北师大版九年级上册5 一元二次方程的根与系数的关系精练

这是一份北师大版九年级上册5 一元二次方程的根与系数的关系精练，共13页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一元二次方程根与系数的关系 测试题 一、选择题1.关于x的一元二次方程3x2+2x+1=0的根的情况，下列判断正确的是（　　）A．有两个相等的实数根       B．有两个不相等的实数根C．没有实数根              D．无法判断 2.一元二次方程x2+px+q=0的两个根为p,q,则p+q等于（　　）A.0            B.1           C.0或-2      D.0或-1 3.若关于x的一元二次方程（k-5）x2-2x+2=0有实数根，则整数k的最大值为（　　）A.4           B.5     C.6    D.7 4.定义新运算a*b：对于任意实数a,b满足a*b=（a+b）（a-b）-1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如3*2=（3+2）（3-2）-1=5-1=4．若x*k=2x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况是（　　）A．有一个实数根               B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根        D．没有实数根 5.设x1，x2是方程x2-2003x+2005=0的两个实根，实数a,b满足：ax12003+bx22003=2003，ax12004+bx22004=2004，则ax12005+bx22005的值为（　　）A．2005         B．2003        C．-2005       D．-2003 6.对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），下列说法：
①若a+b+c=0，则b2-4ac≥0；
②若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根；
③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则b2−4ac＝(2ax0+b)2
其中正确的（　　）A．只有①②          B．只有①②④     C．①②③④       D．只有①②③          二．填空题 7.若a,b是方程2x2+4x-3=0的两根，则a2+ab+2b=    8.已知：m、n是方程x2+2x-1=0的两根，则（m2+3m+3）（n2+3n+3）=       ． 9.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有      （填序号）
①方程x2-x-2=0是倍根方程；
②若（x-2）（mx+n）=0是倍根方程：则4m2+5mn+n2=0；
③若p,q满足pq=2，则关于x的方程px2+3x+q=0是倍根方程；
④若方程以ax2+bx+c=0是倍根方程，则必有2b2=9ac. 
  三、解答题10.当m为何值时，一元二次方程2x2-（4m+1）x+2m2-1=0．
（1）有两个不相等的实数根？
（2）有两个相等的实数根？
（3）没有实数根？      11.已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a-c）=0，其中a,b,c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x=-1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．    12.已知关于x的方程x2-（k+2）x+2k=0．
（1）求证：k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长为4，另两边长m,n恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．                                       一元二次方程根与系数的关系 测试题（解析） 一、选择题1.关于x的一元二次方程3x2+2x+1=0的根的情况，下列判断正确的是（　　）B．有两个相等的实数根       B．有两个不相等的实数根C．没有实数根              D．无法判断 【答案】C【分析】根据根的判别式即可求出答案．【解答】解：Δ=22-4×1×3
=4-12
=-8，
故原方程无实数根，
故选：C． 2.一元二次方程x2+px+q=0的两个根为p,q,则p+q等于（　　）A.0            B.1           C.0或-2      D.0或-1 【答案】D【分析】利用根据根与系数的关系得，p+q=-p,pq=q,当q≠0时，p=1，当q=0时，p=0，然后计算p+q的值．【解答】解：根据根与系数的关系得，p+q=-p,pq=q,
解得p=1，q=-2或p=q=0，
所以p+q=-1或p+q=0．
故选：D．  3.若关于x的一元二次方程（k-5）x2-2x+2=0有实数根，则整数k的最大值为（　　）A.4           B.5     C.6    D.7 【答案】A【分析】根据二次项系数非零及根的判别式Δ≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围，再结合k为整数即可找出最大的k值．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k-5）x2-2x+2=0有实数根，
，
解得：k≤且k≠5．
∵k为整数，
∴k的最大值为4．
故选：A． 4.定义新运算a*b：对于任意实数a,b满足a*b=（a+b）（a-b）-1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如3*2=（3+2）（3-2）-1=5-1=4．若x*k=2x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况是（　　）B．有一个实数根               B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根        D．没有实数根  【答案】B【分析】已知等式利用题中的新定义化简，计算出根的判别式的值，判断即可．【解答】解：根据题中的新定义化简得：（x+k）（x-k）-1=2x,
整理得：x2-2x-1-k2=0，
∵Δ=4-4（-1-k2）=4k2+8＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B． 5.设x1，x2是方程x2-2003x+2005=0的两个实根，实数a,b满足：ax12003+bx22003=2003，ax12004+bx22004=2004，则ax12005+bx22005的值为（　　）A．2005         B．2003        C．-2005       D．-2003 【答案】D【分析】由根与系数关系，x1，x2是方程x2-2003x+2005=0的两个实根可得：x1+x2=2003，x1×x2=2005；
化简式子ax12005+bx22005的值为：（x1+x2）（ax12004+bx22004）-x1x2（ax12003+bx22003）；
将x1+x2=2003，x1×x2=2005，ax12003+bx22003=2003，ax12004+bx22004=2004代入即可得出结果．【解答】解：x1，x2是方程x2-2003x+2005=0的两个实根可得：x1+x2=2003，x1×x2=2005，
故ax12005+bx22005=（x1+x2）（ax12004+bx22004）-x1x2（ax12003+bx22003），
=2003×2004-2005×2003，
=-2003．
故选：D． 6.对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），下列说法：
①若a+b+c=0，则b2-4ac≥0；
②若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根；
③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则b2−4ac＝(2ax0+b)2
其中正确的（　　）A．只有①②          B．只有①②④     C．①②③④       D．只有①②③       【答案】B【分析】按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求根公式等对各选项分别讨论，可得答案．【解答】解：①若a+b+c=0，则x=1是方程ax2+bx+c=0的解，
由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知Δ=b2-4ac≥0，故①正确；
②∵方程ax2+c=0有两个不相等的实根，
∴Δ=0-4ac＞0，
∴-4ac＞0，
则方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac＞0，
∴方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根，故②正确；
③∵c是方程ax2+bx+c=0的一个根，
则ac2+bc+c=0，
∴c（ac+b+1）=0
若c=0，等式仍然成立，
但ac+b+1=0不一定成立，故③不正确；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，
则由求根公式可得：
x0=或x0=
∴2ax0+b=或2ax0+b=-
∴b2−4ac＝(2ax0+b)2
故④正确．
故选：B． 二．填空题 7.若a,b是方程2x2+4x-3=0的两根，则a2+ab+2b=    【解答】解：∵a,b是方程2x2+4x-3=0的两根，
∴a+b=-2，ab=-，
∴a-b=±=±=±=±
∴a2+ab+2b=a（a+b）+2b
=-2a+2b
=-2（a-b）
=±2，
故答案为：±2． 8.已知：m、n是方程x2+2x-1=0的两根，则（m2+3m+3）（n2+3n+3）=       ． 【解答】解：∵m、n是方程x2+2x-1=0的两根，
∴m+n=-2，mn=-1，m2+2m-1=0，n2+2n-1=0，
∴（m2+3m+3）（n2+3n+3）
=（m2+2m-1+m+4）（n2+2n-1+n+4）
=（m+4）（n+4）
=mn+4（m+n）+16
=-1+4×（-2）+16
=7，
故答案为：7． 9.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有      （填序号）
①方程x2-x-2=0是倍根方程；
②若（x-2）（mx+n）=0是倍根方程：则4m2+5mn+n2=0；
③若p,q满足pq=2，则关于x的方程px2+3x+q=0是倍根方程；
④若方程以ax2+bx+c=0是倍根方程，则必有2b2=9ac. 【解答】解：①解方程x2-x-2=0得，x1=2，x2=-1，得，x1≠2x2，
∴方程x2-x-2=0不是倍根方程；
故①不正确；
②若（x-2）（mx+n）=0是倍根方程，x1=2，
因此x2=1或x2=4，
当x2=1时，m+n=0，
当x2=4时，4m+n=0，
∴4m2+5mn+n2=（m+n）（4m+n）=0，
故②正确；
③∵pq=2，则：px2+3x+q=（px+1）（x+q）=0，
∴x1=-，x2=-q,
∴x2=-q=-=2x1，
因此是倍根方程，
故③正确；
④方程ax2+bx+c=0的根为：x1=，x2=，
若x1=2x2，则，=×2，
即，-×2=0，
∴=0，
∴b+3=0，
∴3=-b
∴9（b2-4ac）=b2，
∴2b2=9ac.
若2x1=x2时，则，×2=，
即，则，×2-=0，
∴=0，
∴-b+3=0，
∴b=3，
∴b2=9（b2-4ac），
∴2b2=9ac.
故④正确，
故答案为：②③④  三、解答题10.当m为何值时，一元二次方程2x2-（4m+1）x+2m2-1=0．
（1）有两个不相等的实数根？
（2）有两个相等的实数根？
（3）没有实数根？ 【分析】计算该方程的判别式，分别令Δ＞0、Δ=0和Δ＜0，即可求得相应m的取值范围．【解答】解：
∵2x2-（4m+1）x+2m2-1=0，
∴Δ=[-（4m+1）]2-4×2（2m2-1）=8m+9，
（1）当Δ＞0，即8m+9＞0时，方程有两个不相等的实数根，解得m＞-；
（2）当Δ=0，即8m+9=0时，方程有两个不相等的实数根，解得m=-；
（3）当Δ＜0，即8m+9＜0时，方程有两个不相等的实数根，解得m＜-．  11.已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a-c）=0，其中a,b,c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x=-1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 【分析】（1）把x=-1代入方程得a+c-2b+a-c=0，整理得a=b,从而可判断三角形的形状；
（2）根据判别式的意义得Δ=（2b）2-4（a+c）（a-c）=0，即b2+c2=a2，然后根据勾股定理可判断三角形的形状；
（3）利用等边三角形的性质得a=b=c,方程化为x2+x=0，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形；
理由：把x=-1代入方程得a+c-2b+a-c=0，则a=b,所以△ABC为等腰三角形；
（2）△ABC为直角三角形；
理由：根据题意得Δ=（2b）2-4（a+c）（a-c）=0，即b2+c2=a2，所以△ABC为直角三角形；
（3）∵△ABC为等边三角形，
∴a=b=c,
∴方程化为x2+x=0，解得x1=0，x2=-1． 12.已知关于x的方程x2-（k+2）x+2k=0．
（1）求证：k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长为4，另两边长m,n恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长． 【分析】（1）计算其判别式，得出判别式不为负数即可；
（2）当边长为4的边为腰时，则可知方程有一个根为4，代入可求得k的值，则可求得方程的另一根，可求得周长；当边长为4的边为底时，可知方程有两个相等的实数根，可求得k的值，再解方程即可．【解答】（1）证明：∵Δ=（k+2）2-8k=k2+4k+4-8k=（k-2）2≥0，
∴无论k取何值，方程总有实数根；
  （2）解：当边长为4的边为腰时，则可知方程有一个实数根为4，
∴16-4（k+2）+2k=0，解得k=4，
∴方程为x2-6x+8=0，解得x=4或x=2，
∴m、n的值分别为2、4，
∴△ABC的周长为10；
当边长为4的边为底时，则m=n,即方程有两个相等的实数根，
∴Δ=0，即（k-2）2=0，解得k=2，
∴方程为x2-4x+4=0，解得m=n=2，
此时2+2=4，不符合三角形的三边关系，舍去；
综上可知△ABC的周长为10．