专题 19.39 一次函数背景下的动点问题（巩固篇）（专项练习）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

这是一份专题 19.39 一次函数背景下的动点问题（巩固篇）（专项练习）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版），共53页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

专题 19.39 一次函数背景下的动点问题（巩固篇）
（专项练习）
一、单选题
1．如图，A（1，0），B（3，0），M（4，3），动点P从点A出发，以每秒2个单位长的速度向右移动，且经过点P的直线l：y＝﹣x+b也随之移动，设移动时间为t秒，若直线l与线段BM有公共点，则t的取值范围为（　　）

A．1≤t≤3 B．2≤t≤4 C．1≤t≤4 D．2≤t≤3
2．如图，点A的坐标为，点B是x轴正半轴上的动点，以AB为腰作等腰直角，使，设点B的横坐标为x，设点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是（       ）

A．B．C． D．
3．如图，直线y＝x＋8分别与x轴、y轴交于点A和点B，点C，D分别为线段AB，OB的中点，点P为OA上一动点，当PC＋PD值最小时，点P的坐标为（       ）

A．(－4，0) B．(－3，0) C．(－2，0) D．(－1，0)
4．如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣3，0），B（0，﹣2），C（﹣3，﹣2），D是线段BC上的一个动点，作直线AD，过点D作DE⊥AD交y轴于点E，若AD＝DE，设点D、E在直线y＝kx+b上，则k为（　　）

A．2 B． C．3 D．
5．如图，在平面直角坐标系中，是直线上的一个点，将绕点顺时针旋转，得到点，连接，则的值为（       ）

A． B． C． D．
6．如图，点C的坐标为，垂直与y轴于点A，D是线段上一点，且，点B从原点O出发，沿轴正方向运动，与直线交于点E，取的中点F，则的面积为（       ）

A．6 B．5 C． D．4.5
7．如图，直线y＝-2x+2与x轴和y轴分别交与A、B两点，射线AP⊥AB于点A．若点C是射线AP上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C、D、A为顶点的三角形与△AOB全等，则OD的长为（　　）

A．2或+1 B．3或 C．2或 D．3或+1
8．如图，A、M、N三点坐标分别为A（0，1），M（3，4），N（5，6），动点P从点A出发，沿y轴以每秒一个单位长度的速度向上移动，且过点P的直线l：y=－x+b也随之移动，设移动时间为t秒，若点M、N分别位于l的异侧，则t的取值范围是（     ）

A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，点在线段上由向匀速运动，速度为，设运动时间为，，与的函数图像经过点和，则的值为______．

10．如图，在平面直角坐标系中，直线的函数解析式为，点A在线段上且满足，B点是x轴上一点，当是以OA为腰的等腰三角形时，则B点的坐标为______．

11．如图，在直角坐标系中，点M的坐标为（0，2），P是直线在第一象限内的一个动点．
（1）______．
（2）当的值最小时，点P的坐标是 ______．

12．如图，已知A、B、C三点的坐标分别是、、，过点C作直线轴，若点P为直线l上一个动点，且的面积为5，则点P的坐标是______．

13．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为和，点是轴上的一个动点，且，，三点不在同一条直线上在运动的过程中，当周长最小时，点的坐标为______；当是以为底的等腰三角形时，点的坐标为______．

14．如图，直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，点C（0，1）在y轴上，点P在x轴上运动，则PC＋PB的最小值为___．

15．如图，直线y＝﹣2x+2与x轴和y轴分别交与A、B两点，射线AP⊥AB于点A若点C是射线AP上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C、D、A为顶点的三角线与△AOB全等，则OD的长为_________________．

16．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点是直线上的一点，且，则点的坐标为______．

17．如图，在平面直角坐标系中，过点C（0，6）的直线AC与直线OA相交于点A（4，2），动点M在直线AC上，且△OMC的面积是△OAC的面积的，则点M的坐标为_____．

18．如图，在平面直角坐标系中，点A、C分别在x轴、y轴上，四边形是边长为2的正方形，点D为的中点，点P为上的一个动点，连接、，当点P满足的值最小时，则点P的坐标为______．

19．如图：在平面直角坐标系中，已知正比例函数与一次函数的图象交于点A，设x轴上有一点P作x轴的垂线（垂足位于点A的右侧），分别交和的图象于点B、C，连接OC，若，则△OBC的面积为__________．

20．如图，在平面直角坐标系中，直线、直线交于点，与轴分别交于点，动点在线段上从点开始以每秒1个单位的速度向点运动．设点的运动时间为t秒，当为等腰三角形时___________．

三、解答题
21．如图，在平面直角坐标系中，直线AB的解析式为，它与x轴交于点B，与y轴交于点A，直线y=-x与直线AB交于点C．动点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线CO运动，运动时间为t秒．
(1)求△AOC的面积；
(2)设△PAO的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(3)M是直线OC上一点，在平面内是否存在点N，使以A，O，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．



22．如图，在平面直角坐标系中，点，，，且满足，P点从A点出发沿轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，Q点从点出发沿轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动．
(1)直接写出点B的坐标 ，AO和BC位置关系是 ；
(2)当分别在线段AO，OC上时，连接PB，QB，使求出点P的坐标．
(3)在的运动过程中，当时，请你直接写出和的数量关系，



23．如图，在平面直角坐标系中，A（0，），B（3，0），点P是直线AB上一动点，过点P作x轴的垂线，垂足为M，连接OP．
(1)求直线AB的解析式，并直接写出∠ABO的度数；
(2)若△OBP是以OB为腰的等腰三角形，求所有满足条件的点P的坐标；
(3)求OP＋PM的最小值．



24．如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线经过点，与x轴交于点A，y轴交于点B，线段CD平行于x轴，交直线于点D，连接OC，AD．
(1)求证：四边形OADC是平行四边形；
(2)动点P从点O出发，沿对角线OD以每秒1个单位长度的速度向点D运动，直到点D为止；动点Q同时从点D出发，沿对角线DO以每秒1个单位长度的速度向点O运动，直到点O为止．设两个点的运动时间均为t秒．当点P，Q运动至四边形CPAQ矩形时，请求此时t的值．


25．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别相交于点A，B，并，．
(1)求直线AB的函数表达式；
(2)若点是第三象限内直线AB上的一个动点．
①请求出△OPA的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
②当点P移动到使的位置上时，请求出此时P点的坐标和△OPA的面积．



26．如图，已知直线与x轴和y轴分别交于B、A两点，点C在y正半轴上，且，点P从B点出发沿x轴正半轴方向以每秒1个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连接AP．
(1)写出点A、B的坐标：A（             ）、B（             ）；
(2)当△APC为等腰三角形时，求t的值．
(3)过点C作于点D．在点P的运动过程中，是否存在？如果存在，请求出t的值，并直接写出D点坐标；如果不存在，请说明理由．


27．如图，已知直线y＝2x+9与y轴交于点A，与x轴交于点B，直线CD与x轴交于点D（6，0），与直线AB相交于点C（﹣3，n）．
(1)求直线CD的解折式；
(2)点E为直线CD上任意一点，过点E作EF⊥x轴交直线AB于点F，作EG⊥y轴于点G，当EF＝2EG时，设点E的横坐标为m，直接写出m的值；
(3)连接CO，点M为x轴上一点，点N在线段CO上（不与点O重合）．当∠CMN＝45°，且△CMN为等腰三角形时，直接写出点M的横坐标．


28．已知，长方形OABC在平面直角坐标系内的位置如图所示，点O为坐标原点，点A的坐标为（10，0），点B的坐标为（10，8）．
(1)直接写出点C的坐标为：C（ ， ）；
(2)已知Q（5，n）在直线AC；求n的值；
(3)若动点P从A点出发，沿折线AO→OC的路径以每秒2个单位长度的速度运动，到达C处停止．求△OPQ的面积S与点P的运动时间t（秒）的函数关系式．


参考答案
1．A
【解析】
【分析】
分别求出直线l经过点B、点M时的t值，即可得到t的取值范围．
【详解】
解：当直线y＝﹣x+b过点B（3，0）时，
0＝﹣3+b，
解得：b＝3，
0＝﹣（1+2t）+3，
解得t＝1．
当直线y＝﹣x+b过点M（4，3）时，
3＝﹣4+b，
解得：b＝7，
0＝﹣（1+2t）+7，
解得t＝3．
故若l与线段BM有公共点，t的取值范围是：1≤t≤3，
故选：A．
【点拨】本题考查了一次函数的性质，一次函数图象与几何变换，是一次函数的综合性题目，解题关键是熟练掌握一次函数的性质，利用数形结合进行求解．
2．A
【解析】
【分析】
根据题意作出合适的辅助线，可以先证明△ADC和△AOB的关系，即可建立y与x的函数关系，从而可以得到哪个选项是正确的．
【详解】
解：作AD∥x轴，作CD⊥AD于点D，如图所示，

由已知可得，OB=x，OA=1，∠AOB=90°，∠BAC=90°，AB=AC，点C的纵坐标是y，
∵AD∥x轴，
∴∠DAO+∠AOB=180°，
∴∠DAO=90°，
∴∠OAB+∠BAD=∠BAD+∠DAC=90°，
∴∠OAB=∠DAC，
在△OAB和△DAC中
，
∴△OAB≌△DAC（AAS），
∴OB=CD，
∴CD=x，
∵点C到x轴的距离为y，点D到x轴的距离等于点A到x的距离1，
∴y=x+1（x＞0）．
故选：A．
【点拨】本题考查动点问题的函数图象，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的定义．解题的关键是明确题意，建立相应的函数关系式，根据函数关系式判断出正确的函数图象．
3．C
【解析】
【分析】
根据一次函数解析式求出点A、B的坐标，再由中点坐标公式求出点C、D的坐标，根据对称的性质找出点D′的坐标，结合点C、D′的坐标求出直线CD′的解析式，令y=0即可求出x的值，从而得出点P的坐标．
【详解】
解：作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时PC+PD值最小，最小值为CD′，如图．

令y=x+8中x=0，则y=8，
∴点B的坐标为（0，8）；
令y=x+8中y=0，则x+8=0，解得：x=-8，
∴点A的坐标为（-8，0）．
∵点C、D分别为线段AB、OB的中点，
∴点C（-4，4），点D（0，4）．
∵点D′和点D关于x轴对称，
∴点D′的坐标为（0，-4）．
设直线CD′的解析式为y=kx+b，
∵直线CD′过点C（-4，4），D′（0，-4），
∴，解得：，
∴直线CD′的解析式为y=-2x-4．
令y=0，则0=-2x-4，解得：x=-2，
∴点P的坐标为（-2，0）．
故选：C．
【点拨】本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及轴对称中最短路径问题，解题的关键是求出直线CD′的解析式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．
4．B
【解析】
【分析】
由点的坐标可知四边形OACB是矩形，由DE⊥AD，AD＝DE，可得△ACD≌△DEB，从而得到AC＝OB＝2，OA＝BC＝3，求出点D、E的坐标，代入y＝kx+b，可求出k的值．
【详解】
解：连接AC，

∵A（﹣3，0），B（0，﹣2），C（﹣3，﹣2），
∴OACB是矩形，
∴AC＝OB＝2，OA＝BC＝3，∠ACD＝∠DBE＝90°，
又∵DE⊥AD，
∴∠ADE＝90°，
∴∠ADC+∠DAC＝∠ADC+∠EDB＝90°，
∴∠DAC＝∠EDB，
∵AD＝DE，
∴△ACD≌△DEB   （AAS）
∴DB＝AC＝2，CD＝BE＝3﹣2＝1，
∴D（﹣2，-2），E（0，-1）
代入y＝kx+b得：
解得：，
故选：B．
【点拨】本题考查一次函数的图象和性质，矩形的性质和判定，以及待定系数法求函数的关系式，利用全等三角形的性质求出D、E的坐标是解决问题的关键．
5．C
【解析】
【分析】
利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后Q′的坐标，然后根据勾股定理即可解决问题．
【详解】
解：∵是直线上的一个点，
∴，
即Q（3，），
作QM⊥x轴于点M，Q′N⊥x轴于N，

∵∠PMQ=∠PNQ′=∠QPQ′=90°，
∴∠QPM+∠NPQ′=∠PQ′N+∠NPQ′，
∴∠QPM=∠PQ′N
在△PQM和△Q′PN中，
，
∴△PQM≌△Q′PN（AAS），
∴PN=QM=，Q′N=PM=2，
∴ON=，
∴Q′（，-2），
∴OQ′==，
故选C．
【点拨】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形全等，坐标与图形的变换-旋转，勾股定理，表示出点的坐标是解题的关键．
6．D
【解析】
【分析】
连接OC，根据已知条件得到AO＝4，AC＝3，求得AD＝1，OD＝3，求得直线CD的解析式为y＝x+3，和直线OE的解析式为：y＝x，得到CD∥OE，的面积等于△CDO的面积，即可得到结论．
【详解】
解：连接OC，
∵点C的坐标为（3，4），CA⊥y轴于点A，
∴AO＝4，AC＝3，
∵OD＝3AD，
∴AD＝1，OD＝3，
∴D（0，3），
设直线CD的解析式为y＝kx+3，把（3，4）代入得，4＝3k+3，解得，，
∴直线CD的解析式为y＝x+3，
∵直线OE的解析式为：y＝x，
∴CD∥OE，
∴的面积等于△CDO的面积，
△CDO的面积为：，
故选：D

【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数的解析式，根据解析式判断平行是解题的关键．
7．D
【解析】
【分析】
利用一次函数与坐标轴的交点求出△AOB的两条直角边，并运用勾股定理求出AB．根据已知可得∠CAD＝∠OBA，分别从∠ACD＝90°或∠ADC＝90°时，即当△ACD≌△BOA时，AD＝AB，或△ACD≌△BAO时，AD＝OB，分别求得AD的值，即可得出结论．
【详解】
解：∵直线y＝-2x+2与x轴和y轴分别交与A、B两点，
当y＝0时，x＝1，当x＝0时，y＝2，
∴A（1，0），B（0，2）．
∴OA＝1，OB＝2．
∴AB＝．
∵AP⊥AB，点C是射线AP上，
∴∠BAC＝90°，即∠OAB＋∠CAD＝90°，
∵∠OAB＋∠OBA＝90°，
∴∠CAD＝∠OBA，
若以C、D、A为顶点的三角形与△AOB全等，则∠ACD＝90°或∠ADC＝90°，
即△ACD≌△BOA或△ACD≌△BAO．
如图1所示，当△ACD≌△BOA时，∠ACD＝∠AOB＝90°，AD＝AB，

∴OD＝AD＋OA＝＋1；
如图2所示，当△ACD≌△BAO时，∠ADC＝∠AOB＝90°，AD＝OB＝2，

∴OD＝OA＋AD＝1＋2＝3．
综上所述，OD的长为3或＋1．
故选：D．
【点拨】此题考查了一次函数的应用、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
8．C
【解析】
【分析】
分别求出直线l经过点M、点N时的t值，即可得到t的取值范围．
【详解】
解：当直线y=-x+b过点M（3，4）时，得4=-3+b，解得：b=7，
则7=1+t，解得t=6．
当直线y=-x+b过点N（5，6）时，得6=-5+b，解得：b=11，
则11=1+t，解得t=10．
故若点M，N位于l的异侧，t的取值范围是：6＜t＜10．
故选：C．
【点拨】本题考查了坐标平面内一次函数的图象与性质，得出直线l经过点M、点N时的t值是解题关键．
9．2
【解析】
【分析】
设y与t的函数关系式解为y=kt+b，利用待定系数法求出y与t的函数关系式，其中k的绝对值即为速度为a．
【详解】
设y与t的函数关系式解为y=kt+b，根据题意，得：
，
解得，
∴y与t的函数关系式解为，
故速度为．
故答案为2．
【点拨】本题考查了一次函数的应用，掌握待定系数法求出函数关系式是解答本题的关键．
10．或或
【解析】
【分析】
根据y=-x+3可求出点M，N的坐标，过点A作AE⊥y轴于点E，作AF⊥x轴于点 F，由AN=2AM可得，段可得AF=2AE，设A（x，-x+3），得-x+3=2x，求出x的值，得点A坐标，求出AO的长，再根据是以OA为腰的等腰三角形可得点B坐标．
【详解】
解：由令当x=0时，y=3；当y=0时，x=3，
∴M（0，3），N（3，0）
∴OM=ON=3
过点A作AE⊥y轴于点E，作AF⊥x轴于点 F，

∵AN=2AM
∴
∴AF=2AE，
设A（x，-x+3），
∴-x+3=2x，
解得，x=1，-x+3=2
∴A（1，2）
∴
∵是以OA为腰的等腰三角形
∴点B的坐标为：或或
故答案为或或．
【点拨】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等妥三角形的判断，求出点A坐标是解答本题的关键．
11．     30°##30度     ##
【解析】
【分析】
（1）当时，，，，在中，求出，，即可得到；
（2）作点关于直线的对称点，过作轴交于，连接，则有，此时的值最小．
【详解】
解：（1）如图：设点P的横坐标时，，

，
，
，
在中，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）作点关于直线的对称点，过作轴交于，连接，

，
，
，
，
此时的值最小，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
故答案为：，．
【点拨】本题考查胡不归问题，勾股定理，含的直角三角形问题，解题的关键是熟练掌握胡不归问题的解题方法，轴对称求最短距离的方法．
12．或##或
【解析】
【分析】
设P（m，2），过A作AE⊥直线l于点E，延长AB与l交于点D，根据S△PAB＝S△PAD−S△PBD列出m的方程，进行解答便可．
【详解】
解：设P（m，2），过A作AE⊥直线l于点E，延长AB与l交于点D，如图，

∴E（1，2）
∵A（1，-1）、B（2，0）
设直线AB的解析式为y=kx+b，
把A（1，-1）、B（2，0）代入上式得，

解得
∴直线AB的解析式为y=x-2，
当y=2时，2=x-2，则x=4，
∴D（4，2），
∴ED=3，PD=|4 –m|，
∴S△PAB＝S△PAD−S△PBD＝，
∴
∴
解得，m=-6或14，
∴P（-6，2）或（14，2）．
故答案为：（-6，2）或（14，2）．
【点拨】本题主要考查了三角形的面积计算，图形与坐标特征，关键是根据S△PAB＝S△PAD−S△PBD列出方程解答．
13．         
【解析】
【分析】
（1）设直线的解析式为：，代入，求出直线AB的解析式，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，得到点，由待定系数法解得直线的解析式，由对称性可知，的周长最小，即点为直线与轴的交点，据此解题；
（2）设点，当是以为底的等腰三角形，则点在线段的垂直平分线上，结合勾股定理解题即可．
【详解】
解：（1）设直线的解析式为：，代入得，
，
，
∴直线的解析式为：；
作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，

，
，
设直线的解析式为：，代入得，
，
，
∴直线的解析式为：，
令，解得，
的周长=，
此时的周长最小，点；
（2）设点，当是以为底的等腰三角形，则点在线段的垂直平分线上，如图，

，
，
，
，
，
，
，
.
故答案为：；．
【点拨】本题考查一次函数的综合题，涉及待定系数法求一次函数的解析式、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
14．4
【解析】
【分析】
【详解】
思路引领：过P作PD⊥AB于D，依据△AOB是等腰直角三角形，可得∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD，进而得到△BDP是等腰直角三角形，故PDPB，当C，P，D在同一直线上时，CD⊥AB，PC+PD的最小值等于垂线段CD的长，求得CD的长，即可得出结论．
答案详解：如图所示，过P作PD⊥AB于D，
∵直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，
令x＝0，则y＝﹣3；令y＝0，则x＝3，
∴A（0，﹣3），B（3，0），
∴AO＝BO＝3，
又∵∠AOB＝90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD，
∴△BDP是等腰直角三角形，
∴PDPB，
∴PC+PB（PCPB）（PC+PD），
当C，P，D在同一直线上，即CD⊥AB时，PC+PD的值最小，最小值等于垂线段CD的长，
此时，△ACD是等腰直角三角形，
又∵点C（0，1）在y轴上，
∴AC＝1+3＝4，
∴CDAC＝2，
即PC+PD的最小值为，
∴PC+PB的最小值为4，
故答案为：4．
15．1+或3．
【解析】
【分析】
先求得OA＝1，OB＝2，根据勾股定理得到AB＝，①当∠ACD＝90°时，如图1，②当∠ADC＝90°时，如图2，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：在y＝﹣2x+2中，
当x＝0，则y＝2，当y＝0，则x＝1，
∴OA＝1，OB＝2，由勾股定理得AB＝，
①当∠ACD＝90°时，如图1，

∵△AOB≌△DCA，
∴AD＝AB＝，
∴OD＝1+；
②当∠ADC＝90°时，如图2，

∵AP⊥AB，
∴∠BAP＝∠AOB＝90°，
∴∠ABO+∠BAO＝∠CAD+∠BAO＝90°，
∴∠ABO＝∠CAD，
∵△AOB≌△CDA，
∴AD＝OB＝2，
∴OA+AD＝3，
综上所述：OD的长为1+或3．
故答案为：1+或3．
【点拨】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，勾股定理的应用和全等三角形的性质等知识，分类讨论，确定对应关系是解题关键．
16．
【解析】
【分析】
过点A作AF⊥BA交BP于F，过作轴于点，过作轴于点，求出直线BF的解析式，然后与联立方程组，求解即可.
【详解】
解：过作交于，过作轴于点，过作轴于点，

∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴≌（AAS），
∴，，
∵，，
∴，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
设直线解析式为，
过，代入中，
，
解得，
∴，
联立，解得，
∴
故答案为：
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质及一次函数图像的几何变换求解交点的问题，解题的关键是灵活运用所学知识，添加辅助线构造全等三角形来解决问题．
17．（1，5）或（-1，7）
【解析】
【分析】
利用待定系数法求出直线AC的解析式，得到OC、OB的长．设M的坐标为，用OC作底，用含m的式子表示和的面积，利用已知条件求得m的值，即可得到M的坐标．
【详解】

设直线AC的解析式为：

，解得：
直线AC的解析式为：
B点的坐标为：
M在直线AC上
设M点坐标
在中，OC=6，M到OC的距离

在中，OC=6，A到OC的距离




或
的坐标为（1，5）或（-1，7）．
故答案为：（1，5）或（-1，7）．
【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数解析式及三角形的面积求法．利用待定系数法求解一次函数解析式：①设出一次函数解析式的一般形式；②把已知条件代入解析式，得到关于待定系数的方程组；③解方程组，求出待定系数的值，代入解析式得到一次函数解析式．
18．
【解析】
【分析】
根据正方形的性质得到点A，C关于直线OB对称，连接CD交OB于P，连接PA，PD，则此时，PD+AP的值最小，求得直线CD的解析式为y=-x+2，由于直线OB的解析式为y=x，解方程组得到P（，）即可．
【详解】
解：∵四边形ABCO是正方形，
∴点A，C关于直线OB对称，
连接CD交OB于P，连接PA，PD，则此时，PD+AP的值最小，

∵OC=OA=AB=2，
∴C（0，2），A（2，0），
∵D为AB的中点，
∴AD=AB=1，
∴D（2，1），
设直线CD的解析式为：y=kx+b，
∴，
∴，
∴直线CD的解析式为：y=-x+2，
∵直线OB的解析式为y=x，
∴，
解得：x=y=，
∴P（，），
故答案为：（，）．
【点拨】本题考查了正方形的性质，轴对称-最短路线问题，待定系数法求一次函数的解析式，正确求出直线CD的解析式是解题的关键．
19．44
【解析】
【分析】
构建方程组 求解可得点A的坐标，设B（a，a），C（a，-2a+11），可得BC=|a-（-2a+11）|=×5，求出a即可解决问题．
【详解】
解：由，解得，
∴A（4，3）．
∴OA=5，
∵P（a，0），
∴B（a，a），C（a，-a+7），
∴BC=|a-（-2a+11）|=×5，
解得a=8或0（舍弃），
∴PO=8，BC=11
∴S△OBC=×8×11=44．
故答案为：44
【点拨】本题考查两直线相交或平行问题，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
20．3或6或
【解析】
【分析】
先求出点A、B、C的坐标，再分BC=BP、BC=PC、BP=PC三种情况分别求解t值即可．
【详解】
解：将y=0代入中，得，
解得：x=8，
∴A(8，0)，OA=8，
将y=0代入中，得：，
解得：x=﹣1，
∴B(﹣1，0)，OB=1，AB=9，
联立，解得：，
∴C（2，3），
由题意可知，AP=t，
过C作CD⊥x轴于D，则CD=3，BD=3，OD=2，
∴△BCD为等腰直角三角形，BC=，
当BC=BP时，如图1，BP=，则AP=9﹣，即t=9﹣；
当BC=PC时，如图2，则BD=DP，即BP=2BD=6，
∴AP=9﹣6=3，即t=3；
当BP=PC时，如图3，∵BD=CD=3，∴点P、D重合，
∴BP=3，
∴AP=9﹣3=6，即t=6，
综上，当为等腰三角形时3或6或．

【点拨】本题考查了一次函数的综合应用，涉及等腰三角形的判定与性质、坐标与图形性质、勾股定理、解二元一次方程组、解一元一次方程等知识，熟练掌握相关知识的运用是解答的关键，注意运用数形结合和分类讨论的思想解决问题．
21．(1)△AOC的面积=3
(2)
(3)存在，，，，
【解析】
【分析】
（1）由y＝x+3可求得A（0，3），联立y＝﹣x得C（﹣2，2），根据三角形的面积公式即可得△AOC的面积；
（2）设点P的坐标为（m，﹣m），由题意得CP＝t，根据两点的距离公式可得m＝t﹣2，根据三角形的面积公式得出S＝OA•PE，根据t的取值范围即可求解；
（3）分两种情况：①当OA为菱形的边时，②当OA为菱形的对角线时，分别根据菱形的性质即可求得答案．
(1)
解：把x=0代入中，y=3，
∴ 点A的坐标为（0，3），
即OA =3．
联立
解得
∴点C的坐标为（-2，2）．
∴△AOC的面积；
(2)
解：如图，过点C作CF⊥y轴于点F，过点P作PE⊥y轴于点E．
∵点C的坐标为（-2，2），
∴∠AOC =45°．
∴．
由题意，得CP =t．
当时，
，，
∴．
∴；
同理可得当时，
．
综上，


(3)
解：∵A（0，3），
∴AO＝3，
①当OA为菱形的边时，如图，


∵四边形AOMN是菱形，
∴MN∥OA，MN＝OA＝OM＝3，
∵直线OC：y＝﹣x，
∴∠MOB＝45°，
∴M（﹣，），
∴N（﹣，+3）；
同理N′（，3﹣）；
②当OA为菱形边时，如图


此时菱形AMNO是正方形，
∴OA=ON，
点N的坐标为（-3，0）；
③当OA为菱形的对角线时，如图，连接MN，


∵四边形AOMN是菱形，
∴MN⊥OA，MN、OA互相平分，
∴MN∥x轴，
∴点M、N的纵坐标为，
∵直线OC：y＝﹣x，M是直线OC上一点，
∴M（﹣，），
∴N（，），
综上所述，存在点N，使以A，O，M，N为顶点的四边形是菱形，点N的坐标为（﹣，+3）或（，3﹣）或（，）或（-3，0）．
【点拨】本题是一次函数综合题，考查了一次函数与坐标轴的交点，三角形的面积公式，菱形的性质等，解本题的关键是用分类讨论的思想解决问题．
22．(1)BC//AO
(2)点P的坐标为(﹣4，0)
(3)∠OPQ和∠PQB的数量关系是∠OPQ＝∠PQB﹣30°或∠OPQ＝150°﹣∠PQB；
【解析】
【分析】
（1）根据算术平方根和偶次方的非负性求出a、b的值，从而得到点B的坐标，根据点B和点C的纵坐标相同得出BC∥AO；
（2）表示出t秒时点P和点Q的坐标，用含t的式子表示出△PAB和△QBC的面积，根据题意列出关于t的方程，求出t即可确定P的坐标；
（3）分Q在C的上方、Q在C的下方两种情况，过点Q作QH∥x轴，交AB与点H，根据平行线的性质即可确定∠OPQ和∠PQB的数量关系；
(1)
解：∵（a+8）2+＝0，
∴（a+8）2≥0，≥0，
∴a+8＝0，c+4＝0，
解得：a＝﹣8，b＝﹣4，
∴点B的坐标为（﹣4，﹣4），
∵B（﹣4，﹣4），C（0，﹣4），
∴AO∥BC，
故答案为：（﹣4，﹣4）；AO∥BC；
(2)
解：由题意可知t秒时P的坐标为（﹣8+2t，0），Q的坐标为（0，﹣t），
∴S△ABP＝×2t×4＝4t，S△QBC＝×（4﹣t）×4＝8﹣2t，
∵S△PAB＝2S△QBC，
∴4t＝2（8﹣2t），
解得：t＝2，
∴﹣8+2t＝﹣4，
∴P（﹣4，0）；
(3)
解：过点Q作QH∥x轴，交直线AB与点H，
∵QH∥AO，BC∥AO，
∴QH∥BC，
∴∠OPQ＝∠PQH，∠CBQ＝∠BQH，
如图（1），当Q在C的上方时，∠PQH＝∠PQB﹣∠HQB，

∴∠OPQ＝∠PQB﹣∠QBC，
当∠QBC＝30°时，∠OPQ＝∠PQB﹣30°，
如图（2）当Q在C的下方时，

∵QH∥BC，
∴∠HQB＝∠CBQ＝30°，
∵∠HQB+∠PQB＝∠HQP＝180°﹣∠OPQ，
∴∠OPQ＝150°﹣∠PQB，
综上所述：∠OPQ和∠PQB的数量关系是∠OPQ＝∠PQB﹣30°或∠OPQ＝150°﹣∠PQB；
【点拨】本题考查的是平行线的性质、非负数的性质、平面直角坐标系和三角形的面积公式，解题的关键是能利用非负数的性质求出a和c的值，确定点A，B，C的坐标，灵活运用分情况讨论思想也是解答此题的关键环节．
23．(1)y＝－x＋，∠ABO＝30°
(2)所有满足条件的点P的坐标为（3＋，－）或（3－，）或（－，）
(3)OP＋PM的最小值为
【解析】
【分析】
（1）根据A、B两点的坐标求出OA、OB，利用勾股定理求得AB，可求得，设AB直线为，代入A、B两点坐标，即可求解；
（2）分OB=OP，OB=PB两种情况，利用等要三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质即可求解；
（3）作点M关于AB的对称点，设点的轨迹为，由对称可得，则，可得直线与x轴的夹角为，可得当时，OP＋PM的最小，根据含30°角的直角三角形的性质求解即可．
(1)
解：∵
∴，
∴，
∴，
设AB直线为，将A、B两点代入可得：
，解得，即；
(2)
解：当OB=OP时，如图，过点P作x轴的垂线，垂足为M，


∵OB=3，，
∴OB=OP=3，，
∴，
∴，
∴，
∴，即；
当OB=PB时，如图，过点P作x轴的垂线，垂足为M，

则OB=PB=3，设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点P的坐标为；
同理可得点的坐标为；
综上，，，；
(3)
解：作点M关于AB的对称点，如图

设点的轨迹为，
由对称可得，，
则，即直线与x轴的夹角为，，
∴当时，OP＋PM的最小，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为．
【点拨】本题考查了一次函数综合题，主要考查了待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，以及含30°角的直角三角形的性质，轴对称的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．
24．(1)见解析
(2)5-或5+
【解析】
【分析】
（1）求出A，D点坐标，根据CD=OA，CD∥OA，即可证四边形OADC是平行四边形；
（2）先证四边形CPAQ为平行四边形，根据对角线相等确定PQ的长度，再根据P、Q的位置分情况计算出t值即可．
(1)
解：∵线段CD平行于x轴，
∴D点的纵坐标与C点一样，
又∵D点在直线y=x上，C(3,6)，
当y=6时，x=8，
即D（8，6），
∴CD=8-3=5，
∵直线y=kx+15（k≠0）经过点C（3，6），
∴3k+15=6，
解得k=-3，
即直线的解析式为y=-3x+15，
当y=0时，x=5，
∴A（5.0），
∴OA=5，
∴OA=CD，
又∵OACD，
∴四边形OADC是平行四边形；
(2)
解：由（1）知四边形OADC是平行四边形，
∴OD与AC互相平分，
又∵P点和Q点的运动速度相同，
∴PQ与AC互相平分，
∴四边形CPAQ为平行四边形，
∵D（8，6），
∴OD=10，
当0≤t≤5时，PQ=10-2t，
当5≤t≤10时，PQ=2t-10，
当点P，Q运动至四边形CPAQ为矩形时，PQ=AC，
∵AC=，
当0≤t≤5时，10-2t=2，
解得t=5-，
当5≤t≤10时，2t-10=2，
解得t=5+，
综上，当点P，Q运动至四边形CPAQ为矩形时t的值为5-或5+．
【点拨】本题主要考查一次函数的性质，熟练掌握待定系数法求解析式，平行四边形的性质和矩形的性质是解题的关键．
25．(1)
(2)①（）；②P点的坐标为，△OPA的面积为12
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法求出函数解析式；
（2）①利用得到函数解析式，并确定自变量的取值范围；②根据点P在线段OA的垂直平分线上得到点P的坐标，进一步求出面积．
(1)
解：设直线AB的函数关系式为
根据题意，点，在直线上
∵
解得
∴直线AB的函数关系式为；
(2)
①过P点作轴于点D

∴
∴
∴
∴

②∵

∴点P在线段OA的垂直平分线上，
∴点P的横坐标为
把代入得
得
∴
把代入得

∴
∴P点的坐标为，△OPA的面积为12．
【点拨】本题考查一次函数的应用，利用待定系数法求函数解析式是解决问题的关键．
26．(1)（0，8）；（－10，0）
(2)或
(3)存在，当时，；当时，D（，）
【解析】
【分析】
（1）令x=0，求得y=8，可得到A点坐标；令y=0，求得：x=-10，可得点B坐标；
（2）由题意得出，，，在Rt△POC中：利用勾股定理求得，①当P在x轴负半轴上时，利用BP=OB-OP求解；②当P在x轴正半轴上时，利用BP=OB+OP求解；
（3）分两种情况讨论：①当P在x轴负半轴上时，②当P在x轴正半轴上时，分别求解即可．
(1)
解：令x=0，则y=8，
∴A(0,8)，
令y=0，则，
解得：x=-10，
∴B(-10,0)，
故答案为：(0,8)，(-10,0)；
(2)
解：依题意可得：，，．
由AO＝8，OC＝3，得AC＝5，PC＝5
在Rt△POC中：，得，
①当P在x轴负半轴上时，，．
②当P在x轴正半轴上时，，．
综合①②或；
(3)
解：存在，理由如下：
由题意可得：，易得．
∵AC=5，可得，
①当P在x轴负半轴上时，
设，则，
在Rt△APO中：，
可列式，
解得a=6，
此时点P坐标为（－6，0），则，即，
过点D作DE⊥y轴于E，如图，

∴，
∴4×3=5DE，
∴DE=，
∴CE=，
∴OE=3+=，
∴D点坐标为（－，），
②当P在x轴正半轴上时，与①关于y轴对称．，，
同理可得D点坐标为（，），
综上①②所述，当时，；当时，D（，）
【点拨】本题考查一次函数与坐标轴的交点，等腰三角形的性质，勾股定理，分类讨论是解题的关键．
27．(1)y=−x+2；
(2)m=-或-21；
(3)点M的横坐标为-3或-3．
【解析】
【分析】
（1）先求出点C的坐标，再运用待定系数法求得答案；
（2）如图1，设点E的横坐标为m，可得：E（m，−m+2），F（m，2m+9），G（0，−m+2），进而得出：EF=|m+7|，EG=|m|，根据EF=2EG，建立方程求解即可；
（3）如图2，分三种情况：①当CN=MN时，则∠MCN=∠CMN=45°，推出∠CMO=90°，即CM⊥x轴，故点M的横坐标为-3；②当CM2=M2N2时，则∠M2CN2=∠M2N2C=67.5°，推出：∠M2CN2=∠CM2O，OM2=OC=3，故点M的横坐标为-3；③当CN=CM时，∠CMN=∠CNM=45°，此时，点N必与点O重合，不符合题意．
(1)
∵点C（-3，n）在直线y=2x+9上，
∴n=2×（-3）+9=3，
∴C（-3，3），
设直线CD的解析式为y=kx+b，
∵C（-3，3），D（6，0），
∴，
解得：，
∴直线CD的解析式为y=−x+2；
(2)
如图1，设点E的横坐标为m，

∵点E在直线CD上，EF⊥x轴交直线AB于点F，EG⊥y轴于点G，
∴E（m，−m+2），F（m，2m+9），G（0，−m+2），
∴EF=|（2m+9）-（−m+2）|=|m+7|，EG=|m|，
∵EF=2EG，
∴|m+7|=|m|，
∴m=-或-21；
(3)
如图2，

∵∠CMN=45°，且△CMN为等腰三角形，
∴CN=MN或CM=MN或CN=CM，
①当CN=MN时，则∠MCN=∠CMN=45°，
∵C（-3，3），
∴∠COM=45°，
∴∠CMO=90°，即CM⊥x轴，
∴M1（-3，0），
即点M的横坐标为-3；
②当CM2=M2N2时，则∠M2CN2=∠M2N2C=67.5°，
∵∠OM2N2=∠M2N2C-∠COM2=67.5°-45°=22.5°，
∴∠CM2O=∠CM2N2+∠OM2N2=45°+22.5°=67.5°，
∴∠M2CN2=∠CM2O，
∴OM2=OC=3，
∴M2（-3，0），
即点M的横坐标为-3；
③当CN=CM时，∠CMN=∠CNM=45°，
∴∠MCN=90°，
此时，点N必与点O重合，不符合题意；
综上所述，点M的横坐标为-3或-3．
【点拨】本题考查了待定系数法求函数解析式，利用点的坐标表示线段的长度，等腰三角形性质，解题关键是运用分类讨论思想求解，避免漏解．
28．(1)0，8
(2)4
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据矩形的性质得出OC=OB，从而可得点C的坐标；
（2）根据待定系数法求出直线AC的解析式，再把点Q坐标代入解析式即可求出n的值；
（3）分和两种情况讨论求解即可．
(1)
∵四边形ABCO是矩形
∴AB=OC，AO=BC
∵A（10，0），B（10，8）
∴OC=OB=8
∴点C的坐标为（0，8）
故答案为：0，8
(2)
设直线AC的解析式为
把点A（10，0），B（0，8）代入得，

解得，
∴直线AC的解析式为
把点Q（5，n）代入得，
；
(3)
①当时，
过点Q作QD⊥OA于点D，如图，

∵Q（5，4）
∴QD=4
∴；
②当时，OP= AP-AO=2t-10
过点Q作QE⊥OC于点E，如图，

∵Q（5，4）
∴QE=5
∴
综上，
【点拨】此题主要考查一次函数与几何综合．注意解（3）时，要分类讨论，以防漏解．