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苏州市苏州工业园区金鸡湖学校2022-2023学年九年级上学期12月月考数学试题（含解析）
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这是一份苏州市苏州工业园区金鸡湖学校2022-2023学年九年级上学期12月月考数学试题（含解析），共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
苏州市苏州工业园区金鸡湖学校2022-2023学年九年级上学期
12月月考数学试题
一、选择题（共10小题，共30分）
1. 在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，则sinB的值是（ ）
A. B. C. D.
2. 如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝100°，则∠BCD的度数( )
A. 130° B. 100° C. 80° D. 50°
3. 如图，已知BD是⊙O的直径，BD⊥AC于点E，∠AOC＝100°，则∠OCD的度数是（ ）
A. 20° B. 25° C. 30° D. 40°
4. 若二次函数的图象经过点，，则与的大小关系为（ ）
A. B. C. D. 不能确定
5. 如图，正五边形内接于，则的度数是（ ）
A. 36° B. 26° C. 30° D. 45°
6. 九（1）班45名同学一周课外阅读时间统计如表所示，那么该班45名同学一周课外阅读时间的众数、中位数分别是（ ）
人数（人）
5
19
15
6
时间（小时）
6
7
9
10
A. 7，7 B. 19，8 C. 10，7 D. 7，8
7. 如图，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别是A，B，OP交⊙O于点C，点D是上不与点A、点C重合的一个动点，连接AD，CD，若∠APB=80°，则∠ADC的度数是（ ）
A. 15° B. 20° C. 25° D. 30°
8. 如图，AB为直径，AB=4，C、D为圆上两个动点，N为CD中点，CM⊥AB于M，当C、D在圆上运动时保持∠CMN=30°，则CD的长（ ）
A. 随C、D的运动位置而变化，且最大值为4 B. 随C、D的运动位置而变化，且最小值为2
C. 随C、D的运动位置长度保持不变，等于2 D. 随C、D的运动位置而变化，没有最值
9. 如图所示的网格是正方形网格，则sinA的值为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，平面直角坐标系中，已知，，，抛物线过A点、B点，顶点为P，抛物线过A点、C点，顶点为Q，若P在线段AQ上，则的值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（共8小题，共24分）
11. 抛物线的顶点坐标是_____________．
12. 某校举行校园十佳歌手大赛，小张同学的初赛成绩为80分，复赛成绩为90分．若总成绩按初赛成绩占，复赛成绩占来计算，则小张同学的总成绩为 ___________分．
13. 若圆锥的高为4，底圆半径为3，则这个圆锥的侧面积为_____．（用含π的结果表示）
14. 若是抛物线与x轴的两个交点，则代数式的值是___________．
15. 如图，扇形OAB的圆心角为110°，C是上一点，则∠C＝_____°．
16. 已知函数（），当和时函数值相等，则当时的函数值为___________．
17. 如图，直线与抛物线交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当的周长最小时， ___________．
18. 如图，已知⊙O半径为2，点A点B在⊙O上，，，则线段OC的最大值为______．
三、解答题（共10小题，共76分）
19. 计算：
（1）．
（2）已知α为锐角， ，计算的值．
20. 如图，是圆O的直径，点C、D为圆O上的点，满足：点C是弧的中点，交于点E．已知，．
（1）求圆O的半径；
（2）过点C作的平行线交弦于点F，求线段的长．
21. 如图所示，建筑物座落在一斜坡的坡顶的平地上，当太阳光线与水平线夹角成60°时，测得建筑物在坡顶平地上的一部分影子米，在斜坡上的另一部分影子米，且斜坡的坡度为（即）求建筑物的高度．（结果保留根号）
22. 如图，在四边形中，．
（1）求的长；
（2）求四边形的面积．
23. 如图，在平面直角坐标系中，的两条直角边分别落在x轴、y轴上，且，将绕原点O顺时针旋转得到，将沿y轴翻折得到与交于点F．
（1）若抛物线过点A，B，C，求此抛物线的函数表达式；
（2）点M是第三象限内抛物线上的一动点，点M在何处时可使的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点M的坐标．
24. 重庆市红色旅游景点众多，例如歌乐山烈士陵园、红岩革命纪念馆、刘伯承同志纪念馆、聂荣臻元帅陈列馆等等，某学校为了解初三学生对重庆历史文化的了解程度，随机抽取了男、女各50名学生进行问卷测试，问卷共30道选择题，现将得分情况统计，并绘制了如图不完整的统计图（数据分组为A组：x≤15，B组：，C组：，D组：，x表示问卷测试的分数，大于20分为优秀），其中男生得分处于C组的得分情况分别为：21，22，22，22，22，22，23，23，24，24，24，25，25，25．
男生、女生得分的平均数、中位数、众数、优秀人数百分比如表所示：
组别
平均数
中位数
众数
优秀人数所占百分比
男
20
m
22
72%
女
20
23
20
n
（1）填空： = ，= ，并补全条形统计图；
（2）根据以上数据，你认为男生和女生对重庆历史文化了解哪个更好?请说明理由（一条即可）.
（3）已知该校初三年级共有男生400人，女生460人，请估计该校初三年级参加问卷测试成绩处于组的总人数
25. 如图（1），是的直径，点D、F是上的点，连接并延长交于A点，且，．
（1）求证：
（2）求：
（3）如图（2），若点E是弧的中点，连接．求：．
26. 我们规定，对于已知线段AB，若存在动点C（点C不与点A，B重合）始终满足∠ACB的大小为定值，则称△ABC是“立信三角形”，其中AB的长称为它的“立信长”，∠ACB称为它的“立信角”．
（1）如图（1），已知立信△ABC中“立信长”，“立信角”，请直接写出立信△ABC面积的最大值；
（2）如图（2），在△ABD中，，，C是立信△ABC所在平面上的一个动点，且立信角，求立信△ABC面积的最大值；
（3）如图（3），已知立信长（a是常数且），点C是平面内一动点且满足立信角，若∠ABC，∠BAC的平分线交于点D，问：点D的运动轨迹长度是否为定值？如果是，请求出它的轨迹长度；如果不是，请说明理由．
答案与解析
一、选择题（共10小题，共30分）
1. 在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，则sinB的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据勾股定理计算出斜边AB的长，然后根据正弦的定义求解．
【详解】如图，
∵∠C=90°，AC=8，BC=6，
∴AB==10，
∴sinB=．
故选：A．
【点睛】本题考查了正弦的定义：在直角三角形中，一锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值．也考查了勾股定理．
2. 如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝100°，则∠BCD的度数( )
A. 130° B. 100° C. 80° D. 50°
【答案】A
【解析】
【分析】根据圆周角定理可得∠A=，及圆内接四边形对角互补的性质∠C=180°-∠A=180°﹣50°=130°解答即可．
【详解】解：∵∠BOD=100°，
∴∠A=，
在⊙O的内接四边形ABCD中，
∴∠C=180°-∠A=180°﹣50°=130°．
故选A．
【点睛】本题考查了圆周角定理及圆内接四边形对角互补的性质，熟知圆周角定理及圆内接四边形对角互补的性质是解题的关键．
3. 如图，已知BD是⊙O的直径，BD⊥AC于点E，∠AOC＝100°，则∠OCD的度数是（ ）
A. 20° B. 25° C. 30° D. 40°
【答案】B
【解析】
【分析】由垂径定理知∠BOC＝∠AOC＝50°，再根据圆周角定理可得答案．
【详解】解：∵OA=OC，BO⊥AC，∠AOC＝100°，
∴∠BOC＝∠AOC＝50°，
则∠BDC＝∠BOC＝25°，
∵OC=OB，
∴∠OCD=∠ODC=25°，
故选B．
【点睛】本题主要考查圆周角定理，等腰三角形的性质与判定，解题的关键是掌握垂径定理及圆周角定理等知识点．
4. 若二次函数的图象经过点，，则与的大小关系为（ ）
A. B. C. D. 不能确定
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数的对称轴以及开口方向可知，离对称轴越远，函数值越大，判断即可．
【详解】解：∵二次函数解析式为：，
∴对称轴为：，
∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，
∵，
∴，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了比较函数值的大小，根据二次函数开口方向以及对称轴结合点到对称轴的距离是解本题的关键．
5. 如图，正五边形内接于，则的度数是（ ）
A. 36° B. 26° C. 30° D. 45°
【答案】A
【解析】
【分析】连接OD，OE，求出∠DOE=72°，再根据圆周角定理即可求出的值.
【详解】解：如图所示，连接OD，OE，
∵ABCDE是正五边形，
∴∠DOE==72°，
∴=∠DOE=36°，
故选：A．
【点睛】本题考查正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识.
6. 九（1）班45名同学一周课外阅读时间统计如表所示，那么该班45名同学一周课外阅读时间的众数、中位数分别是（ ）
人数（人）
5
19
15
6
时间（小时）
6
7
9
10
A. 7，7 B. 19，8 C. 10，7 D. 7，8
【答案】A
【解析】
【分析】根据众数、中位数的概念分别求得这组数据的众数、中位数．
【详解】解：数据7出现的次数最多，所以众数是7；
45个数据从小到大排列后，排在第23位的是7，故中位数是7．
故选：A．
【点睛】此题考查了众数的概念和中位数的概念，熟记概念是解题的关键．
7. 如图，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别是A，B，OP交⊙O于点C，点D是上不与点A、点C重合的一个动点，连接AD，CD，若∠APB=80°，则∠ADC的度数是（ ）
A. 15° B. 20° C. 25° D. 30°
【答案】C
【解析】
【详解】解；如图，连接OB，OA.
因为PA，PB是圆O的切线，
所以∠OBP=∠OAP=90°，PA=PB.
由四边形的内角和定理，得∠BOA=360°-90°-90°-80°=100°.
在△BPO和△APO中，
PB=PA，PO=PO，OB=OA，
所以△BPO≌△APO，
所以∠BOC=∠COA=∠AOB=50°.
由圆周角定理，得∠ADC=12∠AOC=25°.
故选C.
8. 如图，AB为直径，AB=4，C、D为圆上两个动点，N为CD中点，CM⊥AB于M，当C、D在圆上运动时保持∠CMN=30°，则CD的长（ ）
A. 随C、D的运动位置而变化，且最大值为4 B. 随C、D的运动位置而变化，且最小值为2
C. 随C、D的运动位置长度保持不变，等于2 D. 随C、D的运动位置而变化，没有最值
【答案】C
【解析】
【分析】连接OC、ON、OD，由垂径定理可知ON⊥CD，∠CON=∠DON，然后由∠ONC+∠CMO=180°，可证明O、N、C、M四点共圆，从而可得到∠NOC=∠NMC=30°，于是可证明△OCD为等边三角形，从而得到CD=2．
【详解】详解：连接：OC、ON、OD.
∵N是CD的中点，
∴ON⊥CD，∠CON=∠DON.
又∵CM⊥AB，
∴∠ONC+∠CMO=180°，
∴O、N、C. M四点共圆，
∴∠NOC=∠NMC=30°，
∴∠COD=60°，
又∵OC=OD，
∴△OCD为等边三角形.
∴CD=AB=×4=2.
故选C.
【点睛】本题主要考查轨迹问题，发现O、N、C、M四点共圆，从而证得△OCD为等边三角形是解题的关键.
9. 如图所示的网格是正方形网格，则sinA的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设正方形网格中的小正方形的边长为1，连接格点BC，AD，过C作CE⊥AB于E，解直角三角形即可得到结论．
【详解】解：设正方形网格中的小正方形的边长为1，
连接格点BC，AD，过C作CE⊥AB于E，
∵，BC＝2，AD＝，
∵S△ABC＝AB•CE＝BC•AD，
∴CE＝，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了解直角三角形的问题，掌握解直角三角形的方法以及锐角三角函数的定义是解题的关键．
10. 如图，平面直角坐标系中，已知，，，抛物线过A点、B点，顶点为P，抛物线过A点、C点，顶点为Q，若P在线段AQ上，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先分别求出抛物线的对称轴为直线，抛物线的对称轴为直线，然后把抛物线解析式设为交点式从而求出点P的坐标为（m+1，-a），点Q的坐标为（，），求出直线AQ的解析式为，再由P在直线AQ上，得到，由此即可得到答案．
【详解】解：∵抛物线过A点、B点，，，
∴抛物线的对称轴为直线，
同理可得抛物线的对称轴为直线，
设抛物线的解析式为，抛物线的解析式为，
∴当时，，
∴点P的坐标为（m+1，-a），
同理可求出点Q的坐标为（，），
设直线AQ的解析式为，
∴，
∴，
∴直线AQ的解析式为，
∵P在直线AQ上，
∴，
∴，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，正确求出P、Q的坐标是解题的关键．
二、填空题（共8小题，共24分）
11. 抛物线的顶点坐标是_____________．
【答案】（0，1）
【解析】
【详解】试题解析：∵a=1，b=0，c=1.
将x=0代入得到y=1.
∴抛物线的顶点坐标为：(0,1).
故答案为(0,1).
12. 某校举行校园十佳歌手大赛，小张同学的初赛成绩为80分，复赛成绩为90分．若总成绩按初赛成绩占，复赛成绩占来计算，则小张同学的总成绩为 ___________分．
【答案】86
【解析】
【分析】根据加权平均数计算公式列出算式，再进行计算即可得出答案．
【详解】解：小张同学的总成绩为分．
故答案为：86
【点睛】本题主要考查加权平均数，熟练掌握加权平均数的公式是解题的关键．
13. 若圆锥的高为4，底圆半径为3，则这个圆锥的侧面积为_____．（用含π的结果表示）
【答案】
【解析】
【分析】利用勾股定理易得圆锥的母线长，进而利用圆锥的侧面积＝π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．
【详解】解：∵圆锥的高为4，底圆半径为3，
∴圆锥的母线长为5，
∴圆锥的侧面积为π×3×5＝15π．
【点睛】此题考查了勾股定理，圆锥侧面积计算公式，熟记勾股定理及圆锥侧面积计算公式是解题的关键．
14. 若是抛物线与x轴的两个交点，则代数式的值是___________．
【答案】29
【解析】
【分析】根据题意可得m，n是方程的两根，从而得到，，再代入，即可求解．
【详解】解：∵是抛物线与x轴的两个交点，
∴m，n是方程的两根，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：29．
【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，把抛物线与x轴的交点问题转化为一元二次方程的问题是解题的关键．
15. 如图，扇形OAB的圆心角为110°，C是上一点，则∠C＝_____°．
【答案】125
【解析】
【分析】作所对的圆周角∠ADB，如图，根据圆周角定理得到∠ADB＝∠AOB＝55°，然后利用圆内接四边形的性质计算∠C的度数．
【详解】解：作所对的圆周角∠ADB，如图，
∴∠ADB＝∠AOB＝×110°＝55°，
∵∠ADB+∠C＝180°，
∴∠C＝180°﹣55°＝125°．
故答案为125．
【点睛】本题考查了圆的综合问题，掌握圆周角定理、圆内接四边形的性质是解题的关键．
16. 已知函数（），当和时函数值相等，则当时的函数值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据当和时函数的值相等，得出，根据，，得出，把代入函数求值即可．
【详解】解：∵当和时函数的值相等，
∴，
∴，
∴，
∴，
，，
∴，
当时．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的函数值，因式分解，掌握二次函数的函数值，因式分解是解题关键．
17. 如图，直线与抛物线交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当的周长最小时， ___________．
【答案】
【解析】
【分析】首先确定点A和点B的坐标，然后根据轴对称，可以求得使得的周长最小时点P的坐标，再根据，即可求解．
【详解】解：由，解得或，
∴点A的坐标为，点B的坐标为，
作点A关于y轴的对称点，连接与y轴交于，则此时的周长最小，
∴点的坐标为，
设直线的函数解析式为，
∵点B的坐标为，
∴，解得，
∴直线的函数解析式为，
∴当时，，
即点的坐标为，
∴，
即当的周长最小时，．
故答案为：．
【点睛】本题考查函数图象相交于轴对称的综合应用，点A关于y轴的对称点，连接交y轴于点后求出点坐标是解题的主要思路和关键所在．
18. 如图，已知⊙O半径为2，点A点B在⊙O上，，，则线段OC的最大值为______．
【答案】
【解析】
【分析】如图所示，连接OA，OB，过点A作AD⊥AO，使得∠ADO=∠ABC，先解直角三角形得到，证明△ADO∽△ABC，得到，∠AOD=∠ACB，再证明△DAB∽△OAC，推出，解直角三角形求出，则，再由，得到BD的最大值为，则OC的最大值为．
【详解】解：如图所示，连接OA，OB，过点A作AD⊥AO，使得∠ADO=∠ABC，
∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，，
∴，即，
∵∠ADO=∠ABC，∠OAD=∠CAB=90°，
∴△ADO∽△ABC，
∴，∠AOD=∠ACB，
∵∠DAO=∠BAC，
∴∠DAB=∠OAC，
∴△DAB∽△OAC，
∴，
∴，
在Rt△AOD中，，
∴，
∴，
∵，
∴BD的最大值为，
∴OC的最大值为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，勾股定理，圆的基本知识等等，解题的关键在于能够正确作出辅助线构造相似三角形．
三、解答题（共10小题，共76分）
19. 计算：
（1）．
（2）已知α为锐角， ，计算的值．
【答案】（1）
（2）4
【解析】
【分析】（1）先把特殊角锐角三角函数值代入，再化简，即可求解；
（2）根据，可得，再代入，即可求解．
【小问1详解】
解：
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴
【点睛】本题主要考查了特殊角锐角三角函数值混合运算，负整数指数幂，熟练掌握特殊角锐角三角函数值是解题的关键．
20. 如图，是圆O的直径，点C、D为圆O上的点，满足：点C是弧的中点，交于点E．已知，．
（1）求圆O的半径；
（2）过点C作的平行线交弦于点F，求线段的长．
【答案】（1）5 （2）
【解析】
【分析】（1）根据点C是弧的中点，得到，利用垂径定理得到设圆O的半径为r，根据勾股定理得到，代入数值求出r即可；
（2）根据平行线分线段成比例列式计算即可．
【小问1详解】
解：∵点C是弧的中点，
∴，
∴，
设圆O的半径为r，则，
∵在中，，
∴，
解得，
∴圆O的半径为5；
【小问2详解】
∵，
∴，
∴，
解得．
【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理，平行线分线段成比例，正确掌握各定理是解题的关键．
21. 如图所示，建筑物座落在一斜坡的坡顶的平地上，当太阳光线与水平线夹角成60°时，测得建筑物在坡顶平地上的一部分影子米，在斜坡上的另一部分影子米，且斜坡的坡度为（即）求建筑物的高度．（结果保留根号）
【答案】
【解析】
【分析】延长BC交AD于F，过D作DG⊥BC交BC延长线于G，由斜坡的坡度为（即）求得，两直线平行内错角相等∠FCD=30°，由当太阳光线与水平线夹角成60°，知∠AFB=60°由外角性质可求∠FDC=30°，可证CF=FD，由可求DG=，在Rt△FDG∠GFD =60°，可由三角函数GD=FD•sin60°，求得CF=FD=5，可求BF= 20，在Rt△ABF中，AB=tan∠AFB×BF=．
【详解】延长BC交AD于F，过D作DG⊥BC交BC延长线于G，
∵斜坡的坡度为（即），
∴，
∴，
∵CF平行地面，
∴∠FCD=30°，
∵当太阳光线与水平线夹角成60°，
∴∠AFB=60°，
∵∠AFC=∠FCD+∠FDC，
∴∠FDC =∠AFC-∠FCD=60°-30°=30°，
∴CF=FD，
∵，
∴DG=，
在Rt△FDG，
∠GFD=∠AFC=60°，
∴GD=FD•sin60°，
∴FD=，
∴CF=FD=5，
∴BF=BC+CF=15+5=20，
在Rt△ABF中，AB=tan∠AFB×BF=．
【点睛】本题考查坡比，等腰三角形，直角三角形，三角函数，掌握利用坡比求坡角，等腰三角形的性质，直角三角形性质，三角函数解题关键．
22. 如图，在四边形中，．
（1）求的长；
（2）求四边形的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）延长和交于点E，，先由三角形的内角和定理求出的度数，再根据直角三角形中角所对的边是斜边的一半，及勾股定理求出的长度；
（2）再根据四边形的面积进行求解即可．
【小问1详解】
解：延长和交于点E，
，
，
，
，
∴，
，
∴或（舍去）；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴四边形的面积，
【点睛】本题考查了含角的直角三角形的性质，勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握含角的直角三角形的性质是解题的关键．
23. 如图，在平面直角坐标系中，的两条直角边分别落在x轴、y轴上，且，将绕原点O顺时针旋转得到，将沿y轴翻折得到与交于点F．
（1）若抛物线过点A，B，C，求此抛物线的函数表达式；
（2）点M是第三象限内抛物线上的一动点，点M在何处时可使的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点M的坐标．
【答案】（1）
（2）当点M的坐标为时，的面积有最大值，最大值为
【解析】
【分析】（1）由题意易得点A、点B、点C的坐标，利用待定系数法求解即可；
（2）连接，设M点的坐标为，继而表示出的面积，利用配方法确定最值，并得出点M的坐标．
【小问1详解】
∵，
∴，
∵绕原点顺时针旋转得到，，
∴，
∴抛物线过点，
设抛物线的解析式为，可得，
解得 ，
故过点A，B，C的抛物线的解析式为．
【小问2详解】
∵点M在抛物线上，
∴，
∴
，
∵，
∴当时，，的面积有最大值，最大值为，
即当点M的坐标为时，的面积有最大值，最大值为．
【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及了待定系数法求函数解析式、不规则图形的面积、两直线的交点及配方法求二次函数最值得知识，综合性较强，难点在第三问，关键是设出点M的坐标，用含m的式子表示出三角形的面积
24. 重庆市红色旅游景点众多，例如歌乐山烈士陵园、红岩革命纪念馆、刘伯承同志纪念馆、聂荣臻元帅陈列馆等等，某学校为了解初三学生对重庆历史文化的了解程度，随机抽取了男、女各50名学生进行问卷测试，问卷共30道选择题，现将得分情况统计，并绘制了如图不完整的统计图（数据分组为A组：x≤15，B组：，C组：，D组：，x表示问卷测试的分数，大于20分为优秀），其中男生得分处于C组的得分情况分别为：21，22，22，22，22，22，23，23，24，24，24，25，25，25．
男生、女生得分的平均数、中位数、众数、优秀人数百分比如表所示：
组别
平均数
中位数
众数
优秀人数所占百分比
男
20
m
22
72%
女
20
23
20
n
（1）填空： = ，= ，并补全条形统计图；
（2）根据以上数据，你认为男生和女生对重庆历史文化了解哪个更好?请说明理由（一条即可）.
（3）已知该校初三年级共有男生400人，女生460人，请估计该校初三年级参加问卷测试成绩处于组的总人数
【答案】（1）24.5，70%，见解析
（2）男生理解更好，理由见解析
（3）250人
【解析】
【分析】(1)利用男生的总人数及D组所占的百分比求得D的人数，再利用中位数的定义即可求得m的值；利用女生得分的条形图求得女生C组的人数即可求得女生的优秀人数，进而求得优秀率n的值；
(2)利用中位数的特点即可求解；
(3)用样本中男生和女生各自C组所占的百分比乘以各自的总人数，然后相加即可求解．
【小问1详解】
，C组由12人，
∴男生得分的中位数，
∵女生C组的人数为：，
∴女生优秀的百分比 ，
补全条形统计图如图所示：
【小问2详解】
我认为男生了解更好，理由如下：
从中位数来看，男生得分的中位数24.5分大于女生得分的中位数23分，所以男生对历史文化了解更好。
【小问3详解】
答：估计该校参加问卷测试成绩处于C组的人数约为250人．
【点睛】本题考查了扇形统计图，条形统计图，样本估计总体等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
25. 如图（1），是的直径，点D、F是上的点，连接并延长交于A点，且，．
（1）求证：
（2）求：
（3）如图（2），若点E是弧的中点，连接．求：．
【答案】（1）见解析 （2）；
（3）．
【解析】
【分析】（1）根据圆内接四边形的外角等于内对角得出即可得证；
（2）连接，根据，利用比例关系和勾股定理求出和即可得出；
（3）证，得出，再利用等腰直角三角形得出的值即可．
【小问1详解】
解：∵四边形是圆O的内接四边形，
∴，，
∴，
又∵，
∴；
【小问2详解】
解：连接，
∵是的直径，
∴，
由（1）知，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
∴；
【小问3详解】
解：如下图：
∵E是弧的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∵，
即，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查圆的综合知识，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
26. 我们规定，对于已知线段AB，若存在动点C（点C不与点A，B重合）始终满足∠ACB的大小为定值，则称△ABC是“立信三角形”，其中AB的长称为它的“立信长”，∠ACB称为它的“立信角”．
（1）如图（1），已知立信△ABC中“立信长”，“立信角”，请直接写出立信△ABC面积的最大值；
（2）如图（2），在△ABD中，，，C是立信△ABC所在平面上的一个动点，且立信角，求立信△ABC面积的最大值；
（3）如图（3），已知立信长（a是常数且），点C是平面内一动点且满足立信角，若∠ABC，∠BAC的平分线交于点D，问：点D的运动轨迹长度是否为定值？如果是，请求出它的轨迹长度；如果不是，请说明理由．
【答案】（1）1 （2）
（3）是定值为
【解析】
【分析】（1）根据已知条件可得点在以为直径，中点O为圆心的圆上运动，当时，取得最大值，据此即可求解．
（2）过点作于点，解，继而可得，根据已知条件可得在以为半径，为圆心的上运动，当时，取得最大值，据此即可求解．
（3）根据（2）的方法，可得的轨迹为2段弧长，根据弧长公式计算即可求解．
【小问1详解】
解：∵，，
点在以为直径，中点O为圆心的圆上运动，
当时，取得最大值，此时AB=2，OC=1，
此时．
【小问2详解】
如图，过点作于点，
，，
，，
，
，
，
，
，
在以为半径，为圆心的上运动，当时，取得最大值，
设的半径为，则，
当三点共线时，取得最大值，此时，
此时；
【小问3详解】
解：如图，当位于上方时，
，，
ABC，∠BAC的平分线交于点D，
，
在的上运动，
，
所对的圆心角为，即，
则是等边三角形，则的半径为，
点D的运动轨迹为，长度为，
当点位于的下方时，同理可得，
综上所述，点D的运动轨迹长度是．
【点睛】本题考查了求弧长，圆周角定理，勾股定理，根据三角函数值求角度，掌握定弦定角模型是解题的关键．
苏州市苏州工业园区金鸡湖学校2022-2023学年九年级上学期
12月月考数学试题
一、选择题（共10小题，共30分）
1. 在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，则sinB的值是（ ）
A. B. C. D.
2. 如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝100°，则∠BCD的度数( )
A. 130° B. 100° C. 80° D. 50°
3. 如图，已知BD是⊙O的直径，BD⊥AC于点E，∠AOC＝100°，则∠OCD的度数是（ ）
A. 20° B. 25° C. 30° D. 40°
4. 若二次函数的图象经过点，，则与的大小关系为（ ）
A. B. C. D. 不能确定
5. 如图，正五边形内接于，则的度数是（ ）
A. 36° B. 26° C. 30° D. 45°
6. 九（1）班45名同学一周课外阅读时间统计如表所示，那么该班45名同学一周课外阅读时间的众数、中位数分别是（ ）
人数（人）
5
19
15
6
时间（小时）
6
7
9
10
A. 7，7 B. 19，8 C. 10，7 D. 7，8
7. 如图，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别是A，B，OP交⊙O于点C，点D是上不与点A、点C重合的一个动点，连接AD，CD，若∠APB=80°，则∠ADC的度数是（ ）
A. 15° B. 20° C. 25° D. 30°
8. 如图，AB为直径，AB=4，C、D为圆上两个动点，N为CD中点，CM⊥AB于M，当C、D在圆上运动时保持∠CMN=30°，则CD的长（ ）
A. 随C、D的运动位置而变化，且最大值为4 B. 随C、D的运动位置而变化，且最小值为2
C. 随C、D的运动位置长度保持不变，等于2 D. 随C、D的运动位置而变化，没有最值
9. 如图所示的网格是正方形网格，则sinA的值为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，平面直角坐标系中，已知，，，抛物线过A点、B点，顶点为P，抛物线过A点、C点，顶点为Q，若P在线段AQ上，则的值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（共8小题，共24分）
11. 抛物线的顶点坐标是_____________．
12. 某校举行校园十佳歌手大赛，小张同学的初赛成绩为80分，复赛成绩为90分．若总成绩按初赛成绩占，复赛成绩占来计算，则小张同学的总成绩为 ___________分．
13. 若圆锥的高为4，底圆半径为3，则这个圆锥的侧面积为_____．（用含π的结果表示）
14. 若是抛物线与x轴的两个交点，则代数式的值是___________．
15. 如图，扇形OAB的圆心角为110°，C是上一点，则∠C＝_____°．
16. 已知函数（），当和时函数值相等，则当时的函数值为___________．
17. 如图，直线与抛物线交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当的周长最小时， ___________．
18. 如图，已知⊙O半径为2，点A点B在⊙O上，，，则线段OC的最大值为______．
三、解答题（共10小题，共76分）
19. 计算：
（1）．
（2）已知α为锐角， ，计算的值．
20. 如图，是圆O的直径，点C、D为圆O上的点，满足：点C是弧的中点，交于点E．已知，．
（1）求圆O的半径；
（2）过点C作的平行线交弦于点F，求线段的长．
21. 如图所示，建筑物座落在一斜坡的坡顶的平地上，当太阳光线与水平线夹角成60°时，测得建筑物在坡顶平地上的一部分影子米，在斜坡上的另一部分影子米，且斜坡的坡度为（即）求建筑物的高度．（结果保留根号）
22. 如图，在四边形中，．
（1）求的长；
（2）求四边形的面积．
23. 如图，在平面直角坐标系中，的两条直角边分别落在x轴、y轴上，且，将绕原点O顺时针旋转得到，将沿y轴翻折得到与交于点F．
（1）若抛物线过点A，B，C，求此抛物线的函数表达式；
（2）点M是第三象限内抛物线上的一动点，点M在何处时可使的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点M的坐标．
24. 重庆市红色旅游景点众多，例如歌乐山烈士陵园、红岩革命纪念馆、刘伯承同志纪念馆、聂荣臻元帅陈列馆等等，某学校为了解初三学生对重庆历史文化的了解程度，随机抽取了男、女各50名学生进行问卷测试，问卷共30道选择题，现将得分情况统计，并绘制了如图不完整的统计图（数据分组为A组：x≤15，B组：，C组：，D组：，x表示问卷测试的分数，大于20分为优秀），其中男生得分处于C组的得分情况分别为：21，22，22，22，22，22，23，23，24，24，24，25，25，25．
男生、女生得分的平均数、中位数、众数、优秀人数百分比如表所示：
组别
平均数
中位数
众数
优秀人数所占百分比
男
20
m
22
72%
女
20
23
20
n
（1）填空： = ，= ，并补全条形统计图；
（2）根据以上数据，你认为男生和女生对重庆历史文化了解哪个更好?请说明理由（一条即可）.
（3）已知该校初三年级共有男生400人，女生460人，请估计该校初三年级参加问卷测试成绩处于组的总人数
25. 如图（1），是的直径，点D、F是上的点，连接并延长交于A点，且，．
（1）求证：
（2）求：
（3）如图（2），若点E是弧的中点，连接．求：．
26. 我们规定，对于已知线段AB，若存在动点C（点C不与点A，B重合）始终满足∠ACB的大小为定值，则称△ABC是“立信三角形”，其中AB的长称为它的“立信长”，∠ACB称为它的“立信角”．
（1）如图（1），已知立信△ABC中“立信长”，“立信角”，请直接写出立信△ABC面积的最大值；
（2）如图（2），在△ABD中，，，C是立信△ABC所在平面上的一个动点，且立信角，求立信△ABC面积的最大值；
（3）如图（3），已知立信长（a是常数且），点C是平面内一动点且满足立信角，若∠ABC，∠BAC的平分线交于点D，问：点D的运动轨迹长度是否为定值？如果是，请求出它的轨迹长度；如果不是，请说明理由．
答案与解析
一、选择题（共10小题，共30分）
1. 在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，则sinB的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据勾股定理计算出斜边AB的长，然后根据正弦的定义求解．
【详解】如图，
∵∠C=90°，AC=8，BC=6，
∴AB==10，
∴sinB=．
故选：A．
【点睛】本题考查了正弦的定义：在直角三角形中，一锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值．也考查了勾股定理．
2. 如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝100°，则∠BCD的度数( )
A. 130° B. 100° C. 80° D. 50°
【答案】A
【解析】
【分析】根据圆周角定理可得∠A=，及圆内接四边形对角互补的性质∠C=180°-∠A=180°﹣50°=130°解答即可．
【详解】解：∵∠BOD=100°，
∴∠A=，
在⊙O的内接四边形ABCD中，
∴∠C=180°-∠A=180°﹣50°=130°．
故选A．
【点睛】本题考查了圆周角定理及圆内接四边形对角互补的性质，熟知圆周角定理及圆内接四边形对角互补的性质是解题的关键．
3. 如图，已知BD是⊙O的直径，BD⊥AC于点E，∠AOC＝100°，则∠OCD的度数是（ ）
A. 20° B. 25° C. 30° D. 40°
【答案】B
【解析】
【分析】由垂径定理知∠BOC＝∠AOC＝50°，再根据圆周角定理可得答案．
【详解】解：∵OA=OC，BO⊥AC，∠AOC＝100°，
∴∠BOC＝∠AOC＝50°，
则∠BDC＝∠BOC＝25°，
∵OC=OB，
∴∠OCD=∠ODC=25°，
故选B．
【点睛】本题主要考查圆周角定理，等腰三角形的性质与判定，解题的关键是掌握垂径定理及圆周角定理等知识点．
4. 若二次函数的图象经过点，，则与的大小关系为（ ）
A. B. C. D. 不能确定
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数的对称轴以及开口方向可知，离对称轴越远，函数值越大，判断即可．
【详解】解：∵二次函数解析式为：，
∴对称轴为：，
∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，
∵，
∴，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了比较函数值的大小，根据二次函数开口方向以及对称轴结合点到对称轴的距离是解本题的关键．
5. 如图，正五边形内接于，则的度数是（ ）
A. 36° B. 26° C. 30° D. 45°
【答案】A
【解析】
【分析】连接OD，OE，求出∠DOE=72°，再根据圆周角定理即可求出的值.
【详解】解：如图所示，连接OD，OE，
∵ABCDE是正五边形，
∴∠DOE==72°，
∴=∠DOE=36°，
故选：A．
【点睛】本题考查正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识.
6. 九（1）班45名同学一周课外阅读时间统计如表所示，那么该班45名同学一周课外阅读时间的众数、中位数分别是（ ）
人数（人）
5
19
15
6
时间（小时）
6
7
9
10
A. 7，7 B. 19，8 C. 10，7 D. 7，8
【答案】A
【解析】
【分析】根据众数、中位数的概念分别求得这组数据的众数、中位数．
【详解】解：数据7出现的次数最多，所以众数是7；
45个数据从小到大排列后，排在第23位的是7，故中位数是7．
故选：A．
【点睛】此题考查了众数的概念和中位数的概念，熟记概念是解题的关键．
7. 如图，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别是A，B，OP交⊙O于点C，点D是上不与点A、点C重合的一个动点，连接AD，CD，若∠APB=80°，则∠ADC的度数是（ ）
A. 15° B. 20° C. 25° D. 30°
【答案】C
【解析】
【详解】解；如图，连接OB，OA.
因为PA，PB是圆O的切线，
所以∠OBP=∠OAP=90°，PA=PB.
由四边形的内角和定理，得∠BOA=360°-90°-90°-80°=100°.
在△BPO和△APO中，
PB=PA，PO=PO，OB=OA，
所以△BPO≌△APO，
所以∠BOC=∠COA=∠AOB=50°.
由圆周角定理，得∠ADC=12∠AOC=25°.
故选C.
8. 如图，AB为直径，AB=4，C、D为圆上两个动点，N为CD中点，CM⊥AB于M，当C、D在圆上运动时保持∠CMN=30°，则CD的长（ ）
A. 随C、D的运动位置而变化，且最大值为4 B. 随C、D的运动位置而变化，且最小值为2
C. 随C、D的运动位置长度保持不变，等于2 D. 随C、D的运动位置而变化，没有最值
【答案】C
【解析】
【分析】连接OC、ON、OD，由垂径定理可知ON⊥CD，∠CON=∠DON，然后由∠ONC+∠CMO=180°，可证明O、N、C、M四点共圆，从而可得到∠NOC=∠NMC=30°，于是可证明△OCD为等边三角形，从而得到CD=2．
【详解】详解：连接：OC、ON、OD.
∵N是CD的中点，
∴ON⊥CD，∠CON=∠DON.
又∵CM⊥AB，
∴∠ONC+∠CMO=180°，
∴O、N、C. M四点共圆，
∴∠NOC=∠NMC=30°，
∴∠COD=60°，
又∵OC=OD，
∴△OCD为等边三角形.
∴CD=AB=×4=2.
故选C.
【点睛】本题主要考查轨迹问题，发现O、N、C、M四点共圆，从而证得△OCD为等边三角形是解题的关键.
9. 如图所示的网格是正方形网格，则sinA的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设正方形网格中的小正方形的边长为1，连接格点BC，AD，过C作CE⊥AB于E，解直角三角形即可得到结论．
【详解】解：设正方形网格中的小正方形的边长为1，
连接格点BC，AD，过C作CE⊥AB于E，
∵，BC＝2，AD＝，
∵S△ABC＝AB•CE＝BC•AD，
∴CE＝，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了解直角三角形的问题，掌握解直角三角形的方法以及锐角三角函数的定义是解题的关键．
10. 如图，平面直角坐标系中，已知，，，抛物线过A点、B点，顶点为P，抛物线过A点、C点，顶点为Q，若P在线段AQ上，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先分别求出抛物线的对称轴为直线，抛物线的对称轴为直线，然后把抛物线解析式设为交点式从而求出点P的坐标为（m+1，-a），点Q的坐标为（，），求出直线AQ的解析式为，再由P在直线AQ上，得到，由此即可得到答案．
【详解】解：∵抛物线过A点、B点，，，
∴抛物线的对称轴为直线，
同理可得抛物线的对称轴为直线，
设抛物线的解析式为，抛物线的解析式为，
∴当时，，
∴点P的坐标为（m+1，-a），
同理可求出点Q的坐标为（，），
设直线AQ的解析式为，
∴，
∴，
∴直线AQ的解析式为，
∵P在直线AQ上，
∴，
∴，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，正确求出P、Q的坐标是解题的关键．
二、填空题（共8小题，共24分）
11. 抛物线的顶点坐标是_____________．
【答案】（0，1）
【解析】
【详解】试题解析：∵a=1，b=0，c=1.
将x=0代入得到y=1.
∴抛物线的顶点坐标为：(0,1).
故答案为(0,1).
12. 某校举行校园十佳歌手大赛，小张同学的初赛成绩为80分，复赛成绩为90分．若总成绩按初赛成绩占，复赛成绩占来计算，则小张同学的总成绩为 ___________分．
【答案】86
【解析】
【分析】根据加权平均数计算公式列出算式，再进行计算即可得出答案．
【详解】解：小张同学的总成绩为分．
故答案为：86
【点睛】本题主要考查加权平均数，熟练掌握加权平均数的公式是解题的关键．
13. 若圆锥的高为4，底圆半径为3，则这个圆锥的侧面积为_____．（用含π的结果表示）
【答案】
【解析】
【分析】利用勾股定理易得圆锥的母线长，进而利用圆锥的侧面积＝π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．
【详解】解：∵圆锥的高为4，底圆半径为3，
∴圆锥的母线长为5，
∴圆锥的侧面积为π×3×5＝15π．
【点睛】此题考查了勾股定理，圆锥侧面积计算公式，熟记勾股定理及圆锥侧面积计算公式是解题的关键．
14. 若是抛物线与x轴的两个交点，则代数式的值是___________．
【答案】29
【解析】
【分析】根据题意可得m，n是方程的两根，从而得到，，再代入，即可求解．
【详解】解：∵是抛物线与x轴的两个交点，
∴m，n是方程的两根，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：29．
【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，把抛物线与x轴的交点问题转化为一元二次方程的问题是解题的关键．
15. 如图，扇形OAB的圆心角为110°，C是上一点，则∠C＝_____°．
【答案】125
【解析】
【分析】作所对的圆周角∠ADB，如图，根据圆周角定理得到∠ADB＝∠AOB＝55°，然后利用圆内接四边形的性质计算∠C的度数．
【详解】解：作所对的圆周角∠ADB，如图，
∴∠ADB＝∠AOB＝×110°＝55°，
∵∠ADB+∠C＝180°，
∴∠C＝180°﹣55°＝125°．
故答案为125．
【点睛】本题考查了圆的综合问题，掌握圆周角定理、圆内接四边形的性质是解题的关键．
16. 已知函数（），当和时函数值相等，则当时的函数值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据当和时函数的值相等，得出，根据，，得出，把代入函数求值即可．
【详解】解：∵当和时函数的值相等，
∴，
∴，
∴，
∴，
，，
∴，
当时．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的函数值，因式分解，掌握二次函数的函数值，因式分解是解题关键．
17. 如图，直线与抛物线交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当的周长最小时， ___________．
【答案】
【解析】
【分析】首先确定点A和点B的坐标，然后根据轴对称，可以求得使得的周长最小时点P的坐标，再根据，即可求解．
【详解】解：由，解得或，
∴点A的坐标为，点B的坐标为，
作点A关于y轴的对称点，连接与y轴交于，则此时的周长最小，
∴点的坐标为，
设直线的函数解析式为，
∵点B的坐标为，
∴，解得，
∴直线的函数解析式为，
∴当时，，
即点的坐标为，
∴，
即当的周长最小时，．
故答案为：．
【点睛】本题考查函数图象相交于轴对称的综合应用，点A关于y轴的对称点，连接交y轴于点后求出点坐标是解题的主要思路和关键所在．
18. 如图，已知⊙O半径为2，点A点B在⊙O上，，，则线段OC的最大值为______．
【答案】
【解析】
【分析】如图所示，连接OA，OB，过点A作AD⊥AO，使得∠ADO=∠ABC，先解直角三角形得到，证明△ADO∽△ABC，得到，∠AOD=∠ACB，再证明△DAB∽△OAC，推出，解直角三角形求出，则，再由，得到BD的最大值为，则OC的最大值为．
【详解】解：如图所示，连接OA，OB，过点A作AD⊥AO，使得∠ADO=∠ABC，
∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，，
∴，即，
∵∠ADO=∠ABC，∠OAD=∠CAB=90°，
∴△ADO∽△ABC，
∴，∠AOD=∠ACB，
∵∠DAO=∠BAC，
∴∠DAB=∠OAC，
∴△DAB∽△OAC，
∴，
∴，
在Rt△AOD中，，
∴，
∴，
∵，
∴BD的最大值为，
∴OC的最大值为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，勾股定理，圆的基本知识等等，解题的关键在于能够正确作出辅助线构造相似三角形．
三、解答题（共10小题，共76分）
19. 计算：
（1）．
（2）已知α为锐角， ，计算的值．
【答案】（1）
（2）4
【解析】
【分析】（1）先把特殊角锐角三角函数值代入，再化简，即可求解；
（2）根据，可得，再代入，即可求解．
【小问1详解】
解：
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴
【点睛】本题主要考查了特殊角锐角三角函数值混合运算，负整数指数幂，熟练掌握特殊角锐角三角函数值是解题的关键．
20. 如图，是圆O的直径，点C、D为圆O上的点，满足：点C是弧的中点，交于点E．已知，．
（1）求圆O的半径；
（2）过点C作的平行线交弦于点F，求线段的长．
【答案】（1）5 （2）
【解析】
【分析】（1）根据点C是弧的中点，得到，利用垂径定理得到设圆O的半径为r，根据勾股定理得到，代入数值求出r即可；
（2）根据平行线分线段成比例列式计算即可．
【小问1详解】
解：∵点C是弧的中点，
∴，
∴，
设圆O的半径为r，则，
∵在中，，
∴，
解得，
∴圆O的半径为5；
【小问2详解】
∵，
∴，
∴，
解得．
【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理，平行线分线段成比例，正确掌握各定理是解题的关键．
21. 如图所示，建筑物座落在一斜坡的坡顶的平地上，当太阳光线与水平线夹角成60°时，测得建筑物在坡顶平地上的一部分影子米，在斜坡上的另一部分影子米，且斜坡的坡度为（即）求建筑物的高度．（结果保留根号）
【答案】
【解析】
【分析】延长BC交AD于F，过D作DG⊥BC交BC延长线于G，由斜坡的坡度为（即）求得，两直线平行内错角相等∠FCD=30°，由当太阳光线与水平线夹角成60°，知∠AFB=60°由外角性质可求∠FDC=30°，可证CF=FD，由可求DG=，在Rt△FDG∠GFD =60°，可由三角函数GD=FD•sin60°，求得CF=FD=5，可求BF= 20，在Rt△ABF中，AB=tan∠AFB×BF=．
【详解】延长BC交AD于F，过D作DG⊥BC交BC延长线于G，
∵斜坡的坡度为（即），
∴，
∴，
∵CF平行地面，
∴∠FCD=30°，
∵当太阳光线与水平线夹角成60°，
∴∠AFB=60°，
∵∠AFC=∠FCD+∠FDC，
∴∠FDC =∠AFC-∠FCD=60°-30°=30°，
∴CF=FD，
∵，
∴DG=，
在Rt△FDG，
∠GFD=∠AFC=60°，
∴GD=FD•sin60°，
∴FD=，
∴CF=FD=5，
∴BF=BC+CF=15+5=20，
在Rt△ABF中，AB=tan∠AFB×BF=．
【点睛】本题考查坡比，等腰三角形，直角三角形，三角函数，掌握利用坡比求坡角，等腰三角形的性质，直角三角形性质，三角函数解题关键．
22. 如图，在四边形中，．
（1）求的长；
（2）求四边形的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）延长和交于点E，，先由三角形的内角和定理求出的度数，再根据直角三角形中角所对的边是斜边的一半，及勾股定理求出的长度；
（2）再根据四边形的面积进行求解即可．
【小问1详解】
解：延长和交于点E，
，
，
，
，
∴，
，
∴或（舍去）；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴四边形的面积，
【点睛】本题考查了含角的直角三角形的性质，勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握含角的直角三角形的性质是解题的关键．
23. 如图，在平面直角坐标系中，的两条直角边分别落在x轴、y轴上，且，将绕原点O顺时针旋转得到，将沿y轴翻折得到与交于点F．
（1）若抛物线过点A，B，C，求此抛物线的函数表达式；
（2）点M是第三象限内抛物线上的一动点，点M在何处时可使的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点M的坐标．
【答案】（1）
（2）当点M的坐标为时，的面积有最大值，最大值为
【解析】
【分析】（1）由题意易得点A、点B、点C的坐标，利用待定系数法求解即可；
（2）连接，设M点的坐标为，继而表示出的面积，利用配方法确定最值，并得出点M的坐标．
【小问1详解】
∵，
∴，
∵绕原点顺时针旋转得到，，
∴，
∴抛物线过点，
设抛物线的解析式为，可得，
解得 ，
故过点A，B，C的抛物线的解析式为．
【小问2详解】
∵点M在抛物线上，
∴，
∴
，
∵，
∴当时，，的面积有最大值，最大值为，
即当点M的坐标为时，的面积有最大值，最大值为．
【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及了待定系数法求函数解析式、不规则图形的面积、两直线的交点及配方法求二次函数最值得知识，综合性较强，难点在第三问，关键是设出点M的坐标，用含m的式子表示出三角形的面积
24. 重庆市红色旅游景点众多，例如歌乐山烈士陵园、红岩革命纪念馆、刘伯承同志纪念馆、聂荣臻元帅陈列馆等等，某学校为了解初三学生对重庆历史文化的了解程度，随机抽取了男、女各50名学生进行问卷测试，问卷共30道选择题，现将得分情况统计，并绘制了如图不完整的统计图（数据分组为A组：x≤15，B组：，C组：，D组：，x表示问卷测试的分数，大于20分为优秀），其中男生得分处于C组的得分情况分别为：21，22，22，22，22，22，23，23，24，24，24，25，25，25．
男生、女生得分的平均数、中位数、众数、优秀人数百分比如表所示：
组别
平均数
中位数
众数
优秀人数所占百分比
男
20
m
22
72%
女
20
23
20
n
（1）填空： = ，= ，并补全条形统计图；
（2）根据以上数据，你认为男生和女生对重庆历史文化了解哪个更好?请说明理由（一条即可）.
（3）已知该校初三年级共有男生400人，女生460人，请估计该校初三年级参加问卷测试成绩处于组的总人数
【答案】（1）24.5，70%，见解析
（2）男生理解更好，理由见解析
（3）250人
【解析】
【分析】(1)利用男生的总人数及D组所占的百分比求得D的人数，再利用中位数的定义即可求得m的值；利用女生得分的条形图求得女生C组的人数即可求得女生的优秀人数，进而求得优秀率n的值；
(2)利用中位数的特点即可求解；
(3)用样本中男生和女生各自C组所占的百分比乘以各自的总人数，然后相加即可求解．
【小问1详解】
，C组由12人，
∴男生得分的中位数，
∵女生C组的人数为：，
∴女生优秀的百分比 ，
补全条形统计图如图所示：
【小问2详解】
我认为男生了解更好，理由如下：
从中位数来看，男生得分的中位数24.5分大于女生得分的中位数23分，所以男生对历史文化了解更好。
【小问3详解】
答：估计该校参加问卷测试成绩处于C组的人数约为250人．
【点睛】本题考查了扇形统计图，条形统计图，样本估计总体等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
25. 如图（1），是的直径，点D、F是上的点，连接并延长交于A点，且，．
（1）求证：
（2）求：
（3）如图（2），若点E是弧的中点，连接．求：．
【答案】（1）见解析 （2）；
（3）．
【解析】
【分析】（1）根据圆内接四边形的外角等于内对角得出即可得证；
（2）连接，根据，利用比例关系和勾股定理求出和即可得出；
（3）证，得出，再利用等腰直角三角形得出的值即可．
【小问1详解】
解：∵四边形是圆O的内接四边形，
∴，，
∴，
又∵，
∴；
【小问2详解】
解：连接，
∵是的直径，
∴，
由（1）知，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
∴；
【小问3详解】
解：如下图：
∵E是弧的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∵，
即，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查圆的综合知识，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
26. 我们规定，对于已知线段AB，若存在动点C（点C不与点A，B重合）始终满足∠ACB的大小为定值，则称△ABC是“立信三角形”，其中AB的长称为它的“立信长”，∠ACB称为它的“立信角”．
（1）如图（1），已知立信△ABC中“立信长”，“立信角”，请直接写出立信△ABC面积的最大值；
（2）如图（2），在△ABD中，，，C是立信△ABC所在平面上的一个动点，且立信角，求立信△ABC面积的最大值；
（3）如图（3），已知立信长（a是常数且），点C是平面内一动点且满足立信角，若∠ABC，∠BAC的平分线交于点D，问：点D的运动轨迹长度是否为定值？如果是，请求出它的轨迹长度；如果不是，请说明理由．
【答案】（1）1 （2）
（3）是定值为
【解析】
【分析】（1）根据已知条件可得点在以为直径，中点O为圆心的圆上运动，当时，取得最大值，据此即可求解．
（2）过点作于点，解，继而可得，根据已知条件可得在以为半径，为圆心的上运动，当时，取得最大值，据此即可求解．
（3）根据（2）的方法，可得的轨迹为2段弧长，根据弧长公式计算即可求解．
【小问1详解】
解：∵，，
点在以为直径，中点O为圆心的圆上运动，
当时，取得最大值，此时AB=2，OC=1，
此时．
【小问2详解】
如图，过点作于点，
，，
，，
，
，
，
，
，
在以为半径，为圆心的上运动，当时，取得最大值，
设的半径为，则，
当三点共线时，取得最大值，此时，
此时；
【小问3详解】
解：如图，当位于上方时，
，，
ABC，∠BAC的平分线交于点D，
，
在的上运动，
，
所对的圆心角为，即，
则是等边三角形，则的半径为，
点D的运动轨迹为，长度为，
当点位于的下方时，同理可得，
综上所述，点D的运动轨迹长度是．
【点睛】本题考查了求弧长，圆周角定理，勾股定理，根据三角函数值求角度，掌握定弦定角模型是解题的关键．
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