专题 19.21 一次函数与方程、不等式（知识讲解）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

这是一份专题 19.21 一次函数与方程、不等式（知识讲解）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版），共16页。教案主要包含了学习目标，要点梳理，典型例题等内容，欢迎下载使用。
专题 19.21 一次函数与方程、不等式（知识讲解）【学习目标】1．能用函数的观点认识一次函数、一次方程（组）与一元一次不等式之间的联系，能直观地用图形（在平面直角坐标系中）来表示方程（或方程组）的解及不等式的解，建立数形结合的思想及转化的思想．2．能运用一次函数的性质解决简单的不等式问题及实际问题．【要点梳理】要点一、一次函数与一元一次方程一次函数与一元一次方程：从“数”的角度看x为何值时函数y= ax+b的值为0． 求ax+b=0(a, b是常数，a≠0)的解，从“形”的角度看，求直线y= ax+b与 x 轴交点的横坐标要点二、一次函数与一元一次不等式解不等式ax+b＞0(a，b是常数，a≠0) ．从“数”的角度看，x为何值时函数y= ax+b的值大于0． 解不等式ax+b＞0(a，b是常数，a≠0) ． 从“形”的角度看，求直线y= ax+b在 x 轴上方的部分（射线）所对应的的横坐标的取值范围．要点三、一次函数与二一元一次方程组1、从“数”的角度看，自变量（x）为何值时两个函数的值相等．并求出这个函数值 2、 从“形”的角度看，确定两直线交点的坐标.【典型例题】类型一、已知直线与x轴交点坐标，求方程的解 1．直线与x轴的交点为，则方程的解是______．【答案】【分析】一次函数y＝ax＋b的图象与x轴交点横坐标的值即为方程ax＋b＝0的解．解：直线与x轴的交点为，，，方程的解为，故答案为：【点拨】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数的性质是解题的关键．举一反三：【变式1】如图，直线与轴交于点，与直线交于点，则关于的一元一次方程的解为___________．【答案】【分析】首先根据两直线交于点B，可联立方程组求出x的值，在通过求得x，即可得解；解：∵，∴，解得：，∵直线与直线交于点，∴，由，得：，∴，∴关于x的一元一次方程的解为：．故答案是：．【点拨】本题主要考查了一次函数的图像性质，准确分析计算是解题的关键．【变式2】如图，已知一次函数的图象如图所示，①方程的解为_______；②关于的不等式的解集为_______．【答案】          【分析】根据图象可知，一次函数y=kx+b的图象过点（-6，0），即当x=-6时，y=0，由此得出关于x的方程kx+b=0的解和关于的不等式的解集．解：根据图象可知：∵一次函数y=kx+b的图象过点（-6，0）∴关于x的方程kx+b=0的解是x=-6；则关于的不等式可化为，，由k<0的解集为：．故答案为：；．【点拨】本题考查了一次函数与一元一次方程及一元一次不等式的关系，利用数形结合是解题的关键．类型二、由一元一次方程的解求直线与x轴交点坐标 2．若关于的方程的解为，则直线一定经过某点的坐标为______．【答案】（2，0）【分析】根据方程可知时，，即直线过点（2，0）．解：∵关于的方程的解为，∴当，，即时，，∴直线一定经过某点的坐标为（2，0），故答案为：（2，0）．【点拨】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系式解题的关键．举一反三：【变式1】 在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣2x+4与x轴的交点坐标为_____，与y轴的交点坐标为_____．【答案】     （2，0）     （0，4）【分析】分别代入x=0，y=0求出与之对应的y，x的值，进而可得出直线与两坐标轴的交点坐标．解：当y＝0时，﹣2x+4＝0，解得：x＝2，∴直线y＝﹣2x+4与x轴的交点坐标为(2，0)；当x＝0时，y＝﹣2x+4＝4，∴直线y＝﹣2x+4与y轴的交点坐标为(0，4)．故答案为：(2，0)；(0，4)．【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b是解题的关键．【变式2】已知直线与两坐标轴分别交于A，B两点，线段的长为___________________.【答案】【分析】根据表达式求出A、B两点坐标，再利用勾股定理求出AB的长即可．解：把x=0代入y=2x+4得：y=4，∴直线与y轴交点坐标为(0，4)，把y=0代入y=2x+4得：0=2x+4，x=－2，∴直线与x轴交点坐标为(－2，0)，∴．故答案为：．【点拨】本题考查一次函数及勾股定理，利用表达式求出点的坐标，再把坐标转化成线段长是解题的关键．类型三、图象法解一元一次方程 3．一次函数的图象如图所示，则关于x的方程的解为______．     【答案】2【分析】先用待定系数法求出一次函数关系式，再把y=-2代入求x的值即可．解：∵一次函数y=ax+b的图象与x轴交点的横坐标是-2，与y轴交点的纵坐标是-1，解得：∴的函数关系式是∴当y=-2时，-，解得：x=2，故答案为 ：2．【点拨】本题考查了一元一次方程可利用一次函数的图象求解；解题的关键是掌握实质就是解一元一次方程．即“形”题用“数”解，“数”题用“形”解，充分体现了数形结合的思想．举一反三：【变式1】“”是一款数学应用软件，用“”绘制的函数和的图像如图所示．若，分别为方程和的一个解，则根据图像可知____．（填“”、“”或“”）．【答案】＜【分析】根据方程的解是函数图象交点的横坐标，结合图象得出结论．解：∵方程-x2（x-4）=-1的解为函数图象与直线y=-1的交点的横坐标，-x+4=-1的一个解为一次函数y=-x+4与直线y=-1交点的横坐标，如图所示：由图象可知：a＜b．故答案为：＜．【点拨】本题考查了函数图象与方程的解之间的关系，关键是利用数形结合，把方程的解转化为函数图象之间的关系．【变式2】函数和的图象相交于点，则方程的解为______．【答案】【分析】由题意知，方程的解为其交点的横坐标，进而可得结果．解：由题意知的解为两直线交点的横坐标故答案为：．【点拨】本题考查了一次函数图象的交点与一次方程解的关系．解题的关键在于理解一次函数图象的交点与一次方程解的关系．类型四、由直线与x轴的交点求不等式的解集 4．如图，直线 y＝kx+b（k≠0）经过点 A（﹣3，2），则关于 x 的不等式 kx+b＜2 解集是____．【答案】x＞﹣3【分析】一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值小于2的自变量x的取值范围．解：由图中可以看出，当x＞﹣3时，kx+b＜2，故答案为：x＞﹣3．【点拨】本题主要考查了一次函数与不等式的解集，从图象中获取关键信息是解题的关键．举一反三：【变式1】如图，直线y＝kx+b（k≠0）经过点（﹣1，3），则不等式kx+b≥3的解集为________【答案】【分析】由图象即可知不等式kx+b≥3的解集．解：由图象可知：当时，直线y＝kx+b（k≠0）的图象在直线的上方当时，不等式kx+b≥3故答案为：．【点拨】本题考查了一次函数图象与一元一次不等式的关系，利用数形结合的思想通过一次函数的图象解一元一次不等式是解题的关键．【变式2】一次函数的图象如图所示，当时，的取值范围是________．【答案】0<x＜4 【分析】根据函数的图象，找到当时对应的x的取值范围即可得出结论．解：由函数的图象可知，当时，，当时，，∴当时，x的取值范围是．故答案为：．【点拨】本题主要考查了一次函数的图象和性质，根据一次函数图象确定不等式的解集，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．类型五、由两条直线的交点求不等式组的解集 5．如图，直线经过点A（m，－2）和点B（－4，0），直线过点A，则不等式b的解集为___．【答案】【分析】直线过点A（m，－2）求出m的值，不等式b即在直线上方时对应x的范围，根据图象即可求解．解：∵直线过点A（m，－2），∴，∴不等式b的解集为，故答案为：．【点拨】本题考查利用函数图象解不等式，将不等式转化为图象高低问题是解题的关键．举一反三：【变式1】 如图，正比例函数和一次函数交于点A（a，2），则当时，自变量x的取值范围为______．【答案】【分析】根据题意可求出a的值．再根据要使，即正比例函数图象在一次函数图象上方，且A为其交点，即可求出答案．解：将A（a，2）代入，得：，解得：．要使，即正比例函数图象在一次函数图象上方即可．根据图象可知当时，正比例函数图象在一次函数图象上方，∴当时，．故答案为：．【点拨】本题考查正比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是学会利用图象法解决问题．【变式2】如图，点在直线y＝－2x＋2与直线y＝－2x＋4之间，则m的取值范围是______．【答案】－1<m<1【分析】如图，作直线，交直线于，交直线于，将分别代入与中，求出对应的值，可得坐标，根据点在两直线之间运动，可得的取值范围．解：如图，作直线，交直线于，交直线于，将代入，得将代入，得∴∵点在两直线之间运动∴故答案为：．【点拨】本题考查了两直线交点求不等式的解集．解题的关键在于理解题意．体会数形结合的思想．类型六、两条直线的交点求二元一次方程组的解 6．平面直角坐标系中两直线与如图，则方程组的解是______．【答案】【分析】根据两直线的交点与二元一次方程组的解的关系并观察图象，即可得到答案．解：由题意知二元一次方程组的解为直线与直线的交点的横、纵坐标∴由图象知方程组的解为．【点拨】本题考查了两直线的交点与二元一次方程组的解的关系．解题的关键在于明确二元一次方程组的解为两直线的交点的横、纵坐标．体会数形结合的思想．举一反三：【变式1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-3x+6的图象l1与正比例函数y=x的图象l2，交于点C．若一次函数y=kx-2的图象为l3，且l1，l2，l3不能围成三角形，则满足条件的k的值为__________．【答案】-3或1或【分析】当l1∥l3或l2∥l3时以及l3也经过点C，l1，l2，l3不能围成三角形，即可求解．解：由得，∴C（，），当l1∥l3或l2∥l3时，l1，l2，l3不能围成三角形，即k=-3或1，当l3过点C时，将点C坐标代入y=kx-2，解得：k=；故答案为：-3或1或．【点拨】本题考查了两直线的交点，数形结合、分类讨论是解题的关键．【变式2】如图，直线与直线相交于点，则关于x，y的方程组的解是__________．【答案】【分析】由二元一次方程组与一次函数的关系判断即可得到答案．解：∵由二元一次方程组与一次函数的关系可知，两条直线的交点坐标即为关于x，y的二元一次方程组的解，∴关于x，y的方程组的解为：，故答案为：．【点拨】本题考查二元一次方程组与一次函数的关系，熟记相关的知识点是解题的重点．类型七、图象法解二元一次方程组 7．如图，已知函数y＝ax＋b和y＝kx的图象交于点P，则二元一次方程组的解是________；当ax＋b≤kx时，x的取值范围是____________．【答案】          x ≥－4【分析】根据图像可知，函数和交于点P（-4，-2），即可得二元一次方程组的解；根据函数图像可知，当时，．解：根据图像可知，函数和交于点P（-4，-2），则二元一次方程组的解是，由图像可知，当时，，故答案为：；．【点拨】本题考查了一次函数与二元一次方程组，解题的关键是掌握一次函数的性质．举一反三：【变式1】一次函数与正比例函数的图像交于点，则关于x的方程的解是_______．【答案】3【分析】根据两函数图象交点坐标同时符合两函数解析式，可得解．解：∵一次函数与正比例函数的图像交于点∴ 当x=3时， ∴ 方程的解是x=3故填3．【点拨】本题考查了两直线交点与二元一次方程组解的关系，正确理解一次函数与一元一次方程之间的关系是解决本题的关键．【变式2】如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2和直线y＝ax+b（a≠0）相交于点P．根据图象可知，方程x+2＝ax+b的解是x＝___．【答案】5【分析】两直线的交点坐标横坐标为方程x+2＝ax+b的解．解：把y＝7代入y＝x+2得，7＝x+2，解得x＝5，∴P点的横坐标为5，∵直线y＝x+2和直线y＝ax+b（a≠0）相交于点P，∴方程x+2＝ax+b的解是x＝5．故答案为5．【点拨】本题考查了根据一次函数图像解二元一次方程组，数形结合是解题的关键．类型八、求直线围成的图形面积 8．若点A（8，0），B（0，n），且直线AB与坐标轴围成的三角形面积为12，则n＝____．【答案】±3【分析】先分别求出点A、点B到坐标轴的距离即OA、OB，再利用三角形的面积公式求解即可．解：∵点A（８，0），B（0，n），∴OA=8，OB=｜n｜，∵直线AB与坐标轴围成的三角形面积等于12，∴×8×｜n｜=12，解得：n=±3，故答案为：±3．【点拨】本题考查了坐标与图形性质、三角形的面积公式，熟练掌握坐标与图形的性质，会利用点的坐标求图形的面积的方法是解答的关键．举一反三：【变式1】如图，直线y＝﹣2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B．若点P为x轴上一点，且△ABP的面积为3，则点P的坐标为 ___．【答案】（4，0）或（-2，0）【分析】先求出A、B坐标，再设x轴上的点P（m，0），根据△ABP的面积为3列方程，即可得到答案．解：如图：在y=-2x+2中，令x=0得y=2，令y=0得-2x+2=0，x=1，∴A（1，0），B（0，2），设x轴上的点P（m，0），则AP=|m-1|，∵△ABP的面积为3，∴AP•|yB|=3，即|m-1|×2=3，∴|m-1|=3，解得m=4或m=-2，∴P（4，0）或（-2，0），故答案为：（4，0）或（-2，0）．【点拨】本题考查一次函数图象上点坐标特征，涉及三角形面积，解题的关键是根据已知，列出方程|m-1|×2=3．【变式2】直线y＝2x+3与坐标轴围成的三角形的面积为 ___．【答案】【分析】根据坐标轴上点的坐标特征，求得直线与坐标轴的交点，然后根据三角形面积公式即可求得．解：当时，，，当时，，两坐标轴围成的三角形的面积为：，故答案为：．【点拨】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，主要考查函数的图象的特征，并利用函数图象解决实际问题．