专题 19.37 一次函数背景下的存在性问题（培优篇）（专项练习）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

这是一份专题 19.37 一次函数背景下的存在性问题（培优篇）（专项练习）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版），共52页。试卷主要包含了在平面直角坐标系中，直线与直线等内容，欢迎下载使用。

专题 19.37 一次函数背景下的存在性问题（培优篇）
（专项练习）
1．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交x轴，y轴于A、B两点过点A的直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段OB的中点．
(1)求直线AM的解析式．
(2)试在直线AM上找一点P，使得，请求出点P的坐标．
(3)若点H为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H，使以A、B、M、H为顶点的四边形是直角梯形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．



2．如图，在平面直角坐标系中，经过点的一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，CD⊥y轴于点D．
(1)求该一次函数的表达式和点B的坐标；
(2)在y轴上是否存在点E，使得△BCE是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．

3．在平面直角坐标系中，边长为4的菱形的顶点B，C在x轴上，D在y轴上，如图，已知∠A＝60°，C（2，0），
(1)求点D的坐标
(2)动点P从点A出发，以每秒1个单位速度沿射线AD运动，过点P作PE⊥x轴，于E，直线PE交直线CD于点Q，设△PCQ的面积为S，点P的运动时间为t秒，当点Q在x轴上方时，求S与t的关系式，直接写出t的取值范围
(3)在（2）的条件下，连CP，当点Q在第一象限，△PCQ为等腰三角形时，作∠PQC的平分线交射线AD于点M，此时是否存在点N，使以点D，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出点N的坐标，若不存在，说明理由．

4．如图，已知平面直角坐标系内，点，点，连接．动点P从点B出发，沿线段向运动，到达点后立即停止，速度为每秒个单位，设运动时间为t秒．
(1)当点P运动到中点时，求此时的解析式；
(2)在（1）的条件下，若第二象限内有一点，当时，求a的值；
(3)如图2，当点P从B点出发运动时，同时有点M从A出发，以每秒1个单位的速度沿直线向上运动，点P停止运动，点M也立即停止运动．过点P作轴交于点N．在运动过程中，是否存在t，使得为等腰三角形？若存在，求出此时的t值，若不存在，说明理由．

5．在平面直角坐标系中，直线与直线：交于点B，直线交x轴于点A，交y轴于点C，直线交x轴于点E，交y轴于点D，．
(1)求直线的解析式；
(2)如图1，点D与点P关于x轴的对称，M、N为直线上两动点，且，求的最小值；
(3)如图2，点D与点P关于x轴的对称，点H为直线上一动点，在直线上是否存在一点F，使以E、F、H、P四点构成的四边形是以PE为边的平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

6．在平面直角坐标系中，已知点A(a，0)，B（b，0），C（0，c），且．
(1)直接写出S△ACB=__________；
(2)如图1，线段CB沿y轴正方向以每秒0.5个单位的速度匀速移动至DE（点C的对应点为D，点B的对应点为E），连接AD、OE．设运动时间为t秒，问：是否存在这样的t值，使得3S△ACD＝2S△EOD？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
(3)如图2，将线段AC往右平移3个单位长度至FG（点A的对应点为点F），线段FG与BC相交于点H． 若在x轴上存在点M使得S△MCH =2，试求出点M的坐标．

7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象与正比例函数的图象交于点．
(1)求m，n的值；
(2)设一次函数的图象与x轴交于点B，与y轴交于点C，求点B、点C的坐标；
(3)写出使函数的值小于函数的值的自变量x的取值范围．
(4)在x轴上是否存在点P使为等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．




8．如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线的解析式为，与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线与交于点C．
(1)求出点A、点B的坐标；
(2)求的面积；
(3)在x轴上是否存在一点P，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点P坐标，若不存在，请说明理由．


9．如图1，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣2x＋2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．线段AB的垂直平分线交y轴于点C．
(1)点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；
(2)试求点C的坐标；
(3)如图2，作直线AC，小明认为，直线AC在第二象限的部分上存在一点P使得△PAB≌△OBA，连接OP，求证：．

10．如图1，在平面直角坐标系中，已知直线l：y＝kx+b与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线CD相交于点D，其中AC＝14，C（﹣6，0），D（2，8）．
(1)求直线l的函数解析式；
(2)如图2，点P为线段CD延长线上的一点，连接PB，当△PBD的面积为7时，将线段BP沿着y轴方向平移，使得点P落在直线AB上的P'处，求点P′到直线CD的距离；
(3)若点E为直线CD上的一点，则在平面直角坐标系中是否存在点F，使以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．

11．一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B，以AB为边在第二象限内作等边△ABC．
(1)求C点坐标；
(2)在第二象限内有一点，使△ABC的面积和△ABM的面积相等，求M点坐标；
(3)点，在直线AB上是否存在一点P，使为等腰三角形？若存在，求P点坐标：若不存在，说明理由．

12．已知直线l1：y＝-x＋b与x轴交于点A，直线l2：y＝x﹣与x轴交于点B，直线l1、l2交与点C，且C点的横坐标为1．
（1）求直线l1的解析式；
（2）过点A作x轴的垂线，若点P为垂线上的一个动点，点Q为y轴上的一个动点，当CP＋PQ＋QA的值最小时，求此时点P的坐标；
（3）E点的坐标为（﹣2，0），将直线l1绕点C顺时针旋转，使旋转后的直线l3刚好过点E，过点C作平行于x轴的直l4，点M、N分别为直线l3、l4上的两个动点，是否存在点M、N，使得△BMN是以M点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由．

13．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，与函数的图象交于点．
（1）求m和b的值；
（2）函数的图象与x轴交于点D，点E从点D出发沿DA方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点A（到A停止运动）．设点E的运动时间为t秒．
①当的面积为12时，求t的值；
②在点E运动过程中，是否存在t的值，使为直角三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

14．如图1，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx+b（k≠0）与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，6），直线l2与x轴交于点C，与直线l1交于D（m，3），OC＝2OA，tan∠BAO＝．
（1）求直线l2的解析式．
（2）在线段DC上是否存在点P，使△DAP的面积为？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
（3）如图2，连接OD，将△ODB沿直线AB翻折得到△O'DB．若点M为直线AB上一动点，在平面内是否存在点N，使得以B、O′、M、N为顶点的四边形为菱形，若存在，直接写出N的坐标，若不存在，请说明理由．


15．如图，在平面直角坐标系中，直线，与x轴，y轴交于点，直线与直线交于点D，直线过点A，与y轴交于点C，点C的纵坐标是．
（1）求直线的解析式；
（2）在直线上是否存在点P，点P在直线的左侧，使得，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
（3）在第（2）问的条件下，点Q是线段的动点，过点Q做轴，交直线与点M，在x轴上是否存在点N，使得为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由．


16．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+4交坐标轴于A、B两点，过x轴正半轴上一点C作直线CD交y轴正半轴于点D，且△AOB≌△DOC．
(1)求出直线CD对应的函数表达式；
(2)点M是线段CD上一动点（不与点C、D重合），ON⊥OM交AB于点N，连接MN，判断△OMN的形状，并说明理由；
(3)若E（﹣1，a）为直线AB上的点，P为y轴上的点，请问：直线CD上是否存在点Q，使得△EPQ是以E为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请求出此时Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案
1．(1)
(2)，
(3)存在，，，，
【解析】
【分析】
（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标，由点M为线段OB的中点可得出点M的坐标，根据点A，M的坐标，利用待定系数法即可求出直线AM的函数解析式；
（2）利用平行线间的距离处处相等，过O作直线，为与AM交点，由点P1到直线AB的距离等于点O到直线AB的距离，求出的表达式，与直线AM的表达式联立求出交点即，再利用平移求出另一个点的坐标；
（3）分情况讨论，作出不同的辅助线，求出对应点H的坐标即可．
(1)
解：∵交x轴于A，
∴，解得，
∴，
∵交y轴于B，
∴当x=0时，
∴，
∵M为OB中点，
∴，
设过，，
得到，解得，
∴直线AM的解析式是．
(2)
解：过O作直线，为与AM交点，如图1，                                             

∴ 点P1到直线AB的距离等于点O到直线AB的距离
∴此时，
设直线，
∵，
∴
∴，
∵直线AM的解析式是
∴，解得，
此时
∴，
由是直线AB:向下平移8个单位得到的，
把直线AB:向上平移8个单位得到
交直线AM于，此时，
∴由，得，
∴．
综上所述，点P的坐标为，
(3)
解：①过点B作BHAM，过点A作AH⊥BH于点H，如图2，
如图，则，                            


设直线BH的表达式为：
∵
∴
∵直线BH经过点
∴
∴直线BH的表达式为，
设直线AH的表达式为，
∵，
∴，得到，
又∵直线AH过点
∴，解得
∴直线AH的表达式为，
由 解得
∴此时点H的坐标为；
②过点A作，作BH⊥AH，垂足为点H，则，如图3，


∵，，
∴此时点H的坐标为，
③过点M作AB的平行线，分别过点A、B向AB的平行线作垂线，垂足分别为H1、H2，如图4，此时，


设直线MH1的表达式为
∵
∴
∵直线MH1经过点
∴
∴直线MH1的表达式为，
设直线AH1的表达式为
∵，
则，，
∵过点
∴
解得
∴直线AH1的表达式为                 
由 解得
∴，
当时，
∵为矩形，
把点经过向左平移4个单位，向上平移8个单位即可得到点H2
∴点H的坐标为，，，．
【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图像交点坐标、三角形的面积相等、直角梯形等相关知识，关键在于正确画出图形，进行正确的解答．
2．(1)y＝2x－2，点B的坐标为；
(2)在y轴上存在点E，使得△BCE是等腰三角形，点E的坐标为或或或．
【解析】
【分析】
（1）用待定系数法可得一次函数的表达式为y=2x－2，令x=0得B（0，－2）；
（2）设E（0，t），即得BE2=（t+2）2，CE2=4+（t－2）2，BC2=20，分三种情况：①以BE、CE为腰时，（t+2）2=4+（t－2）2，解得E；②以BE、BC为腰时，（t+2）2=20，解得E（0，）或（0，）；③以CE、BC为腰时，DB＝DE，解得E（0，6）．
(1)
∵一次函数的图象经过点，，
∴，解得，
∴该一次函数的表达式为y＝2x－2．
在y＝2x－2中，令x＝0，得y＝－2，
∴点B的坐标为．
(2)
∵，，CD⊥y轴，
∴CD＝2，BD＝4、
∴．
①当BC＝BE时：
∵，，
∴此时点E的坐标为或；
②当CB＝CE时，如图1：

∵CB＝CE，CD⊥BE，∴DB＝DE．
∵DB＝4，∴DE＝4，
∴此时点E的坐标为；
③当EB＝EC时，如图2：

设此时点E的坐标为，
易得m>0，DE＝2－m，BE＝m＋2，
由勾股定理得，
∴，
解得，
所以此时点E的坐标为．
综上可知，在y轴上存在点E，使得△BCE是等腰三角形，点E的坐标为或或或．
【点拨】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法、等腰三角形性质及应用，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
3．(1)
(2)当0＜t＜4时，；当4＜t＜6时，
(3)点N的坐标（16-4，12-6）或（-4，12-6）或（4，10-12）．
【解析】
【分析】
（1）在Rt△ODC中，解直角三角形求出OD即可解决问题；
（2）分两种情形分别求解①当0＜t＜4时，如图2中．②当4＜t＜6时，如图3中．求出PQ、EC即可；
（3）如图4中，作CH⊥AD于H，在CH上截取一点G，使得GP=GC，连接PG．由PE∥CH，推出∠PCG=∠QPC=∠GPC=15°，推出∠PGH=30°，设PH=m，则，可得，推出，推出P，Q，可得直线PC的解析式为，由QM平分∠PQC，推出QM⊥PC，推出可得直线QM的解析式为，可得x=8，可得M，设N（x，y），再分三种情形分别求解即可解决问题．
(1)
如图1中，

∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DCO=∠A=60°，
在Rt△DOC中，，
∴．
(2)
①当0＜t＜4时，如图2中，

∵C（2，0），，
∴直线CD的解析式为，
∴AP=t，AD=4，
∴PD=4-t，
∴，
∴，
∴．
②当4＜t＜6时，如图3中，

易知：，
∴，
∴．
(3)
如图4中，作CH⊥AD于H，在CH上截取一点G，使得GP=GC，连接PG．

∵QP=QC，∠CQE=30°，
∴∠QCP=∠QPC=15°，
∵PE∥CH，
∴∠PCG=∠QPC=∠GPC=15°，
∴∠PGH=30°，设PH=m，则，
∴，
∴，
∴，
∴直线PC的解析式为，
∵QM平分∠PQC，
∴QM⊥PC，
∴可得直线QM的解析式为，
令y=2，可得x=8，
∴M（8，2），
设N（x，y），
①当QM为对角线时，x=8-4+8=16-4，y=12-6，可得N1（16-4，12-6）．
②当DQ为对角线时，x=8-4-8=-4，y=12-6，可得N3（-4，12-6）．
③当DM为对角线时，，
，
∴N2（4，10-12）．
综上所述，满足条件的点N的坐标（16-4，12-6）或（-4，12-6）或（4，10-12）．
【点拨】本题考查一次函数综合题、菱形的性质、平行四边形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，两直线垂直的性质等知识，解题的关键是学会构建一次函数，解决交点问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
4．(1)
(2)
(3)或或．
【解析】
【分析】
（1）求出点的坐标，利用待定系数法可求出解析式；
（2）由，知直线PQ//AB，从而得出直线的解析式为，即可解决问题；
（3）分或或三种情形，分别根据含角的直角三角形的性质进行解答即可．
(1)
解：，，
的中点为，
当点运动到中点时，，
设直线的函数解析式为，
将代入得，，
，
直线的函数解析式为；
(2)
解：由点，，可知，直线的解析式为，
，
直线PQ//AB，
直线的解析式为，
当时，
，
解得，
；
(3)
解：当时，设交直线于，
则，
，
解得，
当时，
，，
，
，
，
，
，
解得，
当时，，
，
，
解得，
综上：或或．
【点拨】本题是三角形的综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，含角的直角三角形的性质，三角形面积等知识，等腰三角形的性质等知识，运用分类思想是解题的关键．
5．(1)
(2)
(3)点F的坐标为（，）或（，）
【解析】
【分析】
（1）先求出点A的坐标为，点D的坐标为 ，则，求出，即可得到答案；
（2）如图所示，连接PN，过点M作，过点N作与MF交于点F，则四边形PMFN是平行四边形，可以推出当D、N、F三点共线时，NF+ND有最小值，求出直线AP的解析式为，得到直线与直线BD平行，从而可证当D、N、F三点共线时，M与点A重合，N与点B重合，由此求解即可；
（3）分当四边形EPHF为平行四边形时和当四边形EPFH是平行四边形时，两种情况讨论求解即可．
(1)
解：∵直线与直线：交于点B，直线交x轴于点A，交y轴于点C，直线交x轴于点E，交y轴于点D，
∴点A的坐标为，点D的坐标为 ，
∴，
∴，
∴直线的解析式为
(2)
解：如图所示，连接PN，过点M作，过点N作与MF交于点F，则四边形PMFN是平行四边形，
∴PM=NF，
∴PM+MN+ND=NF+MN+ND=3+NF+ND，
∴要使PM+MN+ND的值最小，即NF+ND的值最小，
∴当D、N、F三点共线时，NF+ND有最小值，联立
，
解得，
∴点B的坐标为，
由（1）可得点A的坐标为（-3，0），
∴，
∵P是D关于x轴的对称点，
∴点P的坐标为，
设直线AP的解析式为，
∴，
∴，
∴直线AP的解析式为，
∴直线与直线BD平行，
∴当D、N、F三点共线时，M与点A重合，N与点B重合，
∴，
∵，，
∴

(3)
解：设点F的坐标为（a，a）
当四边形EPHF为平行四边形时，
则，
∴，
∴点H的坐标为，
∴，
解得，
∴点F的坐标为（，）；
同理当四边形EPFH是平行四边形时，
则，
∴，
∴点H的坐标为，
∴，
解得，
∴点F的坐标为（，）；
综上所述，点F的坐标为（，）或（，）

【点拨】本题主要考查了一次函数与几何综合，两点距离公式，平行四边形的性质等等，解题的关键在于能够利用数形结合的思想求解．
6．(1)4
(2)存在，t=8
(3)（，0）或（，0）
【解析】
【分析】
（1）根据二次根式的非负性和绝对值的非负性分析求得a、b、c的值，继而根据三角形面积公式即可求解；
（2）运动时间为t，运动速度为0.5个单位∕s，分当DE在BC的上方时和当DE在BC的下方两种情况讨论
（3）利用待定系数法求出直线AC、BC的解析式，再利用一次函数平移规律求出直线FG解析式，求出线段FG与BC相交于点H点H，设，根据计算即可求解．
(1)
∵，
又≥0，≥0，≥0，
∴，，，
∴，，，
∴点A(-1，0)，B（3，0），C（0，-2），
∴AB=4，OC=2，
∴，
(2)
存在，
①当DE在BC的上方时，运动时间为t，运动速度为0.5个单位∕s，
，，
∴， ，
∵3S△ACD＝2S△EOD，
∴，
解得：，
②当DE在BC的下方时， ，，
∴ ，，
∵3S△ACD＝2S△EOD，
∴，
解得：（t为正数，舍去）
综上所述，当时，使得3S△ACD＝2S△EOD．

(3)
∵点A(-1，0)，B（3，0），C（0，-2），
设直线AC，BC的解析式为、，
将A(-1，0)， C（0，-2）代入得：，
解得：，
∴直线AC的解析式为：，
将点B（3，0），C（0，-2）代入得：，
解得：，
∴直线BC的解析式为：，
∵FG是线段AC往右平移3个单位长度得到的，点A的对应点为点F，
∴直线FG的解析式为：，点F(2，0)，G（3，-2），
令，
解得：，
将代入得：，
∴点H，
∵设，
则，，
∴，
∵S△MCH =2，即，
解得：或，
∴点M(，0)或M（，0）．
【点拨】本题考查一次函数的综合问题，涉及到二次根式非负性，绝对值非负性，三角形面积公式，待定系数法求解析式，解题的关键正确求得各点坐标和各直线的函数解析式，注意分类讨论．
7．(1)m＝2，n＝6；
(2)点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6）；
(3)x＞2；
(4)点P坐标为（6+4，0）或（6﹣4，0）或（﹣2，0）或（2，0）．
【解析】
【分析】
（1）将点A的坐标代入正比例函数的解析式中即可求出m的值．将点A的坐标代入一次函数的解析式中即可求出n的值．
（2）令x＝0，可得y＝6，令y＝0，可得x＝6，即可求解；
（3）根据图象即可写出x的取值范围；
（4）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解．
(1)
解：正比例函数y＝2x的图象过点A（m，4）．
∴4＝2m，
∴m＝2．
又∵一次函数y＝﹣x+n的图象过点A（2，4）．
∴4＝﹣2+n，
∴n＝6．
(2)
解：由（1）可得，一次函数y＝﹣x+n的解析式为y=-x+6，图象与x轴交于点B，
∴令y＝0，则0＝﹣x+6
∴x＝6，
∴点B坐标为（6，0），
令x＝0，则y＝6，
∴点C坐标为（0，6）；
(3)
解：由图象可知：在A点右侧，函数的值小于函数的值；
故x＞2；
(4)
解：∵点A（2，4），
∴AB＝＝4，
当AB＝BP＝4时，且点P在x轴上，
则点P（6+4，0）或（6﹣4，0）；
当AB＝AP时，如图，过点A作AE⊥BO于E，则点E（2，0），

∵AB＝AP，AE⊥BO，
∴PE＝BE＝4，
∴点P（﹣2，0）；
当PA＝PB时，
∴∠PBA＝∠PAB＝45°，
∴∠APB＝90°，
∴点P（2，0），
综上所述：点P坐标为（6+4，0）或（6﹣4，0）或（﹣2，0）或（2，0）．
【点拨】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
8．(1)点A的坐标为，点B的坐标为
(2)3
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据坐标轴点的特征求解即可．
（2）联立式y=x，得点C（2，2），根据三角形的面积公式即可求解．
（3）分PC=OC、CP=OP、OC=OP三种情况，分别利用等腰三角形的性质求解即可．
(1)
把代入中得，
把代入中得x=6，
点A的坐标为，点B的坐标为．
(2)
联立方程组得：，
解得：，
点C的坐标为．
的面积为：
(3)
存在．
∵点C（2，2），
∴，
设P（x，0），
①当PC=OC=2时，如图，


∵点C（2，2），
∴PC2=22+（x-2）2，
∴，
∴x=0或4，
∵x=0时，与点O重合，故舍去，
∴点P（4，0）；
②当CP=OP时，如图，


∵CP=OP，∠AOC=45°，
∴∠OCP=45°，
∴∠OPC=90°，
∴点C（2，2），
∴OP=2，
∴点P（2，0）；
③当OC=OP=2时，如图，


点P（2，0）或（-2，0），
综上所述：点P坐标为P点的坐标可能是：．
【点拨】本题是一次函数综合题，考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、勾股定理、三角形面积的计算等知识，解题的关键是要注意分类求解，避免遗漏．
9．(1)，
(2)
(3)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题目所给一次函数解析式，当y=0时，可求得A的横坐标，当x=0时，可以求出B点的纵坐标，进而求得结果；
（2）设，根据垂直平分线的性质即可得到，再列出方程，即可求得，从而求得点C的坐标；
（3）根据，即可证得，再根据，证得，进而求得，从而命题得证．
(1)
解：当y=0时，
，
∴，
∴点，
当x=0时，
，
∴点，
故答案为：，；
(2)
解：设，
则，
在中，
，
∵的垂直平分线交于点C，
∴,
∴，
∴，
∴；
(3)
证明：∵，
∴，
∴，
即：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题考察了由一次函数的解析式求点的坐标，线段垂直平分线性质，全等三角形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是根据数量关系列方程求解．
10．(1)直线l的函数解析式为
(2)点到直线的距离为
(3)存在点或或或，使以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形．
【解析】
【分析】
（1）用待定系数法即可求解；
（2）由△PBD的面积求出点P的坐标，进而求出点P'( 5, 4)，构建△P' DN用解直角三角形的方法即可求解；
（3）分AD是菱形的边、AD是菱形的对角线两种情况，利用图象平移和中点公式，分别求解即可．
(1)
解：∵，点A在点C右侧，
∴．
∵直线l与直线相交于点，
∴解得   
∴直线l的函数解析式为．
(2)
解：如图1，过点P作轴于点N，作轴，交于点，过点作于点M，过点D作轴于点E，设与y轴交于点F，

设直线的解析式为，
∵，
∴
解得
∴直线的解析式为．

∴．
∴
∵，
∴
∵直线l的解析式为，
∴．
∴．
∴．
设，
∵，
∴，即，解得．
∴．
∵将线段沿着y轴方向平移，使得点P落在直线上的处，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，

∴是等腰直角三角形．
∴，即点到直线的距离为．
(3)
解：①如图2，当、为边时，

∵，
∴．
∵四边形是菱形，
∴．
∵直线的解析式为，
∴可设直线的解析式为．
∵，
∴，解得．
∴直线的解析式为．
设，
∴，
解得．
∴．
当、为边时，
∵，
∴．
∵四边形是菱形，
∴．
∵直线的解析式为，
∴可设直线的解析式为．
∵，
∴-，解得．
∴直线的解析式为．
设，
∴，
解得或（舍去），
∴．
②如图3，当为对角线时，则．

由①得直线的解析式为．
设，
∵，
∴，
解得．
∴．
综上所述，存在点或或或使以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形．
【点拨】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到二次函数的性质、平行四边形的性质、图形的平移、 面积的计算等，分类求解解题的关键．
11．(1)（-2，4）
(2)（-5，1）
(3)存在，点P坐标为或或或
【解析】
【分析】
（1）证明AC//y轴，故点C的纵坐标为4，即可求解；
（2）△ABC的面积和△ABM的面积相等，则CM//AB，进而求解；
（3）分PC′=PA、PC=AC′、PA=AC′三种情况，利用边相等列出代数式即可求解．
(1)
对于y=x+2，令y=x+2=0，解得x=-2，令x=0，则y=2，
故点A、B的坐标分别为（-2，0）、（0，2），
则OA=2，OB=2，则AB=，
∴∠BAO=30°，则∠ABO=60°，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠C=60°=∠ABO，BC=CA=AB=4，
∴AC∥y轴，故点C的纵坐标为4，
故点C的坐标为（-2，4）；
(2)
∵△ABC的面积和△ABM的面积相等，
故CM∥AB，
设直线CM的表达式为y=x+t，
将点C的坐标为代入上式得：4=-×2+t，解得t=6，
故直线CM的表达式为y=x+6，
将点M的坐标代入上式得：1=m+6，解得m=-5，
故点M的坐标为（-5，1）；
(3)
设点P的坐标为（p，p+2），
由点A、C′、P的坐标得：PC′2=（p-2）2+（p+2）2，PA2=（p+2）2+（p+2）2，AC2=（2+2）2，
当PC′=PA时，则（p-2）2+（p+2）2=（p+2）2+（p+2）2，
解得p=1-；
当PC=AC′时，则（p-2）2+（p+2）2=（2+2）2，
解得p=3+；
当PA=AC′时，则（p+2）2+（p+2）2=（2+2）2，
解得p=3-或-3-3；
故点P的坐标为或或或．
【点拨】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、等腰三角形的性质、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
12．（1）；（2）点的坐标；（3）点的坐标为或，或．
【解析】
【分析】
（1）当时，，即点的坐标为，将点的坐标代入直线得：，解得：，即可求解；
（2）确定点的对称点、点的对称点，连接，此时，的值最小，即可求解；
（3）①当点在直线上方，画出图形，证明，利用，，即可求解．②当点在直线下方时，同①的方法即可得出结论．③如图2中，当点在轴的右侧，是等腰直角三角形时，同法可得结论．
【详解】
解：（1）当时，，即点的坐标为，
将点的坐标代入直线得：，解得：，
故：直线的解析式为：；
（2）确定点关于过点垂线的对称点、点关于轴的对称点，
连接交过点的垂线与点，交轴于点，此时，的值最小，如图所示：

将点、点的坐标代入一次函数表达式：得：，解得：，
则直线的表达式为：，
当时，，即点的坐标为，
的值，
即：当的值最小为时，此时点的坐标；
（3）将、点坐标代入一次函数表达式，同理可得其表达式为
①当点在直线上方时，设点，点，点，
过点、分别作轴的平行线交过点与轴的平行线分别交于点、，

，，
，
，，
，
，，
即，解得．
故点的坐标为，
②当点在下方时，如图1，过点作轴，与过点作轴的平行线交于，与过点作轴的平行线交于，

同①的方法得，，
③如图2中，当点在轴的右侧，是等腰直角三角形时，同法可得


即：点的坐标为，或，．
【点拨】本题考查的是一次函数的综合运用，涉及到三角形全等、轴对称的性质等知识点，其中（2）中，通过画图确定点、的位置是本题的难点．
13．（1）m的值是4，b的值是；（2）①5；②存在，4或6
【解析】
【分析】
（1）根据点在直线上，可以求得m的值，从而可以得到点C的坐标，再根据点C在函数的图象上，可以得到b的值；
（2）①根据（1）中的结果可以求得点A、点B、点C、点D的坐标，然后用含t的代数式表示出AE的长度，然后根据的面积为12，即可得到t的值；②先写出使得为直角三角形时t的值，然后利用分类讨论的方法分别求得当和对应的t的值即可解答本题．
【详解】
解：（1）∵点在直线上，
∴，
∴点，
∵函数的图象过点，
∴，
解得，
即m的值是4，b的值是；
（2）①∵函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，
∴点，点，
∵函数的图象与x轴交于点D，
∴点D的坐标为，
∴，
∵的面积为12，
∴，
解得，．
即当的面积为12时，t的值是5；
②存在，当t＝4或t＝6时，是直角三角形，理由如下：
第一种情况：当时，
∵，，
∴，
∵，
即，
解得，；
第二种情况：当时，，
∵点，点，点，点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
即，
解得：；
综上所述，当或时，是直角三角形
【点拨】本题考查了一次函数的综合题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和分类讨论的数学思想解答．
14．（1）；（2）（，2）；（3）N点坐标为（，）、（，）、（0，0）或（，6）．
【解析】
【分析】
（1）由y轴截距以及正切值，可求出，则 A点坐标为（，0），因为OC＝2OA所以C点坐标为（，0 ），将D（m，3）代入，得D点坐标为（ ，3），再将D（，3），C（，0 ）代入，求得．
（2）设P点坐标为（a，），由题意可知△DAP为，△DAP的高为A点到直线CD的距离，过 A点做DC平行线交y轴于点E，由可知 ，将A（，0）代入，解得 ，故两线间的距离为，△DAP的高为，由三角形面积= 底×高，有2，故有，进而即可求解；
（3）如图所示，共有4个点满足条件，证明见解析．
【详解】
（1）∵B（0，6），tan∠BAO＝
∴
令y=0，得A点坐标为（，0）
∵OC＝2OA
∴C点坐标为（，0）
将D（m，3）代入
∴D点坐标为（，3）
将D（，3），C（，0）代入有

得
∴
（2）设P点坐标为（a，），过A点做DC平行线交y轴于点E
∵AE//DC
∴
∴
将A（，0）代入
得b=2
∴
故和间的距离为，即△DAP的高为
由三角形面积=底×高有
有2
故有
化简得
解得a=0（舍去）或a=，
故P点坐标为（，2）．

（3）
如图所示，可知BO’=6，在B点上方截取BM1=6，过M1做BO’平行线，过O’做BM1平行线，两平行线相交于N1．
由作图步骤可知▱BO’N1M1为菱形，
由菱形性质可得N1坐标为（，）．

如图所示，可知BO’=6，在B点下方截取BM2=6，过M2做BO’平行线，过O’做BM2平行线，两平行线相交于N2．
由作图步骤可知▱BO’N2M2为菱形，
由菱形性质可得N2坐标为（，）．

如图所示，可知BO’=6，在B点下方截取BN3=6，过N3做BO’平行线，过O’做BN3平行线，两平行线相交于M3．
由作图步骤可知▱B N3M3O’为菱形，
由菱形性质可得N3坐标为（0，0）．

如图所示，可知BO’=6，令BO’做菱形其中一条对角线，过O’做x轴平行线交直线AB于点M4，过B点做O’M4平行线，过O’点做直线AB平行线，两平行线相交于N4．
由作图步骤可知▱B M4O’N4为菱形，
由菱形性质可得N4坐标为（，6）．

综上所述N点坐标为（，）、（，）、（0，0）或（，6）．
【点拨】本题考查了一次函数的图象及其性质，菱形的判定，熟练掌握并应用菱形的性质是解第三问的关键：⑴菱形的四条边都相等；⑵菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.⑶菱形具有平行四边形的一切性质.⑷菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在的直线.⑸利用菱形的性质可证线段相等，角相等．
15．（1）；（2）存在，；（3）存在，N（-，0）或（，0）或（，0）．
【解析】
【分析】
（1）先求出点A的坐标，再利用待定系数法求解；
（2）设直线AC交直线x=-1于点F，则F（-1，-2），设，由，得到，代入公式计算即可；
（3）过点Q作x轴，QN1⊥x轴，过点M作MN3⊥x轴，作∠QN2M=90°交x轴于N2，求出直线PD的解析式，设Q（），得到，根据为等腰直角三角形，分三种情况：若∠NQM=90°，则N与N1重合， 若∠NMQ=90°，则N与N3重合，MN3=QM，若∠QNM=90°，则N与N2重合，依据等腰直角三角形的性质列方程求出t的值即可得到点N的坐标．
【详解】
解：（1）令y=-x+3中y=0，解得x=3，
∴A（3,0），
设直线AC的解析式为y=kx+b，将A（3,0），C（0，）代入，
得，解得，
∴直线AC的解析式为，
（2）存在，
设直线AC交直线x=-1于点F，则F（-1，-2），
∵直线与直线交于点D，
∴D（-1,4），
∵直线y=-x+3，与y轴交于点B，
∴B（0,3），
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
解得a=-6，
∴；


（3）存在
过点Q作x轴，QN1⊥x轴，过点M作MN3⊥x轴，作∠QN2M=90°交x轴于N2，
设直线PD解析式为y=mx+n，将，D（-1,4）代入，
得，解得，
∴直线PD解析式为，
设Q（），
∵轴，
∴，
∴，
∵为等腰直角三角形，
若∠NQM=90°，则N与N1重合，∴QN1=QM，
∴，
∴t=-，
∴N1（-，0）；
若∠NMQ=90°，则N与N3重合，∴MN3=QM，
∴，
∴t=-，
∴，
∴N3（，0）；
若∠QNM=90°，则N与N2重合，
∴
得，
∴，
∴N2（，0）；
综上，存在，N（-，0）或（，0）或（，0）．

【点拨】此题考查的是一次函数的综合题，一次函数与几何图形的面积，待定系数法求函数解析式，以及等腰直角三角形的性质的应用，综合掌握各知识点并应用是解题的关键．
16．(1)函数对应的表达式为：；
(2)△OMN是等腰直角三角形，证明见详解；
(3)存在，Q（﹣2，3）或（2，1），理由见详解；
【解析】
【分析】
先求出OA=2，OB=4，由全等三角形性质可得OD=2，OC=4，利用待定系数法可求解析式；
求全等三角形性质可得∠OBA=∠OCD，OB=OC，进而可证△OBN≌△OCM，可得OM=ON的结论；
分两种情况讨论，由全等三角形性质和一次函数性质可求Q坐标．
(1)
解：把x=0代入y=2x+4中得：y=4，
∴点B（0，4），
∴OB=4，
把y=0代入y=2x+4的：x=﹣2，
∴OA=2，
∵△AOB≌△DOC，
∴OC=OB=4，OD=OA=2，
∴C（4，0），D（0，2），
设直线CD对应的函数表达式为：y=kx+b，
把C（0，4），D（0，2）代入y=kx+b得：
，
解得：，
∴函数对应的表达式为：；
(2)
解：△OMN是等腰直角三角形，理由如下：
∵△AOB≌△DOC，
∴∠OBA=∠OCD，OB=OC，
又∵ON⊥OM，
∴∠MON=90°，
即∠MOD＋∠BON=90°，
∵∠COD=90°，
即∠COM＋∠MOD=90°，
∴∠BON=∠COM，
在△OBN与△OCM中，
，
∴△OBN≌△OCM（ASA），
∴OM=ON，
由∠MON=90°，
∴△OMN是等腰三角形；
(3)
解：直线CD上存在点Q，使得△EPQ是以E为直角顶点的等腰三角形，
∵E（﹣1，a）为直线AB上的点，
∴a=2×（﹣1）+4，
∴a=2，
∴E（﹣1，2），
当点P在点B下方时，如图，连接DE，过点Q作QM⊥DE，交DE的延长线于点M，


∵D（0，2）
∴DE⊥y轴，DE=1，点M的纵坐标为2，∠M=∠EDP=90°，
∵△EPQ是以E为直角顶点的等腰三角形，
∴EP=EQ，∠PEQ=90°，
∴∠QEM＋∠PED=90°=∠QEM+∠EQM，
∴∠DEP=∠EQM，
在△DEP与△MQE中，
，
∴△DEP≌△MQE（AAS），
∴MQ=ME=1，
∴Q点纵坐标为3，
把y=3代入中得：x=﹣2，
∴点Q（﹣2，3）；
当点P在点B上方时，如图过E点作EM∥y轴，过点Q作QM⊥EM于点M，过P作PN⊥EM交ME延长线于N点，


则∠M=∠N=90°，
∴N点横坐标为﹣1，则PN=1，
∵△EPQ是以E为直角顶点的等腰三角形，
∴EP=EQ，∠PEQ=90°，
∴∠QEM+∠PEN=90°=∠PEN+∠NPE，
在△EQM与△PEN中，
，
∴△EQM≌△PEN（AAS），
∴EM=PN=1，
∴M点的纵坐标为1，
∴Q点的纵坐标为1，
把y=1代入中，解得：x=2，
∴Q（2，1）；
综上所述，直线上存在点Q（﹣2，3）或（2，1），使得△EPQ是以E为直角顶点的等腰三角形．
【点拨】本题考查一次函数综合题，待定系数法求解析式，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，能够熟练运用分类讨论思想是解决本题的关键 ．