连云港市海州区新海初级中学2022-2023学年九年级上学期12月月考数学试题（含解析）

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连云港市海州区新海初级中学2022-2023学年九年级上学期
12月月考数学试题
（考试时间：共计120分钟 试卷总分150分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1. 将一元二次方程化成一般式后，一次项系数和常数项分别为（ ）
A. 4， B. ， C. 4， D. ，
2. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
3. 为了调查某校同学的体质健康状况，随机抽查了若干名同学的每天锻炼时间如表：
每天锻炼时间（分钟）
20
40
60
90
学生数
2
3
4
1
则关于这些同学的每天锻炼时间，下列说法错误的是（　　）
A. 众数是60 B. 平均数是21 C. 抽查了10个同学 D. 中位数是50
4. 分别写有数字0，，，1，3五张卡片，除数字不同外其他均相同，从中任抽一张，那么抽到数字正数的概率是（ ）
A. B. C. D.
5. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图2，已知圆心在水面上方，且被水面截得的弦长为6米，半径长为4米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（ ）

A. 1米 B. 米 C. 2米 D. 米
6. 如图，将一个棱长为3的正方体表面涂上颜色，再把它分割成棱长为1的小正方体，将它们全部放入一个不透明盒子中摇匀，随机取出一个小正方体，只有1个面被涂色的概率为（ ）

A. B. C. D.
7. 如图，在扇形中，，，若以点C为圆心，为半径画弧，与交于点D，则图中阴影部分的面积和是（ ）

A B. C. D.
8. 如图为二次函数的图像，下列说法：①；②；③；④当时，y随x的增大而增大；⑤；⑥对于任意实数m，均有．正确的说法有（ ）

A. ①④⑤⑥ B. ①②③⑤ C. ①③④⑥ D. ①②⑤⑥
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9. 方程的解为___________．
10. 二次函数的图像向右平移2个单位长度之后得到的抛物线函数表达式为__________；
11. 如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常随机闭合开关，，中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是__________．

12. 已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积为____________cm2．
13. 小明九年级上学期平时成绩为90分，期中测试成绩为88分，期末测试成绩为96分，学校规定，平时成绩、期中成绩、期末成绩按的比例计算学期平均成绩，则小明的学期平均成绩为__________；
14. 一组数据，，，，方差为1.5，那么数据，，，，的方差为__________；
15. 已知如图，是锐角三角形的外接圆，，连接，，延长交弦于点D，若是直角三角形，则__________．

16. 如图，点O是正方形的中心，，过点O的直线分别交、于点E、F，过点B作于点G，连接，则的最小值为__________．

三、解答题（本大题共10小题，共102分）
17. 解方程：
（1）
（2）
18. 如图，AB是的一条弦，，垂足为C，交于点D，点E在上．

（1）若，求的度数；
（2）若，，求半径长．
19. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若，是这个方程的两个根，且，求k的值．
20. 甲、乙两班各推选10名同学进行投篮比赛，按照比赛规则，每人各投了10个球，根据两个班选手的进球数，制作了如下统计图及数据分析表．

班级
平均数
中位数
众数
甲
7
b
c
乙
a
7
7

（1）写出表格中a，b，c的值： ， ， ；
（2）已知甲班选手进球数的方差为，求乙班选手进球数的方差；
（3）如果要从这两个班中选出一个班参加学校的投篮比赛，你认为应该选择哪个班比较合适？为什么？
21. 在4张相同的卡片上分别写有数字1、2、3、4，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张，将卡片上的数字作为被减数；一只不透明的袋子中装有标号为1、2、5的三个小球，这些球除标号外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，将摸到的球的标号作为减数．
（1）在袋子中摸到球的标号是2的概率为 ；
（2）甲、乙二人玩游戏，游戏规则规定：当抽到的这两个数的差为非负数时，甲获胜；否则乙获胜，请用树状图或者表格来分析甲、乙二人获胜的概率；
（3）这个游戏公平吗？如果不公平，请你设计一个公平的游戏规则，并说明理由．
22. 如图，经过原点O的抛物与x轴交于另一点，在第一象限内与直线交于点．

（1）求的面积．
（2）求这条抛物线的表达式．
（3）若，那么自变量x的取值范围是 ．
23. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另外一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”
（1）通过计算，判断方程是不是“邻根方程”；
（2）已知关于x的方程（m为常数）是“邻根方程”，求m值．
24. 某厂家专门为产品生产包装盒，该厂有一种特制的矩形包装盒的原材料，长12cm，宽为10cm．

（1）已知该公司2020年销售这种原材料制作包装盒的销售额为5000万元，并预计2022年的销售额为7200万元，假设该厂在这两年中的销售额的增长率相同，设为m，那么根据题意列出的方程为 ；
（2）该厂技术工人先将矩形原材料剪去两个全等的正方形，又剪去了两个全等的矩形，剩余部分制成了底面积为24cm2的有盖包装盒（边缘损耗忽略不计），则剪去的正方形边长为 cm．
（3）已知该矩形包装盒的生产成本为40元/个，市场调研发现：如果以100元/个销售，每天可以售出200个．为了减少库存，厂家决定降价销售，根据近期销售情况发现，销售单价每降低1元，销售量就会增加20个，在尽可能减少库存的情况下，该厂家将售价定为多少元时，每天的销售利润为24000元？
25. 在扇形中，半径，点P在上，连接，将沿着折叠得到．

（1）如图①，若，且与所在的圆相切于点B．
① ；
②求OP的长；
（2）如图②，与相交于点D，若点D为的中点，且，求的长．
26. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点．

（1）抛物线表达式为 ，它的顶点坐标为 ；
（2）如图2，作抛物线，使它与抛物线关于原点O成中心对称，抛物线的表达式为 ；
（3）如图3，将（2）中抛物线向上平移2个单位，得到抛物线，抛物线与抛物线相交于C，D两点（点C在点D的左侧）．
①求点C和点D的坐标；
②若点M，N分别为抛物线和抛物线上C，D之间的动点（点M，N与点C，D不重合），试求四边形面积的最大值．
答案与解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1. 将一元二次方程化成一般式后，一次项系数和常数项分别为（ ）
A. 4， B. ， C. 4， D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】将方程整理为一般形式，按照一次项系数和常数项定义求解即可．
【详解】解：原方程化为，则一次项系数为，常数项为，
故选：C．
【点睛】本题考察了一元二次方程的一般形式的概念，关键是掌握项及项的系数的定义．
2. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用顶点式的特点可知顶点坐标．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是．
故选：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键．
3. 为了调查某校同学的体质健康状况，随机抽查了若干名同学的每天锻炼时间如表：
每天锻炼时间（分钟）
20
40
60
90
学生数
2
3
4
1
则关于这些同学的每天锻炼时间，下列说法错误的是（　　）
A. 众数是60 B. 平均数是21 C. 抽查了10个同学 D. 中位数是50
【答案】B
【解析】
【分析】根据众数、中位数和平均数的定义分别对每一项进行分析即可．
【详解】解：A、60出现了4次，出现的次数最多，则众数是60，故A选项说法正确；
B、这组数据的平均数是：（20×2+40×3+60×4+90×1）÷10＝49，故B选项说法错误；
C、调查的户数是2+3+4+1＝10，故C选项说法正确；
D、把这组数据从小到大排列，最中间两个数的平均数是（40+60）÷2＝50，则中位数是50，故D选项说法正确；
故选B．
【点睛】此题考查了众数、中位数和平均数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数．
4. 分别写有数字0，，，1，3的五张卡片，除数字不同外其他均相同，从中任抽一张，那么抽到数字正数的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据正数的含义，判断题中正数的个数，再除以5即可得到抽到数字正数的概率．
【详解】解：0，，，1，3中正数的是1，3，有2个，
从中随机抽取一张，抽到写有正数的卡片的概率是．
故选：B
【点睛】本题考查的是求解随机事件的概率，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
5. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图2，已知圆心在水面上方，且被水面截得的弦长为6米，半径长为4米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（ ）

A. 1米 B. 米 C. 2米 D. 米
【答案】B
【解析】
【分析】连接OC交AB于D，根据圆的性质和垂径定理可知OC⊥AB，AD=BD=3，根据勾股定理求得OD的长，由CD=OC﹣OD即可求解．
【详解】解：根据题意和圆的性质知点C为的中点，
连接OC交AB于D，则OC⊥AB，AD=BD=AB=3，
在Rt△OAD中，OA=4，AD=3，
∴OD===，
∴CD=OC﹣OD=4﹣，
即点到弦所在直线的距离是（4﹣）米，
故选：B．

【点睛】本题考查圆的性质、垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解答的关键．
6. 如图，将一个棱长为3的正方体表面涂上颜色，再把它分割成棱长为1的小正方体，将它们全部放入一个不透明盒子中摇匀，随机取出一个小正方体，只有1个面被涂色的概率为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由在27个小正方体中选一个正方体，共有27种结果，满足条件的事件是取出的小正方体表面只有一个面涂有颜色，有6种结果，根据概率的计算公式，即可求解．
【详解】解：由题意，在一个棱长为3的正方体的表面涂上颜色，将其分割成27个棱长为1的小正方体，
在27个小正方体中，恰好有三个面都涂色有颜色的共有8个，恰好有两个都涂有颜色的共12个，恰好有一个面都涂有颜色的共6个，表面没涂颜色的1个，
可得试验发生包含的事件是从27个小正方体中选一个正方体，共有27种结果，
满足条件的事件是取出的小正方体表面有一个面都涂色，有6种结果，
所以所求概率．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了概率公式的应用，正确得出一个面被涂色的小立方体的个数是解题关键．
7. 如图，在扇形中，，，若以点C为圆心，为半径画弧，与交于点D，则图中阴影部分的面积和是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接，根据等边三角形的判定得出是等边三角形，根据等边三角形的性质得出，求出阴影部分的面积=扇形的面积，再根据扇形的面积公式求出扇形的面积即可．
【详解】解：连接，

∵以点C为圆心，为半径画弧，与交于点D，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴阴影部分的面积．
故选：C．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，扇形的面积计算等知识点，能求出阴影部分的面积=扇形BAD的面积是解此题的关键．
8. 如图为二次函数的图像，下列说法：①；②；③；④当时，y随x的增大而增大；⑤；⑥对于任意实数m，均有．正确的说法有（ ）

A. ①④⑤⑥ B. ①②③⑤ C. ①③④⑥ D. ①②⑤⑥
【答案】D
【解析】
【分析】根据抛物线的开口方向，及抛物线与y轴的交点的位置，判断a，c的值，即可判断①；先求出对称轴，可得出2a和b关系，判断②；根据时函数值的大小判断③即可；再根据x的取值与对称轴的关系讨论函数值的大小即可判断④；根据时，，再将代入判断⑤；当时，，再比较即可判断⑥.
【详解】观察图象可知抛物线的开口向上，
∴，
∵抛物线与y轴的交点为在y轴的负半轴上，
∴，
∴，则①正确；
∵抛物线经过点和，
∴对称轴为，
∴，
即，则②正确；
当时，，则③不正确；
当时，函数值随着y的增大而减小，之后函数值y随x的增大而增大，则④不正确．
由②得，
当时，，
∴，
即，则⑤正确；
当时，，
∴对于任意实数m，，
∴对于任意实数m，均有．
则⑥正确．
所以正确的有①②⑤⑥．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像和性质，根据二次函数的图像确定系数，代数式的值是解题关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9. 方程的解为___________．
【答案】
【解析】
【分析】运用直接开方法解答即可．
【详解】
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，能够熟练掌握一元二次方程的解法是关键．
10. 二次函数的图像向右平移2个单位长度之后得到的抛物线函数表达式为__________；
【答案】
【解析】
【分析】利用二次函数平移规律“左加右减、上加下减”求解即可．
【详解】解：二次函数的图像向右平移2个单位长度后，平移后的函数关系式是：
．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是二次函数的图像与几何变换，熟知函数图像平移的法则是解答此题的关键．
11. 如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常随机闭合开关，，中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是__________．

【答案】
【解析】
【分析】根据题意画出树状图，得到共有6种等可能性，其中能让两个小灯泡同时发光有2种等可能性，根据概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图得
，
由树状图得共有6种等可能性，其中能让两个小灯泡同时发光应同时闭合，，故有2种等可能性，所以概率为．
故答案为：
【点睛】本题考查了根据题意列表或画树状图求概率，正确列表或画出树状图是解题关键．
12. 已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积为____________cm2．
【答案】
【解析】
【分析】圆锥的侧面积＝×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．
【详解】∵圆锥的底面半径长为4cm，母线长为5cm，
∴圆锥的侧面积＝×4×5＝20cm2，
故答案为：．
【点睛】本题考查圆锥侧面积的求法，掌握相应公式是解题的关键．
13. 小明九年级上学期的平时成绩为90分，期中测试成绩为88分，期末测试成绩为96分，学校规定，平时成绩、期中成绩、期末成绩按的比例计算学期平均成绩，则小明的学期平均成绩为__________；
【答案】分
【解析】
【分析】利用加权平均数公式即可求解．
【详解】解：小明的学期平均成绩为
分
故答案为：分
【点睛】本题考查了加权平均数公式，理解加权平均数公式是解题的关键．
14. 一组数据，，，，方差为1.5，那么数据，，，，的方差为__________；
【答案】6
【解析】
【分析】先设数据，，，，的平均数为，由方差，则另一组新数据，，，，的平均数为，方差为，代入公式，计算即可．
【详解】解：设数据，，，，的平均数为，方差，
则另一组新数据，，，，的平均数为，方差为，





，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了方差的知识，说明了当数据都加上一个数（或减去一个数）时，平均数也加或减这个数，方差不变，即数据的波动情况不变；当数据都乘以一个数（或除以一个数）时，平均数也乘以或除以这个数，方差变为这个数的平方倍．
15. 已知如图，是锐角三角形的外接圆，，连接，，延长交弦于点D，若是直角三角形，则__________．

【答案】或##或
【解析】
【分析】分两种情况：①当时，②当时，分别求解即可．
【详解】解：分两种情况：①当时，如图，

∴，
∴；
②当时，如图，

∴，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
综上，或．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形外角性质，圆周角定理，分类讨论是解题的关键．
16. 如图，点O是正方形的中心，，过点O的直线分别交、于点E、F，过点B作于点G，连接，则的最小值为__________．

【答案】##
【解析】
【分析】连接，，由题意可知，、都经过点O，取中点M，连接，，则，为定长，利用两点之间线段最短解决问题即可．
【详解】解：连接，
∵点O是正方形的中心
∴、都经过点O，，，
取中点M，连接，，如图，

∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴．
∴．
∴，
在中，M是的中点，
∴．
∵．
当A，M，G三点共线时，．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，两点之间线段最短，直角三角形斜边上的中线等知识点，取中点M，连接，，则，为定长，利用两点之间线段最短解决问题是解决本题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，共102分）
17. 解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）：，．
（2），．
【解析】
【分析】（1）先移项，再提取公因式x解方程即可；
（2）先把方程化为一般形式，再利用公式法解方程即可．
【小问1详解】
解：，
移项得：，
∴，
∴或，
解得：，．
【小问2详解】
，
整理得：，
∴，
∴，
解得：，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程的解法，涉及因式分解法、公式法等知识，是重要考点，掌握因式分解法与公式法解方程是解本题的关键．
18. 如图，AB是的一条弦，，垂足为C，交于点D，点E在上．

（1）若，求的度数；
（2）若，，求半径长．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）由，可得，然后由圆周角定理求得的度数．
（2）由垂径定理可得，然后设的半径为x，由勾股定理即可求得方程：，解此方程即可求得答案．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴．
【小问2详解】
设的半径为x，，
则 ，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴的半径为．
【点睛】此题考查了圆周角定理、垂径定理以及勾股定理，掌握垂径定理是解决本题的关键．
19. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若，是这个方程的两个根，且，求k的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，可知方程的判别式大于0，据此列不等式即可求解；
（2）根据根与系数的关系得出，，代入中即可求解．
【小问1详解】
∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴解得：，
即k的取值范围为：；
【小问2详解】
∵，是方程的两个根，
∴，，
∵，
∴，
∴，
解得：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根于系数的关系，若，是方程的两个根，则有，．掌握该知识点是解答本题的关键．
20. 甲、乙两班各推选10名同学进行投篮比赛，按照比赛规则，每人各投了10个球，根据两个班选手的进球数，制作了如下统计图及数据分析表．

班级
平均数
中位数
众数
甲
7
b
c
乙
a
7
7

（1）写出表格中a，b，c的值： ， ， ；
（2）已知甲班选手进球数的方差为，求乙班选手进球数的方差；
（3）如果要从这两个班中选出一个班参加学校的投篮比赛，你认为应该选择哪个班比较合适？为什么？
【答案】（1）7，7，7
（2）
（3）乙班，理由见解析
【解析】
【分析】（1）利用加权平均数、中位数和众数的定义直接求出；
（2）根据方差的公式计算即可；
（3）根据方差和个人发挥的最好成绩进行选择．
【小问1详解】
解：甲班10名同学进球数从小到大排列为：5、5、5、7、7、7、7、8、9、10，7出现的次数最多，
所以中位数，众数；
乙班10名同学进球平均数为：个，
即；
故答案为：7，7，7
【小问2详解】
解：乙班选手进球数的方差为
；
【小问3详解】
解：乙班，理由如下：
根据题意得：两个班成绩的平均数，中位数，众数相同，但甲班选手进球数的方差大于乙班选手进球数的方差，
所以乙班选手成绩更稳定，
所以应选乙班．
【点睛】本题考查了平均数，中位数，众数和方差的意义．平均数表示一组数据的平均程度；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．
21. 在4张相同的卡片上分别写有数字1、2、3、4，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张，将卡片上的数字作为被减数；一只不透明的袋子中装有标号为1、2、5的三个小球，这些球除标号外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，将摸到的球的标号作为减数．
（1）在袋子中摸到球的标号是2的概率为 ；
（2）甲、乙二人玩游戏，游戏规则规定：当抽到的这两个数的差为非负数时，甲获胜；否则乙获胜，请用树状图或者表格来分析甲、乙二人获胜的概率；
（3）这个游戏公平吗？如果不公平，请你设计一个公平的游戏规则，并说明理由．
【答案】（1）
（2），
（3）不公平，将规则改为：两个数的差为负数时，甲获胜，两个数的差为正数时，乙获胜．理由见解析
【解析】
【分析】（1）直接用概率公式求解即可；
（2）利用树状图法列举出所有可能和差为非负数的结果数年，进而求出概率；
（3）比较甲、乙获胜的概率即可得出是否公平，设计成两人获胜概率相等即可．
【小问1详解】
解：；
【小问2详解】
解：根据题意列表如下：

1
2
3
4
1
0
1
2
3
2

0
1
2
5




∵共有12种等可能的结果，其中这两个数的差为非负数的情况占7种，负数的情况占5种，
∴甲获胜的概率是；
乙获胜的概率是．
【小问3详解】
解：∵，．
∴，
∴这样的规则不公平，
可将规则改为：两个数的差为负数时，甲获胜，两个数的差为正数时，乙获胜．
此时，，
．
【点睛】本题考查的是概率计算，游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
22. 如图，经过原点O的抛物与x轴交于另一点，在第一象限内与直线交于点．

（1）求的面积．
（2）求这条抛物线的表达式．
（3）若，那么自变量x的取值范围是 ．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】(1)根据题意可知，的高为，据此即可求得；
(2)把点A、B的坐标分别代入解析式，解方程组，即可求得；
(3)根据两函数的图象即可求得．
【小问1详解】
解：点，
，
点在直线上，
，的高为，
的面积为：
；
【小问2详解】
解：由(1)知：点，
把点A、B的坐标分别代入解析式，得

解得
故这条抛物线的表达式为；
【小问3详解】
解：由两函数的图象可知：
当，自变量x的取值范围是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，利用待定系数法求二次函数的解析式，坐标与图形，利用函数图象求不等式的解集，采用数形结合的思想是解决此类题的关键．
23. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另外一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”
（1）通过计算，判断方程是不是“邻根方程”；
（2）已知关于x的方程（m为常数）是“邻根方程”，求m值．
【答案】（1）不是 （2）或
【解析】
【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程，然后根据“邻根方程”的定义判断即可；
（2）设方程的两根分别为，，利用根与系数的关系得到，，再由“邻根方程”的定义得到，从而得到关于m的方程，解方程即可得到答案．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
解得，，
∵，
∴方程不是“邻根方程”；
【小问2详解】
设方程的两根分别为，，
∴，，
∵关于的方程（是常数）是“邻根方程”，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
解得或．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，正确理解题意和熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
24. 某厂家专门为产品生产包装盒，该厂有一种特制的矩形包装盒的原材料，长12cm，宽为10cm．

（1）已知该公司2020年销售这种原材料制作的包装盒的销售额为5000万元，并预计2022年的销售额为7200万元，假设该厂在这两年中的销售额的增长率相同，设为m，那么根据题意列出的方程为 ；
（2）该厂技术工人先将矩形原材料剪去两个全等的正方形，又剪去了两个全等的矩形，剩余部分制成了底面积为24cm2的有盖包装盒（边缘损耗忽略不计），则剪去的正方形边长为 cm．
（3）已知该矩形包装盒的生产成本为40元/个，市场调研发现：如果以100元/个销售，每天可以售出200个．为了减少库存，厂家决定降价销售，根据近期销售情况发现，销售单价每降低1元，销售量就会增加20个，在尽可能减少库存的情况下，该厂家将售价定为多少元时，每天的销售利润为24000元？
【答案】（1）
（2）
（3）该厂家将售价定为每个70元时，每天的销售利润为24000元．
【解析】
【分析】（1）设该厂在这两年中的销售额的增长率为m，则2022年的销售额可表示为，从而可得答案；
（2）根据题意找到等量关系列出方程组，转化为一元二次方程求解即可．
（3）首先设每个售价为x元，利用销售量×每个利润元列出方程求解，在解出x的值后，要考虑尽可能减少库存进行取舍．
【小问1详解】
解：设该厂在这两年中的销售额的增长率为m，则
．
【小问2详解】
解：设底面长为acm，宽为bcm，正方形的边长为xcm，根据题意得：
，
解得，， 代入中，得： ，
整理得：，
解得，（舍去），
答：剪去的正方形的边长为2cm．
【小问3详解】
解：设每个售价为元，则销售量为个，则
，
整理得：，
解得：，，
但是要尽可能减少库存，
∴不符合题意，取，
答：该厂家将售价定为每个70元时，每天的销售利润为24000元．
【点睛】本题考查的是长方体的展开图，一元二次方程的应用，确定相等关系，熟练利用一元二次方程解集增长率，面积，销售利润问题是解本题的关键．
25. 在扇形中，半径，点P在上，连接，将沿着折叠得到．

（1）如图①，若，且与所在的圆相切于点B．
① ；
②求OP的长；
（2）如图②，与相交于点D，若点D为的中点，且，求的长．
【答案】（1）①；②；
（2）．
【解析】
【分析】（1）①根据图像折叠的性质，确定角之间的关系，通过已知的角度来间接求所求角的角度；②先连接，先在中，求出；再在中，求出即可得到答案；
（2）要求的长，扇形的半径已知，就转化成求的度数，连接，通过条件找到角之间的等量关系，再根据三角形内角和为，建立等式求出，最后利用弧长的计算公式进行计算．
【小问1详解】
解：①如图1，为圆的切线，
．
由题意可得，，．


，
②如图1，连接，交于点Q．则有．
在中，．
在中，，
．
【小问2详解】
如图2．连接．设．
∵点D为的中点．


∵，
．

由题意可得，．
，
，
∵，

，

，
，解得．

．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，弧，圆心角之间的关系，切线的性质，锐角三角函数的应用，弧长的计算，解题的关键是：根据题目中的条件，找到边角之间的等量关系，通过等量代换的思想间接求出所需要求的量．
26. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点．

（1）抛物线的表达式为 ，它的顶点坐标为 ；
（2）如图2，作抛物线，使它与抛物线关于原点O成中心对称，抛物线的表达式为 ；
（3）如图3，将（2）中抛物线向上平移2个单位，得到抛物线，抛物线与抛物线相交于C，D两点（点C在点D的左侧）．
①求点C和点D的坐标；
②若点M，N分别为抛物线和抛物线上C，D之间的动点（点M，N与点C，D不重合），试求四边形面积的最大值．
【答案】（1）；
（2）
（3）①或
②16
【解析】
【分析】（1）将点和点代入，即可求解；
（2）利用对称性求出函数顶点关于原点对称点为，即可求函数的解析式；
（3）①通过联立方程组，求出点和点坐标即可；
②求出直线的解析式，过点作轴交于点，过点作轴交于点，设，，则，，可求，，由，分别求出的最大值4，的最大值4，即可求解．
【小问1详解】
解：将点和点代入，
，
解得，
；
∵
∴抛物线的顶点坐标为 ；
【小问2详解】
解：，
抛物线的顶点，
顶点关于原点的对称点为，
抛物线的解析式为，
；
【小问3详解】
解：由题意可得，抛物线的解析式为，
①联立方程组，
解得或，
或；
②设直线解析式为，
，
解得，
，
过点作轴交于点，过点作轴交于点，

设，，
则，，
，
，
，，
当时，有最大值4，
当时，有最大值4，
，
当最大时，四边形面积的最大值为16．
【点睛】本题考查二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的图像及性质，图像几何变换和中心对称的性质是解题的关键．属二次函数综合题目，秘史中考压轴题目．