专题 19.48 《一次函数》全章复习与巩固（知识讲解）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

这是一份专题 19.48 《一次函数》全章复习与巩固（知识讲解）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版），共22页。教案主要包含了学习目标，知识网络，要点梳理，典型例题等内容，欢迎下载使用。
专题 19.48 《一次函数》全章复习与巩固（知识讲解）
【学习目标】
1．了解常量、变量和函数的概念，了解函数的三种表示方法（列表法、解析式法和图象法），能利用图象数形结合地分析简单的函数关系.
2．理解正比例函数和一次函数的概念，会画它们的图象，能结合图象讨论这些函数的基本性质，能利用这些函数分析和解决简单实际问题.
3．通过讨论一次函数与方程（组）及不等式的关系，从运动变化的角度，用函数的观点加深对已经学习过的方程（组）及不等式等内容的再认识.
4. 通过讨论选择最佳方案的问题，提高综合运用所学函数知识分析和解决实际问题的能力.
【知识网络】
变化的世界
函 数
建立数学模型
应

用
概 念
选择方案
概 念
再认识
表示方法
图 象
性 质
一次函数
（正比例函数）
一元一次方程
一元一次不等式
二元一次方程组
与数学问题的综合
与实际问题的综合
列表法
解析法
图象法

【要点梳理】
要点一、函数的相关概念
一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量 与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 是自变量，是的函数.
是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值.
函数的表示方法有三种：解析式法，列表法，图象法.
要点二、一次函数的相关概念
一次函数的一般形式为，其中、是常数，≠0.特别地，当＝0时，一次函数即（≠0），是正比例函数.
要点三、一次函数的图象及性质
1、函数的图象
　　如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.
特别说明：
直线可以看作由直线平移||个单位长度而得到（当＞0时，向上平移；当＜0时，向下平移）.说明通过平移，函数与函数的图象之间可以相互转化.
2、一次函数性质及图象特征
掌握一次函数的图象及性质（对比正比例函数的图象和性质）
特别说明：
理解、对一次函数的图象和性质的影响：
（1）决定直线从左向右的趋势（及倾斜角的大小——倾斜程度），决定它与轴交点的位置，、一起决定直线经过的象限．
（2）两条直线：和：的位置关系可由其系数确定：
与相交；
，且与平行；
，且与重合；
（3）直线与一次函数图象的联系与区别
一次函数的图象是一条直线；特殊的直线、直线不是一次函数的图象.
要点四、用函数的观点看方程、方程组、不等式　
方程（组）、不等式问题
函 数 问 题
从“数”的角度看
从“形”的角度看
求关于、的一元一次方程＝0（≠0）的解
为何值时，函数的值为0？
确定直线与轴（即直线＝0）交点的横坐标
求关于、的二元一次方程组的解．
为何值时，函数与函数的值相等？
确定直线与直线的交点的坐标
求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集
为何值时，函数的值大于0？
确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围
【典型例题】
类型一、函数的概念
1、如图，下列各曲线中哪些能够表示y是x的函数？你能说出其中的道理吗？

【答案】答案见分析
【分析】
对于函数概念的理解主要抓住以下三点：①有两个变量；②一个变量的每一个数值随着另一个变量的数值的变化而变化；③对于自变量每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应，通过分析不难得出（1）、（2）能够表示y是x的函数，（3）、（4）不能表示y是x的函数．
解：（3）、（4）对于x的每一个取值，y都有不唯一确定的值与之对应，故都不是函数；
（1）、（2）能够表示y是x的函数，
∵对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，
∴（1）、（2）能够表示y是x的函数．
【点拨】本题考查了对函数概念的理解，理解函数的概念是解题的关键．
举一反三：
【变式1】下列图象中，表示y是x的函数的是（       ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
函数就是在一个变化过程中有两个变量x和y，当给x一个值时，y有唯一的值与其对应，就说y是x的函数，x是自变量．
解：根据函数的定义可知，每给定自变量x一个值，都有唯一的函数值y与之相对应，
所以A、C、D不合题意．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了函数的概念．函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：作垂直x轴的直线，在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点．
【变式2】在下列关系式中：①长方形的宽一定时，其长与面积的关系；②等腰三角形的底边长与面积；③圆的周长与圆的半径．其中，是函数关系的是________（填序号）
【答案】①③
【分析】
根据函数定义：对于函数中的每个值x，变量y按照一定的法则有一个确定的值y与之对应，解答即可．
解：①长面积宽，是函数关系；
②高不能确定，共有三个变量，不是函数关系；
③周长半径，是函数关系．
故答案为：①③．
【点拨】本题主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．
类型二、自变量取值范围或函数值
2、已知函数．
（1）自变量x的取值范围是什么？ （2）当时，y的值为多少？
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据二次根式被开方数非负、分式分母不为0的性质求解；
（2）把x的值代入函数解析式即可得到解答．
解：（1）由题意可得：
，
∴x>1；
（2）当x=4时，y=．
【点拨】本题考查二次根式和分式的综合应用，熟练掌握二次根式和分式的意义是解题关键 ．
举一反三：
【变式1】函数中自变量的取值范围是（       ）
A． B． C．且 D．且
【答案】C
【分析】根据二次根式与分式有意义的条件即可求解．
解：依题意可得x-1≥0，x-2≠0
解得且
故选C．
【点拨】此题主要考查函数自变量的取值，解题的关键是熟知二次根式与分式有意义的条件．
【变式2】函数y＝的自变量x的取值范围是______．
【答案】且
【分析】
根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
解：由题意得，且，
解得且．
故答案为：且．
【点拨】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
类型三、一次函数的解析式
3、甲、乙两个探测气球分别从海拔和处同时出发，匀速上升．下图是甲、乙两个探测气球所在位置的海拔y（单位：m）与气球上升时间x（单位：）的函数图象．
（1）求这两个气球在上升过程中y关于x的函数解析式；
（2）当这两个气球的海拔高度相差时，求上升的时间．

【答案】（1）甲：，乙：；（2）
【分析】
（1）分别设出甲乙的函数解析式，利用待定系数法求解解析式即可；
（2）由题意得利用甲乙的函数解析式列方程，解方程并检验可得答案．
解：（1）设甲气球上升过程中：，
由题意得：甲的图像经过：两点，

解得：
所以甲上升过程中：
设乙气球上升过程中：
由题意得：乙的图像经过：两点，

解得：
所以乙上升过程中：

（2）由两个气球的海拔高度相差，
即


或
解得：或（不合题意，舍去）
所以当这两个气球的海拔高度相差时，上升的时间为
【点拨】本题考查的是一次函数的应用，考查利用待定系数法求解一次函数的解析式，掌握以上知识是解题的关键．
举一反三：
【变式1】在平面直角坐标系中，点，．以为一边在第一象限作正方形，则对角线所在直线的解析式为（     ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过点作轴于点，先证明，再由全等三角形对应边相等的性质解得，最后由待定系数法求解即可．
解：正方形中，过点作轴于点，






设直线所在的直线解析式为，
代入，得


，
故选：A．

【点拨】本题考查待定系数法求一次函数的解析式，涉及正方形性质、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
【变式2】如图，A，B两点的坐标分别为，在x轴上找一点P，使线段的值最小，则点P的坐标是_______________．

【答案】
【分析】连接点A，B交轴于点P，则 PA+PB的值最小，此时点P即为所求．
解：连接点A，B，
设直线AB的解析式为
点，点

解得
直线AB的解析式为
当时，则
解得

故答案为：
【点拨】本题考查了两线段之和的最值问题，待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点等知识，熟练掌握解题方法是解题关键．
类型三、一次函数的图象和性质
4、在平面直角坐标系xoy中（如图），已知一次函数的图像平行于直线，且经过点A（2，3），与x轴交于点B．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）设点C在y轴上，当AC＝BC时，求点C的坐标．

【答案】（1）；（2）点C的坐标是（0，）
【分析】
（1）设一次函数解析式为y＝kx＋b（k＝0），把A坐标代入即可解答
（2）先求出点B坐标，设点C的坐标为（0，y），由AC＝BC利用勾股定理求出y即可解答
解：（1）设一次函数解析式为y＝kx＋b（k＝0）.
一次函数的图像平行于直线，∴
又∵一次函数的图像经过点A（2，3），
∴，解得b＝2.
所以，所求一次函数的解析式是
（2）由y＝，令y＝0，得号＝0，解得x＝－4.
∴一次函数的图像与x轴的交点为B（－4，0）.
∵点C在y轴上，.设点C的坐标为（0，y）.
由AC＝BC，得，解得y＝
经检验：y＝是原方程的根.
∴点C的坐标是（0，）
【点拨】此题考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，解题关键在于利用勾股定理进行计算
举一反三：
【变式1】一次函数的图象如图所示，将直线向下平移若干个单位后得直线，的函数表达式为．下列说法中错误的是（   ）

A． B． C． D．当时，
【答案】B
【分析】根据两函数图象平行k相同，以及平移规律“左加右减，上加下减”即可判断
解：∵将直线向下平移若干个单位后得直线，
∴直线∥直线，
∴，
∵直线向下平移若干个单位后得直线，
∴，
∴当时，
故选B．
【点拨】本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标左移加，右移减；纵坐标上移加，下移减．平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么关系．
【变式2】已知关于x的一次函数y=kx+4k﹣2（k≠0）．若其图象经过原点，则k=__，若y随着x的增大而减小，则k的取值范围是__．
【答案】          k＜0
解：∵图象经过原点，
∴0=0+4k-2,
∴k=.
∵y随着x的增大而减小，
∴k