2023黄冈高一上学期期中联考数学试题含解析

2022-2023学年湖北省黄冈市高一上学期期中联考

数学试卷

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）

1. 已知集合，，则的子集个数为

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先化简集合A，进而求得求解.

【详解】

，

则，

则的子集个数为.

故选：D

2. 设，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分且必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】由，可得或，根据充分条件和必要条件的定义，结合包含关系即可得到结论.

【详解】解：由，得或，

因为或不能推出，

能推出或.

所以“”是“”的必要不充分条件.

故选：B.

3. 已知，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】举特例可判断A，C，D，由函数在上单调递增可判断B.

【详解】当，时，A，C错误；

因为函数在上单调递增，所以，B正确；

当时，D错误.

故选：B

4. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】抽象函数定义域的求解，需要遵循两个原则，第一是定义域是指的取值范围；第二是同一对应法则下，整体范围相同.

【详解】因为的定义域为，所以，解得或．又因为，解得，所以的定义域为．

故选：C

5. 下列结论中不正确的个数是（    ）

①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题：

②命题“，”全称量词命题；

③命题，，则，.

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

【答案】C

【解析】

【分析】根据存在量词命题、全称量词命题的概念，命题否定的求法，分析选项，即可得答案.

【详解】对于①：命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题，故①错误；

对于②：命题“”是全称量词命题；故②正确；

对于③：命题，则，故③错误.

所以错误的命题为①③，

故选：C

6. 已知函数的定义域为R，则a的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意转化为不等式在上恒成立，分类讨论，即可求解.

【详解】由题意，函数有意义，则满足，

因为函数的定义域为，即不等式在上恒成立，

当时，恒成立，符合题意；

当时，恒成立，符合题意．

当时，不符合题意，

综上可得，实数取值范围是．

故选：D.

7. 已知函数的值域与函数的值域相同，则实数a的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据的值域为列不等式，由此求得的取值范围.

【详解】依题意，，

当时，，

函数的值域与函数的值域相同，即为，

需满足，解得.

所以实数a的取值范围是.

故选：B

8. 对于函数，若对任意的，，，，，为某一三角形的三边长，则称为“可构成三角形的函数”，已知是可构成三角形的函数，则实数t的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】先判断的奇偶性，然后对进行分类讨论，结合的单调性、最值求得的取值范围.

【详解】，，

当时，，

的定义域为，，所以是偶函数，

为偶函数，只需考虑在上的范围，

当时，在单调递减，

对，，，恒成立，

需，，.

当，在上单调递增，，

对，，，恒成立，

，，，

综上：

故选：B

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）

9. 下列函数中，与函数是同一函数的是（    ）

A.  B. y=t+1 C.  D.

【答案】BD

【解析】

【分析】函数的定义域是.选项AC函数与已知函数的定义域不同，所以不是同一函数，选项BD满足同一函数的定义，所以是同一函数.

【详解】解：两个函数只有定义域和对应关系分别相同，两个函数才是同一函数.

函数的定义域是.

的定义域为与的定义域不同，所以不是同一函数；

与的对应关系、定义域都相同，所以两个函数为同一函数；

与的定义域不同，所以两个函数不是同一函数；

与的对应关系、定义域都相同，所以函数为同一函数.

故选：BD．

10. 表示不超过x的最大整数，则满足不等式的x的值可以为（    ）

A. 3 B.  C.  D. 8

【答案】AC

【解析】

【分析】由一元二次不等式得，再结合新定义可求x的值.

【详解】不等式可化为，

所以，所以，所以所以的值可以为内的任何实数，

故选：AC.

11. 下列说法正确的是（    ）

A. 已知集合，，若，则实数m组成的集合为

B. 不等式对一切实数x恒成立的充要条件是

C. 函数的最小值为2

D. “”是“”的充分不必要条件

【答案】AB

【解析】

【分析】根据子集、充要条件、基本不等式、充分不必要条件等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】对于A：若时，满足，此时，

若，由题可知，则或，得或，

所以实数m组成的集合为，A选项正确；

对于B：当时，有对一切实数x恒成立，

当时，有，解得，

故不等式对一切实数x恒成立的充要条件是，B正确；

对于C：，

当且仅当时取等号，但此时，不符合题意，

故等号取不到，C错误；

对于D：当时，，即“”不能推出“”，D不正确.

故选：AB

12. 设m，，定义运算“”和“”如下：，，若正数m，n，p，q满足，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】CD

【解析】

【分析】取，可判断A，可判断B，结合均值不等式和题干条件可判断CD.

【详解】由运算“”和“”定义知，

表示数m、n中比较小的数，

表示数m、n中比较大的数，

当，时，，选项A错误;

当时，，选项B错误;

，且，，选项C正确.

，，，选项D正确;

故选：CD

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则__________.

【答案】

【解析】

【分析】根据函数的奇偶性求得正确答案.

【详解】函数是定义在上的奇函数，

故答案为：

14. 《几何原本》卷2的几何代数法几何方法研究代数问题成了后世西方数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明;如图所示图形，点D、F在圆O上，点C在直径AB上，且，，于点E，设，，该图形完成的无字证明.

图中线段__________的长度表示

【答案】

【解析】

【分析】根据几何关系表示出，，，根据三角形相似即可表示

【详解】解：由图形可知，，

在直角中，由勾股定理得，

在直角中，由勾股定理得，

由，，则∽ 可得：，

所以，所以线段DE的长度表示，

故答案为

15. 已知函数为上的偶函数，且对，的都有恒成立，则使成立的x取值范围为__________.

【答案】或

【解析】

【分析】判断出的对称性、单调性，由此转化不等式，从而求得的取值范围.

【详解】函数为上的偶函数，故关于对称，

对，的都有恒成立，

故在上单调递减，在上单调递增，

要使成立，需满足，，

两边平方得，

解得：或

故x的取值范围为或

故答案为：或

16. 函数在上的最小值为，最大值是3，则的最大值为__________.

【答案】

【解析】

【分析】将函数写成分段函数，画出函数图象，分别求出和时自变量的值，结合图象得到的最大值.

【详解】解：函数图象如下，

当时，令，得舍，，

当时，令，得，舍，

结合图象可得

故答案为：

四、解答题（本大题共6题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 在①；②；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题.

问题：已知集合，.

（1）当时，求；

（2）若_____，求实数a的取值范围.

【答案】（1）   

（2）答案见解析

【解析】

【分析】（1）根据补集、交集的知识求得.

（2）选①或②或③，根据是否为空集进行分类讨论，由此列不等式来求得的取值范围.

小问1详解】

当时，集合，，

或，所以.

【小问2详解】

若选择①，则，因为，

时，，即，；

时，，，所以实数a的取值范围是；

若选择②，可知，因为，

时，，即，;

时，，，所以实数a的取值范围是；

若选择③，，因为，

时，，即；

时，

或，

解得，

所以实数a的取值范围是或.

18. 已知是定义在上的奇函数，且

（1）求的解析式；

（2）记的值域为集合A，集合，若，求m的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由求得，进而求得.

（2）根据函数值域的求法求得，根据列不等式，从而求得的取值范围.

【小问1详解】

由于是奇函数，且，

所以，解得，经检验成立，所以.

【小问2详解】

由（1）得，

，

当时，，

，当且仅当时等号成立，

所以.

当时，，

当且仅当时等号成立，

所以，

综上所述，的值域

又，所以，解得，

所以的取值范围是.

19. 已知二次函数的图象过点、且满足

（1）求函数的解析式.

（2）若对恒成立，求实数m的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由题意可得对称轴为，设出二次函数的顶点式方程，代入、两个点，求解即可；

（2）转化为，对恒成立，列出不等式求解即可.

【小问1详解】

，关于轴对称

设，又过点，，

将代入有：，，

【小问2详解】

对恒成立，

令，对恒成立.

是开口向上的抛物线，

只需，即可，

，即，

实数m的取值范围为

20. （1）已知x，，，求证：

（2）已知x，，若，且不等式恒成立，求实数m的取值范围.

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

【分析】（1）根据基本不等式的变形，分析即可得证；

（2）根据基本不等式的变形，可得，求解即可.

【详解】（1）由x，，，

则

当且仅当时，取“=”.

（2）

又，

由（1）知，

故实数m的取值范围为.

21. 已知函数

（1）若，求的定义域.

（2）若函数在区间上是减函数，求实数a的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由题意，，结合解不等式即可；

（2）分，两种情况讨论，由复合函数单调性以及函数定义域，分析即得解.

【小问1详解】

由题意，，

故函数的定义域为

【小问2详解】

当时，在是减函数，在是增函数.

在上是减函数，

且

当时，在是增函数，在是增函数.

函数在是增函数.

在是减函数，，恒成立.

时，在是减函数.

综上，在时，在上是减函数

22. 已知函数，.

（1）当时，求的最小值;

（2）若关于x的不等式在上有解，求实数m的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）先求得在区间上的最大值和最小值，由此求得的最小值.

（2）结合（1）求得的最小值，由此对进行分类讨论，解一元二次不等式求得的取值范围.

【小问1详解】

令，，不妨设，

，

若，，则，，，

，在是减函数.

若，，则，，

，在是增函数.

，，

.

【小问2详解】

要使在上有解，则需恒成立.

对于，，

由（1）可知在递减，在递增，

同理可求得，

当时，，解得或，

当时，，解得，

当时，，解得，

综上得或，

因此，当时，不等式在上有解.

【点睛】含有绝对值的函数的分析，关键是把握住绝对值内的函数的符号.利用函数单调性的定义证明函数的单调性，即是判断的符号.恒成立问题可转化为最值问题来进行求解.