条件概率与全概率、贝叶斯公式（解析版） 试卷

这是一份条件概率与全概率、贝叶斯公式（解析版），共15页。
专题08 条件概率与全概率、贝叶斯公式 目录TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc29376" 一、热点题型归纳 1 HYPERLINK \l "_Toc17993" 【题型一】 条件概率基础1：利用古典概型定义计算 1 HYPERLINK \l "_Toc26924" 【题型二】 条件概率基础2：条件概率公式计算 2 HYPERLINK \l "_Toc12217" 【题型三】 条件概率综合：取球 4 HYPERLINK \l "_Toc30563" 【题型四】 全概率公式 5 HYPERLINK \l "_Toc30563" 【题型五】 贝叶斯公式 7 HYPERLINK \l "_Toc30563" 【题型六】 概率综合 9 HYPERLINK \l "_Toc21895" 二、最新模考题组练 10【题型一】条件概率基础1：利用古典概型定义求 对于古典概型类，可以采用基本事件总数的方法来计算.，其中N(AB)表示事件AB所包含的基本事件个数。N(A)表示事件A包含的基本事件个数【例1】如果不是等差数列，但若，使得，那么称为“局部等差”数列.已知数列的项数为4，记事件：集合，事件：为“局部等差”数列，则条件概率A． B． C． D．【答案】C【分析】分别求出事件与事件的基本事件的个数，用=计算结果.【详解】由题意知，事件共有=120个基本事件，事件“局部等差”数列共有以下24个基本事件，（1）其中含1，2，3的局部等差的分别为1，2，3，5和5，1，2，3和4，1，2，3共3个， 含3，2，1的局部等差数列的同理也有3个，共6个.含3，4，5的和含5，4，3的与上述（1）相同，也有6个.含2，3，4的有5，2，3，4和2，3，4，1共 2个，含4，3，2的同理也有2个.含1，3，5的有1，3，5，2和2，1，3，5和4，1，3，5和1，3，5，4共4个，含5，3，1的也有上述4个，共24个，=.故选C.【例2】抛掷三枚质地均匀的硬币一次，在有一枚正面朝上的条件下，另外两枚也正面朝上的概率是（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题可知，抛掷三枚硬币，则基本事件共有8个，其中有一枚正面朝上的基本事件有7个，分别求出“有一枚正面朝上”和“三枚都正面朝上”的概率，最后根据条件概率的计算公式，即可求出结果.【详解】解：根据题意，可知抛掷三枚硬币，则基本事件共有8个，其中有一枚正面朝上的基本事件有7个，记事件为“有一枚正面朝上”，则，记事件为“另外两枚也正面朝上”，则为“三枚都正面朝上”，故，故.即在有一枚正面朝上的条件下，另外两枚也正面朝上的概率是.故选：C.【例3】“幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中，n阶幻方（，）是由前个正整数组成的一个n阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的n个数之和（简称幻和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15.现从如图所示的3阶幻方中任取3个不同的数，记“取到的3个数之和为15”为事件A，“取到的3个数可以构成一个等差数列”为事件B，则（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】通过列举法求出事件基本事件的个数，再利用条件概率进行计算.【详解】根据题意，可知，，，，所以，故，故选：D.【例4】投掷一枚质地均匀的骰子两次，记A＝{两次的点数均为奇数}，B＝{两次的点数之和为6}，则（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】列出事件A的可能性，从中求出事件B的可能性，求出概率【详解】两次点数均为奇数，可能情况有，，，，，，，，共九种，其中和为6的情况有，，三种，所以故选：B【题型二】条件概率基础2：条件概率公式求直接根据条件概率定义计算。,其中P(AB)概率的计算是重点【例1】将三颗骰子各掷一次，设事件“三个点数都不同”，“至少出现一个6点”，则条件概率的值是（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，计算，，进而结合条件概率公式求解即可.【详解】根据条件概率的含义，其含义为在发生的情况下， 发生的概率，即在“三个点数都不相同”的情况下，“至少出现一个6点”的概率，因为，，所以．故选：B【例2】甲乙两位游客慕名来到咸宁泡温泉，准备分别从三江森林温泉、太乙温泉、温泉谷和瑶池温泉4个温泉中随机选择其中一个，记事件A：甲和乙选择的温泉不同，事件B：甲和乙至少一人选择三江森林温泉，则条件概率（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据给定条件，求出事件A含有的基本事件个数，事件AB含有的基本事件个数，再利用条件概率公式计算作答.【详解】甲和乙选择的温泉不同，则事件A含有的基本事件个数，事件AB是三江森林温泉必有1人选，另1人从余下3个温泉中选择1个的事件，则事件AB含有的基本事件个数，所以.故选：D【例3】西安中学抗疫志愿者小分队中有3名男同学，2名女同学，现随机选派2名同学前往社区参加志愿服务活动，在已知抽取的1名志愿者是女同学的情况下，2名都是女同学的概率是（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用条件概率求解.【详解】解：从3名男同学和2名女同学，随机选派2名共有种方法，含有1名志愿者是女同学有种方法，所以含有1名志愿者是女同学的概率是，2名志愿者都是女同学有种方法，所以2名志愿者都是女同学的概率是，所以在抽取的1名志愿者是女同学的情况下，2名都是女同学的概率是，故选：C【例4】甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用独立事件乘法公式及互斥事件的概率求法求甲获得冠军的概率、甲获得冠军且比赛进行了3局的概率，再由条件概率公式求甲获得冠军的情况下比赛进行了三局的概率.【详解】由题意，甲获得冠军的概率为，其中甲获得冠军且比赛进行了3局的概率为，∴所求概率为.故选：B.【题型三】条件概率综合：取球【例1】从一个装有3个白球，3个红球和3个蓝球的袋中随机抓取3个球，记事件为“抓取的球中存在两个球同色”，事件为“抓取的球中有红色但不全是红色”，则在事件发生的条件下，事件发生的概率（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，求出和，由公式即可求出解答.【详解】解：因为事件为“抓取的球中存在两个球同色”包括两个同色和三个同色，所以 事件发生且事件发生概率为： 故.故选：C.【例2】袋中有大小完全相同的2个红球和2个黑球，不放回地依次摸出两球，设“第一次摸得黑球”为事件，“摸得的两球不同色”为事件，则概率为A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题目可知，求出事件A的概率，事件AB同时发生的概率，利用条件概率公式求得，即可求解出答案．【详解】依题意，，，则条件概率．故答案选B．【例3】甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有6个红球，2个白球和2个黑球，先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，分别以，，表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件，再从乙罐中随机取出一个球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列结论中不正确的是（       ）A．事件与事件不相互独立 B．，，是两两互斥的事件C． D．【答案】C【分析】依次判断每个选项得到答案.【详解】A.乙罐取出的球是红球的事件与前面是否取出红球相关，正确B. ，，两两不可能同时发生，正确C. ，不正确D. ，正确故答案选C【例4】袋中有个球，其中红、黄、蓝、白、黑球各一个，甲、乙两人按序从袋中有放回的随机摸取一球，记事件甲和乙至少一人摸到红球，事件甲和乙摸到的球颜色不同，则条件概率（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出和的值，利用条件概率公式可求得所求事件的概率.【详解】由题意可知，事件甲、乙只有一人摸到红球，则，，因此，.故选：D.【题型四】全概率公式 【例1】某工厂生产的产品以100件为一批，假定每一批产品中的次品数最多不超过4件，且具有如下的概率：现进行抽样检验，从每批中随机取出10件来检验，若发现其中有次品，则认为该批产品不合格，则一批产品通过检验的概率为（       ）A．0.814 B．0.809 C．0.727 D．0.652【答案】A【分析】利用条件概率以及全概率计算公式即可求解.【详解】以Ai表示一批产品中有i件次品，i=0，1，2，3，4，B表示通过检验，则由题意得，P(A0)=0.1，P(B|A0)=1，P(A1)=0.2，P(B|A1)==0.9，P(A2)=0.4，P(B|A2)=≈0.809，P(A3)=0.2，P(B|A3)=≈0.727，P(A4)=0.1，P(B|A4)=≈0.652．由全概率公式，得P(B)=P(Ai)P()=0.1×1+0.2×0.9+0.4×0.809+0.2×0.727+0.1×0.652≈0.814．故选：A【例2】8支步枪中有5支已经校准过，3支未校准，一名射手用校准过的枪射击时，中靶的概率为0.8，用未校准的步枪射击时，中靶的概率为0.3，现从8支中任取一支射击，结果中靶，则所选用的枪是校准过的概率为（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用全概率公式及条件概率公式可求解.【详解】设事件A表示“射击时中靶”，事件表示“使用的枪校准过”，事件表示“使用的枪未校准”，则，是的一个划分．，，，，根据全概率公式得       ，所以．故选:B．【例3】曲靖一中紫薇大酒店开设一楼、二楼、三楼三个学生餐厅，A同学一天午餐随机地选择一个餐厅就餐．如果中午去一楼餐厅就餐，那么当天晚上不去一楼就餐的概率等于0.9；如果中午去二楼餐厅就餐，那么当晚去二楼就餐的概率等于0.7；如果中午去三楼餐厅就餐，那么晚上不去三楼就餐的概率等于0.8． 还知道A同学晚上选择在一楼与三楼就餐的概率相等．那么，A同学晚上选择在一楼、二楼、三楼就餐的概率分别等于（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用全概率公式进行求解即可.【详解】解答：用表示Ａ同学中午去第层楼就餐，用表示Ａ同学当天晚上去第层楼就餐， ；；．故选：D．【例4】为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼，某校篮球运动员进行投篮练习．如果他前一球投进则后一球投进的概率为；如果他前一球投不进则后一球投进的概率为.若他第球投进的概率为，则他第球投进的概率为（       ）A． B．C． D．【答案】B【分析】记事件为“第球投进”，事件为“第球投进”，由全概率公式可求得结果.【详解】记事件为“第球投进”，事件为“第球投进”，，，，由全概率公式可得.故选：B.【题型五】贝叶斯公式 贝叶斯公式(贝叶斯定理):，【例1】托马斯·贝叶斯(ThomasBayes)在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式(贝叶斯定理)，其中称为的全概率.这个定理在实际生活中有着重要的应用价值.假设某种疾病在所有人群中的感染率是，医院现有的技术对于该疾病检测准确率为，即已知患病情况下，的可能性可以检查出阳性，正常人的可能性检查为正常.如果从人群中随机抽一个人去检测，经计算检测结果为阳性的全概率为0.01098，请你用贝叶斯公式估计在医院给出的检测结果为阳性的条件下这个人得病的概率（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】记一个人得病为事件，检测结果为阳性为事件，由已知条件求出，，，结合题中的信息，求出，即可得到答案.【详解】记一个人得病为事件，检测结果为阳性为事件，则，，，所以，所以在医院给出的检测结果为阳性的条件下这个人得病的概率为，故选：C.【例2】已知某公路上经过的货车与客车的数量之比为2:1，货车和客车中途停车修理的概率分别为0.02，0.01，今有一辆汽车中途停车修理，则该汽车是货车的概率为（       ）A．0.2 B．0.8 C．0.3 D．0.7【答案】B【分析】分别记表示汽车中途停车修理，表示公路上经过的汽车是货车，表示公路上经过的汽车是客车，即求，由贝叶斯公式，即得解【详解】设表示汽车中途停车修理，表示公路上经过的汽车是货车，表示公路上经过的汽车是客车，则，，，，由贝叶斯公式，可知中途停车修理的是货车的概率为.故答案为：B【例3】通信渠道中可传输的字符为，，三者之一，传输三者的概率分别为，，.由于通道噪声的干扰，正确地收到被传输字符的概率为，收到其他字符的概率为，假定字符前后是否被歪曲互不影响．若收到的字符为，则传输的字符是的概率为________．【答案】【分析】以表示事件“收到的字符是”，分别表示传输的字符为，，，根据已知得到，，，利用贝叶斯公式可计算求得.【详解】以表示事件“收到的字符是”，表示事件“传输的字符为”，表示事件“传输的字符为”，表示事件“传输的字符为”，根据题意有：，，，，，；根据贝叶斯公式可得：.故答案为：.【例4】设某公路上经过的货车与客车的数量之比为，货车中途停车修理的概率为，客车为.今有一辆汽车中途停车修理，该汽车是货车的概率为________．【答案】【分析】设“中途停车修理”为事件， “经过的是货车”为事件， “经过的是客车” 为事件，则，然后代入贝叶斯公式计算.【详解】设“中途停车修理”为事件， “经过的是货车”为事件， “经过的是客车” 为事件，则，，，，，由贝叶斯公式有.故答案为：【题型六】概率综合【例1】盒中有个红球，个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是黑球的概率是（       ）A． B．C． D．【答案】C【分析】设事件“第一次抽出的是黑球”，事件“第二次抽出的是黑球”，则，由全概率公式计算，即可得到答案；【详解】设事件“第一次抽出的是黑球”，事件“第二次抽出的是黑球”，则，由全概率公式．由题意，，，，所以．故选：C【例2】若从数字1，2，3，4中任取一个数，记为x，再从1，…，x中任取一个数记为y，则y＝2的概率为（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】记Ai表示取出数字i，分别求出，再应用全概率公式求y＝2的概率即可.【详解】设事件Ai表示取出数字i，i＝1，2，3，4，易知P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(A4)＝，事件B表示取到y＝2，则P(B|A1)＝0，P(B|A2)＝，P(B|A3)＝，P(B|A4)＝，∴P(B)＝＝×＝.故选：C【例3】设袋中有12个球，9个新球，3个旧球，第一次比赛取3球，比赛后放回，第二次比赛再任取3球，则第二次比赛取得3个新球的概率为（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用全概率公式，P(B)＝(Ai)P(B|Ai)计算即得解【详解】设Ai＝“第一次比赛恰取出i个新球(i＝0，1，2，3)”，B＝“第二次比赛取得3个新球”，∴P(B)＝(Ai)P(B|Ai)＝＋＋＋＝.故选：A【例4】已知一批产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率是0.02，一个次品被误认为是合格品的概率是0.05，则在检查后认为是合格品的产品确是合格品的概率为________．(精确到0.001)【答案】0.998【分析】根据全概率公式进行求解即可.【详解】设A＝任取一产品，经检查是合格品，B＝任取一产品确是合格品，则A＝BA＋AP(A)＝P(B)P(A|B)＋P()P(A|)＝0.96×0.98＋0.04×0.05＝0.9428，故所求概率为：P(B|A)＝.故答案为：0.9981.目前国家为进一步优化生育政策，实施一对夫妻可以生育三个子女政策．假定生男孩和生女孩是等可能的，现随机选择一个有三个小孩的家庭，如果已经知道这个家庭有女孩，那么在此条件下该家庭也有男孩的概率是（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】设这个家庭有女孩事件记为事件，这个家庭有男孩事件记为事件，进而根据古典概型计算公式和条件概率公式求解即可.【详解】解：根据题意，一个家庭的三个孩子的性别情况共有：（女女女）、（女女男）、（女男女）、（男女女）、（女男男）、（男女男）、（男男女）、（男男男）共8种可能的情况，设这个家庭有女孩事件记为事件，这个家庭有男孩事件记为事件，则事件包含：（女女女）、（女女男）、（女男女）、（男女女）、（女男男）、（男女男）、（男男女），共7种基本事件，故，这个家庭既有女孩又有男孩的基本事件有：女女男）、（女男女）、（男女女）、（女男男）、（男女男）、（男男女），共6种，故，2.为落实国务院提出的“双减”政策，某校在课后服务时间开展了丰富多彩的兴趣小组活动，其中有个课外兴趣小组制作了一个正十二面体模型，并在十二个面分别雕刻了十二生肖的图案，作为2022年春节的吉祥物，2个兴趣小组各派一名成员将模型随机抛出，两人都希望能抛出虎的图案朝上，寓意虎虎生威.2人各抛一次，则在第一人抛出虎的图案朝上时，两人心愿均能达成的概率为（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】设第一人抛出虎的图案的事件为事件，第二人抛出虎的图案的事件为事件，进而根据条件概率公式计算即可.【详解】解：设第一人抛出虎的图案的事件为事件，第二人抛出虎的图案的事件为事件，则，，所以，即在第一人抛出虎的图案朝上时，两人心愿均能达成的概率为 故选：A3.先后投掷骰子（骰子的六个面分别标有1、2、3、4、5、6个点）两次落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为，设事件为“为偶数”，事件为“中有偶数，且”，则概率A． B． C． D．【答案】A根据题意有，所以只须分析事件A和事件AB所包含的基本事件，即可根据公式求出结果.【详解】解：事件A中“为偶数”，所以同奇同偶，共包含种基本事件；事件AB同时发生，则都为偶数，且，则包含个基本事件；.故选：A.4.我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果．“三药”分别为金花清感颗粒连花清瘟胶囊、血必净注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宣肺败毒方．若某医生从“三药三方”中随机选三种，事件表示选出的三种中至少有两药，事件表示选出的三种中恰有一方，则（       ）．A． B． C． D．【答案】C【分析】由条件概率的计算公式求解即可【详解】因为，，所以．故选：C5.从0，1，2，…，9这十个数字中随机抽取3个不同的数字，记A为事件：“恰好抽的是2，4，6”，记B为事件：“恰好抽取的是6，7，8”，记C为事件：“抽取的数字里含有6”.则下列说法正确的是（       ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由题得事件与事件互斥，进而，再根据题意，依次讨论求解即可.【详解】解：由题知，从10个数中随机的抽取3个数，共有种可能情况，对于A选项，“恰好抽的是2，4，6”和“恰好抽取的是6，7，8”为互斥事件，，故A选项错误；对于B选项，，故B选项错误；对于C选项，，故C选项错误；对于D选项，由于，故由条件概率公式得，故D选项正确.故选：D6.一个袋子中有2个红球和3个白球，这些小球除颜色外没有其他差异．从中不放回地抽取2个球，每次只取1个．设事件=“第一次抽到红球”，=“第二次抽到红球”，则概率是（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用古典概率公式求出事件及事件的概率，再利用条件概率公式计算得解.【详解】依题意，，，所以.故选：B7.袋中有a个白球b个黑球，不放回摸球两次，问第二次摸出白球的概率为（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据古典概率公式和全概率公式可求得答案.【详解】分别记A，B为第一次、第二次摸到白球，则，由全概率公式，P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝·＋·＝.故选：A.8.已知在所有男子中有5%患有色盲症，在所有女子中有0.25%患有色盲症，随机抽一人发现患色盲症，其为男子的概率为（       ）(设男子和女子的人数相等)A． B． C． D．【答案】B【分析】设“男子”， “女子”， “这人有色盲”，分别求得,结合公式，即可求解.【详解】设“男子”， “女子”， “这人有色盲”，则,可得.故选：B.9.葫芦山庄襟渤海之辽阔，仰天角之雄奇，勘葫芦之蕴涵，显人文之魅力，是渤海湾著名的人文景区，是葫芦岛市“葫芦文化与关东民俗文化”代表地和中小学综合实践教育基地.山庄中葫芦品种分为亚腰、瓢、长柄锤、长筒、异型、花皮葫芦等系列.其中亚腰胡芦具有天然迷彩花纹，果实形状不固定，观赏性强，每株亚腰葫芦可结出果实20~80个.2021年初葫芦山庄播种用的一等亚腰葫芦种子中混有的二等种子，的三等种子，的四等种子，一、二、三、四等种子长出的葫芦秧结出50颗以上果实的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，则这批种子所生长出葫芦秧结出50颗以上果实的概率为__________.【答案】0.4825【分析】结合全概率公式即可直接求出结果.【详解】设聪这批种子中任选一颗是一、二、三、四等种子的事件是，则，且两两互斥，设从这批种子中任选一颗，所结的穗含50颗以上麦粒，则，故答案为：.10.已知在自然人群中，男性色盲患者出现的概率为7%，女性色盲患者出现的概率为0.5%．今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，则此人是男性的概率是______．【答案】【分析】以事件表示“选出的是男性”，则事件表示“选出的是女性”，以事件表示“选出的人是色盲患者”.由已知得，，.根据贝叶斯公式可求得答案.【详解】解：以事件表示“选出的是男性”，则事件表示“选出的是女性”，以事件表示“选出的人是色盲患者”.由题意，知，，.由贝叶斯公式，可知此色盲患者是男性的概率为.故答案为：.11.根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验有如下的效果：若以A表示事件“试验反应为阳性”，以C表示事件“被诊断者患有癌症”，则有P(A|C)＝0.95，P(|)＝0.95，现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005，即P(C)＝0.005，则P(C|A)＝______．(精确到0.001)【答案】0.087【分析】根据条件概率和全概率公式可求得结果．【详解】因为，所以，因为，所以，所以由全概率公式可得，因为所以．故答案为：．12.袋中有10个黑球，5个白球．现掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从袋中取出几个球．若已知取出的球全是白球，则掷出3点的概率为________．【答案】##0.04835【分析】根据贝叶斯公式进行求解即可.【详解】设B＝{取出的球全是白球}，Ai＝{掷出i点}(i＝1，2，…，6)，则由贝叶斯公式，得．故答案为：13.盒中放有12个乒乓球，其中9个是新的，第一次比赛时从中任取3个来使用，比赛后仍放回盒中．第二次比赛时再从中任取3个球，则第二次取出的球都是新球的概率为___________．【答案】【分析】令表示第一次任取3个球使用时，取出i个新球，B表示第二次任取的3个球都是新球，求出，再应用全概率公式求P(B)即可．【详解】令表示第一次任取3个球使用时，取出i个新球，B表示第二次任取的3个球都是新球，则，，，，根据全概率公式，第二次取到的球都是新球的概率为：故答案为：.816357492一批产品中的次品数01234概率0.10.20.40.20.1