专题 19.41 一次函数背景下的面积问题（基础篇）（专项练习）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

这是一份专题 19.41 一次函数背景下的面积问题（基础篇）（专项练习）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版），共35页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

专题 19.41一次函数背景下的面积问题（基础篇）（专项练习）
一、单选题
1．一次函数y＝2x＋4的图象与坐标轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则△AOB的面积（       ）

A．6 B．8 C．2 D．4
2．如图，一次函数的图象分别与轴、轴交于点、点，与正比例函数的图象交于点，则与的面积比为（       ）


A． B．1 C． D．2
3．一次函数的图象与轴交于点，将一次函数图象绕着点转动，转动后得到的一次函数图象与两坐标轴所围成的面积比原来增加2，则转动后得到的一次函数图象与轴交点横坐标为（       ）
A． B．3 C．3或 D．6或
4．如图，一次函数y＝－x＋2的图象上有两点A、B，A点的横坐标为2，B点的横坐标为a（0
A．S1>S2 B．S1＝S2 C．S1 5．如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB＝90°，BC＝10．点A、B的坐标分别为（1，0），（7，0），将Rt△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y＝2x﹣10时，线段BC扫过的面积为（　　）

A．16 B．32 C．64 D．72
6．在平面直角坐标系中,点在第一象限,且,点的坐标为（4,0）,设的面积为,则下列图象中,能正确反映与之间的函数关系式的是（       ）
A． B． C．D．
7．如图，将长为，宽为的四个矩形如图所示摆放在坐标系中，若正比例函数的图像恰好将所组成的图形分为面积相等的两部分，则的值等于（   ）

A． B． C． D．
8．如图，函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点B，与函数y=2x的图象交于点A，若△AOB的面积为2，则b等于（   ）

A．4 B．3 C．2 D．1
9．一次函数的图象经过点，且与轴，轴分别交于点、，则的面积是
A． B．1 C． D．2
10．以矩形ABCD两对角线的交点O为原点建立平面直角坐标系，且x轴过BC中点，y轴过CD中点，y＝x﹣2与边AB、BC分别交于点E、F，若AB＝10，BC＝3，则△EBF的面积是(     )

A．4 B．5 C．6 D．7
11．如图，在矩形ABCD中，点B，C分别在两条直线y=3x和y=x上，点A和D在x轴上，若矩形的面积为18，则矩形的周长为（        ）

A．9 B．18 C．27 D．36
12．一次函数和的图象都经过点A（－2，0），且与轴分别交于B、C两点，那么△ABC的面积是（       ）
A．2 B．4 C．6 D．8
13．在平面直角坐标系中，已知A、B、C三点的坐标分别为（8，0）、（9，6）、（0，6），若一次函数y＝kx﹣8k的图象将△ABC分成面积为1∶2的两个部分，则k的值为（       ）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣3或 D．﹣2或﹣3
二、填空题
14．已知一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形面积为4，则______．
15．直线经过A（2，4），且交x轴于点B，在x轴上有一点C，令△ABC的面积为12，则C点坐标为___________________．
16．如图，已知直线l1：y＝﹣2x+4与坐标轴分别交于A、B两点，那么过原点O且将AOB的面积平分的直线l2的表达式为_______．

17．在平面直角坐标系，，，点M在直线上，M在第一象限，且，则点M的坐标为____．

18．若一次函数y＝kx+2的图象，y随x的增大而增大，并与x轴、y轴所围成的三角形的面积为2，则k＝_____．
19．设直线：和直线：（是正整数）及轴围成的三角形面积是，当时，直线：和直线：，这两条直线与轴围成的面积记为，则______．
20．如图：一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点，则△AOC的面积为_____．

21．在平面直角坐标系中，点A（﹣1，0），B（3，﹣1），点P为y轴上一点，若△ABP的面积为3，则满足条件的点P坐标为_____．
22．如图，一次函数的图象经过，两点，与轴交于点，则的面积为________．

23．如图，已知直线的解析式为．分别过轴上的点，，，…，作垂直于轴的直线交于，，，，，将，四边形，四边形，，四边形的面积依次设为，，，，． 则＝_____________．

24．如图，一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点，与x轴交于点C，则△AOC的面积为________________．

25．如图，一次函数的图象与y轴交于点B，与x轴交于点A，点P为x轴上一点，且，则点P的坐标为_________.

26．在平面直角坐标系中，□OABC的边OC落在x轴的正半轴上，且点C（4，0），B（6，2），直线y=2x+1以每秒1个单位的速度向右平移，经过_______秒该直线可将□OABC的面积平分．

三、解答题
27．如图，平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点在线段和射线上运动.
(1)求直线的表达式.
(2)求的面积.
(3)直接写出使的面积是面积的的点坐标.

28．在平面直角坐标系中，已知直线l：y＝﹣x+2交x轴于点A，交y轴于点B，直线l上的点P(m，n)在第一象限内，设△AOP的面积是S．
（1）写出S与m之间的函数表达式，并写出m的取值范围．
（2）当S＝3时，求点P的坐标．
（3）若直线OP平分△AOB的面积，求点P的坐标．

29．如图，一次函数的图象与x轴交于点A，y轴交于点B，与正比例函数图象交于点．
(1)______，______；
(2)求的面积．



30．平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点A，与轴交于点，与正比例函数的图象交于点．
(1)求这两个函数的表达式；
(2)在轴上有一动点，过点作直线垂直于轴，交直线于点，交直线于点．
①当时，求的面积；
②当的长为4时，求点的坐标．




31．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+m的图象l2分别与x轴、y轴交于A，B两点，正比例函数的图象l1与l2交于点C（2，4）．
(1)求m的值及l1的解析式；
(2)若点M是线段AB上一点，连接OM，当△AOM的面积是△BOC面积的2倍时，请求出点M的坐标．

32．如图，在平面直角坐标系中，已知，其中a，b满足关系式，
(1)求出A、B两点坐标；
(2)若，连接AD、BC交于点E，设E点坐标为，连接OE，求三角形ABE的面积．












参考答案
1．D
【解析】
【分析】
由一次函数解析式分别求出点A和点B的坐标，即可作答．
【详解】
解：一次函数y=2x+4中，
当x=0时，y=4；当y=0时，x=-2；
∴A（-2，0），B（0，4），
∴OA=2，OB=4，
∴△AOB的面积=2×4÷2=4．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了一次函数与坐标轴交点坐标特征以及三角形的面积公式，属于基础题型．
2．A
【解析】
【分析】
利用一次函数的性质得到A，B，C的坐标，即可求解．
【详解】
解：∵一次函数的图象分别与轴、轴交于点、点，
∴,，
∵一次函数与正比例函数的图象交于点，
∴ 可得，
∴的面积为，的面积为，
∴与的面积比为，
故选：A．
【点拨】本题考查一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
3．C
【解析】
【分析】
求出原来的函数与坐标轴围成的面积，根据新函数与两坐标轴所围成的面积比原来增加2，设转动后直线与x轴的交点横坐标为x，得到方程，解之即可．
【详解】
解：在中，
令x=0，则y=4，令y=0，则x=2，
∴一次函数的图像与x，y轴的交点分别是（2，0），（0，4），
∴一次函数的图像与坐标轴形成的面积为=4，
将一次函数图象绕着点转动，转动后得到的一次函数图象与两坐标轴所围成的面积比原来增加2，
则转动后得到的一次函数图像与两坐标轴所围成的面积为4+2=6，
设绕着点P转动后直线与x轴的交点横坐标为x，
则，
解得：x=±3，
故选C．
【点拨】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，解题的关键是掌握一次函数与坐标轴围成的三角形面积的求法．
4．A
【解析】
【详解】
由一次函数图象可得出A（2，1），
则S1=×2×1=1，
S2=×a×(-a+2)=-(a-2)2+1
又0＜a＜4且a≠2，
∴S2＜1=S1，
故此题选A
5．C
【解析】
【分析】
根据题意，线段BC扫过的面积应为一平行四边形的面积，其高是AC的长，底是点C平移的路程．求当点C落在直线y=2x10上时的横坐标即可．
【详解】
解：如图所示．

∵点A、B的坐标分别为（1，0）、（7，0），
∴AB＝6，
∵∠CAB＝90°，BC＝10，
∴AC＝．
∴A'C'＝8．
∵点C'在直线y＝2x﹣10上，
∴2x﹣10＝8，解得 x＝9．
即OA′＝9．
∴CC′＝9﹣1＝8．
∴S▱BCC′B′＝8×8＝64．
即线段BC扫过的面积为64．
故选：C．
【点拨】此题考查平移的性质及一次函数的综合应用，解决本题的关键是明确线段BC扫过的面积应为——平行四边形的面积．
6．A
【解析】
【分析】
根据点在第一象限,且,点的坐标为（4,0）,从而可以得到 与之间的函数关系式．
【详解】
∵点在第一象限,且,点的坐标为（4,0）,
∴ （ ）,
∴ ,
故选A．
【点拨】本题考查了函数图象,三角形的面积,解题的关键是明确题意,列出相应函数关系式,利用数形结合思想进行解答．
7．D
【解析】
【分析】
将图形进行如图分解，由“图1和图2的面积相等，图3和图4的面积相等”可得出当正比例函数y=kx的图象过点A时恰好将图形分为面积相等的两部分，由小矩形的长和宽可得出点A的坐标，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出k值．
【详解】
解：将图形进行如图分解，

∵图1和图2的面积相等，图3和图4的面积相等，
∴当正比例函数y=kx的图象过点A时，恰好将图形分为面积相等的两部分．
又∵点A的坐标为（3，4），
∴4=3k，
解得：k=．
故选：D．
【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正比例函数的图象以及矩形的性质，利用矩形的性质（分解图形），找出正比例函数图象经过的点是解题的关键．
8．A
【解析】
【分析】
根据A点的纵坐标求出A点坐标，根据面积求出B点坐标，把A,B坐标代入y=kx+b（k≠0）即可求解.
【详解】
解：∵函数y=2x的图象过点A，   
∴2=2x，
x=1，
∴点A的坐标为（1，2），
∵△AOB的面积为2，
∴ OB×2=2，
∴OB=2，
∴点B的坐标为（2，0），
∴ ，
解得： ，
故选A．
【点拨】此题主要考查函数与几何，解题的关键是熟知待定系数法确定函数关系式.
9．C
【解析】
【分析】
由一次函数y＝−3x＋m的图象经过点P（−2，3），可求m得值，确定函数的关系式，进而可求出与x轴，y轴分别交于点A、B的坐标，从而知道OA、OB的长，可求出△AOB的面积．
【详解】
解：将点P（−2，3）代入一次函数y＝−3x＋m得：3＝6＋m，
∴m＝−3
∴一次函数关系式为y＝−3x−3，
当x＝0时，y＝−3；
当y＝0是，x＝−1；
∴OA＝1，OB＝3，
∴S△AOB＝×1×3＝，
故选C．
【点拨】考查一次函数图象上点的坐标特征，以及一次函数的图象与x轴、y轴交点坐标求法，正确将坐标与线段的长的相互转化是解决问题的前提和基础．
10．A
【解析】
【分析】
根据题意得：B(5，﹣)，可得E的纵坐标为﹣，F的横坐标为5．代入解析式y＝x﹣2可求E，F坐标．则可求△EBF的面积．
【详解】
解：∵x轴过BC中点，y轴过CD中点，AB＝10，BC＝3
∴B(5，﹣)
∴E的纵坐标为﹣，F的横坐标为5．
∵y＝x﹣2与边AB、BC分别交于点E、F．
∴当x＝5时，y＝．
当y＝﹣时，x＝1．
∴E(1，﹣)，F(5，)
∴BE＝4，BF＝2
∴S△BEF＝BE×BF＝4
故选A．
【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，关键是找到E，F两点坐标．
11．B
【解析】
【分析】
设B（a，3a），根据题意可知C的纵坐标，代入解析式求出C的横坐标，再根据矩形的面积公式求出a的值，最后按周长公式求解．
【详解】
解：设B（a，3a），则OA=a，AB=3a
∵四边形ABCD是矩形
∴C点的纵坐标为3a，
代入y=x，得：3a=,
∴x=7a，即C（7a，3a）
∴AD=7a-a=6a
∴=18
∴a=1
∴矩形ABCD的周长为2（6a+3a）=18a=18
【点拨】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征和矩形的面积公式，熟练掌握一次函数图象上点的坐标都满足一次函数的解析式是解题的关键．
12．B
【解析】
【分析】
首先把（-2，0）分别代入一次函数y=3x+p和y=x+q中，可求出p，q的值，则求出两个函数的解析式；然后求出B、C两点的坐标；最后根据三角形的面积公式求出△ABC的面积．
【详解】
解：一次函数y=3x+p和y=x+q的图象都经过点A（-2，0），
把（-2，0）代入解析式得-6+p=0，-2+q=0，
解得p=6，q=2，
则函数的解析式是y=3x+6，y=x+2，
这两个函数与y轴的交点是B（0，6），C（0，2）．
因而CB=4，
因而△ABC的面积是×2×4=4．
故选：B．
【点拨】本题考查了函数解析式与图象的关系．函数的图象上的点满足函数解析式，反之，满足解析式的点一定在函数的图象上．
13．C
【解析】
【分析】
先找出一次函数经过顶点，再根据题意将△ABC分成面积为1：2的两个部分，求出E、F两点的坐标，用待定系数法代入一次函数解析式即可．
【详解】
解：∵一次函数y=kx-8k，当x=8时，y=0，
∴一次函数y=kx-8k过定点(8，0)，
由题意可知，如图，直线AE或AF将△ABC分成面积之比为1：2的两个部分，


∵B、C三点的坐标分别为（9，6）、（0，6），
∴BC//OA，
∴此时两三角形的高相等，面积之比等于底之比，
即CE：BE=1：2或CF：BF=2：1，
∴或，
∴E(3，6)，F(6，6)，
将E(3，6)代入y=kx-8k得，3k-8k=6，
∴k=-；
将F(6，6)代入y=kx-8k得，6k-8k=6，
∴k=-3；
综上可知：k=-3或k=-．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题关键是发现直线过顶点，并用待定系数法解决问题．
14．2或-2##-2或2
【解析】
【分析】
由函数解析式确定与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为（0，4），然后根据函数图象与坐标轴的面积为4列出方程求解即可．
【详解】
解：∵在中，
当时，；
当时，，
∴的图象与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为（0，4），
由题意可得：，
解得：．
故答案为：2或-2．
【点拨】题目主要考查一次函数解析式的确定及其与坐标轴围成面积的计算方法，理解题意，得出方程是解题关键．
15．
【解析】
【分析】
将点A（2，4）代入y=kx+2，求出k，得到点B的坐标，设点C（m，0），BC=，根据△ABC的面积为12，得到，求出m，由此得到点C坐标．
【详解】
解：将点A（2，4）代入y=kx+2，得2k+2=4，
解得k=1，
∴y=x+2，
当y=0时，得x+2=0，
得x=-2，
∴B（-2，0），
设点C（m，0），
∴BC=，
∵△ABC的面积为12，
∴，
解得m=4或m=-8，
∴点C的坐标为，
故答案为．
【点拨】此题考查了一次函数的性质，求直线与坐标轴是交点，直线与坐标轴围成的三角形面积，正确掌握一次函数的性质是解题的关键．
16．y=2x
【解析】
【分析】
根据坐标轴上点的坐标特征求出A（2，0），B（0，4），则AB的中点为（1，2），所以l2经过AB的中点，直线l2把△AOB平分，然后利用待定系数法求l2的解析式．
【详解】
解：如图，当y=0，-2x+4=0，
解得x=2，则A（2，0）；

当x=0，y=-2x+4=4，则B（0，4），
∴AB的中点坐标为（1，2），
∵直线l2把△AOB面积平分
∴直线l2过AB的中点，
设直线l2的解析式为y=kx，
把（1，2）代入得2=k，解得k=2，
∴l2的解析式为y=2x，
故答案为：y=2x．
【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，明确直线l2过AB的中点是解题的关键．
17．
【解析】
【分析】
过点 作 于点 交直线 于点 ，可求出直线的解析式为 ，然后设点 的坐标为 ，其中 ，则 ，从而得到，最后根据，可得到，解出 ，即可求解．
【详解】
解：如图，过点 作 于点 交直线 于点 ，

设直线的解析式为 ，
把，，代入得：
，解得： ，
∴直线的解析式为 ，
∵点M在直线上，M在第一象限，
设点 的坐标为 ，其中 ，
当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∵，
∴ ，
∵，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，求一次函数解析式，运用数形结合思想，通过设点的坐标利用三角形的面积构造方程是解题的关键．
18．1
【解析】
【分析】
如图，根据题意可求出OA．根据一次函数y＝kx+2的图象，y随x增大而增大，即可利用k表示出OB的长，再根据三角形面积公式，即可求出k的值．
【详解】
解：如图，


令x=0，则y=2，
∴A(0，2),
∴OA=2．
令y=0，则，
∴B(，0)．
∵一次函数y＝kx+2的图象，y随x增大而增大，
∴k＞0，
∴OB=，
∵一次函数y＝kx+2的图象与两坐标轴围成的三角形面积为2，
∴，即，
解得：．
故答案为：1．
【点拨】本题考查一次函数的图象和性质．熟练掌握其图象和性质是解题关键．
19．
【解析】
【分析】
联立方程即可求出直线：和直线：的交点坐标，然后求出直线与x轴的交点坐标和直线与x轴的交点坐标，然后根据三角形的面积公式求解即可．
【详解】
解：联立
解得：
∴直线：和直线：的交点为（-1，-1）
将y=0代入中，解得：
∴直线与x轴的交点为（，0）
将y=0代入中，解得：
∴直线与x轴的交点为（，0）

∴
∴＋＋＋……＋
=
=
=
故答案为：．
【点拨】此题考查的是一次函数与几何图形的综合题型，掌握联立方程求交点坐标和求直线与x轴的交点坐标是解题关键．
20．4
【解析】
【分析】
把A，B两点的坐标分别代入关系式求得函数解析式，然后求出C点坐标可得出答案．
【详解】
解：∵A（2，4），B（0，2），
∴把A，B两点的坐标分别代入关系式得：，
解得：，
∴函数解析式为y＝x＋2，
∴C点坐标为y＝0时，x＝−2，则|OC|＝|−2|＝2，
∴△AOC的面积为×2×4＝4，
故答案为：4．
【点拨】本题主要考查了用待定系数法求一次函数的解析式以及三角形的面积的求法，解题关键是求出C点的坐标．
21．（0，）或（0，）．
【解析】
【分析】
如图，待定系数法求得直线AB的解析式为：y＝﹣x﹣，得到直线AB与y轴的交点坐标为：C（0，﹣），设P（0，m），根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．
【详解】
解：如图，设直线AB的解析式为：y=kx+b（k≠0）
把A（﹣1，0），B（3，﹣1）代入得
解得
∴直线AB的解析式为：y＝﹣x﹣，
当x＝0时，y＝﹣，
∴直线AB与y轴的交点坐标为：C（0，﹣），
设P（0，m），
∴×1×（|m|+）+×3×（|m|+）＝3，
解得：m＝或m＝﹣，
∴满足条件的点P坐标为（0，）或（0，），
故答案为：（0，）或（0，）．

【点拨】本题考查了三角形的面积，坐标与图形性质，正确的作出图形是解题的关键．
22．1
【解析】
【分析】
由题可知、两点的坐标，把两点坐标代入一次函数即可求出一次函数的解析式，令，则，求得，由点坐标可求出的长再由点纵坐标，利用三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】
解：∵     一次函数的图象经过，两点，
∴     
解得
故此一次函数的解析式为：；
令，则，
∴     ，
∴     ，
∴     ．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特点，待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，关键是根据题目所给点的坐标求出一次函数解析式，然后得到点C的坐标，进而求出三角形的面积．
23．
【解析】
【分析】
根据梯形的面积公式求解出的函数解析式即可．
【详解】
根据梯形的面积公式，由题意得



故我们可以得出
∵当均成立
∴成立
故答案为：．
【点拨】本题考查了解析式与坐标轴的几何规律题，掌握梯形的面积公式是解题的关键．
24．4
【解析】
【分析】
一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点，即A（2，4），B（0，2），代入可求出函数关系式．再根据三角形的面积公式，得出△AOC的面积．
【详解】
解：一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点，即A（2，4），B（0，2），
与x轴交于点C（-2，0），
根据一次函数解析式的特点，可得出方程组
，
解得：，
则此一次函数的解析式为y=x+2，
△AOC的面积=|-2|×4÷2=4．
故答案为4．
【点拨】本题主要考查了用待定系数法求一次函数的解析式以及三角形的面积的求法，比较简单．
25．或
【解析】
【分析】
根据图形分，当点P在点A右侧时，当点P在点A左侧时，分别列出方程求解.
【详解】
一次函数的图象与y轴交于点B，与x轴交于点A，
∴，，
设，当点P在点A右侧时，，
解得，
∴；
当点P在点A左侧时，，解得，
∴，
综上所述，点P的坐标为或.
故答案为：或.
【点拨】难题.失分原因是：忽略动点P要分在点A的左侧和右侧两种情况.
26．3
【解析】
【分析】
若该直线可将平行四边形OABC的面积平分，则需经过此平行四边形的对称中心，设M为平行四边形ABCD的对称中心，利用O和B的坐标可求出其对称中心，进而可求出直线运动的时间．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，且点B（6，2），
∴平行四边形ABCD的对称中心M的坐标为（3，1），
∵直线的表达式为y＝2x＋1，
令y=0，2x+1=0，解得x=-
∴直线y＝2x＋1和x轴交点坐标为（−，0）
设直线平移后将平行四边形OABC平分时的直线方程为y＝2x＋b，
将（3，1）代入y＝2x＋b得b＝−5，即平分时的直线方程为y＝2x−5，
令y=0，2x−5=0，解得x=
∴直线y＝2x−5和x轴的交点坐标为（，0），
∵直线y＝2x＋1和x轴交点坐标为（−，0），
∴直线运动的距离为＋＝3，
∴经过3秒的时间直线可将平行四边形OABC的面积平分．
故答案为：3．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质以及直线和坐标轴的交点坐标的求法，解题的关键是掌握直线将平行四边形OABC的面积平分，则需经过此平行四边形的对称中心．
27．(1) (2)12   (3) 、、
【解析】
【分析】
(1)利用待定系数法即可求得函数的解析式；
(2)利用三角形的面积公式即可求解；
(3)当的面积是的面积的,求出M点的横坐标，分别按照题意代入表达式即可;
【详解】
解：(1) 设直线的解析式是，
根据题意得：
解得：，
则直线的解析式是：；
(2);
(3) 设OA的解析式是，则，
解得：,
则直线的解析式是：，
当的面积是的面积的时，
∴M的横坐标是，
在中,当时, ,则M的坐标是；
在中, 当则 则M的坐标是
在中,当时,,则M的坐标是.
综上所述：M的坐标是：或或.
【点拨】本题考查一次函数综合题.
28．（1）S＝4﹣m，0＜m＜4；（2）(1，)；（3）(2，1)
【解析】
【分析】
（1）根据点A、P的坐标求得△AOP的底边与高线的长度；然后根据三角形的面积公式即可求得S与m的函数关系式；
（2）将S＝3代入（1）中所求的式子，即可求出点P的坐标；
（3）由直线OP平分△AOB的面积，可知OP为△AOB的中线，点P为AB的中点，根据中点坐标公式即可求解．
【详解】
解：∵直线l：y＝﹣x+2交x轴于点A，交y轴于点B，
∴A（4，0），B（0，2），
∵P（m，n）
∴S＝×4×（4﹣m）＝4﹣m，即S＝4﹣m．
∵点P（m，n）在第一象限内，∴m+2n＝4，
∴，
解得0＜m＜4；
（2）当S＝3时，4﹣m＝3，
解得m＝1，
此时y＝（4﹣1）＝，
故点P的坐标为（1，）；
（3）若直线OP平分△AOB的面积，则点P为AB的中点．
∵A（4，0），B（0，2），
∴点P的坐标为（2，1）．
【点拨】此题主要考查一次函数与几何综合，解题的关键是熟知一次函数的图像与性质．
29．(1)5,3
(2)
【解析】
【分析】
（1）将代入，求出的值，可知点坐标，然后将点坐标代入，求出的值即可；
（2）由（1）可知一次函数解析式，求出一次函数与坐标轴的交点，进而计算面积即可．
(1)
解：将代入得，解得
∴
将代入得，解得
故答案为：5， 3．
(2)
解：由（1）可知，一次函数解析式为
令，则
∴
令，则
∴
∴
∴的面积为．
【点拨】本题考查了一次函数与正比例函数．解题的关键在于根据函数图象的交点求出一次函数解析式．
30．(1)；
(2)①；②或
【解析】
【分析】
（1）把点分别代入，，即可求解；
（2）①根据题意可得点、点横坐标都为，从而得到点的坐标为，的坐标为，进而得到，即可求解；②分两种情况讨论：若点在点上方，若点在点下方，即可求解．
(1)
解：∵正比例函数的图象过点，
，解得，
∴正比例函数的表达式为；
又∵一次函数的图象过点，
，
，
∴一次函数的表达式为；
(2)
解：①根据题意得：点、点横坐标都为，且点G、F分别在直线，上，
∴点的坐标为，的坐标为，
，
；
②∵点，
∴点的纵坐标为，点的纵坐标为，
若点在点上方，
，
解得；
；
若点在点下方，
，
解得，
．
∴当的长为4时，点的坐标为或
【点拨】本题主要考查了一次函数的图象和性质，以及求三角形的面积，熟练掌握一次函数的图象和性质，并利用数形结合思想解答是解题的关键．
31．(1)m＝5，l1的表达式为y＝2x
(2)点M的坐标为（6，2）
【解析】
【分析】
（1）将点C坐标代入一次函数y=-x+m可得m的值，设l1的表达式为：y=nx，由点C（2，4），即可求解；
（2）设M（a，-a+5）（0≤a＜5），根据S△AOM=2S△BOC，即可求解．
(1)
解：一次函数y=-x+m的图象l2与l1交于点C（2，4），
将点C坐标代入y=-x+m得：4=-×2+m，解得：m=5，
设l1的表达式为：y=nx，
将点C（2，4）代入上式得：4=2n，解得：n=2，
故：l1的表达式为：y=2x；
(2)
解：∵m=5，
∴图象l2为y=-x+5，
∴A（10，0），B（0，5），
∵C（2，4），
∴S△BOC=×5×2=5，
设M（a，-a+5）（0≤a＜5），由题意可知S△AOM=2S△BOC=10，
∴S△AOM=×10×|-a+5|=10，解得：a=6或14（舍去），
∴点M的坐标为（6，2）．
【点拨】本题是两直线相交或平行问题，考查了待定系数法求函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等．解决问题的关键是利用图象求解．
32．(1)点A坐标为（6，0）点B坐标为（0，8）
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据非负性求出a、b的值即可；
（2）过点E作,，分别交OA，OB于点N、M，求出点E坐标，由可求．
(1)
解：∵，
∴，，
∴，，
∴，，
点A坐标为（6，0）点B坐标为（0，8）．
(2)
解：如图，过点E作,，分别交OA，OB于点N、M


设直线BC解析式为
将点B（0，8），点C（4，0）代入
得解得
∴直线BC解析式为
设直线AD解析式为
将点D（0，2），点A（6，0）代入
得解得
∴直线AD解析式为
联立方程得 解得
∴点E坐标为（，）
∴EN=，EM=
则


∴三角形ABE的面积为．
【点拨】本题是一次函数综合题，掌握非负数的性质、待定系数法求解析式以及割补法求三角形面积是解题的关键．