专题 19.17 一次函数（二）（知识讲解）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

这是一份专题 19.17 一次函数（二）（知识讲解）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版），共22页。教案主要包含了学习目标，要点梳理，典型例题等内容，欢迎下载使用。
专题 19.17 一次函数（二）（知识讲解）
【学习目标】
1. 理解一次函数的概念，通过数形结合理解并掌握一次函数y=kx+b的图象与正比例函数y=kx的图象之间的关系；
2. 能正确画出一次函数y=kx+b的图象．掌握一次函数的性质．利用函数的图象解决与一次函数有关的问题，还能运用所学的函数知识解决简单的实际问题．
3.掌握“设参求值”法在一次函数中的解决几何问题
4. 掌握运用所学的函数知识解决实际问题．
【要点梳理】
要点一、一次函数的定义
一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数.
特别说明：当b＝0时，y=kx+b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数，的要求，一次函数也被称为线性函数.
要点二、一次函数的图象与性质
1.函数y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象是一条直线 ；
当b＞0时，直线y=kx+b是由直线y=kx向上平移b个单位长度得到的；
当b＜0时，直线y=kx+b是由直线y=kx向下平移|b|个单位长度得到的.
2. 一次函数y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象与性质：
一　　次　　函　　数
概　念
如果y=kx+b（k、b是常数，k≠0），那么y叫x的一次函数.当b=0时，一次函数y=kx（k≠0）也叫正比例函数.
图　像
一条直线
性　质
k＞0时，y随x的增大(或减小)而增大(或减小)；
k＜0时，y随x的增大(或减小)而减小(或增大).
直线y=kx+b（k≠0）的位置与k、b符号之间的关系.
（1）k>0，b＞0图像经过一、二、三象限；
（2）k>0，b＜0图像经过一、三、四象限；
（3）k>0，b＝0 图像经过一、三象限；
（4）k＜0，b＞0图像经过一、二、四象限；
（5）k＜0，b＜0图像经过二、三、四象限；
（6）k＜0，b＝0图像经过二、四象限。
一次函数表达式的确定
求一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）时，需要由两个点来确定；求正比例函数y=kx（k≠0）时，只需一个点即可.
3. k、b对一次函数的图象和性质的影响：
k决定直线y=kx+b从左向右的趋势，b决定它与轴交点的位置，k、b一起决定直线y=kx+b经过的象限．
4. 两条直线：和：的位置关系可由其系数确定：
（1）与相交； （2），且与平行；
特别的：当直线时，
要点三、待定系数法求一次函数解析式
解题步骤：
第一步（设）：设出函数的一般形式（称一次函数通式）；
第二步（代）：代入解析式得出方程或方程组；
第三步（求）：通过列方程或方程组求出待定系数k，b的值；
第四步（写）：写出该函数的解析式。
要点四、“设参求值”解决几何问题
设参求值解决几何问题的步骤：设参数——表示点坐标——表标线段长——表示面积（周长）等——建立等量关系——列方程，从而达到解题的目的。
要点五、一次函数图象的平移
上下平移
(1) 直线y=kx+b上平移n(n >0)个单位得到直线y=kx+bn;
(2) 直线y=kx+b下平移n(n >0)个单位得到直线y=kx+b-n.
简记为上加下减(只改变b)
左右平移
(1) 直线y=kx+b左平移m(m>0)个单位得到直线y=k(x+m)+b;
(2) 直线y=kx+b右平移m(m>0)个单位得到直线y=k(x-m)+b.
简记为:左加右减(只改变x)
【典型例题】
类型十、一次函数图象的平移
10．请回答下列问题：
（1）直线可以由直线沿轴向_____（填“上”“下”）平移_____个单位得到；
（2）直线可以由直线沿轴向______（填“上”“下”）平移_____个单位得到．
【答案】     上     3     下     2
【分析】
（1）根据平移的规律：上加下减，左加右减进行求解即可；
（2）根据平移的规律：上加下减，左加右减进行求解即可．
解：（1）直线可以由直线沿轴向上平移3个单位得到；
故答案为：上，3；
（2）直线可以由直线沿轴向下平移2个单位得到，
故答案为：下，2．
【点拨】本题主要考查了一次函数图象的平移，熟知一次函数图象平移的规律是解题的关键．
举一反三：
【变式1】点，为一次函数（）图像上两点．
(1)若
①当时，的范围为______．
②若将此函数图像沿轴向上平移3个单位，平移后的函数图像的表达式为______．
(2)比较、的大小，并说明理由．
【答案】(1)①；②
(2)，理由见解析
【分析】
（1）①根据题意得到-2x+4＜0，解不等式即可求得；②根据平移的规律即可求得；
（2）根据一次函数的性质即可判断．
解：( 1 ) ∵k=-2，
∴一次函数为y=-2x+4，
① ∵y＜0，
∴-2x+4＜0，
∴x＞2；
②将此函数图象沿y轴向上平移3个单位，平移后的函数图象的表达式为y=-2x+4+3=-2x+7；
故答案为：①；②
（ 2 ）∵一次函数y=kx+4中，k＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵点A（m，p），B（m+3，q）为一次函数y=kx+4（k＜0）图象上两点，且m＜m+3，
∴p＞q．
【点拨】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数的性质，正确记忆平移规律是解题关键．
【变式2】一次函数y＝kx+4的图象经过点（﹣3，﹣2），则
（1）求这个函数表达式；
（2）判断（﹣5，3）是否在此函数的图象上；
（3）把这条直线向下平移4个单位长度后的函数关系式是　 　．
【答案】（1）y＝2x+4；（2）（﹣5，3）不在此函数的图象上；（3）y＝2x．
【分析】
（1）待定系数法即可求解；
（2）把点代入即可判断是否在直线解析式上；
（3）根据上加下减的规律即可得出答案．
解：（1）∵一次函数y＝kx+4的图象经过点（﹣3，﹣2），
∴﹣3k+4＝﹣2，
∴k＝2，
∴函数表达式y＝2x+4；
（2）把（﹣5，3）代入y＝2x+4，
∵﹣10+4＝﹣6≠3，
∴（﹣5，3）不在此函数的图象上；
（3）∵把这条直线向下平移4个单位，
∴函数关系式是：y＝2x；
故答案为：y＝2x．
【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，关键是掌握用待定系数法求一次函数的解析式．
类型十一、判断一次函数的增减性
11．y﹣5与x成正比例，且x＝3时y＝﹣4．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）用所学的代数知识证明：对于该函数，函数值y随自变量x的增大而减小．
【答案】（1）；（2）见解析
【分析】
（1）利用正比例函数的定义，设，然后把已知的一组对应值代入求出k即可得到y与x的关系式；
（2）在一次函数的图象上任取两点，设，且，则，判断可得，则．即可得到答案．
解：（1）设与x之间的函数表达式为
把代入得：，解得：，
∴，即：y与x之间的函数表达式：；
（2）在一次函数的图象上任取两点，设，且，
则，
∵
∴
∴，即；
∴时，．
∴对于函数，其函数值y随自变量x的增大而减小．
【点拨】本题考查了一次函数解析式的求法，以及函数的增减性，第（1）问，能正确设出表达式是解答此问的关键；第（2）问，能用求差法比较函数值的大小，是解答此问的关系．
举一反三：
【变式1】 从0开始逐渐增大时，函数和哪一个的值先到达10？哪一个的值先到达20？这说明了什么？
【答案】，，说明见解析
【分析】
分别计算函数值为10和20时，两个函数的自变量的值，然后把自变量的值即可判断谁先到达10，谁先到达20，由于5＞2，则对于y＝5x−2，y随x的变化较快．
解：2x＋6＝10，解得x＝2；5x−2＝10，解得x＝，
所以函数y＝2x＋6的值先到达10；
2x＋6＝20，解得x＝7；5x−2＝20，解得x＝，
所以函数y＝5x−2的值先到达20，
这说明对于y＝5x−2，y随x的增大而增大的幅度较大．
【点拨】本题考查了一次函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
【变式2】直线L1：y1=x+2与过点（，0）的直线L2：y2=kx+b交于点（m，1）
（1）求直线L2的解析式
（2）当-2≤x≤3时，求y2的最小值
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据直线L1的解析式求得的值，进而根据经过两点，待定系数法求解析式即可；
（2）根据一次函数的性质，可知随的增大而减小，进而当时取得最小值．
解：（1）过点

解得
交点
过点，

解得
求直线L2的解析式
（2），
随的增大而减小，
当时，，
当时，的最小值为．
【点拨】本题考查了一次函数图象的性质，待定系数法求解析式，掌握一次函数图象的性质是解题的关键．
类型十二、由一次函数增减性求参数
12．已知与成正比例，且时，．
(1) 写出与之间的函数关系式；
(2) 已知点在该函数的的图象上．且，求的取值范围．
【答案】(1)y=2x+4
(2)m＜-4
【分析】
（1）利用正比例的意义设y-2=k（x+1），然后把已知的对应值代入求出k，从而得到y与x之间的函数关系式；
（2）利用n=2m+4和m>n得到m>2m+4，然后解不等式即可．
解：（1）设y-2=k（x+1），
把x=2，y=8代入得8-2=（2+1）k，
解得k=2，
y-2=2（x+1），
y与x之间的函数关系式为y=2x+4；
（2）把P（m，n）代入y=2x+4得n=2m+4，
m>n，
m>2m+4，
解得m