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专题 19.30 一次函数中的最值问题知识点分类专题（巩固培优篇）（专项练习）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）
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这是一份专题 19.30 一次函数中的最值问题知识点分类专题（巩固培优篇）（专项练习）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版），共54页。试卷主要包含了单选题，利用两点之间线段最短求最值，利用垂线段最短求最值等内容，欢迎下载使用。
专题 19.30 一次函数中的最值问题知识点分类专题（巩固培优篇）（专项练习）
一、单选题
类型一、利用一次函数增减性求最值
1．在平面直角坐标系中，函数 y＝|x﹣a|（其中 a 为常量），当自变量﹣3≤x≤1 时，它的最小值为 a+4，则满足条件的 a 的值为（ ）
A． B． C． D．或
2．已知非负数、、满足，设，则的最大值和最小值的和为（ ）
A． B． C． D．
3．已知一次函数，当0≤x≤3时，函数y的最大值是( )．
A．0 B．3 C．-3 D．无法确定
4．已知一次函数y=-0.5x+2，当1≤x≤4时，y的最大值是（ ）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．-6
5．对任意实数a，b定义运算“∅”：a∅b=，则函数y=x2∅（2﹣x）的最小值是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．4
6．记max{x，y}表示x，y两个数中的最大值，例如max{1，2}=2，max{7，7}=7，则关于x的一次函数y=max{2x，x+1}可以表示为（ ）
A．y=2x B．y=x+1 C．y= D．y=
7．已知整数满足，对任意一个中的较大值用表示，则的最小值是
A．3 B．5 C．7 D．2
8．对于实数，定义符号其意义为：当时，；当时，．例如：，若关于的函数，则该函数的最大值是（ ）
A． B． C． D．
类型二、利用两点之间线段最短（“将军饮马”模型）求最值
9．如图所示，直线与两坐标轴分别交于、两点，点是的中点，、分别是直线，轴上的动点，则周长的最小值是（ ）
A． B． C． D．
10．在平面直角坐标系xOy中，A（1，3），B（5，1），点M在x轴上，当MA+MB取得最小值时，点M的坐标为( )
A．（5，0） B．（4，0） C．（1，0） D．（0，4）
11．如图所示，已知点C（2，0），直线与两坐标轴分别交于A、B两点，D、E分别是AB、OA上的动点，当的周长取最小值时，点D的坐标为（ ）
A．（2，1） B．（3，2） C．（，2） D．（，）
12．如图，一次函数y＝﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，点C是OA的中点，过点C作CD⊥OA于C交一次函数图象于点D，P是OB上一动点，则PC+PD的最小值为（ ）
A．4 B． C．2 D．2+2
13．在平面直角坐标系中，Rt△AOB的两条直角边OA、OB分别在x轴和y轴上，OA=3，OB=4．把△AOB绕点A顺时针旋转120°，得到△ADC．边OB上的一点M旋转后的对应点为M′，当AM′+DM取得最小值时，点M的坐标为（ ）
A．（0， ） B．（0，） C．（0，） D．（0，3）
14．在如图所示的平面直角坐标系中，点P是直线y=x上的动点，A（1，0），B（3，0）是x轴上的两点，则PA+PB的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．4
15．如图，平面直角坐标系xOy中，点A是直线上一动点，将点A向右平移1个单位得到点B，点C（1，0），则OB＋CB的最小值为（ ）
A． B． C． D．
16．如图所示，已知点C(1，0)，直线与两坐标轴分别交于A，B两点，D，E分别是线段AB，OA上的动点，则△CDE的周长的最小值是( )
A． B．10
C． D．12
类型三、利用垂线段最短求最值
17．已知点P（x0，y0）和直线y＝kx+b，求点P到直线y＝kx+b的距离d 可用公式d＝计算．根据以上材料解决下面问题：如图，⊙C的圆心C的坐标为（1，1），半径为1，直线l的表达式为y＝﹣2x+7，P是直线l上的动点，Q是⊙C上的动点，则PQ的最小值是（ ）
A． - 1 B． - 1 C． - 1 D．2
18．如图，在平面直角坐标系中，已知A（5，0）点P为线段OA上任意一点．在直线y＝x上取点E，使PO＝PE，延长PE到点F，使PA＝PF，分别取OE、AF中点M、N，连结MN，则MN的最小值是（ ）
A．2.5 B．2.4 C．2.8 D．3
19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点在线段上，轴于点，则周长的最小值为（ ）．
A． B． C．4 D．
20．已知点A（4，0），B（0，﹣4），C（a，2a）及点D是一个平行四边形的四个顶点，则线段CD的长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
类型一、利用一次函数增减性求最值
21．已知当－2≤x≤3时，函数y＝|2x－m|（其中m为常量）的最小值为2m－14，则m＝________．
22．已知，则y的最小值为______．
23．已知是一次函数图像上一点，则的最小值是__________．
24．对于实数a，b，我们定义符号的意义为：当时，；当时，．如：，，则关于x的函数为的最大值是______．
25．已知|x+2|+|1﹣x|＝9﹣|y﹣5|﹣|1+y|，则x+y的最小值为_____，最大值为_____．
26．已知函数y1＝﹣x+2，y2＝4x﹣5，y3＝x+4，若无论x取何值，y总取y1，y2，y3中的最大值，则y的最小值是____．
类型二、利用两点之间线段最短（“将军饮马”模型）求最值
27．如图，已知点，直线与两坐标轴分别交于A，B两点点D，E分别是OB，AB上的动点，则周长的最小值是______．
28．如图所示，直线 y=x+2 与两坐标轴分别交于A、B 两点，点 C 是 OB 的中点，D、E 分 别是直线 AB、y 轴上的动点，则△CDE 周长的最小值是________．
29．已知点A（3，4），点B（﹣1，1），在x轴上有两动点E、F，且EF=1，线段EF在x轴上平移，当四边形ABEF的周长取得最小值时，点E的坐标为________．
30．如图，平面直角坐标系xOy中，点A是直线y＝x＋上一动点，将点A向右平移1个单位得到点B，点C（1，0），则
OB＋CB的最小值为____．
类型三、利用垂线段最短求最值
31．如图，直线AB的解析式为y=x+4，与y轴交于点A，与x轴交于点B，点P为线段AB上的一个动点，作PE⊥y轴于点E，PF⊥x轴于点F，连接EF，则线段EF的最小值为_____．
32．如图，直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，点C（0，1）在y轴上，点P在x轴上运动，则PC＋PB的最小值为___．
33．如图，直线与坐标轴分别交于点A，B，点P是线段AB上一动点，过点P作PM⊥x轴于点M，作PN⊥y轴于点N，连接MN，则线段MN的最小值为_________．
34．如图，函数的图象交x轴于点A，交y轴于点B，若点P为线段上一动点，过P分别作轴于点E，轴于点F，则线段的最小值为______．
35．如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B，点P（0，-1），点M为直线AB上一动点，则PM的最小值为________．
36．已知点P(x，y)是一次函数y＝x+4图象上的任意一点，连接原点O与点P，则线段OP长度的最小值为_____．
37．如图，点坐标为，直线交轴，轴于点、点，点为直线上一动点，则的最小值为_________.
三、解答题
38．某商店销售A、B、C三种型号的饮料．随着夏季来临，天气逐渐炎热，该商店决定从今年5月1日起将A饮料每瓶的价格上调20%，将B饮料每瓶的价格下调10%，C饮料价格不变，是每瓶7元，己知调价前A、B、C三种饮料各买一瓶共花费18元，调价后买A饮料2瓶、B饮料5瓶共花费39元．
(1)问A、B两种饮料调价前的单价；
(2)今年6月份，温州某单位花费3367元在该商店购买A、B、C三种饮料共n瓶，其中购得B饮料的瓶数是A饮料的2倍，求n的最大值．
39．商场有甲、乙两种商品，卖出一件甲商品比卖出一件乙商品多赚元，卖出甲商品件比卖出乙商品件少赚元．
(1)求甲、乙两种商品各卖出一件能赚多少钱；
(2)甲、乙两种商品共卖出件，卖出乙商品数量不少于甲商品的四倍，求甲、乙两种商品总利润的最大值．
40．（1）【发现】如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=4，AB=2．
填空：线段AC的最大值为______．
（2）【应用】点A为线段BC外一动点，且BC=3，AB=2，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等腰△ABD和等腰直角△ACE，连接CD，BE．
①证明：BE=DC；
②求线段BE长的最大值．
（3）【拓展】如图3，在平面直角坐标系中，直线：与坐标轴交于点A、B两点，点C为线段AB外一动点，且CB=2，以AC为边作等边△ACD，连接BD，求线段BD长的最大值并直接写出此时点C的横坐标．
41．对于平面直角坐标系xOy中的点P，Q，给出如下定义：若P，Q为某个三角形的顶点，且边PQ上的高h，满足h=PQ，则称该三角形为点P，Q的“完美三角形”．
(1)如图1，已知点A，B在x轴上，点C在y轴上，AB=3，BC=6，∠OBC=30°，试判断△ABC是否是点A，B的“完美三角形”，并说明理由；
(2)如图2，已知A(4，0)，点B在x轴上，点C在直线上，若Rt△ABC是点A，B的“完美三角形”，求点B的坐标；
(3)如图3，已知过点R（-1，1）的直线与直线交于点S，点M是直线RS右侧一点，且满足△RSM为点R，S的“完美三角形”，点N是x轴上的一个动点，请直接写出RN+NM的最小值和此时点M的坐标．
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
分三种情形讨论求解即可解决问题；
【详解】
对于函数y＝|x−a|，最小值为a＋4．
情形1：a＋4＝0，
a＝−4，
∴y＝|x＋4|，此时x＝−4时，y有最小值，不符合题意．
情形2：x＝−3时，有最小值，此时函数y＝x−a，由题意：−3−a＝a＋4，得到a＝．
∴y＝|x＋|，符合题意．
情形3：当x＝1时，有最小值，此时函数y＝−x＋a，由题意：−1＋a＝a＋4，方程无解，此种情形不存在，
综上所述，a＝．
故选：C．
【点拨】本题考查两直线相交或平行问题，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考常考题型．
2．C
【解析】
【分析】
先设，用表示出、、的值，再由，，为非负数即可求出的取值范围，把所求代数式用的形式表示出来，根据的取值范围即可求解．
【详解】
解：设，
则，，，
；；，
；；；
解得；；；
，
，把，，，代入得：
，
，
解得，．
的最大值是；最小值是19，
最大值和最小值的和为：．
故选：C．
【点拨】本题考查的是一次函数的性质，解题的关键是通过设参数的方法求出的取值范围．
3．B
【解析】
【详解】
试题分析：根据可知y随x的增大而减小，则x取最小值时，y取最大值．
∵，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=0时，y的最大值等于3，
故选B.
考点：本题考查的是一次函数的增减性
点评：解答本题的关键是掌握好一次函数的增减性：当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小．
4．A
【解析】
【分析】
根据一次函数的系数k=-0.5＜0，可得出y随x值的增大而减小，将x=1代入一次函数解析式中求出y值即可．
【详解】
在一次函数y=-0.5x+2中k=-0.5＜0，
∴y随x值的增大而减小，
∴当x=1时，y取最大值，最大值为-0.5×1+2=1.5，
故选A．
【点拨】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
5．C
【解析】
【分析】
根据题意得到y=x2∅（2﹣x）=，根据函数的性质即可得到结论．
【详解】
∵a∅b=，∴y=x2∅（2﹣x）=．
∵x2＞2﹣x
∴x2+x﹣2＞0，解得：x＜﹣2或x＞1，此时，y＞1无最小值．
∵x2≤2﹣x，∴x2+x﹣2≤0，解得：﹣2≤x≤1．
∵y=﹣x+2是减函数，∴当x=1时，y=﹣x+2有最小值是1，∴函数y=x2∅（2﹣x）的最小值是1．
故选C．
【点拨】本题考查了新定义和函数的性质及其应用，不等式的解法，正确的理解题意是解题的关键．
6．D
【解析】
【详解】
由题意可得：当2x>x+1，即x>1时，y=max{2x，x+1}=2x；
当2x≤x+1，即x≤1时，y=max{2x，x+1}=x+1；
综上：y= ；故选D.
点睛：本题考查新定义类问题，能正确地根据定义进行分类讨论是解题的关键.
7．A
【解析】
【详解】
试题分析：已知整数；当x=0时；当x="1" 时，当x=2时；当x=3时；当x=4时；当x=5时；5组数中较大值分别为5，3，4，6，7；所以较大值的最小值是3
考点：最值
点评：本题考查最值，会求函数的最值是本题的关键
8．C
【解析】
【分析】
根据定义先列不等式：和，确定其，对应的函数，画图象可知其最大值．
【详解】
解：由题意得：，解得：，
当时，，
当时，，，
由图象可知：此时该函数的最大值为；
当时，，
当时，，，
由图象可知：此时该函数的最大值为；
综上所述，，的最大值是当所对应的的值，
如图所示，当时，，
故选：C
【点拨】本题考查了新定义、一元一次不等式及一次函数的交点问题，认真阅读理解其意义，并利用数形结合的思想解决函数的最值问题．
9．D
【解析】
【分析】
作点C关于AB的对称点F，关于AO的对称点G，连接DF，EG，当F,D,G,E在一条直线上时，△CDE的周长最小即FG,根据勾股定理求出FG即可.
【详解】
解：如图，作点关于的对称点，关于的对称点，连接，，
直线与两坐标轴分别交于、两点，点是的中点，
，，
，，，
易得，
是等腰直角三角形，
，
由轴对称的性质，可得，，
当点，，，在同一直线上时，的周长，
此时周长最小，
中，，
周长的最小值是．
故选D．
【点拨】本题主要考查了对称轴-最短问题，两点之间距离公式等知识，解题的关键是利用对称性找到D,E点的位置上，此题属于中考常见题.
10．B
【解析】
【分析】
根据对称性，作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′与x轴交于点M，根据两点之间线段最短，后求出 的解析式即可得结论．
【详解】
解：如图所示： 作点B关于x轴的对称点B′， 连接AB′交x轴于点M，
此时MA+MB＝MA+MB′＝AB′， 根据两点之间线段最短，
因为：B（5，1），所以：
设直线为把代入函数解析式：
解得：
所以一次函数为：，
所以点M的坐标为（4，0）
故选：B．
【点拨】本题考查了轴对称-最短路线问题，解决本题的关键是掌握对称性质．
11．D
【解析】
【分析】
如图，点C关于OA的对称点，点C关于直线AB的对称点，求出点的坐标，连接与AO交于点E，与AB交于点D，此时△DEC周长最小，再求出直线DE的解析式，联立两条直线的解析式即可求出交点D的坐标．
【详解】
如图，点C关于OA的对称点，点C关于直线AB的对称点
∵直线AB的解析式为
∴直线的解析式为
由
解得
∴直线AB与直线的交点坐标为
∵K是线段的中点
∴
连接与AO交于点E，与AB交于点D，此时△DEC周长最小
设直线DE的解析式为
可得
解得
∴直线DE的解析式为
联立直线DE和直线直线可得
解得
∴点D的坐标为
故答案为：D．
【点拨】本题考查了一次函数的几何问题，掌握一次函数的性质是解题的关键．
12．C
【解析】
【分析】
作点C关于y轴的对称点C′，连接C′D交y轴于点P，此时PC+PD取得最小值，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点A的坐标，由点C是OA的中点可得出点C的坐标，由点C，C′关于y轴对称可得出CC′的值及PC＝PC′，再利用勾股定理即可求出此时C′D（即PC+PD）的值，此题得解．
【详解】
解：作点C关于y轴的对称点C′，连接C′D交y轴于点P，此时PC+PD取得最小值，如图所示．
当y＝0时，﹣2x+4＝0，解得：x＝2，
∴点A的坐标为（2，0）．
∵点C是OA的中点，
∴OC＝1，点C的坐标为（1，0）．
当x＝1时，y＝﹣2x+4＝2，
∴CD＝2．
∵点C，C′关于y轴对称，
∴CC′＝2OC＝2，PC＝PC′，
∴PC+PD＝PC′+PD＝C′D＝.
故选：C．
【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、线段垂直平分线的性质、勾股定理以及轴对称最短路线问题，利用两点之间线段最短，找出点P所在的位置是解题的关键．
13．A
【解析】
【分析】
根据旋转的性质得到AM＝AM′，得出AM′＋DM的最小值＝AM＋DM的最小值，作点D关于直线OB的对称点D′，连接AD′交OB于M，则AD′＝AM′＋DM的最小值，过D作DE⊥x轴于E，解直角三角形得到DE＝×3＝，AE＝，求出D（，），根据轴对称的性质得到D′（−，），求出直线AD′的解析式为y＝−x＋，于是得到结论．
【详解】
∵把△AOB绕点A顺时针旋转120°，得到△ADC，点M是BO边上的一点，
∴AM＝AM′，
∴AM′＋DM的最小值＝AM＋DM的最小值，
作点D关于直线OB的对称点D′，连接AD′交OB于M，
则AD′＝AM′＋DM的最小值，
过D作DE⊥x轴于E，
∵∠OAD＝120°，
∴∠DAE＝60°，
∵AD＝AO＝3，
∴DE＝×3＝，AE＝，
∴D（，），
∴D′（− ，），
设直线AD′的解析式为y＝kx＋b，
∴，
∴
∴直线AD′的解析式为y＝−x＋，
当x＝0时，y＝，
∴M（0，），
故选A．
【点拨】本题考查了坐标与图形的变换−旋转，待定系数法求函数的解析式，轴对称的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
14．B
【解析】
【详解】
试题解析：
如图所示：作A点关于直线y=x的对称点A′,连接A′B，交直线y=x于点P，
此时PA+PB最小，
由题意可得出：OA′=1,BO=3,PA′=PA，
故选B.
点睛：两点之间线段最短.
15．A
【解析】
【分析】
设D（﹣1，0），作D点关于直线的对称点E，连接OE，交直线于A，连接AD，，作ES⊥x轴于S，根据题意OE就是OB＋CB的最小值，由直线的解析式求得F的坐标，进而求得ED的长，从而求得OS和ES，然后根据勾股定理即可求得OE．
【详解】
解：设D（﹣1，0），作D点关于直线的对称点E，连接OE，交直线于A，连接AD，，交于点，作ES⊥x轴于S，
∵AB∥DC，且AB＝OD＝OC＝1，
∴四边形ABOD和四边形ABCO是平行四边形，
∴AD＝OB，OA＝BC，
∴AD＋OA＝OB＋BC，
∵AE＝AD，
∴AE＋OA＝OB＋BC，
即OE＝OB＋BC，
∴OB＋CB的最小值为OE，
由，
当时，，
解得：，
，
，
当时，，
，
，
，
取的中点，过作轴的垂线交于，
，
当时，，
，
，
，
为的中点，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
∴FD＝3，∠FDG＝60°，
∴DG＝DF＝，
∴DE＝2DG＝3，
∴ES＝DE＝，DS＝DE＝，
∴OS＝，
∴OE＝＝，
∴OB＋CB的最小值为，
故选：A．
【点拨】本题考查了一次函数的性质，轴对称﹣最短路线问题以及平行四边形的性质、勾股定理的应用，解题的关键是证得OE是OB+CB的最小值．
16．B
【解析】
【分析】
点C关于OA的对称点C′（-1，0），点C关于直线AB的对称点C″（7，6），连接C′C″与AO交于点E，与AB交于点D，此时△DEC周长最小，可以证明这个最小值就是线段C′C″．
【详解】
解：如图，点C(1，0)关于y轴的对称点C′（-1，0），点C关于直线AB的对称点C″，
∵直线AB的解析式为y=-x+7，
∴直线CC″的解析式为y=x-1，
由
解得，
∴直线AB与直线CC″的交点坐标为K（4，3），
∵K是CC″中点，C(1，0)，
设C″坐标为（m，n），
∴，解得：
∴C″（7，6）．
连接C′C″与AO交于点E，与AB交于点D，此时△DEC周长最小，
△DEC的周长=DE+EC+CD=EC′+ED+DC″=C′C″=
故答案为10．
【点拨】本题考查轴对称-最短问题、两点之间距离公式等知识，解题的关键是利用对称性在找到点D、点E位置，将三角形的周长转化为线段的长．
17．A
【解析】
【分析】
求出点C（1，1）到直线y=-2x+7的距离d即可求得PQ的最小值．
【详解】
如图，过点C作CP⊥直线l，交圆C于Q点，
此时PQ的值最小，
根据点到直线的距离公式可知：点C（1，1）到直线l的距离，
∵⊙C的半径为1，
∴，
故选 A．
【点拨】本题考查的是一次函数的应用、点到直线的距离公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目．
18．B
【解析】
【分析】
如图，连接PM，PN，设AF交EM于J，连接PJ．证明四边形PMJN是矩形，推出MN=PJ，求出PJ的最小值即可解决问题．
【详解】
解：如图，连接PM，PN，设AF交EM于J，连接PJ．
∵PO=PE，OM=ME，
∴PM⊥OE，∠OPM=∠EPM，
∵PF=PA，NF=NA，
∴PN⊥AF，∠APN=∠FPN，
∴∠MPN=∠EPM+∠FPN=（∠OPF+∠FPA）=90°，∠PMJ=∠PNJ=90°，
∴四边形PMJN是矩形，
∴MN=PJ，
∴当JP⊥OA时，PJ的值最小此时MN的值最小，
∵AF⊥OM，A（5，0），直线OM的解析式为y=x
∴设直线AF的解析式为y=x+b
∵直线AF过A（5，0），
∴=0，
∴b=，
∴y=，
由，解得
∴
∴PJ的最小值为=2.4
即MN的最小值为2.4
故选：B．
【点拨】本题考查一次函数的应用，矩形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题．
19．B
【解析】
【分析】
先根据一次函数的解析式可得，设点P的坐标为，从而可得，再根据三角形的周长公式可得周长为，然后根据垂线段最短可得当时，OP取得最小值，最后利用等腰直角三角形的判定与性质求出OP的最小值即可得．
【详解】
对于一次函数，
当时，，解得，即，，
当时，，即，，
由题意，设点P的坐标为，
则，
因此，周长为，
要使周长最小，则只需OP取得最小值，
由垂线段最短可知，当时，OP取得最小值，
又，
是等腰直角三角形，，
此时，
周长的最小值为，
故选：B．
【点拨】本题考查了一次函数的几何应用、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短、勾股定理等知识点，正确找出周长最小时，点P的位置是解题关键．
20．B
【解析】
【分析】
根据题意可判定此题需分两种情况讨论，如果AB、CD为对角线，AB与CD交于点F，当FC⊥直线y＝2x时，CD最小，根据垂直及F点坐标可先求的直线FC的函数解析式，进而通过求得点C坐标来求CD；如果CD是平行四边形的边，则CD＝AB＝，对比两种情况即可求得CD最小值.
【详解】
解：如图，由题意点C在直线y＝2x上，
如果AB、CD为对角线，AB与CD交于点F，当FC⊥直线y＝2x时，CD最小，
易知直线AB为y＝x﹣4，
∵AF＝FB，
∴点F坐标为（2，﹣2），
∵CF⊥直线y＝2x，
设直线CF为y＝﹣x+b′F（2，﹣2）代入得b′＝﹣1
∴直线CF为y＝﹣x﹣1，
由 解得，
∴点C坐标（，）．
∴CD＝2CF＝2×＝．
如果CD是平行四边形的边，则CD＝AB＝＞，
∴CD的最小值为．
故选B．
【点拨】本题考查了一次函数与平行四边形的综合题，解本题的关键是找到何时CD最短.
21．8
【解析】
【分析】
根据绝对值的性质分情况去除绝对值，再结合求出每种情况下m的取值范围，综合得到值．
【详解】
解：函数y＝|2x－m|（其中m为常量）的最小值为2m－14
∴，则
当2x－m>0时，2x－m=2m－14，解得：；
∴
∴
当2x－m<0时，-2x+m=2m－14，解得：；
∴
∴
综上，函数y＝|2x－m|（其中m为常量）的最小值为2m－14，则m＝8
【点拨】本题主要考查一次函数、一元一次不等式、绝对值，进行分类讨论是解题的关键.
22．
【解析】
【详解】
解：由已知可得：，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
在同一坐标系中画出自变量在上述范围内时各个函数图像如下：
由图像可以，A点处对应的函数值最小，
故当x=-1时，y有最小值为：，
故答案为：．
【点拨】本题考查了一次函数的图像及性质，解题的关键是对绝对值进行分类讨论，画出函数图形即可．
23．
【解析】
【分析】
由P（a，b）是一次函数y=-2x+4图象上一点，得到b=-2a+4，即可得到a2+b2=a2+（-2a+4）2=5（a-）2+，根据非负性即可得到结论．
【详解】
解：∵P（a，b）是一次函数y=-2x+4图象上一点，
∴b=-2a+4，
∴a2+b2
=a2+（-2a+4）2
=5a2-16a+16
=5（a-）2+
∴当a=时，a2+b2有最小值，
故答案为：．
【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，完全平方公式，考查了计算能力和转化思想．
24．1
【解析】
【分析】
根据定义先列不等式：2x-3≥-x+3和2x-3≤-x+3，确定其y=min{2x3，-x+3}对应的函数，画图象可知其最大值．
【详解】
解：由题意得：
，解得：，
当2x-3≥-x+3时，x≥2，
∴当x≥2时，y=min{2x-3，-x+3}=-x+3，
此时该函数的最大值为1；
当2x-3≤-x+3时，x≤2，
∴当x≤2时，y=min{2x-3，-x+3}=2x-3，
此时该函数的最大值为1；
综上所述，y=min{2x-3，-x+3}的最大值是当x=2
所对应的y的值，即y=1，
故答案为 1．
【点拨】本题考查一次函数的性质，理解新定义内容，分情况列出函数解析式并掌握一次函数的性质是解题关键．
25． -3 6
【解析】
【分析】
先将|x+2|+|1﹣x|＝9﹣|y﹣5|﹣|1+y|化为|x+2|+|1﹣x|+|y﹣5|+|1+y|＝9．分情况讨论可得当﹣2≤x≤1时，有最小值3，当﹣1≤y≤5时，有最小值6，从而根据|x+2|+|1﹣x|+|y﹣5|+|1+y|＝9，可得x、y的取值范围，从而求得x+y的最小值和最大值.
【详解】
解：因为|x+2|+|1﹣x|＝9﹣|y﹣5|﹣|1+y|，
所以|x+2|+|1﹣x|+|y﹣5|+|1+y|＝9，
当x≤-2时，,且当x=-2时，有最小值3，
当﹣2＜x＜1时，，
当x≥1时，，且当x=1时，有最小值3，
故当﹣2≤x≤1时，有最小值3，
当y≤﹣1时，，且当y=﹣1时，有最小值6，
当﹣1＜y＜5时，，
当y≥5时，，且当y=5时，有最小值6，
故当﹣1≤y≤5时，有最小值6，
所以，要使|x+2|+|1﹣x|+|y﹣5|+|1+y|＝9，那么﹣2≤x≤1且﹣1≤y≤5，
故x+y最小值为﹣3，最大值为6．
故答案为：﹣3，6．
【点拨】本题考查化简绝对值，一次函数的性质.解决此题的关键为：①分类讨论分别化简和；②根据一次函数的性质，得出化简后的代数式的最小值.
26．
【解析】
【分析】
利用两直线相交的问题，分别求出三条直线两两相交的交点，然后观察函数图象，利用一次函数的性质易得当x时，y1最大；当时，y3最大；当x时，y2最大，于是可得满足条件的y的最小值．
【详解】
如图，直线y1=﹣x+2与直线y2=4x﹣5的交点坐标为（），
直线y2=4x﹣5与直线y3x+4的交点坐标为（），
直线y1=﹣x+2与直线y3x+4的交点坐标为（），
所以当x时，y1最大；
当时，y3最大；
当x时，y2最大，
所以当x时，y的值最小，为．
故答案为．
【点拨】本题考查了一次函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．也考查了直线相交的问题．
27．
【解析】
【分析】
作点C关于OB的对称点 ，作点C关于AB的对称点，连接，交AB于点E，交OB于点D，此时周长最小，可以证明这个最小值就是线段，根据勾股定理可求周长的最小值．
【详解】
如图，作点C关于OB的对称点，作点C关于AB的对称点，连接，交AB于点E，交OB于点D，
直线与两坐标轴分别交于A，B两点
点，点
，且，
，
点C关于OB的对称点，
∴,
点C关于AB的对称点，
∴AC=，∠BAO=∠=45°，
∴=90°，
点
由轴对称的性质，可得CE=，CD=D，
当点，点E，点D，点共线时，的周长=CD+CE+DE=+DE+D=，
此时的周长最小，
在Rt△中，.
的周长最小值为
故答案为
【点拨】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，轴对称-最短问题等知识，解题的关键是利用对称性找到点D、点E位置，属于中考常考题型．
28．
【解析】
【分析】
先求出A，B两点坐标，得到C点坐标，然后分别求出C点关于直线AB与y轴的对称点C′和C′′的坐标，连接C′，C′′，交AB和y轴的于点D，E，此时△CDE的周长最小，求出线段C′C′′的长即可.
【详解】
解：
由题意可知A（0，2），B（﹣2，0），
∵点 C 是 OB 的中点，
∴C（﹣1，0），
如图，点C关于直线AB的对称点C′（﹣2,1），点C关于y轴的对称点C′′（1，0），
连接C′C′′与AB交于D点，与AO交于E点，此时△CDE的周长最小，
△CDE周长=CD+DE+CE=DC′+DE+EC″= C′C″=.
故答案为.
【点拨】本题考查轴对称-最短问题、两点之间距离公式等知识，解题的关键是利用对称性在找到点D、点E位置，属于中考常考题型．
29．（﹣，0）
【解析】
【详解】
如图，过点A作x轴的平行线，并且在这条平行线上截取线段AA′，使AA′=1，作点B关于x轴的对称点B′，连接A′B′，交x轴于点E，在x轴上截取线段EF=1，则此时四边形ABEF的周长最小．
∵A（3，4），∴A′（2，4），
∵B（-1，1），∴B′（-1，-1）．
设直线A′B′的解析式为y=kx+b，
则 ，
解得，k=，b=．
∴直线A′B′的解析式为y=x+，
当y=0时，x+=0，解得x=-．
故线段EF平移至如图所示位置时，四边形ABEF的周长最小，此时点E的坐标为（-，0）．
点睛：本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，轴对称-最短路线问题，根据“两点之间，线段最短”确定点E、F的位置是关键，也是难点．
30．
【解析】
【详解】
∵点A是直线y＝ x＋ 上一动点，将点A向右平移1个单位得到点B，
∴点B所在直线为y= (x-1)＋,即y= x+
作原点关于直线y= x+对称点O’,连接O’C，交直线y= x+于点B，则此时有OB＋CB的最小值即为O’C长度，如下图所示：
直线OO’的解析式为y=- ,则与直线直线y= x+交点坐标为（ ）,所以点O’的坐标为（ ），又因为点C（1，0），所以点C与O’的水平距离为 ，垂直距离为，所以O’C的距离为： ,即为OB＋CB的最小值；
故答案是：．
31．
【解析】
【分析】
在一次函数y=x+4中，分别令x=0， y=0，解相应方程，可求得A、B两点的坐标，由矩形的性质可知EF=OP，可知当OP最小时，则EF有最小值，由垂线段最短可知当OP⊥AB时，满足条件，根据直角三角形面积的不同表示方法可求得OP的长，即可求得EF的最小值．
【详解】
解：∵一次函数y=x+4中，令x=0，则y=4，令y=0，则x=-3，
∴A（0，4），B（-3，0），
∵PE⊥y轴于点E，PF⊥x轴于点F，
∴四边形PEOF是矩形，且EF=OP，
∵O为定点，P在线段上AB运动，
∴当OP⊥AB时，OP取得最小值，此时EF最小，
∵A（0，4），点B坐标为（-3，0），
∴OA=4，O B=3，
由勾股定理得：AB==5，
∵AB·OP=AO·BO=2S△OAB，
∴OP=，
故答案为：．
【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特点，勾股定理、矩形的判定与性质、最值问题等，熟练掌握相关知识、确定出OP的最小值是解题的关键．
32．4
【解析】
【分析】
【详解】
思路引领：过P作PD⊥AB于D，依据△AOB是等腰直角三角形，可得∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD，进而得到△BDP是等腰直角三角形，故PDPB，当C，P，D在同一直线上时，CD⊥AB，PC+PD的最小值等于垂线段CD的长，求得CD的长，即可得出结论．
答案详解：如图所示，过P作PD⊥AB于D，
∵直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，
令x＝0，则y＝﹣3；令y＝0，则x＝3，
∴A（0，﹣3），B（3，0），
∴AO＝BO＝3，
又∵∠AOB＝90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD，
∴△BDP是等腰直角三角形，
∴PDPB，
∴PC+PB（PCPB）（PC+PD），
当C，P，D在同一直线上，即CD⊥AB时，PC+PD的值最小，最小值等于垂线段CD的长，
此时，△ACD是等腰直角三角形，
又∵点C（0，1）在y轴上，
∴AC＝1+3＝4，
∴CDAC＝2，
即PC+PD的最小值为，
∴PC+PB的最小值为4，
故答案为：4．
33．
【解析】
【分析】
如图，连接，依题意，四边形是矩形，则，当时，最小，底面积法求得即可．
【详解】
如图，连接，
PM⊥x轴，PN⊥y轴，
四边形是矩形，
，
当时，最小，
直线与坐标轴分别交于点A，B，
令，
令，
，
，
当时，
，
．
．
故答案为：．
【点拨】本题考查了矩形的性质，勾股定理，垂线段最短，找到是解题的关键．
34．
【解析】
【分析】
连接OP，证明四边形OEPF为矩形，得到EF=OP，求出OP的最小值即可．
【详解】
解：连接OP，∵PE⊥x轴，PF⊥y轴，
∴四边形OEPF为矩形，
∴EF=OP，
则当OP最小时，EF最小，
在直线y=x+2中，
令x=0，则y=2，令y=0，则x=-2，
∴A（-2，0），B（0，2），即OA=2，OB=2，
∴AB=
当OP⊥AB时，OP最小，此时点P为AB中点，
∴OP=AB=，
∴线段EF的最小值为，
故答案为：．
．
【点拨】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，矩形的性质，等腰三角形三线合一，垂线段最短，解题的关键是利用矩形的性质，用OP代替EF的长，以便求出最小值．
35．
【解析】
【分析】
当时，的长取得最小值，根据可得A、B坐标，得，，进而得出AB=5，PB=4，PA=，设BM=x，利用勾股定理列方程可得x的值，利用勾股定理可得PM的长．
【详解】
解：如图，连接PA，当时，的长取得最小值，
在中，令，得，令，得，即：点A，B，
，，
，，PA=，
设BM=x，
∴，即，
解得：,
∴PM==．
故答案为：
【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，垂线段的性质及勾股定理，熟练掌握垂线段最短是解题的关键．
36．
【解析】
【分析】
线段OP长度的最小值，就是O点到直线y＝x+4垂线段的长度，求得直线与坐标轴的交点，然后根据三角形面积即可求得线段OP长度的最小值．
【详解】
解：如图，一次函数y＝x+4中，令y＝0，求得x＝3；令x＝0，则y＝4，
∴A（3，0），B（0，4），
∴OA＝3，OB＝4，
∴AB＝5，
线段OP长度的最小值，就是O点到直线y＝x+4垂线段的长度，
∴OP⊥AB，
∵OA•OB＝，
∴OP＝．
故答案为．
【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用，三角形的面积，理解“垂线段最短”是本题的解题关键．
37．
【解析】
【分析】
过点C作直线AB的垂线段CD，利用三角形的面积即可求出CD的长.
【详解】
连接AC，过点C作CD⊥AB，则CD的长最短，如图，
对于直线令y=0，则，解得x=-4，令x=0，则y=3，
∴A(-4，0)，B(0，3)，
∴OA=4，OB=3，
在Rt△OAB中，
∴AB=
∵C（0，-1），
∴OC=1，
∴BC=3+1=4，
∴,即，
解得，.
故答案为：.
【点拨】此题主要考查了一次函数的应用以及三角形面积公式的运用，解答此题的关键是利用三角形面积相等求出CD的长.
38．(1)A种饮料调价前的单价为5元/瓶，B种饮料调价前的单价为6元/瓶
(2)n的最大值为601
【解析】
【分析】
（1）设A饮料调价前的单价为x元/瓶，B饮料调价前的单价为y元/瓶，根据“调价前A、B、C三种饮料各买一瓶共花费18元，调价后买A饮料2瓶、B饮料5瓶共花费39元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进A饮料m瓶，则购进B饮料2m瓶，购进C饮料(n−3m)瓶，根据总价=单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，进而可得出n=481+0.6m，由购买A、B两种饮料的钱数要少于3367元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再由m，n均为正整数，结合一次函数的性质即可求出n的最大值即可．
(1)
解：设A、B饮料在调价前每瓶各x元、y元，
根据题意得：
解得：
答： A种饮料调价前的单价为5元/瓶，B种饮料调价前的单价为6元/瓶；
(2)
解：设购进A饮料m瓶，则购进B饮料2m瓶，购进C饮料(n-3m)瓶
根据题意得：
解得：n=481+0.6m
购买A、B两种饮料的钱数要少于3367元
解得：
又m、n均为整数
当m=200时，n取得最大值，最大值为601
答：n的最大值为601．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的性质以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出方程；通过解二元一次方程，找出n关于m的函数关系式．
39．(1)卖出一件甲商品赚元，卖出一件乙商品赚元
(2)甲、乙两种商品总利润的最大值为元
【解析】
【分析】
（1）设卖出一件乙商品赚元，卖出一件甲商品赚元，依题意得方程，解得，x+40=320；
（2）设甲商品卖出件，乙商品卖出件，得到，解得．
设卖出甲、乙两种商品总利润为元，则．
从，可知w随的增大而增大，当时，取得最大值，最大值．
(1)
解：设卖出一件乙商品赚元，则卖出一件甲商品赚元，
依题意得：，
解得：，
．
答：卖出一件甲商品赚元，卖出一件乙商品赚元．
(2)
解：设甲商品卖出件，则乙商品卖出件，
依题意得：，
解得：．
设卖出甲、乙两种商品总利润为元，则．
，
随的增大而增大，
当时，取得最大值，最大值．
答：甲、乙两种商品总利润的最大值为元．
【点拨】本题考查了销售类问题，解题的关键是熟练掌握“总利润=每件利润数量”的关系列一元一次方程，列一次函数解析式，根据不等关系列不等式，熟练运用自变量取值在一定范围内，一次函数值随自变量的变化关系求函数的最大值．
40．（1）6
（2）①见详解 ②
（3）线段BD长的最大值为；点C的横坐标为或
【解析】
【分析】
（1）根据点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，即可得到结论；
（2）①根据等腰直角三角形得AD＝AB，AE＝AC，∠DAB＝∠EAC＝90°，可得出∠DAC＝∠EAB，利用SAS证明△DAC≌△BAE即可得出结论；
②由①可知，BE＝DC，线段BE的最大值即线段DC的最大值．求出BD的值，当点D在CB的延长线上时，CD取得最大值即BC+BD的值，即可得线段BE的最大值；
（3）以BC为边作等边三角形BCE，连接AE，证明△ACE≌△DCB（SAS），可得BD＝AE．求出，则当且仅当A、B、E三点共线时，AE取得最大值，即BD取得最大值为；当BD取得最大值时，过C作CH⊥y轴于H，可得∠CBH＝∠CBE﹣∠HBE＝15°，作BC的垂直平分线交BH于N，则CN＝BN，∠NCB＝∠CNH＝30°，在 Rt△CHN中，设CH＝x．则，CN＝BN＝2x，在Rt△BHC中，由HC2+BH2＝BC2＝22，可得关于x的方程，解方程可得x即CH的值，即可得点C的横坐标．
【详解】
解：（1）当A在选段BC的延长线上时，AC的最大值AB+BC＝6．
故答案为：6；
（2）①证明：∵等腰直角△AEC与等腰直角三角形ABD，
∴AD＝AB，AE＝AC，∠DAB＝∠EAC＝90°，
∴∠DAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC，
∴∠DAC＝∠EAB，
在△DAC和△BAE中，
，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴BE＝CD；
②由①可知，BE＝DC，
∵线段BE的最大值即线段DC的最大值．
在等腰直角△ABD中，，
∵CD≤BC+BD，
∴当点D在CB的延长线上时，CD取得最大值为．
∴线段BE的最大值为；
（3）如图，以BC为边作等边三角形BCE，连接AE，
则BC＝CE，∠BCE＝60°．
∵△ACD是等边三角形，
∠ACD＝60°，AC＝DC．
∴∠ACD﹣∠ECD＝∠BCE﹣∠ECD，
∴∠ACE＝∠DCB．
在△ACE与△DCB中，
，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴BD＝AE．
对于一次函数y＝x+4，令x＝0，则y＝4，
∴B（0，4），
令y＝0，则x＝﹣4，
∴A（﹣4，0）．
∴，
又∵BE＝BC＝2，
∴AE≤AB+BE，
∴当且仅当A、B、E三点共线时，AE取得最大值，即BD取得最大值为；
①当BD取得最大值，点C在AB上方时，
过C作CH⊥y轴于H，
∵∠ABO＝∠HBE＝45°，∠CBE＝60°，
∴∠CBH＝∠CBE﹣∠HBE＝15°，
作BC的垂直平分线交BH于N，
∴CN＝BN，∠NCB＝∠NBC＝15°，
∴∠CNH＝30°，
在 Rt△CHN中，设CH＝x．则，CN＝2x，
∴BN＝2x，
∴，
在Rt△BHC中，HC2+BH2＝BC2＝22，
∴，
整理得，
得，
，（舍），
∴，
∴点C的横坐标为；
②当BD取得最大值，点C在AB下方时，作等边△ABB′，延长BB′到D′，使B′D′＝2，作等边△AC′D′，
∴∠BAB′＝∠CAD′＝60°，AB＝AB′，AC′＝AD′，
∵∠BAC′＝∠B′AD′，
∴△ABC′≌△AB′D′（SAS），
∴BC′＝B′D′＝2，
此时BD′取得最大值为；
∵∠AB′B＝60°，
∴∠ABD′＝∠ABC′＝120°，
∵∠ABO＝45°，
∴∠OBC′＝75°，
过C′作C′H⊥y轴于H，
∵∠OBC′＝75°，
∴∠BC′H＝15°，
作BC′的垂直平分线交C′H于M，
∴C′M＝BM，∠MC′B＝∠MBC′＝15°，
∴∠BMH＝30°，
在 Rt△BHM中，设BH＝x．则HM＝x，BM＝2x，
∴C′H＝HM+C′M＝（+2）x，
在Rt△BHC′中，HC′2+BH2＝BC′2＝22，
∴，
整理得，
得，
解得，（舍），
∴BH＝，C′H＝（+2）•＝，
∴点C的横坐标为．
综上，线段BD长的最大值为；点C的横坐标为或．
【点拨】本题是一次函数综合题，考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定与性质、等边三角形的性质、最大值问题、坐标与图形性质等知识；本题综合性强，熟练掌握等边三角形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
41．(1)△ABC是点A，B的“完美三角形”
(2)（1，0）或（7，0）或（3，0）
(3)，M（2，﹣2）
【解析】
【分析】
（1）根据定义直接判定即可；
（2）设B（x，0），分三种情况讨论：①当∠ACB＝90°时，过点C作CE⊥x轴交于点E，取AB的中点D，连结CD，可得CD＝CE，又由CD＞CE，则此情况不成立；②当∠BAC＝90°时，C（4，3），由|x﹣4|＝3，可求B点坐标（1，0）或（7，0）；③当∠ABC＝90°时，C（x，2x﹣5），由|x﹣4|＝|2x﹣5|，可求B点坐标为（3，0）或（1，0）；
（3）求出S（2，4），则RS＝，由题意可得M点到RS的距离为，过点D作DE⊥RS，并且RS＝DE＝，过点E作交x轴于F点，所以M点在直线EF上，过点R作RM⊥EF交于点M，交x轴于点N，此时RN+MN最小，求出直线EF的解析式为y＝x﹣4，设M（t，t﹣4），即可求M（2，﹣2）．
(1)
解：（1）△ABC是点A，B的“完美三角形”，理由如下：
∵BC＝6，∠OBC＝30°，
∴OC＝BC＝3，
∵AB＝3，
∴CO＝AB，
∴△ABC是点A，B的“完美三角形”，
(2)
解：设B（x，0），
①如图1，当∠ACB＝90°时，
过点C作CE⊥x轴交于点E，取AB的中点D，连结CD，
∴CD＝AB，
∵AB＝CE，
∴CD＝CE，
在Rt△CED中，CD＞CE，
∴∠ACB≠90°；
②当∠BAC＝90°时，
∵A（4，0），
∴C点横坐标为4，
∴C（4，3），
∴AC＝3，
∴AB＝3，
∴|x﹣4|＝3，
∴x＝7或x＝1，
∴B点坐标（1，0）或（7，0）；
③当∠ABC＝90°时，
∴C点横坐标为x，
∴C（x，2x﹣5），
∴|x﹣4|＝|2x﹣5|，
∴x＝3或x＝1，
∴B点坐标为（3，0）或（1，0）；
综上所述：B点坐标为（1，0）或（7，0）或（3，0）；
(3)
解：将点R（﹣1，1）代入y＝x+m，
∴m＝2，
∴y＝x+2，
联立方程组，
解得x＝2，
∴S（2，4），
∴RS＝，
∵△RSM为点R，S的“完美三角形”，
∴M点到RS的距离为，
如图2，过点D作DE⊥RS，并且RS＝DE＝，
过点E作交x轴于F点，
∴M点在直线EF上，
过点R作RM⊥EF交于点M，交x轴于点N，
∴RN+MN＝RM＝，此时RN+MN最小，
∵D（﹣2，0），H（0，2），
∴∠HDO＝45°，
∴∠EDO＝45°，
∵DE＝，
∴DF＝6，
∴F（4，0），
∴直线EF的解析式为y＝x﹣4，
设M（t，t﹣4），
∴，
∴t＝2，
∴M（2，﹣2）．
【点拨】本题是一次函数的综合题，熟练掌握一次函数的图象及性质，勾股定理的应用，利用平方根的含义解方程，理解新定义，将定义与所学的一次函数的知识结合解题是关键．
专题 19.30 一次函数中的最值问题知识点分类专题（巩固培优篇）（专项练习）
一、单选题
类型一、利用一次函数增减性求最值
1．在平面直角坐标系中，函数 y＝|x﹣a|（其中 a 为常量），当自变量﹣3≤x≤1 时，它的最小值为 a+4，则满足条件的 a 的值为（ ）
A． B． C． D．或
2．已知非负数、、满足，设，则的最大值和最小值的和为（ ）
A． B． C． D．
3．已知一次函数，当0≤x≤3时，函数y的最大值是( )．
A．0 B．3 C．-3 D．无法确定
4．已知一次函数y=-0.5x+2，当1≤x≤4时，y的最大值是（ ）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．-6
5．对任意实数a，b定义运算“∅”：a∅b=，则函数y=x2∅（2﹣x）的最小值是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．4
6．记max{x，y}表示x，y两个数中的最大值，例如max{1，2}=2，max{7，7}=7，则关于x的一次函数y=max{2x，x+1}可以表示为（ ）
A．y=2x B．y=x+1 C．y= D．y=
7．已知整数满足，对任意一个中的较大值用表示，则的最小值是
A．3 B．5 C．7 D．2
8．对于实数，定义符号其意义为：当时，；当时，．例如：，若关于的函数，则该函数的最大值是（ ）
A． B． C． D．
类型二、利用两点之间线段最短（“将军饮马”模型）求最值
9．如图所示，直线与两坐标轴分别交于、两点，点是的中点，、分别是直线，轴上的动点，则周长的最小值是（ ）
A． B． C． D．
10．在平面直角坐标系xOy中，A（1，3），B（5，1），点M在x轴上，当MA+MB取得最小值时，点M的坐标为( )
A．（5，0） B．（4，0） C．（1，0） D．（0，4）
11．如图所示，已知点C（2，0），直线与两坐标轴分别交于A、B两点，D、E分别是AB、OA上的动点，当的周长取最小值时，点D的坐标为（ ）
A．（2，1） B．（3，2） C．（，2） D．（，）
12．如图，一次函数y＝﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，点C是OA的中点，过点C作CD⊥OA于C交一次函数图象于点D，P是OB上一动点，则PC+PD的最小值为（ ）
A．4 B． C．2 D．2+2
13．在平面直角坐标系中，Rt△AOB的两条直角边OA、OB分别在x轴和y轴上，OA=3，OB=4．把△AOB绕点A顺时针旋转120°，得到△ADC．边OB上的一点M旋转后的对应点为M′，当AM′+DM取得最小值时，点M的坐标为（ ）
A．（0， ） B．（0，） C．（0，） D．（0，3）
14．在如图所示的平面直角坐标系中，点P是直线y=x上的动点，A（1，0），B（3，0）是x轴上的两点，则PA+PB的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．4
15．如图，平面直角坐标系xOy中，点A是直线上一动点，将点A向右平移1个单位得到点B，点C（1，0），则OB＋CB的最小值为（ ）
A． B． C． D．
16．如图所示，已知点C(1，0)，直线与两坐标轴分别交于A，B两点，D，E分别是线段AB，OA上的动点，则△CDE的周长的最小值是( )
A． B．10
C． D．12
类型三、利用垂线段最短求最值
17．已知点P（x0，y0）和直线y＝kx+b，求点P到直线y＝kx+b的距离d 可用公式d＝计算．根据以上材料解决下面问题：如图，⊙C的圆心C的坐标为（1，1），半径为1，直线l的表达式为y＝﹣2x+7，P是直线l上的动点，Q是⊙C上的动点，则PQ的最小值是（ ）
A． - 1 B． - 1 C． - 1 D．2
18．如图，在平面直角坐标系中，已知A（5，0）点P为线段OA上任意一点．在直线y＝x上取点E，使PO＝PE，延长PE到点F，使PA＝PF，分别取OE、AF中点M、N，连结MN，则MN的最小值是（ ）
A．2.5 B．2.4 C．2.8 D．3
19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点在线段上，轴于点，则周长的最小值为（ ）．
A． B． C．4 D．
20．已知点A（4，0），B（0，﹣4），C（a，2a）及点D是一个平行四边形的四个顶点，则线段CD的长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
类型一、利用一次函数增减性求最值
21．已知当－2≤x≤3时，函数y＝|2x－m|（其中m为常量）的最小值为2m－14，则m＝________．
22．已知，则y的最小值为______．
23．已知是一次函数图像上一点，则的最小值是__________．
24．对于实数a，b，我们定义符号的意义为：当时，；当时，．如：，，则关于x的函数为的最大值是______．
25．已知|x+2|+|1﹣x|＝9﹣|y﹣5|﹣|1+y|，则x+y的最小值为_____，最大值为_____．
26．已知函数y1＝﹣x+2，y2＝4x﹣5，y3＝x+4，若无论x取何值，y总取y1，y2，y3中的最大值，则y的最小值是____．
类型二、利用两点之间线段最短（“将军饮马”模型）求最值
27．如图，已知点，直线与两坐标轴分别交于A，B两点点D，E分别是OB，AB上的动点，则周长的最小值是______．
28．如图所示，直线 y=x+2 与两坐标轴分别交于A、B 两点，点 C 是 OB 的中点，D、E 分 别是直线 AB、y 轴上的动点，则△CDE 周长的最小值是________．
29．已知点A（3，4），点B（﹣1，1），在x轴上有两动点E、F，且EF=1，线段EF在x轴上平移，当四边形ABEF的周长取得最小值时，点E的坐标为________．
30．如图，平面直角坐标系xOy中，点A是直线y＝x＋上一动点，将点A向右平移1个单位得到点B，点C（1，0），则
OB＋CB的最小值为____．
类型三、利用垂线段最短求最值
31．如图，直线AB的解析式为y=x+4，与y轴交于点A，与x轴交于点B，点P为线段AB上的一个动点，作PE⊥y轴于点E，PF⊥x轴于点F，连接EF，则线段EF的最小值为_____．
32．如图，直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，点C（0，1）在y轴上，点P在x轴上运动，则PC＋PB的最小值为___．
33．如图，直线与坐标轴分别交于点A，B，点P是线段AB上一动点，过点P作PM⊥x轴于点M，作PN⊥y轴于点N，连接MN，则线段MN的最小值为_________．
34．如图，函数的图象交x轴于点A，交y轴于点B，若点P为线段上一动点，过P分别作轴于点E，轴于点F，则线段的最小值为______．
35．如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B，点P（0，-1），点M为直线AB上一动点，则PM的最小值为________．
36．已知点P(x，y)是一次函数y＝x+4图象上的任意一点，连接原点O与点P，则线段OP长度的最小值为_____．
37．如图，点坐标为，直线交轴，轴于点、点，点为直线上一动点，则的最小值为_________.
三、解答题
38．某商店销售A、B、C三种型号的饮料．随着夏季来临，天气逐渐炎热，该商店决定从今年5月1日起将A饮料每瓶的价格上调20%，将B饮料每瓶的价格下调10%，C饮料价格不变，是每瓶7元，己知调价前A、B、C三种饮料各买一瓶共花费18元，调价后买A饮料2瓶、B饮料5瓶共花费39元．
(1)问A、B两种饮料调价前的单价；
(2)今年6月份，温州某单位花费3367元在该商店购买A、B、C三种饮料共n瓶，其中购得B饮料的瓶数是A饮料的2倍，求n的最大值．
39．商场有甲、乙两种商品，卖出一件甲商品比卖出一件乙商品多赚元，卖出甲商品件比卖出乙商品件少赚元．
(1)求甲、乙两种商品各卖出一件能赚多少钱；
(2)甲、乙两种商品共卖出件，卖出乙商品数量不少于甲商品的四倍，求甲、乙两种商品总利润的最大值．
40．（1）【发现】如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=4，AB=2．
填空：线段AC的最大值为______．
（2）【应用】点A为线段BC外一动点，且BC=3，AB=2，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等腰△ABD和等腰直角△ACE，连接CD，BE．
①证明：BE=DC；
②求线段BE长的最大值．
（3）【拓展】如图3，在平面直角坐标系中，直线：与坐标轴交于点A、B两点，点C为线段AB外一动点，且CB=2，以AC为边作等边△ACD，连接BD，求线段BD长的最大值并直接写出此时点C的横坐标．
41．对于平面直角坐标系xOy中的点P，Q，给出如下定义：若P，Q为某个三角形的顶点，且边PQ上的高h，满足h=PQ，则称该三角形为点P，Q的“完美三角形”．
(1)如图1，已知点A，B在x轴上，点C在y轴上，AB=3，BC=6，∠OBC=30°，试判断△ABC是否是点A，B的“完美三角形”，并说明理由；
(2)如图2，已知A(4，0)，点B在x轴上，点C在直线上，若Rt△ABC是点A，B的“完美三角形”，求点B的坐标；
(3)如图3，已知过点R（-1，1）的直线与直线交于点S，点M是直线RS右侧一点，且满足△RSM为点R，S的“完美三角形”，点N是x轴上的一个动点，请直接写出RN+NM的最小值和此时点M的坐标．
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
分三种情形讨论求解即可解决问题；
【详解】
对于函数y＝|x−a|，最小值为a＋4．
情形1：a＋4＝0，
a＝−4，
∴y＝|x＋4|，此时x＝−4时，y有最小值，不符合题意．
情形2：x＝−3时，有最小值，此时函数y＝x−a，由题意：−3−a＝a＋4，得到a＝．
∴y＝|x＋|，符合题意．
情形3：当x＝1时，有最小值，此时函数y＝−x＋a，由题意：−1＋a＝a＋4，方程无解，此种情形不存在，
综上所述，a＝．
故选：C．
【点拨】本题考查两直线相交或平行问题，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考常考题型．
2．C
【解析】
【分析】
先设，用表示出、、的值，再由，，为非负数即可求出的取值范围，把所求代数式用的形式表示出来，根据的取值范围即可求解．
【详解】
解：设，
则，，，
；；，
；；；
解得；；；
，
，把，，，代入得：
，
，
解得，．
的最大值是；最小值是19，
最大值和最小值的和为：．
故选：C．
【点拨】本题考查的是一次函数的性质，解题的关键是通过设参数的方法求出的取值范围．
3．B
【解析】
【详解】
试题分析：根据可知y随x的增大而减小，则x取最小值时，y取最大值．
∵，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=0时，y的最大值等于3，
故选B.
考点：本题考查的是一次函数的增减性
点评：解答本题的关键是掌握好一次函数的增减性：当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小．
4．A
【解析】
【分析】
根据一次函数的系数k=-0.5＜0，可得出y随x值的增大而减小，将x=1代入一次函数解析式中求出y值即可．
【详解】
在一次函数y=-0.5x+2中k=-0.5＜0，
∴y随x值的增大而减小，
∴当x=1时，y取最大值，最大值为-0.5×1+2=1.5，
故选A．
【点拨】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
5．C
【解析】
【分析】
根据题意得到y=x2∅（2﹣x）=，根据函数的性质即可得到结论．
【详解】
∵a∅b=，∴y=x2∅（2﹣x）=．
∵x2＞2﹣x
∴x2+x﹣2＞0，解得：x＜﹣2或x＞1，此时，y＞1无最小值．
∵x2≤2﹣x，∴x2+x﹣2≤0，解得：﹣2≤x≤1．
∵y=﹣x+2是减函数，∴当x=1时，y=﹣x+2有最小值是1，∴函数y=x2∅（2﹣x）的最小值是1．
故选C．
【点拨】本题考查了新定义和函数的性质及其应用，不等式的解法，正确的理解题意是解题的关键．
6．D
【解析】
【详解】
由题意可得：当2x>x+1，即x>1时，y=max{2x，x+1}=2x；
当2x≤x+1，即x≤1时，y=max{2x，x+1}=x+1；
综上：y= ；故选D.
点睛：本题考查新定义类问题，能正确地根据定义进行分类讨论是解题的关键.
7．A
【解析】
【详解】
试题分析：已知整数；当x=0时；当x="1" 时，当x=2时；当x=3时；当x=4时；当x=5时；5组数中较大值分别为5，3，4，6，7；所以较大值的最小值是3
考点：最值
点评：本题考查最值，会求函数的最值是本题的关键
8．C
【解析】
【分析】
根据定义先列不等式：和，确定其，对应的函数，画图象可知其最大值．
【详解】
解：由题意得：，解得：，
当时，，
当时，，，
由图象可知：此时该函数的最大值为；
当时，，
当时，，，
由图象可知：此时该函数的最大值为；
综上所述，，的最大值是当所对应的的值，
如图所示，当时，，
故选：C
【点拨】本题考查了新定义、一元一次不等式及一次函数的交点问题，认真阅读理解其意义，并利用数形结合的思想解决函数的最值问题．
9．D
【解析】
【分析】
作点C关于AB的对称点F，关于AO的对称点G，连接DF，EG，当F,D,G,E在一条直线上时，△CDE的周长最小即FG,根据勾股定理求出FG即可.
【详解】
解：如图，作点关于的对称点，关于的对称点，连接，，
直线与两坐标轴分别交于、两点，点是的中点，
，，
，，，
易得，
是等腰直角三角形，
，
由轴对称的性质，可得，，
当点，，，在同一直线上时，的周长，
此时周长最小，
中，，
周长的最小值是．
故选D．
【点拨】本题主要考查了对称轴-最短问题，两点之间距离公式等知识，解题的关键是利用对称性找到D,E点的位置上，此题属于中考常见题.
10．B
【解析】
【分析】
根据对称性，作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′与x轴交于点M，根据两点之间线段最短，后求出 的解析式即可得结论．
【详解】
解：如图所示： 作点B关于x轴的对称点B′， 连接AB′交x轴于点M，
此时MA+MB＝MA+MB′＝AB′， 根据两点之间线段最短，
因为：B（5，1），所以：
设直线为把代入函数解析式：
解得：
所以一次函数为：，
所以点M的坐标为（4，0）
故选：B．
【点拨】本题考查了轴对称-最短路线问题，解决本题的关键是掌握对称性质．
11．D
【解析】
【分析】
如图，点C关于OA的对称点，点C关于直线AB的对称点，求出点的坐标，连接与AO交于点E，与AB交于点D，此时△DEC周长最小，再求出直线DE的解析式，联立两条直线的解析式即可求出交点D的坐标．
【详解】
如图，点C关于OA的对称点，点C关于直线AB的对称点
∵直线AB的解析式为
∴直线的解析式为
由
解得
∴直线AB与直线的交点坐标为
∵K是线段的中点
∴
连接与AO交于点E，与AB交于点D，此时△DEC周长最小
设直线DE的解析式为
可得
解得
∴直线DE的解析式为
联立直线DE和直线直线可得
解得
∴点D的坐标为
故答案为：D．
【点拨】本题考查了一次函数的几何问题，掌握一次函数的性质是解题的关键．
12．C
【解析】
【分析】
作点C关于y轴的对称点C′，连接C′D交y轴于点P，此时PC+PD取得最小值，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点A的坐标，由点C是OA的中点可得出点C的坐标，由点C，C′关于y轴对称可得出CC′的值及PC＝PC′，再利用勾股定理即可求出此时C′D（即PC+PD）的值，此题得解．
【详解】
解：作点C关于y轴的对称点C′，连接C′D交y轴于点P，此时PC+PD取得最小值，如图所示．
当y＝0时，﹣2x+4＝0，解得：x＝2，
∴点A的坐标为（2，0）．
∵点C是OA的中点，
∴OC＝1，点C的坐标为（1，0）．
当x＝1时，y＝﹣2x+4＝2，
∴CD＝2．
∵点C，C′关于y轴对称，
∴CC′＝2OC＝2，PC＝PC′，
∴PC+PD＝PC′+PD＝C′D＝.
故选：C．
【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、线段垂直平分线的性质、勾股定理以及轴对称最短路线问题，利用两点之间线段最短，找出点P所在的位置是解题的关键．
13．A
【解析】
【分析】
根据旋转的性质得到AM＝AM′，得出AM′＋DM的最小值＝AM＋DM的最小值，作点D关于直线OB的对称点D′，连接AD′交OB于M，则AD′＝AM′＋DM的最小值，过D作DE⊥x轴于E，解直角三角形得到DE＝×3＝，AE＝，求出D（，），根据轴对称的性质得到D′（−，），求出直线AD′的解析式为y＝−x＋，于是得到结论．
【详解】
∵把△AOB绕点A顺时针旋转120°，得到△ADC，点M是BO边上的一点，
∴AM＝AM′，
∴AM′＋DM的最小值＝AM＋DM的最小值，
作点D关于直线OB的对称点D′，连接AD′交OB于M，
则AD′＝AM′＋DM的最小值，
过D作DE⊥x轴于E，
∵∠OAD＝120°，
∴∠DAE＝60°，
∵AD＝AO＝3，
∴DE＝×3＝，AE＝，
∴D（，），
∴D′（− ，），
设直线AD′的解析式为y＝kx＋b，
∴，
∴
∴直线AD′的解析式为y＝−x＋，
当x＝0时，y＝，
∴M（0，），
故选A．
【点拨】本题考查了坐标与图形的变换−旋转，待定系数法求函数的解析式，轴对称的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
14．B
【解析】
【详解】
试题解析：
如图所示：作A点关于直线y=x的对称点A′,连接A′B，交直线y=x于点P，
此时PA+PB最小，
由题意可得出：OA′=1,BO=3,PA′=PA，
故选B.
点睛：两点之间线段最短.
15．A
【解析】
【分析】
设D（﹣1，0），作D点关于直线的对称点E，连接OE，交直线于A，连接AD，，作ES⊥x轴于S，根据题意OE就是OB＋CB的最小值，由直线的解析式求得F的坐标，进而求得ED的长，从而求得OS和ES，然后根据勾股定理即可求得OE．
【详解】
解：设D（﹣1，0），作D点关于直线的对称点E，连接OE，交直线于A，连接AD，，交于点，作ES⊥x轴于S，
∵AB∥DC，且AB＝OD＝OC＝1，
∴四边形ABOD和四边形ABCO是平行四边形，
∴AD＝OB，OA＝BC，
∴AD＋OA＝OB＋BC，
∵AE＝AD，
∴AE＋OA＝OB＋BC，
即OE＝OB＋BC，
∴OB＋CB的最小值为OE，
由，
当时，，
解得：，
，
，
当时，，
，
，
，
取的中点，过作轴的垂线交于，
，
当时，，
，
，
，
为的中点，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
∴FD＝3，∠FDG＝60°，
∴DG＝DF＝，
∴DE＝2DG＝3，
∴ES＝DE＝，DS＝DE＝，
∴OS＝，
∴OE＝＝，
∴OB＋CB的最小值为，
故选：A．
【点拨】本题考查了一次函数的性质，轴对称﹣最短路线问题以及平行四边形的性质、勾股定理的应用，解题的关键是证得OE是OB+CB的最小值．
16．B
【解析】
【分析】
点C关于OA的对称点C′（-1，0），点C关于直线AB的对称点C″（7，6），连接C′C″与AO交于点E，与AB交于点D，此时△DEC周长最小，可以证明这个最小值就是线段C′C″．
【详解】
解：如图，点C(1，0)关于y轴的对称点C′（-1，0），点C关于直线AB的对称点C″，
∵直线AB的解析式为y=-x+7，
∴直线CC″的解析式为y=x-1，
由
解得，
∴直线AB与直线CC″的交点坐标为K（4，3），
∵K是CC″中点，C(1，0)，
设C″坐标为（m，n），
∴，解得：
∴C″（7，6）．
连接C′C″与AO交于点E，与AB交于点D，此时△DEC周长最小，
△DEC的周长=DE+EC+CD=EC′+ED+DC″=C′C″=
故答案为10．
【点拨】本题考查轴对称-最短问题、两点之间距离公式等知识，解题的关键是利用对称性在找到点D、点E位置，将三角形的周长转化为线段的长．
17．A
【解析】
【分析】
求出点C（1，1）到直线y=-2x+7的距离d即可求得PQ的最小值．
【详解】
如图，过点C作CP⊥直线l，交圆C于Q点，
此时PQ的值最小，
根据点到直线的距离公式可知：点C（1，1）到直线l的距离，
∵⊙C的半径为1，
∴，
故选 A．
【点拨】本题考查的是一次函数的应用、点到直线的距离公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目．
18．B
【解析】
【分析】
如图，连接PM，PN，设AF交EM于J，连接PJ．证明四边形PMJN是矩形，推出MN=PJ，求出PJ的最小值即可解决问题．
【详解】
解：如图，连接PM，PN，设AF交EM于J，连接PJ．
∵PO=PE，OM=ME，
∴PM⊥OE，∠OPM=∠EPM，
∵PF=PA，NF=NA，
∴PN⊥AF，∠APN=∠FPN，
∴∠MPN=∠EPM+∠FPN=（∠OPF+∠FPA）=90°，∠PMJ=∠PNJ=90°，
∴四边形PMJN是矩形，
∴MN=PJ，
∴当JP⊥OA时，PJ的值最小此时MN的值最小，
∵AF⊥OM，A（5，0），直线OM的解析式为y=x
∴设直线AF的解析式为y=x+b
∵直线AF过A（5，0），
∴=0，
∴b=，
∴y=，
由，解得
∴
∴PJ的最小值为=2.4
即MN的最小值为2.4
故选：B．
【点拨】本题考查一次函数的应用，矩形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题．
19．B
【解析】
【分析】
先根据一次函数的解析式可得，设点P的坐标为，从而可得，再根据三角形的周长公式可得周长为，然后根据垂线段最短可得当时，OP取得最小值，最后利用等腰直角三角形的判定与性质求出OP的最小值即可得．
【详解】
对于一次函数，
当时，，解得，即，，
当时，，即，，
由题意，设点P的坐标为，
则，
因此，周长为，
要使周长最小，则只需OP取得最小值，
由垂线段最短可知，当时，OP取得最小值，
又，
是等腰直角三角形，，
此时，
周长的最小值为，
故选：B．
【点拨】本题考查了一次函数的几何应用、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短、勾股定理等知识点，正确找出周长最小时，点P的位置是解题关键．
20．B
【解析】
【分析】
根据题意可判定此题需分两种情况讨论，如果AB、CD为对角线，AB与CD交于点F，当FC⊥直线y＝2x时，CD最小，根据垂直及F点坐标可先求的直线FC的函数解析式，进而通过求得点C坐标来求CD；如果CD是平行四边形的边，则CD＝AB＝，对比两种情况即可求得CD最小值.
【详解】
解：如图，由题意点C在直线y＝2x上，
如果AB、CD为对角线，AB与CD交于点F，当FC⊥直线y＝2x时，CD最小，
易知直线AB为y＝x﹣4，
∵AF＝FB，
∴点F坐标为（2，﹣2），
∵CF⊥直线y＝2x，
设直线CF为y＝﹣x+b′F（2，﹣2）代入得b′＝﹣1
∴直线CF为y＝﹣x﹣1，
由 解得，
∴点C坐标（，）．
∴CD＝2CF＝2×＝．
如果CD是平行四边形的边，则CD＝AB＝＞，
∴CD的最小值为．
故选B．
【点拨】本题考查了一次函数与平行四边形的综合题，解本题的关键是找到何时CD最短.
21．8
【解析】
【分析】
根据绝对值的性质分情况去除绝对值，再结合求出每种情况下m的取值范围，综合得到值．
【详解】
解：函数y＝|2x－m|（其中m为常量）的最小值为2m－14
∴，则
当2x－m>0时，2x－m=2m－14，解得：；
∴
∴
当2x－m<0时，-2x+m=2m－14，解得：；
∴
∴
综上，函数y＝|2x－m|（其中m为常量）的最小值为2m－14，则m＝8
【点拨】本题主要考查一次函数、一元一次不等式、绝对值，进行分类讨论是解题的关键.
22．
【解析】
【详解】
解：由已知可得：，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
在同一坐标系中画出自变量在上述范围内时各个函数图像如下：
由图像可以，A点处对应的函数值最小，
故当x=-1时，y有最小值为：，
故答案为：．
【点拨】本题考查了一次函数的图像及性质，解题的关键是对绝对值进行分类讨论，画出函数图形即可．
23．
【解析】
【分析】
由P（a，b）是一次函数y=-2x+4图象上一点，得到b=-2a+4，即可得到a2+b2=a2+（-2a+4）2=5（a-）2+，根据非负性即可得到结论．
【详解】
解：∵P（a，b）是一次函数y=-2x+4图象上一点，
∴b=-2a+4，
∴a2+b2
=a2+（-2a+4）2
=5a2-16a+16
=5（a-）2+
∴当a=时，a2+b2有最小值，
故答案为：．
【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，完全平方公式，考查了计算能力和转化思想．
24．1
【解析】
【分析】
根据定义先列不等式：2x-3≥-x+3和2x-3≤-x+3，确定其y=min{2x3，-x+3}对应的函数，画图象可知其最大值．
【详解】
解：由题意得：
，解得：，
当2x-3≥-x+3时，x≥2，
∴当x≥2时，y=min{2x-3，-x+3}=-x+3，
此时该函数的最大值为1；
当2x-3≤-x+3时，x≤2，
∴当x≤2时，y=min{2x-3，-x+3}=2x-3，
此时该函数的最大值为1；
综上所述，y=min{2x-3，-x+3}的最大值是当x=2
所对应的y的值，即y=1，
故答案为 1．
【点拨】本题考查一次函数的性质，理解新定义内容，分情况列出函数解析式并掌握一次函数的性质是解题关键．
25． -3 6
【解析】
【分析】
先将|x+2|+|1﹣x|＝9﹣|y﹣5|﹣|1+y|化为|x+2|+|1﹣x|+|y﹣5|+|1+y|＝9．分情况讨论可得当﹣2≤x≤1时，有最小值3，当﹣1≤y≤5时，有最小值6，从而根据|x+2|+|1﹣x|+|y﹣5|+|1+y|＝9，可得x、y的取值范围，从而求得x+y的最小值和最大值.
【详解】
解：因为|x+2|+|1﹣x|＝9﹣|y﹣5|﹣|1+y|，
所以|x+2|+|1﹣x|+|y﹣5|+|1+y|＝9，
当x≤-2时，,且当x=-2时，有最小值3，
当﹣2＜x＜1时，，
当x≥1时，，且当x=1时，有最小值3，
故当﹣2≤x≤1时，有最小值3，
当y≤﹣1时，，且当y=﹣1时，有最小值6，
当﹣1＜y＜5时，，
当y≥5时，，且当y=5时，有最小值6，
故当﹣1≤y≤5时，有最小值6，
所以，要使|x+2|+|1﹣x|+|y﹣5|+|1+y|＝9，那么﹣2≤x≤1且﹣1≤y≤5，
故x+y最小值为﹣3，最大值为6．
故答案为：﹣3，6．
【点拨】本题考查化简绝对值，一次函数的性质.解决此题的关键为：①分类讨论分别化简和；②根据一次函数的性质，得出化简后的代数式的最小值.
26．
【解析】
【分析】
利用两直线相交的问题，分别求出三条直线两两相交的交点，然后观察函数图象，利用一次函数的性质易得当x时，y1最大；当时，y3最大；当x时，y2最大，于是可得满足条件的y的最小值．
【详解】
如图，直线y1=﹣x+2与直线y2=4x﹣5的交点坐标为（），
直线y2=4x﹣5与直线y3x+4的交点坐标为（），
直线y1=﹣x+2与直线y3x+4的交点坐标为（），
所以当x时，y1最大；
当时，y3最大；
当x时，y2最大，
所以当x时，y的值最小，为．
故答案为．
【点拨】本题考查了一次函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．也考查了直线相交的问题．
27．
【解析】
【分析】
作点C关于OB的对称点 ，作点C关于AB的对称点，连接，交AB于点E，交OB于点D，此时周长最小，可以证明这个最小值就是线段，根据勾股定理可求周长的最小值．
【详解】
如图，作点C关于OB的对称点，作点C关于AB的对称点，连接，交AB于点E，交OB于点D，
直线与两坐标轴分别交于A，B两点
点，点
，且，
，
点C关于OB的对称点，
∴,
点C关于AB的对称点，
∴AC=，∠BAO=∠=45°，
∴=90°，
点
由轴对称的性质，可得CE=，CD=D，
当点，点E，点D，点共线时，的周长=CD+CE+DE=+DE+D=，
此时的周长最小，
在Rt△中，.
的周长最小值为
故答案为
【点拨】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，轴对称-最短问题等知识，解题的关键是利用对称性找到点D、点E位置，属于中考常考题型．
28．
【解析】
【分析】
先求出A，B两点坐标，得到C点坐标，然后分别求出C点关于直线AB与y轴的对称点C′和C′′的坐标，连接C′，C′′，交AB和y轴的于点D，E，此时△CDE的周长最小，求出线段C′C′′的长即可.
【详解】
解：
由题意可知A（0，2），B（﹣2，0），
∵点 C 是 OB 的中点，
∴C（﹣1，0），
如图，点C关于直线AB的对称点C′（﹣2,1），点C关于y轴的对称点C′′（1，0），
连接C′C′′与AB交于D点，与AO交于E点，此时△CDE的周长最小，
△CDE周长=CD+DE+CE=DC′+DE+EC″= C′C″=.
故答案为.
【点拨】本题考查轴对称-最短问题、两点之间距离公式等知识，解题的关键是利用对称性在找到点D、点E位置，属于中考常考题型．
29．（﹣，0）
【解析】
【详解】
如图，过点A作x轴的平行线，并且在这条平行线上截取线段AA′，使AA′=1，作点B关于x轴的对称点B′，连接A′B′，交x轴于点E，在x轴上截取线段EF=1，则此时四边形ABEF的周长最小．
∵A（3，4），∴A′（2，4），
∵B（-1，1），∴B′（-1，-1）．
设直线A′B′的解析式为y=kx+b，
则 ，
解得，k=，b=．
∴直线A′B′的解析式为y=x+，
当y=0时，x+=0，解得x=-．
故线段EF平移至如图所示位置时，四边形ABEF的周长最小，此时点E的坐标为（-，0）．
点睛：本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，轴对称-最短路线问题，根据“两点之间，线段最短”确定点E、F的位置是关键，也是难点．
30．
【解析】
【详解】
∵点A是直线y＝ x＋ 上一动点，将点A向右平移1个单位得到点B，
∴点B所在直线为y= (x-1)＋,即y= x+
作原点关于直线y= x+对称点O’,连接O’C，交直线y= x+于点B，则此时有OB＋CB的最小值即为O’C长度，如下图所示：
直线OO’的解析式为y=- ,则与直线直线y= x+交点坐标为（ ）,所以点O’的坐标为（ ），又因为点C（1，0），所以点C与O’的水平距离为 ，垂直距离为，所以O’C的距离为： ,即为OB＋CB的最小值；
故答案是：．
31．
【解析】
【分析】
在一次函数y=x+4中，分别令x=0， y=0，解相应方程，可求得A、B两点的坐标，由矩形的性质可知EF=OP，可知当OP最小时，则EF有最小值，由垂线段最短可知当OP⊥AB时，满足条件，根据直角三角形面积的不同表示方法可求得OP的长，即可求得EF的最小值．
【详解】
解：∵一次函数y=x+4中，令x=0，则y=4，令y=0，则x=-3，
∴A（0，4），B（-3，0），
∵PE⊥y轴于点E，PF⊥x轴于点F，
∴四边形PEOF是矩形，且EF=OP，
∵O为定点，P在线段上AB运动，
∴当OP⊥AB时，OP取得最小值，此时EF最小，
∵A（0，4），点B坐标为（-3，0），
∴OA=4，O B=3，
由勾股定理得：AB==5，
∵AB·OP=AO·BO=2S△OAB，
∴OP=，
故答案为：．
【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特点，勾股定理、矩形的判定与性质、最值问题等，熟练掌握相关知识、确定出OP的最小值是解题的关键．
32．4
【解析】
【分析】
【详解】
思路引领：过P作PD⊥AB于D，依据△AOB是等腰直角三角形，可得∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD，进而得到△BDP是等腰直角三角形，故PDPB，当C，P，D在同一直线上时，CD⊥AB，PC+PD的最小值等于垂线段CD的长，求得CD的长，即可得出结论．
答案详解：如图所示，过P作PD⊥AB于D，
∵直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，
令x＝0，则y＝﹣3；令y＝0，则x＝3，
∴A（0，﹣3），B（3，0），
∴AO＝BO＝3，
又∵∠AOB＝90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD，
∴△BDP是等腰直角三角形，
∴PDPB，
∴PC+PB（PCPB）（PC+PD），
当C，P，D在同一直线上，即CD⊥AB时，PC+PD的值最小，最小值等于垂线段CD的长，
此时，△ACD是等腰直角三角形，
又∵点C（0，1）在y轴上，
∴AC＝1+3＝4，
∴CDAC＝2，
即PC+PD的最小值为，
∴PC+PB的最小值为4，
故答案为：4．
33．
【解析】
【分析】
如图，连接，依题意，四边形是矩形，则，当时，最小，底面积法求得即可．
【详解】
如图，连接，
PM⊥x轴，PN⊥y轴，
四边形是矩形，
，
当时，最小，
直线与坐标轴分别交于点A，B，
令，
令，
，
，
当时，
，
．
．
故答案为：．
【点拨】本题考查了矩形的性质，勾股定理，垂线段最短，找到是解题的关键．
34．
【解析】
【分析】
连接OP，证明四边形OEPF为矩形，得到EF=OP，求出OP的最小值即可．
【详解】
解：连接OP，∵PE⊥x轴，PF⊥y轴，
∴四边形OEPF为矩形，
∴EF=OP，
则当OP最小时，EF最小，
在直线y=x+2中，
令x=0，则y=2，令y=0，则x=-2，
∴A（-2，0），B（0，2），即OA=2，OB=2，
∴AB=
当OP⊥AB时，OP最小，此时点P为AB中点，
∴OP=AB=，
∴线段EF的最小值为，
故答案为：．
．
【点拨】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，矩形的性质，等腰三角形三线合一，垂线段最短，解题的关键是利用矩形的性质，用OP代替EF的长，以便求出最小值．
35．
【解析】
【分析】
当时，的长取得最小值，根据可得A、B坐标，得，，进而得出AB=5，PB=4，PA=，设BM=x，利用勾股定理列方程可得x的值，利用勾股定理可得PM的长．
【详解】
解：如图，连接PA，当时，的长取得最小值，
在中，令，得，令，得，即：点A，B，
，，
，，PA=，
设BM=x，
∴，即，
解得：,
∴PM==．
故答案为：
【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，垂线段的性质及勾股定理，熟练掌握垂线段最短是解题的关键．
36．
【解析】
【分析】
线段OP长度的最小值，就是O点到直线y＝x+4垂线段的长度，求得直线与坐标轴的交点，然后根据三角形面积即可求得线段OP长度的最小值．
【详解】
解：如图，一次函数y＝x+4中，令y＝0，求得x＝3；令x＝0，则y＝4，
∴A（3，0），B（0，4），
∴OA＝3，OB＝4，
∴AB＝5，
线段OP长度的最小值，就是O点到直线y＝x+4垂线段的长度，
∴OP⊥AB，
∵OA•OB＝，
∴OP＝．
故答案为．
【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用，三角形的面积，理解“垂线段最短”是本题的解题关键．
37．
【解析】
【分析】
过点C作直线AB的垂线段CD，利用三角形的面积即可求出CD的长.
【详解】
连接AC，过点C作CD⊥AB，则CD的长最短，如图，
对于直线令y=0，则，解得x=-4，令x=0，则y=3，
∴A(-4，0)，B(0，3)，
∴OA=4，OB=3，
在Rt△OAB中，
∴AB=
∵C（0，-1），
∴OC=1，
∴BC=3+1=4，
∴,即，
解得，.
故答案为：.
【点拨】此题主要考查了一次函数的应用以及三角形面积公式的运用，解答此题的关键是利用三角形面积相等求出CD的长.
38．(1)A种饮料调价前的单价为5元/瓶，B种饮料调价前的单价为6元/瓶
(2)n的最大值为601
【解析】
【分析】
（1）设A饮料调价前的单价为x元/瓶，B饮料调价前的单价为y元/瓶，根据“调价前A、B、C三种饮料各买一瓶共花费18元，调价后买A饮料2瓶、B饮料5瓶共花费39元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进A饮料m瓶，则购进B饮料2m瓶，购进C饮料(n−3m)瓶，根据总价=单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，进而可得出n=481+0.6m，由购买A、B两种饮料的钱数要少于3367元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再由m，n均为正整数，结合一次函数的性质即可求出n的最大值即可．
(1)
解：设A、B饮料在调价前每瓶各x元、y元，
根据题意得：
解得：
答： A种饮料调价前的单价为5元/瓶，B种饮料调价前的单价为6元/瓶；
(2)
解：设购进A饮料m瓶，则购进B饮料2m瓶，购进C饮料(n-3m)瓶
根据题意得：
解得：n=481+0.6m
购买A、B两种饮料的钱数要少于3367元
解得：
又m、n均为整数
当m=200时，n取得最大值，最大值为601
答：n的最大值为601．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的性质以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出方程；通过解二元一次方程，找出n关于m的函数关系式．
39．(1)卖出一件甲商品赚元，卖出一件乙商品赚元
(2)甲、乙两种商品总利润的最大值为元
【解析】
【分析】
（1）设卖出一件乙商品赚元，卖出一件甲商品赚元，依题意得方程，解得，x+40=320；
（2）设甲商品卖出件，乙商品卖出件，得到，解得．
设卖出甲、乙两种商品总利润为元，则．
从，可知w随的增大而增大，当时，取得最大值，最大值．
(1)
解：设卖出一件乙商品赚元，则卖出一件甲商品赚元，
依题意得：，
解得：，
．
答：卖出一件甲商品赚元，卖出一件乙商品赚元．
(2)
解：设甲商品卖出件，则乙商品卖出件，
依题意得：，
解得：．
设卖出甲、乙两种商品总利润为元，则．
，
随的增大而增大，
当时，取得最大值，最大值．
答：甲、乙两种商品总利润的最大值为元．
【点拨】本题考查了销售类问题，解题的关键是熟练掌握“总利润=每件利润数量”的关系列一元一次方程，列一次函数解析式，根据不等关系列不等式，熟练运用自变量取值在一定范围内，一次函数值随自变量的变化关系求函数的最大值．
40．（1）6
（2）①见详解 ②
（3）线段BD长的最大值为；点C的横坐标为或
【解析】
【分析】
（1）根据点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，即可得到结论；
（2）①根据等腰直角三角形得AD＝AB，AE＝AC，∠DAB＝∠EAC＝90°，可得出∠DAC＝∠EAB，利用SAS证明△DAC≌△BAE即可得出结论；
②由①可知，BE＝DC，线段BE的最大值即线段DC的最大值．求出BD的值，当点D在CB的延长线上时，CD取得最大值即BC+BD的值，即可得线段BE的最大值；
（3）以BC为边作等边三角形BCE，连接AE，证明△ACE≌△DCB（SAS），可得BD＝AE．求出，则当且仅当A、B、E三点共线时，AE取得最大值，即BD取得最大值为；当BD取得最大值时，过C作CH⊥y轴于H，可得∠CBH＝∠CBE﹣∠HBE＝15°，作BC的垂直平分线交BH于N，则CN＝BN，∠NCB＝∠CNH＝30°，在 Rt△CHN中，设CH＝x．则，CN＝BN＝2x，在Rt△BHC中，由HC2+BH2＝BC2＝22，可得关于x的方程，解方程可得x即CH的值，即可得点C的横坐标．
【详解】
解：（1）当A在选段BC的延长线上时，AC的最大值AB+BC＝6．
故答案为：6；
（2）①证明：∵等腰直角△AEC与等腰直角三角形ABD，
∴AD＝AB，AE＝AC，∠DAB＝∠EAC＝90°，
∴∠DAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC，
∴∠DAC＝∠EAB，
在△DAC和△BAE中，
，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴BE＝CD；
②由①可知，BE＝DC，
∵线段BE的最大值即线段DC的最大值．
在等腰直角△ABD中，，
∵CD≤BC+BD，
∴当点D在CB的延长线上时，CD取得最大值为．
∴线段BE的最大值为；
（3）如图，以BC为边作等边三角形BCE，连接AE，
则BC＝CE，∠BCE＝60°．
∵△ACD是等边三角形，
∠ACD＝60°，AC＝DC．
∴∠ACD﹣∠ECD＝∠BCE﹣∠ECD，
∴∠ACE＝∠DCB．
在△ACE与△DCB中，
，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴BD＝AE．
对于一次函数y＝x+4，令x＝0，则y＝4，
∴B（0，4），
令y＝0，则x＝﹣4，
∴A（﹣4，0）．
∴，
又∵BE＝BC＝2，
∴AE≤AB+BE，
∴当且仅当A、B、E三点共线时，AE取得最大值，即BD取得最大值为；
①当BD取得最大值，点C在AB上方时，
过C作CH⊥y轴于H，
∵∠ABO＝∠HBE＝45°，∠CBE＝60°，
∴∠CBH＝∠CBE﹣∠HBE＝15°，
作BC的垂直平分线交BH于N，
∴CN＝BN，∠NCB＝∠NBC＝15°，
∴∠CNH＝30°，
在 Rt△CHN中，设CH＝x．则，CN＝2x，
∴BN＝2x，
∴，
在Rt△BHC中，HC2+BH2＝BC2＝22，
∴，
整理得，
得，
，（舍），
∴，
∴点C的横坐标为；
②当BD取得最大值，点C在AB下方时，作等边△ABB′，延长BB′到D′，使B′D′＝2，作等边△AC′D′，
∴∠BAB′＝∠CAD′＝60°，AB＝AB′，AC′＝AD′，
∵∠BAC′＝∠B′AD′，
∴△ABC′≌△AB′D′（SAS），
∴BC′＝B′D′＝2，
此时BD′取得最大值为；
∵∠AB′B＝60°，
∴∠ABD′＝∠ABC′＝120°，
∵∠ABO＝45°，
∴∠OBC′＝75°，
过C′作C′H⊥y轴于H，
∵∠OBC′＝75°，
∴∠BC′H＝15°，
作BC′的垂直平分线交C′H于M，
∴C′M＝BM，∠MC′B＝∠MBC′＝15°，
∴∠BMH＝30°，
在 Rt△BHM中，设BH＝x．则HM＝x，BM＝2x，
∴C′H＝HM+C′M＝（+2）x，
在Rt△BHC′中，HC′2+BH2＝BC′2＝22，
∴，
整理得，
得，
解得，（舍），
∴BH＝，C′H＝（+2）•＝，
∴点C的横坐标为．
综上，线段BD长的最大值为；点C的横坐标为或．
【点拨】本题是一次函数综合题，考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定与性质、等边三角形的性质、最大值问题、坐标与图形性质等知识；本题综合性强，熟练掌握等边三角形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
41．(1)△ABC是点A，B的“完美三角形”
(2)（1，0）或（7，0）或（3，0）
(3)，M（2，﹣2）
【解析】
【分析】
（1）根据定义直接判定即可；
（2）设B（x，0），分三种情况讨论：①当∠ACB＝90°时，过点C作CE⊥x轴交于点E，取AB的中点D，连结CD，可得CD＝CE，又由CD＞CE，则此情况不成立；②当∠BAC＝90°时，C（4，3），由|x﹣4|＝3，可求B点坐标（1，0）或（7，0）；③当∠ABC＝90°时，C（x，2x﹣5），由|x﹣4|＝|2x﹣5|，可求B点坐标为（3，0）或（1，0）；
（3）求出S（2，4），则RS＝，由题意可得M点到RS的距离为，过点D作DE⊥RS，并且RS＝DE＝，过点E作交x轴于F点，所以M点在直线EF上，过点R作RM⊥EF交于点M，交x轴于点N，此时RN+MN最小，求出直线EF的解析式为y＝x﹣4，设M（t，t﹣4），即可求M（2，﹣2）．
(1)
解：（1）△ABC是点A，B的“完美三角形”，理由如下：
∵BC＝6，∠OBC＝30°，
∴OC＝BC＝3，
∵AB＝3，
∴CO＝AB，
∴△ABC是点A，B的“完美三角形”，
(2)
解：设B（x，0），
①如图1，当∠ACB＝90°时，
过点C作CE⊥x轴交于点E，取AB的中点D，连结CD，
∴CD＝AB，
∵AB＝CE，
∴CD＝CE，
在Rt△CED中，CD＞CE，
∴∠ACB≠90°；
②当∠BAC＝90°时，
∵A（4，0），
∴C点横坐标为4，
∴C（4，3），
∴AC＝3，
∴AB＝3，
∴|x﹣4|＝3，
∴x＝7或x＝1，
∴B点坐标（1，0）或（7，0）；
③当∠ABC＝90°时，
∴C点横坐标为x，
∴C（x，2x﹣5），
∴|x﹣4|＝|2x﹣5|，
∴x＝3或x＝1，
∴B点坐标为（3，0）或（1，0）；
综上所述：B点坐标为（1，0）或（7，0）或（3，0）；
(3)
解：将点R（﹣1，1）代入y＝x+m，
∴m＝2，
∴y＝x+2，
联立方程组，
解得x＝2，
∴S（2，4），
∴RS＝，
∵△RSM为点R，S的“完美三角形”，
∴M点到RS的距离为，
如图2，过点D作DE⊥RS，并且RS＝DE＝，
过点E作交x轴于F点，
∴M点在直线EF上，
过点R作RM⊥EF交于点M，交x轴于点N，
∴RN+MN＝RM＝，此时RN+MN最小，
∵D（﹣2，0），H（0，2），
∴∠HDO＝45°，
∴∠EDO＝45°，
∵DE＝，
∴DF＝6，
∴F（4，0），
∴直线EF的解析式为y＝x﹣4，
设M（t，t﹣4），
∴，
∴t＝2，
∴M（2，﹣2）．
【点拨】本题是一次函数的综合题，熟练掌握一次函数的图象及性质，勾股定理的应用，利用平方根的含义解方程，理解新定义，将定义与所学的一次函数的知识结合解题是关键．
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