专题 19.13 一次函数（一）（知识讲解）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

这是一份专题 19.13 一次函数（一）（知识讲解）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版），共22页。教案主要包含了学习目标，要点梳理，典型例题等内容，欢迎下载使用。

专题 19.13 一次函数（一）（知识讲解）
【学习目标】
1. 理解一次函数的概念，通过数形结合理解并掌握一次函数y=kx+b的图象与正比例函数y=kx的图象之间的关系；
2. 能正确画出一次函数y=kx+b的图象．掌握一次函数的性质．利用函数的图象解决与一次函数有关的问题，还能运用所学的函数知识解决简单的实际问题．
3.掌握“设参求值”法在一次函数中的解决几何问题
4. 掌握运用所学的函数知识解决实际问题．
【要点梳理】
要点一、一次函数的定义
一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数.
特别说明：当b＝0时，y=kx+b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数，的要求，一次函数也被称为线性函数.
要点二、一次函数的图象与性质
1.函数y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象是一条直线 ；
当b＞0时，直线y=kx+b是由直线y=kx向上平移b个单位长度得到的；
当b＜0时，直线y=kx+b是由直线y=kx向下平移|b|个单位长度得到的.
2. 一次函数y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象与性质：
一　　次　　函　　数
概　念
如果y=kx+b（k、b是常数，k≠0），那么y叫x的一次函数.当b=0时，一次函数y=kx（k≠0）也叫正比例函数.
图　像
一条直线
性　质
k＞0时，y随x的增大(或减小)而增大(或减小)；
k＜0时，y随x的增大(或减小)而减小(或增大).
直线y=kx+b（k≠0）的位置与k、b符号之间的关系.
（1）k>0，b＞0图像经过一、二、三象限；
（2）k>0，b＜0图像经过一、三、四象限；
（3）k>0，b＝0 图像经过一、三象限；
（4）k＜0，b＞0图像经过一、二、四象限；
（5）k＜0，b＜0图像经过二、三、四象限；
（6）k＜0，b＝0图像经过二、四象限。
一次函数表达式的确定
求一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）时，需要由两个点来确定；求正比例函数y=kx（k≠0）时，只需一个点即可.
3. k、b对一次函数的图象和性质的影响：
k决定直线y=kx+b从左向右的趋势，b决定它与轴交点的位置，k、b一起决定直线y=kx+b经过的象限．
4. 两条直线：和：的位置关系可由其系数确定：
（1）与相交； （2），且与平行；
特别的：当直线时，
要点三、待定系数法求一次函数解析式
　 一次函数y=kx+b（，是常数，≠0）中有两个待定系数，，需要两个独立条件确定两个关于k，b的方程，这两个条件通常为两个点或两对，的值.
特别说明：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法.由于一次函数y=kx+b中有和两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以和为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式.
要点四、“设参求值”解决几何问题
设参求值解决几何问题的步骤：设参数——表示点坐标——表标线段长——表示面积（周长）等——建立等量关系——列方程，从而达到解题的目的。
要点五、分段函数
对于某些量不能用一个解析式表示，而需要分情况（自变量的不同取值范围）用不同的解析式表示，因此得到的函数是形式比较复杂的分段函数.解题中要注意解析式对应的自变量的取值范围，分段考虑问题.
特别说明：对于分段函数的问题，特别要注意相应的自变量变化范围.在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围.
要点六、待定系数法求一次函数解析式
【典型例题】
类型一、一次函数的识别
1．已知与x+n（，为常数）成比例，试判断与成什么函数关系？
【答案】与是一次函数关系
【分析】根据题意，设，结合一次函数的性质分析，即可得到答案．
解：根据题意，设
整理得：
∴与是一次函数关系．
【点拨】本题考查了一次函数的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，从而完成求解．
举一反三：
【变式1】下列函数中，哪些是一次函数？
； ； ； （k，b是常数）
【答案】y=-2x是一次函数.
【分析】根据一次函数的定义分别进行判断即可．
解：（1）自变量x的次数为-1，不是一次函数；
（2）y=-2x是一次函数；
（3）y=x2+2属于二次函数，不是一次函数；
（4）当k=0时，y=kx+b（k、b是常数）是常函数，不是一次函数；
【点拨】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y=kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．
【变式2】下列图象中，表示一次函数的有哪些？

【答案】（2）
【分析】根据一次函数的图象是直线即可求解．
解：表示y是x的一次函数的图象是一条直线，观察选项，只有（2）符合题意．
故表示一次函数的为（2）．
【点拨】本题考查了一次函数的图像，一次函数和正比例函数的图象都是直线．
类型二、由一次函数定义求参数
2．已知函数；
（1）当取何值时，这个函数是正比例函数？
（2）当在什么范围内取值时，这个函数是一次函数？
【答案】(1)当时，这个函数为正比例函数；(2)当时，这个函数是一次函数
【分析】（1）根据正比例函数的定义求解即可；
（2）根据一次函数的定义求解即可．
(1) 解：∵函数是正比例函数，
∴，
∴，
∴当时，这个函数为正比例函数；
（2） 解：∵函数是一次函数，
∴，
∴，
∴当时，这个函数是一次函数．
【点拨】本题主要考查了一次函数与正比例函数的定义，熟知二者的定义是解题的关键．
举一反三：
【变式1】 已知函数y＝（k﹣1）x|k|+k2﹣4是关于x的一次函数，求（3k+2）2012的值．
【答案】1
【分析】先根据一次函数的定义求出k的值，然后代入(3k+2)2012计算即可
解：由题意得
|k|=1，且k-1≠0，
解得 k=-1，
∴(3k+2)2012=(-3+2)2012=1．
【点拨】本题考查了一次函数的定义，一般地，形如y=kx+b，（k为常数，k≠0）的函数叫做一次函数．
【变式2】当k为何值时，函数y＝（k+3）xk+1+4x﹣8（x≠0）是一次函数？
【答案】0或-3
【分析】形如y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．直接利用一次函数的定义分析得出答案．
解：∵y＝(k+3)xk+1+4x﹣8（x≠0）是一次函数，
∴k+1=1，
解得：k=0．
∴y＝(k+3)x+4x﹣8=(k+3+4)x﹣8，
此时k+3+4≠0，
∴当k为0时，函数y=(k+3)xk+1+4x-8（x≠0）是一次函数；
当k=-3时，原式变为y＝4x﹣8，是一次函数；
综上可知，当k的值为0或-3时，y＝(k+3)xk+1+4x﹣8（x≠0）是一次函数．
【点拨】本题考查了一次函数的定义，一般地，形如y=kx+b，（k为常数，k≠0）的函数叫做一次函数．
类型三、待定系数法求一次函数解析式
3．已知是关于的一次函数，且当时，；当时，．
(1) 求该一次函数的表达式；
(2) 当时，求自变量的值．
【答案】(1) ；(2) 4
【分析】（1）设一次函数的表达式为y=kx+b（k≠0）．把x、y的值分别代入函数解析式，列出关于系数的方程组，通过解方程组即可求得k、b的值；
（2）把y=-3代入函数解析式来求相应的x的值．
(1) 解：设一次函数的表达式为 y=kx+b（k≠0），
由题意，得，
解得
∴该一次函数解析式为；
（2）解：当 y=-3 时，，
解得 x=4，
∴当y=-3时，自变量x的值为4．
【点拨】利用待定系数法求函数解析式的一般步骤，解题的关键是掌握①先设出函数解析式的一般形式；②将已知点的坐标代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；③解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式
举一反三：
【变式1】已知，在平面直角坐标系中，直线y＝kx＋b经过点A（1，－1）和点
B（3，3）
（1）求直线AB所对应的函数表达式；
（2）若点M（2，m）在直线AB上，求m的值．
【答案】(1) y＝2x−3；(2) 1
【分析】（1）用待定系数法直接求解表达式即可；
（2）根据函数表达式和点M（2，m）在直线AB上，代入求解即可．
解：(1)∵直线y＝kx+b经过点A（1，－1）和点B（3，3），
∴，得，
即直线AB所对应的函数表达式是y＝2x−3；
（2）∵点M（2，m）在直线AB上，
∴2×2−3＝m，
解得，m＝1，
即m的值是1．
【点拨】本题考查待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上的点的特征，熟练掌握知识点是解题的关键．
【变式2】一次函数图象经过，两点．
(1) 求此一次函数表达式；
(2) 当时，求y的值．
【答案】(1) ；(2) 4
【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式；（2）利用（1）中解析式计算自变量为6所对应的函数值即可．
解：（1）设一次函数解析式为，把，代入得
，
解得，
所以一次函数解析式为
(2) 当时，．
【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b；将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
类型四、一次函数自变量或函数值
4．已知与x成正比例，当时，.
(1) 求y与x的函数表达式；
(2) 求当时的函数值.
【答案】(1) y＝7x-5；(2) -12
【分析】（1）利用正比例函数的定义得出k的值，即可得出答案；
（2）将x＝﹣1代入（1）中函数解析式进而得出答案．
解：(1) ∵y+5与x成正比例，
∴y+5＝kx，
∵当x＝1时，y＝2，
∴2+5＝k，
解得：k＝7，
故y与x函数表达式为：y＝7x-5；
（2）当x＝﹣1时，y＝﹣7-5=-12，
函数值为：﹣12．
【点拨】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，正确得出k的值是解题关键．
举一反三：
【变式1】已知y－2与x成正比例，且当x＝2时，y＝－4．
(1) 求y与x之间的函数关系式；
(2) 判断点是否在这个函数图象上．
【答案】(1) y＝-3x＋2；(2) 点A不在这个函数图象上
【分析】(1) 首先设 y-2=kx，再把x=2，y=-4代入所设的关系式，即可算出k的值，进而得到y与x之间的函数关系式；
(3) 把x=1代入(1)中所求的关系式，看y是否是5．
解：(1) 设 y-2=kx(k≠0)，
∵x=2时，y=−4，
∴-4-2=2k，
∴k=-3，
∴y-2=-3x，
即y=-3x+2，
∴y与x之间的函数关系式为y=−3x+2；
(2) 解：∵当x＝1时，，，
∴点不在这个函数图象上．
故答案为：(1) y=−3x+2；(2) 点A不在这个函数图象上．
【点拨】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是掌握一次函数图象上点的坐标特征．
【变式2】已知y+2与x+1成正比，且x＝2时y＝7．
(1) 求y与x之间的函数关系式；
(2) 当y＝4时，求x的值．
【答案】(1) y=3x+1；(2) 1
【分析】（1）已知y+2与x+1成正比例，即可以设y+2=k（x+1），把x=2，y=7代入即可求得k的值，从而求得函数解析式；
（2）在解析式中令y=4即可求得x的值．
解：（1）设y+2=k（x+1），把x=2，y=7代入得：7+2=k（2+1），
解得：k=3，
则函数的解析式是：y+2=3（x+1），
即y=3x+1；
（2）当y=4时，3x+1=4，
解得x=1．
【点拨】此类题目需灵活运用待定系数法建立函数解析式，然后将点的坐标代入解析式，利用方程解决问题．
类型五、判断一次函数的图象
5．若一次函数y＝kx﹣1的图象经过A（3，8），B（m，﹣7）两点，求m的值．
【答案】-2
【分析】将点A代入函数表达式，求出k值，得到函数表达式，再令y=-7，即可求出m值．
解：将A（3，8）代入y＝kx-1，
得：8=3k-1，
解得：k=3，
∴一次函数表达式为：y＝3x-1，
令y=-7，
得：m=-2．
【点拨】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，先求出函数表达式．
举一反三：
【变式1】 某种摩托车的油箱加满油后，油箱中的剩余油量与摩托车行驶路程之间的关系如图所示．根据图象回答下列问题：
（1）油箱最多可储油多少升？
（2）一箱汽油可供摩托车行驶多少千米?
（3）摩托车每行驶消耗多少升汽油?
（4）油箱中的剩余油量小于时，摩托车将自动报警．行驶多少千米后，摩托车将自动报警?

【答案】（1）油箱最多可储油；（2）一箱汽油可供摩托车行驶；（3）摩托车每行驶消耗汽油；（4）行驶后，摩托车将自动报警
【分析】（1）结合图像，当摩托车行驶路程为零时，对应的纵坐标数值即为油箱最多可储油的量；
（2）结合图像，当摩托车剩余油量为零时，对应的横坐标数值即为可供摩托车行驶的总里程；
（3）结合图像，从0增加到100时，从10减少到8，即可得到答案；
（4）根据（3）的结论，通过计算摩托车消耗汽油对应的行驶里程，即可得到答案．
解：（1）根据题意，得：当时，
∴油箱最多可储油；
（2）当时，
∴一箱汽油可供摩托车行驶；
（3）根据题意，从0增加到100时，从10减少到8，减少了2，
∴摩托车每行驶消耗汽油；
（4）根据（3）的结论，当摩托车消耗汽油时，对应的行驶里程为：
∴行驶后，摩托车将自动报警．
【点拨】本题考查了直角坐标系、一次函数图像的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数图像的性质，从而完成求解．
【变式2】已知一次函数．
（1）试判断点与点，是否在这个函数的图象上；
（2）在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象并回答：通过平移这个函数的图象，能否得到正比例函数的图象？如果能，请直接写出平移方法，如果不能，请说明理由．

【答案】（1）点不在这个函数的图象上，点在这个函数的图象上，见解析；（2）能，向下平移个单位长度（或向左平移个单位长度），见解析
【分析】（1）把点的坐标分别代入函数的解析式，看看两边是否相等即可；
（2）根据列表、描点、连线画出图象，观察图象即可求解．
解：（1）当时，，
点不在这个函数的图象上，
当时，，
点在这个函数的图象上．
（2）1．列表










2．描点




3．连线

能，向下平移个单位长度（或向左平移个单位长度）．
【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，能理解函数图象上点的坐标的特点是解题的关键，代入函数解析式，左边=右边．
类型六、由解析式判断直线位置
6．如图，在直角坐标系中，已知点A(6，0)，又点B(x，y)在第一象限内，且x＋y＝8，设△AOB的面积是S.
(1) 写出S与x之间的函数解析式，并求出x的取值范围；
(2) 画出(1)中所求函数的图象．

【答案】（1）0＜x＜8.（2）详见解析.
【分析】（1）根据点A、B的坐标求得△AOB的底边OA与高线BC的长度；然后根据三角形的面积公式即可求得S与x的函数关系式；
（2）利用“两点确定一条直线”来画一次函数的图象；
解：（1）∵点B在直线y=-x+8上，∴设B（x，-x+8），
∴y=-x+8与x和y轴的交点分别为（8，0）和（0，8）∵点B在第一象限，∴其横坐标x的范围是：0＜x＜8；
∵A（6，0），点B（x，y），
∴OA=6，BC=y（y＞0），
∴S=OA•BC=×6y=3y；
又∵x+y=8，
∴y=8-x，
∴S=-3x+24.
由，
解得0＜x＜8.
(2) ∵由（1）知，S=-3x+24（0＜x＜8）；
令S=0，则x=8；
令x=0，则S=24，
∴一次函数S=-3x+24（x＞0）经过点（8，0）、（0，24），
∴其图象如图所示：

【点拨】本题考查了一次函数的性质、一次函数的图象．解答（2）题时，注意该一次函数图象中的自变量x的取值范围．
举一反三：
【变式1】已知y关于x的函数y＝（1﹣3k）x＋2k﹣2，试回答：
（1）k为何值时，图象过原点？
（2）当k＝0时，写出该函数图象经过的象限．
【答案】（1）1；（2）第一、三、四象限
【分析】（1）令，代入解出即可得出答案；
（2）令，求出一次函数表达式，根据一次函数的性质判断图像经过的象限．
解：（1）∵经过原点（0，0），
∴，
解得：，
即当时，图象过原点；
（2）当时，关于的函数是，
，，
函数的图象经过第一、三、四象限．
【点拨】本题考查一次函数的性质，掌握一次函数相关性质是解题的关键．
【变式2】如图，一次函数y＝（m﹣3）x﹣m+1的图象分别与x轴正半轴、y轴负半轴相交于点A、B，求m的取值范围．

【答案】m＞3．
【分析】根据一次函数图象所经过的象限得到关于的不等式，解不等式组即可．
解：如图，一次函数图象经过第一、三、四象限，
，
解得．

【点拨】本题考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
类型七、由直线的位置求参数
7．已知一次函数y＝ax+b，ab＜0，且y随x的增大而增大，则此函数图象不经过第 ___象限．
【答案】二
【分析】根据已知条件“一次函数y＝ax+b，y随x的增大而增大”可以推知a＞0；然后由不等式的性质可以求得b＜0；最后由a、b的符号判定一次函数y＝kx+b的图象所经过的象限．
解：∵一次函数y＝ax+b，y随x的增大而增大，
∴a＞0；
又∵ab＜0，
∴b＜0，
∴一次函数y＝ax+b的图象经过第一、三、四象限，即此函数的图象不经过第二象限；
故答案是：二．
【点拨】本题考查的一次函数的性质，掌握根据增减性与一次函数的解析式判断一次函数经过哪几个象限是解题的关键.
举一反三：
【变式1】已知关于的一次函数，其图象经过第一、三、四象限，求的取值范围．
【答案】
【分析】根据一次函数经过的象限得到2m+1＞0，由此求解即可．
解：∵一次函数，其图象经过第一、三、四象限，
∴2m+1>0，
解得．
【点拨】此题考查了已知一次函数图象经过的象限求参数，正确掌握一次函数k、b的符号与所经过象限的关系是解题的关键．
【变式2】已知，一次函数
(1)当a、n为何值时，y随x的增大而增大？
(2)当a、n为何值时，函数的图象经过一、二、四象限？
(3)当a、n为何值时，函数的图象经过原点？
【答案】(1)，n为任意实数；(2)且；(3)当且．
【分析】（1）由y随x的增大而增大，利用一次函数的性质可得出并求解即可；
（2） 当函数的图象经过一、二、四象限时，由一次函数的图像与系数的关系可知且，求解即可；
（3）根据一次函数的定义结合一次函数图像上点的坐标特征，得出，，求解即可．
解（1）当y随x的增大而增大时，有，解得，
∴当，n为任意实数时，y随x的增大而增大．
（2）当函数的图象经过一、二、四象限，可知
，解得 ，
∴当且时，函数的图象经过一、二、四象限．
（3）若函数的图象经过原点，则有，，
解得 ， ，
∴当且时，函数的图象经过原点．
【点拨】本题主要考查了一次函数的性质、一次函数图像与系数的关系以及一次函数图像上点的坐标特征，解题关键是牢记一次函数的相关知识并熟练运用．
类型八、一次函数图象与坐标轴交点坐标
8．如图，一次函数的图象与x轴交于点A，y轴交于点B，与正比例函数图象交于点．
(1)______，______；
(2)求的面积．

【答案】(1) 5,3；(2)
【分析】（1）将代入，求出的值，可知点坐标，然后将点坐标代入，求出的值即可；
（2）由（1）可知一次函数解析式，求出一次函数与坐标轴的交点，进而计算面积即可．
解：(1) 将代入得，解得
∴
将代入得，解得
故答案为：5， 3．
（2）由（1）可知，一次函数解析式为
令，则
∴
令，则
∴
∴
∴的面积为．
【点拨】本题考查了一次函数与正比例函数．解题的关键在于根据函数图象的交点求出一次函数解析式．
举一反三：
【变式1】已知一次函数的图象过点及点．
(1)求一次函数表达式
(2)求函数图象分别与两坐标轴的交点坐标．
(3)求此函数图象与坐标轴围成三角形的面积．

【答案】(1) ；(2) 与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为；
（3）函数图象与坐标轴围成三角形的面积为4。
【分析】（1）将两点坐标代入函数表达式中，用待定系数法求解即可；
（2）把代入函数表达式，求出y的值即可得出图象与y轴的交点坐标，把y=0代入函数表达式，求出x的值，即可得出图象与x轴的交点坐标；
（3）根据函数的图象与坐标轴的交点，即可求得此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积．
解：（1）由题意得：
解得：
∴一次函数的解析式是：y＝2x＋4；
（2）把代入y＝2x＋4得：，
∴函数图象与y轴的交点坐标为：（0，4）；
把代入y＝2x＋4得：，
解得：，
∴函数图象与x轴的交点坐标为：（-2，0）；
（3）∵函数图象与两坐标轴的交点坐标分别为（0，4），（-2，0），
∴函数图象与坐标轴围成三角形的面积．
【点拨】本题主要考查了用待定系数法求函数解析式、图象与两坐标轴的交点坐标，根据图象上两个点的坐标列出关于k、b的方程组是解题的关键．
【变式2】已知一次函数与的图像都经过点A（-2，0），且与y轴分别交于点B和点C，求B、C两点的坐标．
【答案】
【分析】将A点坐标分别代入一次函数解析式，求出的值，得到一次函数解析式，将分别代入解析式求解y的值，进而得到点坐标即可．
解：将分别代入和得和
解得，
∴一次函数解析式分别为，
将分别代入和中解得和
∴，
∴B、C两点的坐标分别为，．
【点拨】本题考查了一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点坐标．解题的关键在于求解一次函数解析式 ．
类型九、画一次函数图象
9．已知一次函数的图象经过点A（2，－1）．
(1)求k的值；
(2)在平面直角坐标系中画出这个函数的图象．

【答案】(1)-3；(2)见解析
【分析】（1）直接将点坐标代入，得到关于k的方程，求解即可；
（2）该一次函数图象经过点A（2，－1），且与y轴交于点，连接即可．
解：（1）将点A（2，－1）代入，可得，
解得；
（2）如图所示，直线即为所求，
．
【点拨】本题考查一次函数的图象，找到函数图象上的两个点，连接即可得到函数图象．
举一反三：
【变式1】已知与成正比例，且当时，．
(1)求与之间的函数表达式；
(2)在如图所示的平面直角坐标系中，画出函数图象；并结合图象，当时，直接写出的取值范围．

【答案】(1)；(2)
【分析】（1）由题意设与的关系式为：=（k≠0），代入求参数即可；
（2）准确画出函数图像进行观察即可．
解：（1）∵与成正比例，
∴设：与的关系式为：=（k≠0），
将：，，代入=得：k=2，
∴=，
∴与之间的函数表达式为：．
（2）如图所示：
当时，．

【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图像与性质，数形结合是解题的关键．
【变式2】已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点
(1) 求、两点的坐标；
(2) 画出函数的图象
【答案】(1),；(2)见解析
【分析】（1）分别令，即可求得点的坐标；
（2）根据两点，作出一次函数的图象即可
解：（1）令，则，即，
令，则，即
（2）过，作直线的图象，如图所示，

【点拨】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，画一次函数图象，掌握一次函数的性质是解题的关键．