于函数，有如下四个结论：①函数不仅有极小值也有极大值；②的在处的切线与垂直；③若函数有三个零点，则；④若时，，则的最小值为3．其中所有正确结论的序号是______．15．已知三棱锥中，侧棱底面，，，则三棱锥的外接球的表面积为______．16．已知是抛物线的焦点，过作一直线交抛物线于两点，若，则直线与坐标轴围成的三角形的面积为______．四、解答题：本题共6小题，共70分。17．在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）求的最大值.              18．某植物学家培养出一种观赏性植物，会开出红花或黄花，已知该植物第一代开红花和黄花的概率都是，从第二代开始，若上一代开红花，则这一代开红花的概率是，开黄花的概率是，若上一代开黄花，则这一代开红花的概率是，开黄花的概率是，记第代开红花的概率是，第代开黄花的概率为，（1）求；（2）试求数列的通项公式；（3）第代开哪种颜色的花的概率更大.      19．四棱锥中，四边形ABCD是矩形，平面平面ABCD，四棱锥的体积为12，的面积为，平面平面BCE，且．(1)求C到平面的距离；(2)求二面角的余弦值．         20．中国乒乓球队备战里约奥运会热身赛暨选拔赛于2016年7月14日在山东威海开赛.种子选手与，，三位非种子选手分别进行一场对抗赛，按以往多次比赛的统计，获胜的概率分别为，，，且各场比赛互不影响.（1）若至少获胜两场的概率大于，则入选征战里约奥运会的最终大名单，否则不予入选，问是否会入选最终的大名单？（2）求获胜场数的分布列和数学期望.          21．如图，椭圆的上、下顶点分别为A，，右焦点为，点在椭圆上，且.(1)若点坐标为，求椭圆的方程；(2)延长交椭圆与点，若直线的斜率是直线的斜率的3倍，求椭圆的离心率；(3)是否存在椭圆，使直线平分线段？     22．已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)当，，求a的取值范围．     2023年山东省普通高等学校招生全国统一考试全真模拟数学·参考答案1．C【详解】解：全集，集合，，所以图中阴影部分表示的集合为：．故选：．2．B【详解】由得：.故选：B.3．C【详解】试题分析：为纯虚数可得，所以“”是“为纯虚数”的充要条件 考点：充分条件与必要条件4．D【分析】根据题意，设出、、的坐标，由线段轴，是等边三角形，得出、与的关系，求出、的值，计算出结果．【详解】根据题意，设，，，，，线段轴，是等边三角形，，，，；又，，；又，，；；，，故选：．5．A【详解】把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线，，即，故选：A.6．A【详解】因为的展开式的通项公式为令，得，所以x2y2的系数为.故选A．7．A【详解】由于，是方程的两个根，所以，所以.故选：A8．A【详解】由题可知，，所以直线AF的方程为.，解得，，即，同除可得：解得或（舍）.故选：A.9．AC【详解】由可得，所以，A对，当时，函数的函数值为-10，故B错，当时，，所以，C正确，取，则，D错，故选：AC.10．BC【详解】因为，所以，点的轨迹是以点、为焦点，为长轴长的椭圆，所以，，可得，，则，故点的轨迹方程为.设直线交椭圆于点、，直线交椭圆于点、.对于A选项，，当点与点重合时，等号成立，A错；对于B选项，，当点与点重合时，取最小值，B对；对于C选项，设点到直线的距离为，，所以，.直线的斜率为，直线的方程为，即，设与直线平行且距离为的直线的方程为，则，可得或，所以，点在直线或上.联立，消去可得，解得或，联立，消去可得，解得.综上所述，有且仅有个点，使得的面积为，C对；对于D选项，设点到直线的距离为，则，可得，与直线平行且距离为的直线的方程为或，所以点在直线或上，直线与椭圆相交，直线与椭圆相切，综上所述，有且仅有个点，使得的面积为，D错.故选：BC.11．ACD【详解】，，，和都为正整数，时，，故选项A正确；当时，，不成立，故选项B错误；时，，故选项C正确；时，，故d选项D正确．故选：ACD．12．BC【详解】易知单调递增，故，，解得，故不满足；取，在上单调递减，故，，故满足.，易知函数单调递增，故，，设，则，函数在上单调递增，在上单调递减，，，，故函数有两个零点，故满足.在上单调递增，故，，设，则，函数在上单调递增，在上单调递减.故，故函数只有一个零点，不满足；故选：.13．【详解】不共线的三个平面向量两两的夹角相等，任意两个向量的夹角为，，，，，.故答案为：.14．①③④【详解】由已知，则当x＜﹣3或x＞3时，＜0，﹣3＜x＜3时，＞0，所以f（x）在（﹣∞，﹣3）和（3，+∞）上递减，在（﹣3，3）上递增，f（x）极小值f（﹣3）＝﹣4e3，f（x）极大值为，①正确；在处的切线斜率k1＝，直线9y﹣x+1＝0斜率，k1k2≠﹣1，两直线不垂直，②错误；当 时，，当时，，若f（x）＝k有三个实根，则，③正确；若x∈[0，t]时，，则t≥3，t的最小值为3，故④正确．故答案为：①③④15．【详解】如图所示，三棱锥可补形为一个边长为2的正方体，则三棱锥的外接球的半径为．故三棱锥的外接球的表面积为．故答案为：.16．【详解】试题分析：，设，则，依题意有由②得：，③由①③可得：，∴或．当时，方程为，与坐标轴交点为当时，方程为，与坐标轴交点为∴直线与坐标轴围成的三角形的面积为．考点：直线与抛物线位置关系17．(Ⅰ)120°；(Ⅱ)1.【详解】(Ⅰ)，,即.，.(Ⅱ)，，∴当即时，取得最大值1.18．【详解】解（1）第二代开红花包含两个互斥事件，即第一代开红花后第二代也开红花，第一代开黄花而第二代开红花，故由，得：（2）由题意可知，第n代开红花的概率与第代的开花的情况相关，故有则有，由于，所以数列是以为首项，为公比的等比数列.所以，所以（3）由（2），故有当n时，，因此第代开黄花的概率更大.19． 【详解】（1）过C作，交于H点，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，∴C到平面的距离为，即，而，，平面，∴平面，又∵矩形，∴平面，平面，所以，又∵平面平面，∴平面，即，可得，由，可得，而，∴，，，即由等面积法，故C到平面的距离为；（2）由（1）可知，EC，CD，BC两两垂直以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，建系如图，则，，，，设平面ACE的法面量，由可得，可取，，∴，设平面的法面量，由可得，取，，∴，由，由图可得二面角的平面角为锐角，故所求二面角的余弦值为.20．（1）会入选最终的大名单；（2）分布列见解析，.【分析】（1）利用相互独立事件的概率计算公式即可得出．（2）依题意的可能取值为、、、，求出所对应的概率，即可求出分布列与数学期望.【详解】解：（1）记与，，进行对抗赛获胜的事件分别为，，，至少获胜两场的事件为，则，，，由于事件，，相互独立，所以，由于，所以会入选最终的大名单. （2）依题意获胜场数的可能取值为、、、，则， ，， ，所以获胜场数的分布列为：0123 所以.21．(1)；(2)；(3)存在. 【分析】（1）由椭圆的标准方程，可得，进而得到，再把点代入椭圆的方程，即可求解椭圆的标准方程；（2）由直线的方程与椭圆的方程联立，利用根据与系数的关系，得到的坐标，再由，化简即可求解椭圆的离心率.（3）设与交于点，用直线的方程与联立，求解点坐标，再把点的坐标代入椭圆的方程，令，转化为函数恒成立，利用二次函数的性质，即可求解结论.（1）由题意得，，点坐标为，，故，,而 ，，又，，，，椭圆方程为.（2）由题意可得方程为：与联立，得，，解得，，又，，，，即，.（3）由题意可得，故方程为：，设与交于点，由，得， 假设存在椭圆，使直线平分线段，代入椭圆方程，得：，令，得，设，，恒成立（因为其判别式 ），在上递增.又，，在存在，使，即存在满足题意的a,b,c使得成立，存在椭圆，使平分线段.22． (1)，，又，故在点处的切线方程为．(2)当，令，得，，令，则．①若时，得，则在上单调递增，故，所以在上单调递增，所以，从而，不符合题意；②若，令，得．（ⅰ）若，则，当时，，在上单调递增，从而，所以在上单调递增，此时，不符合题意；（ⅱ）若，则，在上恒成立，所在上单调递减，，从而在上单调递减，所以，所以恒成立．综上所述，a的取值范围是．