初中数学人教版八年级上册13.3.2 等边三角形习题

这是一份初中数学人教版八年级上册13.3.2 等边三角形习题，共45页。试卷主要包含了千米等内容，欢迎下载使用。

13.3.2 等边三角形

1．（2022·浙江湖州·八年级期末）如图，是边长为2的等边三角形，是高上的一个动点，以为边向上作等边，在点从点到点的运动过程中，点所经过的路径长是（   ）

A．2 B． C． D．
2．（2022·浙江杭州·八年级期末）已知等边△ABC的边长为12，D是AB上的动点，过D作DE⊥BC于点E，过E作EF⊥AC于点F，过F作FG⊥AB于点G.当G与D重合时，AD的长是（    ）

A．9 B．8 C．4 D．3
3．（2022·浙江宁波·八年级期末）△DEF和△GHK均为等边三角形，将它们按如图1、图2的方式放置在等边三角形ABC内，若求图1、图2中的阴影部分面积的和，则只需知道（　　）

A．△BDE的面积 B．四边形BEFD的面积
C．△ABC面积 D．△DGH的面积
4．（2022·浙江舟山·八年级期末）如图，在等腰中，，，于点，点是延长线上一点，点在延长线上，，下面的结论：①；②是正三角形；③；④，其中正确的个数是（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2022·浙江绍兴·八年级期末）如图，M，A，N是直线l上的三点，，，P是直线l外一点，且，，若动点Q从点M出发，向点N移动，移动到点N停止，在APQ形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（    ）

A．直角三角形—等边三角形—直角三角形—等腰三角形
B．直角三角形—等腰三角形—直角三角形—等边三角形
C．等腰三角形—直角三角形—等腰三角形—直角三角形
D．等腰三角形—直角三角形—等边三角形—直角三角形
6．（2022·浙江台州·八年级期末）如图，玩具车从A点出发，向西走了a米，到达B点，然后顺时针旋转120°，前进b米，到达C点，再顺时针旋转120°，前进c米，到达D点，D点刚好在A点的正北方向，则a、b、c之间的关系为（    ）

A．a＋c＝b B．2a＝b＋c C．4c＝a＋b D．a＝b－c
7．（2022·浙江湖州·八年级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC．分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接AF．以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点G，连接AG．若△AFG的周长为9，则BC的长为（   ）

A．6 B． C．5 D．
8．（2022·浙江衢州·八年级期末）一辆汽车沿A地北偏东50°方向行驶5千米到达B地，再沿B地南偏东10°方向行驶5千米到达C地，则此时A、C两地相距（　　）千米
A．10 B．5 C．5 D．5
9．（2022·浙江·舟山市普陀第二中学八年级期末）如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD＝AE，AD与CE交于点F，作CM⊥AD，垂足为M，下列结论不正确的是（　　）

A．AD＝CE B．MF＝CF C．∠BEC＝∠CDA D．AM＝CM
10．（2022·浙江台州·八年级期末）如图，在中，，，平分，若，则点到的距离是（    ）

A．2 B．3 C．4.5 D．6
11．（2022·浙江舟山·八年级期末）如图，已知等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥BC，则∠EFD＝_____．

12．（2022·浙江嘉兴·八年级期末）如图，在等边三角形ABC中，BD是AC边上的中线，过点D作于点E，若，则CE的长为______．

13．（2022·浙江衢州·八年级期末）如图，△ABC是等边三角形．在AC，BC边上各取一点P，Q，使AP＝CQ，且∠ABP＝20°，AQ，BP相交于点O，则∠AQB＝_____．

14．（2022·浙江宁波·八年级期末）一艘轮船从海平面上A地出发，向北偏东50°的方向行驶60海里到达B地，再由B地向南偏东10°的方向行驶60海里到达C地，则A，C两地相距 ___海里．
15．（2022·浙江丽水·八年级期末）如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为30°的斜坡，从A滑行至B，已知，则这名滑雪运动员的高度下降了_______米．

16．（2022·浙江宁波·八年级期末）如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸水上乐园B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝1km．据此，可求得学校与水上乐园之间的距离AB等于 _____km．

17．（2022·浙江湖州·八年级期末）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝30°，AG是底边BC上的高．在AG的延长线上有一个动点D，连接CD，作∠CDE＝150°，交AB的延长线于点E，∠CDE的角平分线交AB边于点F，则在点D运动的过程中，线段EF的最小值为______．

18．（2022·浙江衢州·八年级期末）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE，则△ABD≌△ACE．

(1)请证明图1的结论成立；
(2)如图2，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，求∠BOC的度数；
(3)如图3，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，试探究∠A与∠C的数量关系．
19．（2022·浙江杭州·八年级期末）（1）如图①，在中，D为外一点，若AC平分，于点E，，求证：；
琮琮同学：我的思路是在AB上取一点F，使得，连结CF，先证明≌得到
，再证明，从而得出结论；
宸宸同学：我觉得也可以过点C作边AD的高线CG，由角平分线的性质得出，再证明≌，从而得出结论．请根据两位同学的思路选择一种写出证明过程．

（2）如图②，D、E、F分别是等边的边BC、AB，AC上的点，AD平分，且．
求证：．
20．（2022·浙江台州·八年级期末）如图1，在等边中，点是边上的一点，连接，以为边作等边，连接．

(1)求证：．
(2)如图2，过，，三点分别作于点，于点，于点．求证：．
(3)如图3，，垂足为点，若将点改为线段上的一个动点，连接，以为边作等边，连接．当时，直接写出的最小值．
21．（2022·浙江宁波·八年级期末）如图，等边△ABC的边AC，BC上各有一点E，D，AE=CD，AD，BE相交于点O．

（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）若∠OBD=45°，求∠ADC的度数．
22．（2022·浙江·金华市第五中学八年级期末）已知，如图，延长的各边，使得，，顺次连接，得到为等边三角形．
求证：（1）；
（2）为等边三角形．

23．（2022·浙江台州·八年级期末）如图1，已知AB＝AC，D是AC上一个动点，E、C位于BD两侧，BD＝BE，∠BAC＝∠DBE；

(1)当∠BAC＝60°时，如图2，连接AE，求证：AE＝CD；
(2)当∠BAC＝45°时，
①若DE⊥AB，则∠CDB＝ 度；
②如图4，连接AE．当∠CDB＝ 度时，AE最小；
(3)当∠BAC＝90°时，如图5，连接CE交AB于点M，求的值．
24．（2022·浙江·舟山市普陀第二中学八年级期末）如图，已知是等边三角形，为边的中点，，连结，，且．

（1）求证：．
（2）请判断是什么三角形，并说明理由．
25．（2022·浙江舟山·八年级期末）如图，△ABC中，AB=BC=AC=12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边顺时针运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．

（1）点M、N运动几秒后，M、N两点重合？
（2）点M、N运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间；
（3）点M、N运动几秒后，可得到直角三角形△AMN？
26．（2022·浙江绍兴·八年级期末）如图，，ABE是等边三角形，点D是射线BC上的任意一点（不与点B重合），连结AD，以DA为边在DA边的右侧作等边三角形ADF，连结FE并延长交BC于点G．探究下列问题：

(1)∠EBC＝______°．
(2)当A，E，D三点在同一直线上时，求∠EGD的度数．
(3)当A，E，D三点不在同一直线上且点D，G不重合时，求∠EGD的度数．
27．（2022·浙江湖州·八年级期末）数学课上，老师在黑板上展示了如下一道探究题：
在中，，，点D，E分别在边AC，AB上，且，试探究线段AE和线段AD的数量关系．

(1)初步尝试
如图①，若，请探究AE和AD的数量关系，并说明理由．
(2)类比探究
如图②，若，小组讨论后，有小组利用120°的角作垂线构造直角三角形，通过证明两次三角形全等，得到AE和AD的数量关系仍然成立，请你写出推理过程；
(3)延伸拓展
如图③，将第（2）中的“点E在边AB上”改为“点E在边BA的延长线上”，其它条件不变，请探究AE和AD的数量关系（用含m的式子表示），并说明理由．
28．（2022·浙江台州·八年级期末）如图1，已知，定点在射线上，动点在射线上，作凸四边形，使，且．

(1)如图1，当为锐角时．
①若，试用含的式子表示；
②过点作于点，求证：．
(2)如图2，当点运动到时，连接交于点，试用等式表示线段，，之间的数量关系，并说明理由；
(3)若点关于直线的对称点为点，连接，，当为等腰直角三角形时，请直接写出的值．
29．（2022·浙江台州·八年级期末）2021年世界机器人大会9月份在北京举行，我国机器人产业迎来升级换代、跨越发展的窗口期．某校机器人兴趣小组开发了一种水陆两栖探测型机器人，它可以准确勘测到目标物相对于自身的方位．某日在如图所示场地训练时，机器人从地出发，全程沿着正北方向移动，以一定的陆行速度移动到河岸线上的地后切换到水栖模式下水，在正北方向的地上岸后，移动速度比原来的陆行速度降低了，到地后停下．下表是机器人训练过程中记录的部分信息（目标物固定在河岸线上，）．

机器人所处位置




时间
13：00
13：40
数据丢失
14：40
目标物相对于当前位置的方位角
北偏东
北偏东
正东
南偏东
(1)探究线段与之间的数量关系，并证明你的结论．
(2)试求本次训练过程中机器人在水栖模式下过河（段）所用的时间．

参考答案：
1．D
【解析】取的中点，连接，证明，进而得到，再计算出即可求出点所经过的路径长．
解：如图，取的中点，连接，
，
，，
，
和是等边三角形，
，，
，
，
，
，，
，
又点在处时，，
点在处时，点与点重合，
点所经过的路径的长为从C点运动到点运动的路径长．
故选：．


本题考查了等边三角形的性质及三角形全等的判定方法，本题的关键是求出点N的运动轨迹的路径长等于线段DM的长．
2．C
【解析】设BD=x，根据等边三角形的性质得到∠A=∠B=∠C=60，由垂直的定义得到∠BDF=∠DEA=∠EFC=90，解直角三角形即可得到结论.
设AD=x，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60，
∵DE⊥BC于点E，EF⊥AC于点F，FG⊥AB于点G，
∴∠BDF=∠DEB=∠EFC=90，
∴AF=2x，
∴CF=12-2x，
∴CE=2CF=24-4x，
∴BE=12-CE=4x-12，
∴BD=2BE=8x-24，
∵AD+BD=AB，
∴8x-24+x=12，
∴x=4，
∴AD=4.
故选：C.
此题考查等边三角形的性质，含30角的直角三角形的性质，此题中设AD=x是关键的步骤，由此可以将BD用含x的代数式表示后得到关于AB长度的方程，求得x的值.
3．A
【解析】证明△ADF≌△BED，得到S△ADF=S△BED，同理得到S△ADF=S△BDE=S△CEF，再根据两图中△GHK的面积相等，得到S四边形ACEF=S△ADF+S△BDE+S△CEF，从而只需知道△BDE的面积即可．
解：∵△ABC，△DEF是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠EDF=60°，DE=DF，
∴∠ADF+∠BDE=120°，∠BDE+∠BED=120°，
∴∠ADF=∠BED，
在△ADF和△BED中，
，
∴△ADF≌△BED（AAS），
∴S△ADF=S△BED，
同理可得：S△ADF=S△BDE=S△CEF，
∵图1和图2中，△GHK的面积相等，
∴阴影部分面积之和为四边形ACEF的面积，
∴S四边形ACEF=S△ADF+S△BDE+S△CEF，
∴只需要知道△BDE的面积即可，
故选A．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
4．C
【解析】由题意易得OB=OC，则有∠OBD=∠OCD，∠APO=∠OCP，进而根据角的关系可证①，然后可得∠PBO=∠PBA+∠APO，由三角形内角和可得∠OPB=60°，可判断②，在AB上找一点E，使AE=AP，连接PE，延长AO，在AO的延长线上找一点F，使AF=AB，连接BF，由此可得AP=PE=AE，∠APE=60°，进而可证△BPE≌△OPA，然后根据全等三角形的性质可判断③，最后根据等积法及三角形全等的性质与判定可判断④．
解：∵，，，
∴BD=DC，∠ACB=∠ABC=30°，
∴OB=OC，
∴∠OBD=∠OCD，
∵OB=OP，
∴OC=OP，
∴∠APO=∠OCP，
∵∠OCP-∠OCB=∠ACB=30°，
∴，故①正确；
∵OP=OB，
∴∠OPB=∠PBO，
∵∠PBO=∠PBA+∠ABD+∠OBC=∠PBA+30°+∠APO-30°，
∴∠PBO=∠PBA+∠APO，
∵在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，即∠OPB+∠APO+∠PBA+∠ABC+∠ACB=180°，
∴2∠OPB+60°=180°，
∴∠OPB=60°，
∴△BPO是正三角形，故②正确；
在AB上找一点E，使AE=AP，连接PE，如图所示：

∵∠PAE=60°，
∴△PAE是等边三角形，
∴AP=PE=AE，∠APE=60°，
∵∠BPE=∠APB-∠APE，∠OPA=∠APB-∠BPO，
∴∠BPE=∠OPA，
∵OP=BP，
∴△BPE≌△OPA（SAS），
∴BE=AO，
∵AB-BE=AE，
∴AB-OA=AP，
∴，故③正确；
延长AO，在AO的延长线上找一点F，使AF=AB，连接BF，
∴△ABF是等边三角形，
∴∠ABF=60°，
∵∠ABO+∠OBF=60°，∠ABO+∠PBA=60°，
∴∠PBA=∠OBF，
∵PB=OB，AB=BF，
∴△APB≌△FOB（SAS），
∴，
如要证，需证，由题意无法证明，故④错误；
所以正确的个数有3个；
故选：C．
本题主要考查全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定及线段垂直平分线的性质定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定及线段垂直平分线的性质定理是解题的关键．
5．D
【解析】根据题意，作出图形，根据等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质，进行判断即可
如图，


时，等腰三角形
,
当在的右侧时，，此时直角三角形
当时，此时等边三角形
当时，此时直角三角形
当动点Q从点M出发，向点N移动，依次出现的特殊三角形是等腰三角形—直角三角形—等边三角形—直角三角形．
故选D
本题考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质，根据题意作出图形是解题的关键．
6．B
【解析】连接AD，延长CD，BA交于E点，则AD⊥AB，可证明△BCE为等边三角形可得BE=CE=AC=b，即可求得∠ADE=30°，利用含30°角的直角三角形的性质可得DE=2AE，进而可得2（b-a）+c=b，化简即可求解．
解：连接AD，延长CD，BA交于E点，则AD⊥AB，

由题意得：∠ABC=∠BCD=180°-120°=60°，
∴∠BEC=∠ABC=∠BCD=60°，
∴△BCE为等边三角形，
∴BE=CE=BC=b，
∵AD⊥AB，
∴∠EAD=90°，
∴∠ADE=90°-∠E=30°，
∴DE=2AE，
∵CD=c，AB=a，
∴2（b-a）+c=b，即2a=b+c．
故选：B
本题主要考查等边三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，构造等边三角形是解题的关键．
7．D
【解析】由作图过程可得AF＝AG，ED是AB的垂直平分线，然后证明△AFG是等边三角形，进而可以解决问题．
由作图过程可知：AF＝AG，ED是AB的垂直平分线，
∴AF＝BF，
∴AF＝FG＝AG，
∴△AFG是等边三角形，
∵∠ACB＝90°，
∴FC＝GC＝FG，
∵△AFG的周长为9，
∴FG＝3，
∴FC＝FG＝，
∴BC＝BF＋FC＝3＋＝．
故选：D．
本题考查了作图−基本作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法．
8．D
【解析】根据平行线的性质得到∠ABE=∠FAB=50°，求得∠ABC=60°，推出△ABC是等边三角形，于是得到AC=AB=5千米．
解：如图，

∵∠FAB=50°，AF∥BE，
∴∠ABE=∠FAB=50°，
∵∠CBE=10°，
∴∠ABC=60°，
∵AB=BC=5千米，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=5千米，
故选：D．
本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，等边三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键．
9．D
【解析】由等边三角形的性质和已知条件证出△AEC≌△BDA，即可得出A正确；
由全等三角形的性质得出∠BAD＝∠ACE，求出∠CFM＝∠AFE＝60°，得出∠FCM＝30°，即可得出B正确；由等边三角形的性质和三角形的外角性质得出C正确；D不正确．
A正确；理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠B＝60°，AB＝AC
又∵AE＝BD
在△AEC与△BDA中，
，
∴△AEC≌△BDA（SAS），
∴AD＝CE；
B正确；理由如下：
∵△AEC≌△BDA，
∴∠BAD＝∠ACE，
∴∠AFE＝∠ACE+∠CAD＝∠BAD+∠CAD＝∠BAC＝60°，
∴∠CFM＝∠AFE＝60°，
∵CM⊥AD，
∴在Rt△CFM中，∠FCM＝30°，
∴MF＝CF；
C正确；理由如下：
∵∠BEC＝∠BAD+∠AFE，∠AFE＝60°，
∴∠BEC＝∠BAD+∠AFE＝∠BAD+60°，
∵∠CDA＝∠BAD+∠CBA＝∠BAD+60°，
∴∠BEC＝∠CDA；
D不正确；理由如下：
要使AM＝CM，则必须使∠DAC＝45°，由已知条件知∠DAC的度数为大于0°小于60°均可，
∴AM＝CM不成立；
故选D．
本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质；熟练掌握等边三角形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．
10．B
【解析】根据直角三角形的性质，可得∠BAC的度数，BD=2ED，根据角平分线的性质，可得∠DAE的度数，再根据30°角的直角三角形的性质及等腰三角形的性质，可求得答案．

如图，作于点E

，
，，
平分
，




故选：B．
本题考查了含30°角的直角三角形，利用了直角三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
11．45°
【解析】由翻折的性质可知∠AFE＝∠EFD，求出∠FDB的度数，由三角形内角和可得∠BFD的度数，即可求解．
解：由翻折的性质可知；∠AFE＝∠EFD．
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝60°，∠C＝60°，∠A＝∠EDF＝60°．
∵ED⊥BC，
∴∠EDC=90°，
∴∠FDB＝30°，
∴∠BFD＝90°，
∴∠AFE+∠EFD＝60°+30°＝90°，
∴∠EFD＝45°．
故答案为：45°
本题考查翻折的性质，关键是根据等边三角形的性质和翻折的性质解答．
12．##0.5
【解析】根据等边三角形的性质可知，，，在中，根据含直角三角形的性质，求解即可．
解：在等边三角形ABC中，，
∵BD是AC边上的中线，∴，
∵，
∴，
在中，，，
∴，∴，
故答案为：
此题考查了等边三角形的性质，含直角三角形的性质，解题的关键是灵活运用相关性质进行求解．
13．##度
【解析】先证明 再利用全等三角形的性质可得 再利用三角形的外角的性质可得结论.
解： △ABC是等边三角形，





故答案为：
本题考查的是三角形的外角的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，证明是解本题的关键.
14．
【解析】根据题意画出图形，可判断为等边三角形，答案可得．
解：由题意可得，
∴为等边三角形，
∴海里，
故答案为：．

本题考查了等边三角形判定与性质，根据题意画出图形是解题的关键．
15．50
【解析】过点A作AD⊥BD于点D，根据直角三角形的性质，即可求解．
解：如图，过点A作AD⊥BD于点D，

根据题意得：∠B=30°，
∵AD⊥BD，，
∴米，
即这名滑雪运动员的高度下降了50米．
故答案为：50．
本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
16．2
【解析】直接利用直角三角形的性质得出∠B度数，进而利用直角三角形中30°所对直角边是斜边的一半，即可得出答案．
解：∵∠A=60°，∠C=90°，AC=1km，
∴∠B=30°，
∴AB=2AC=2（km）．
故答案为：2．
此题主要考查了直角三角形的性质，正确掌握边角关系是解题关键．
17．2
【解析】作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，证明△MDE≌△NDC（ASA），推出DE=DC，再证明△EDF≌△CDF(SAS)，推出EF=CF，得到当CF上AB时CF有最小值，即EF有最小值，由∠BAC=30°，AC=4，求出CF．
解：作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，

∵AB=AC， AG⊥BC，
∴AG平分∠BAC即AD平分∠BAC，
∵DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM=DN，
∵∠BAC=30°，∠AMD=∠AND=90°，
∴∠MDN=I50° ，
∵∠CDE=150°，
∴∠MDE=150°-∠CDM =∠NDC，
∴△MDE≌△NDC（ASA），
∴DE=DC，
∵DF平分∠CDE，
∴∠EDF=∠CDF，
连接CF，
∵DF=DF，
∴△EDF≌△CDF(SAS)，
∴EF=CF，
∴当CF上AB时CF有最小值，即EF有最小值，
此时，∵∠BAC=30°，AC=4，
∴，
故答案为：2．
此题考查了全等三角形的判定即性质，等腰三角形的三线合一的性质，直角三角形30度角的性质，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
18．(1)见解析
(2)60°
(3)∠A+∠BCD=180°，理由见解析

【解析】（1）利用等式的性质得出∠BAD=∠CAE，即可得出结论；
（2）同（1）的方法判断出△ABD≌△ACE，得出∠ADB=∠AEC，再利用对顶角和三角形的内角和定理判断出∠BOC=60°，即可得出答案；
（3）先判断出△BDP是等边三角形，得出BD=BP，∠DBP=60°，进而判断出△ABD≌△CBP（SAS），即可得出结论．
（1）
解：证明：∵∠BAC=∠DAE，

∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，

∴∠BAD=∠CAE，

在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）
如图2，

∵△ABC和△ADE是等边三角形，

∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，

∴∠BAD=∠CAE，

在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠ADB=∠AEC，

令AD与CE交于点G，

∵∠AGE=∠DGO，

∴180°-∠ADB-∠DGO=180°-∠AEC-∠AGE，

∴∠DOE=∠DAE=60°，

∴∠BOC=60°；
（3）
∠A+∠BCD=180°．理由：

如图3，延长DC至P，使DP=DB，


∵∠BDC=60°，

∴△BDP是等边三角形，

∴BD=BP，∠DBP=60°，

∵∠ABC=60°=∠DBP，

∴∠ABD=∠CBP，

∵AB=CB，

∴△ABD≌△CBP（SAS），

∴∠BCP=∠A，

∵∠BCD+∠BCP=180°，

∴∠A+∠BCD=180°．
此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，构造等边三角形是解本题的关键．
19．（1）见解析；（2）见解析
【解析】（1）琮琮同学：在AB上取一点F，使得AD=AF，连结CF，先证明△ADC≌△AFC得到DC=FC，再证明CB=CF，从而得出结论；
宸宸同学：过点C作边AD的高线CG，由角平分线的性质得出CG=CE，再证明△GDC≌△EBC，从而得出结论；
（2）在DE上截取DH=DF，连接AH，由“SAS”可证△ADF≌△ADH，可得AH=AF，∠AFD=∠AHD，由等腰三角形的性质可得AE=AH=AF，可得结论．
解：证明：琮琮同学：如图①a，在AB上取点F，使AF=AD，连接CF，

∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠FAC，
在△ADC和△AFC中，
，
∴△ADC≌△AFC（SAS），
∴DC=FC，∠CDA=∠CFA，
又∵∠B+∠ADC=180°，∠CFE+∠AFC=180°，
∴∠B=∠CFE，
∴CB=CF，
又∵DC=FC，
∴CB=DC．
宸宸同学：如图①b，过点CG⊥AD交AD的延长线于G．

∵AC平分∠DAB，CG⊥AG，CE⊥AB，
∴CG=CE，
∵∠B+∠ADC=180°，∠CDG+∠ADC=180°，
∴∠CDG=∠B，
在△CGD和△CEB中，
，
∴△CGD≌△CEB（AAS），
∴CB=CD；
（2）如图②，在DE上截取DH=DF，连接AH，

∵AD平分∠EDF，
∴∠EDA=∠HDA，
在△ADF和△ADH中，
，
∴△ADF≌△ADH（SAS），
∴AH=AF，∠AFD=∠AHD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∴∠BAC+∠EDF=180°，
∴∠AED+∠AFD=180°，
又∵∠AHD+∠AHE=180°，
∴∠AHE=∠AEH，
∴AE=AH，
∴AE=AF，
∴AB-AE=AC-AF，
∴BE=CF．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
20．(1)见解析
(2)见解析
(3)

【解析】（1）根据SAS证明三角形全等即可；
（2）利用面积法证明即可；
（3）连接EC．由△ABD≌△CBE，推出∠BAD＝∠BCE＝30°，推出点E在射线CE上运动（∠BCE＝30°），利用垂线段最短解决问题即可．
（1）
∵△ABC，△BDE都是等边三角形，
∴BA＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝60°，
∴∠ABC-∠DBC=∠DBE-∠DBC，
即∠ABD＝∠CBE，
在△ABD和△CBE中，
∴△ABD≌△CBE（SAS）；
（2）
∵△ABD≌△CBE，
∴，
∵，
∵AF⊥BC，DM⊥BC，EN⊥BC，
∴BC•AF＝BC•DM＋BC•EN，
∴AF＝DM＋EN；
（3）
连接EC，如图所示：

∵△ABD≌△CBE，
∴∠BAD＝∠BCE，
∵△ABC是等边三角形，AF⊥BC，
∴∠BAF＝∠CAF＝30°，BF＝CF＝BC＝AB＝，
∴∠BCE＝∠BAF＝30°，
∴点E在射线CE上运动（∠BCE＝30°），
∴当EF⊥EC时，EF的值最小，此时EF＝CF＝，
即EF的最小值为．
本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
21．（1）见解析；（2）∠ADC=105°
【解析】（1）根据等边三角形的性质可得AB=AC，∠BAE=∠C=60 °，再根据SAS即可证得结论；
（2）根据全等三角形的性质可得∠ABE=∠CAD，然后根据三角形的外角性质和角的和差即可求出∠BOD的度数，再根据三角形的外角性质即可求出答案．
（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAE=∠C=60 °，
在△ABE与△CAD中，
∵AB=AC，∠BAE=∠C，AE=CD，
∴△ABE≌△CAD（SAS）；
（2）解：∵△ABE≌△CAD，
∴∠ABE=∠CAD，
∴∠BOD=∠ABO+∠BAO=∠CAD +∠BAO=∠BAC=60°，
∴∠ADC=∠OBD+∠BOD=45°+60°=105°．
本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及三角形的外角性质等知识，属于常考题目，熟练掌握上述知识是解答的关键．
22．（１）见解析；（２）见解析．
【解析】（1）关键是证出CE=AF，可由AE=AB，AC=BF，两两相加可得．再结合已知条件可证出△AEF≌△CDE．
（2）有（1）中的全等关系，可得出∠AFE=∠CED，再结合△DEF是等边三角形，可知∠DEF=60°，从而得出∠BAC=60°，同理可得∠ACB=60°，那么∠ABC=60°．因而△ABC是等边三角形．
证明：（1）∵BF=AC，AB=AE（已知）
∴FA=EC（等量加等量和相等）．
∵△DEF是等边三角形（已知），
∴EF=DE（等边三角形的性质）．
又∵AE=CD（已知），
∴△AEF≌△CDE（SSS）．
（2）由△AEF≌△CDE，得∠FEA=∠EDC（对应角相等），
∵∠BCA=∠EDC+∠DEC=∠FEA+∠DEC=∠DEF（等量代换），
△DEF是等边三角形（已知），
∴∠DEF=60°（等边三角形的性质），
∴∠BCA=60°（等量代换），
由△AEF≌△CDE，得∠EFA=∠DEC，
∵∠DEC+∠FEC=60°，
∴∠EFA+∠FEC=60°，
又∠BAC是△AEF的外角，
∴∠BAC=∠EFA+∠FEC=60°，
∴△ABC中，AB=BC（等角对等边）．
∴△ABC是等边三角形（等边三角形的判定）．
23．(1)证明见解析
(2)①67.5；②90
(3)2

【解析】（1）连接AE，可知△ABC，△BDE是等边三角形，再利用SAS证明△BCD≌△BAE，得AE=CD；
（2）①利用等腰三角形两底角相等知∠BDE=67.5°，再根据平角的定义可得答案；
②作BH⊥AC于H，EC⊥AB于G，利用AAS证明△BDH≌△BEG，得∠BHD=∠BGE=90°，可知E在EG上运动，当E与G重合时，AE最小，此时∠BDC=∠BHC=90°；
（3）作EQ⊥AB于Q，利用AAS证明△ADB≌△QBE，得AD=BQ，则CD=AQ，再利用AAS证明△AMC≌△QME，得AM=MQ，从而解决问题．
（1）
证明：连接AE，

∵∠BAC=∠DBE=60°，BD=BE，AB=AC，
∴△ABC，△BDE是等边三角形，
∴∠ABC=∠DBE，
∴∠CBD=∠ABE，
在△BCD和△BAE中，

∴△BCD≌△BAE（SAS），
∴AE=CD；
（2）
解：①当∠BAC=∠DBE=45°时，
∵BD=BE，
∴∠BDE=(180°-45°)÷2=67.5°，
∵DE⊥AB，
∴∠ADE=∠A=45°，
∴∠CDB=67.5°，
故答案为：67.5；
②作BH⊥AC于H，EG⊥AB于G，

∵∠A=45°，
∴∠ABH=∠DBE=45°，
∴∠DBH=∠EBG，
∵∠BHD=∠BGE，BD=BE，
∴△BDH≌△BEG（AAS），
∴∠BHD=∠BGE=90°，
∴点E在EG上运动，
当点E与G重合时，AE最小，此时∠BDC=∠BHC=90°，
故答案为：90；
（3）
作EQ⊥AB于Q，

∵∠QEB+∠QBE=90°，∠QBE+∠ABD=90°，
∴∠BEQ=∠ABD，
∵BD=BE，∠DAC=∠BQE，
∴△ADB≌△QBE(AAS)，
∴AD=BQ，
∴ CD=AQ，
∵∠CAB=∠AQE，∠AMC=∠EMQ，
∴△AMC≌△QME(AAS)，
∴AM=MQ，
∴．
本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，巧作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
24．（1）见解析；（2）是等边三角形，见解析
【解析】（1）易证∠ABE=∠BCD，BC=AB，即可证明△BDC≌△BEA，即可解题；
（2）根据（1）中结论可得AE=BD，根据为边的中点可得DB=AD，即可解题．
解：（1）∵是等边三角形
∴
又∵为中点
∴
又∵
∴
又∵
∴
（2）是等边三角形，理由如下：
∵
∴,
又∵为边的中点，
∴=AB，
∴
∴是等边三角形．

本题考查等边三角形的性质和判定、直角三角形全等的判定和性质．根据等边三角形性质找到相等线段和60°的角是解题的关键．
25．（1）当M、N运动6秒时，M、N两点重合；（2）t的值为4或16；（3）当t=3或或15或18时，可得到直角三角形△AMN．
【解析】（1）首先设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，表示出M，N的运动路程，N的运动路程比M的运动路程多6cm，列出方程求解即可；
（2）分两种情形：当M，N在BC上，假设△AMN是等腰三角形，可证出△ACM≌△ABN，可得CM=BN，设出运动时间，表示出CM，NB，NM的长，列出方程，可解出未知数的值，当M、N分别在AC、AB上时，也存在AM=AN；
（3）分点N在AB，AC，BC上运动的三种情况，再分别就∠AMN=90°和∠ANM=90°列方程求解可得．
解：（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，
x+12=2x，
解得：x=12，
即当M、N运动6秒时，点N追上点M，即M、N两点重合；
（2）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，
由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处，
如图2，假设△AMN是等腰三角形，

∴AN=AM，
∴∠AMN=∠ANM，
∴∠AMC=∠ANB，
∵AB=BC=AC，
∴△ACB是等边三角形，
∴∠C=∠B，
在△ACM和△ABN中，
∵∠AMC=∠ANB，∠C=∠B，AC=AB，
∴△ACM≌△ABN（AAS），
∴CM=BN，
∴t-12=36-2t，
解得t=16，符合题意，
所以假设成立，当M、N运动16秒时，能得到以MN为底的等腰三角形；
当M、N分别在AC、AB上时，可得AM=AN，
即t=12-2t，
t=4，
综上所述，满足条件的t的值为4或16；
（3）当点N在AB上运动时，如图3，

若∠AMN=90°，∵BN=2t，AM=t，
∴AN=12-2t，
∵∠A=60°，则∠ANM=30°，
∴2AM=AN，即2t=12-2t，
解得t=3；
如图4，若∠ANM=90°，

同理得2AN=AM得2（12-2t）=t，
解得t=；
当点N在AC上运动时，点M也在AC上，此时A，M，N不能构成三角形；
当点N在BC上运动时，
如图5，

当点N位于BC中点处时，由△ABC时等边三角形知AN⊥BC，即△AMN是直角三角形，
则2t=12+12+6，
解得t=15；
如图6，

当点M位于BC中点处时，由△ABC时等边三角形知AM⊥BC，即△AMN是直角三角形，
则t=12+6=18，
当t=18时，点N运动了，此时点N与点B重合，符合题意；
综上，当t=3或或15或18时，可得到直角三角形△AMN．
本题是三角形的综合问题，主要考查了等边三角形的性质及判定和直角三角形的定义与性质，关键是根据题意设出未知数，理清线段之间的数量关系．
26．(1)
(2)
(3)当时，∠EGD＝60°；当时，∠EGD＝120°

【解析】（1）直接利用即可；
（2）根据△ABE是等边三角形，得出AB＝AE，∠BAE＝∠ABE＝60°，又根据∠ABC＝90°，得出∠ADB＝∠EBD＝30°．BE＝ED．证明出AE＝ED．根据△ADF是等边三角形，得出∠GED＝90°，根据即可；
（3）当时，如图2或如图3．根据△ABE，△ADF是等边三角形，得出AB＝AE，AD＝AF，∠BAE＝∠AEB＝∠ABE＝∠DAF＝60°．又根据∠ABC＝90°，得出∠EBG＝30°．证明出．得出∠AEF＝∠ABC＝90°，得出即可得到；当时，如图4．同理可得∠EGD＝120°．
(1)
解：，
为等边三角形，
，
，
故答案为：；
(2)
解：法一：如图1，∵△ABE是等边三角形，

∴AB＝AE，∠BAE＝∠ABE＝60°，
又∵∠ABC＝90°，
∴∠ADB＝∠EBD＝30°．
∴BE＝ED．∴AE＝ED．
又∵△ADF是等边三角形，
∴FG⊥AD．
∴∠GED＝90°，
∴．
法二：如图1，∵△ABE，△ADF是等边三角形，
∴AB＝AE，AD＝AF，∠AEB＝∠ABE＝∠BAD＝∠EAF＝60°．
∴．
又∵∠ABC＝90°，
∴∠AEF＝∠ABC＝90°．
∴∠EBG＝30°．
∴，
∴．
(3)
解：当时，如图2或如图3．

∵△ABE，△ADF是等边三角形，
∴AB＝AE，AD＝AF，∠BAE＝∠AEB＝∠ABE＝∠DAF＝60°．
又∵∠ABC＝90°，
∴∠EBG＝30°．
∵，
，
∴∠BAD＝∠EAF．
∴．
∴∠AEF＝∠ABC＝90°，
∴，
∴．

当时，如图4．
同理可得∠EGD＝120°．

综上所述，当时，∠EGD＝60°；
当时，∠EGD＝120°．
本题考查了等边三角形新的性质、三角形内角和定理、三角形全等的判定及性质，解题的关键是掌握三角形全等的判定性质，及利用分类讨论的思想进行求解．
27．(1)，理由见解析
(2)见解析
(3)，理由见解析

【解析】（1）证明Rt△ABD≌Rt△ACE（HL），可得结论．
（2）过点C作CM⊥BA交BA的延长线于M，过点B作BN⊥CA交CA的延长线于N．证△CAM≌△BAN（AAS），得CM＝BN，AM＝AN，再证Rt△CME≌Rt△BND（HL），得EM＝DN，可得结论．
（3）在AB上取一点E′，使得BD＝CE′，则AD＝AE′．过点C作CT⊥AE于T．证明TE＝TE′，再由含30°角的直角三角形的性质得AT＝m，可得结论．
（1）
∵，
又∵，，
∴，
∴．

（2）
如图（1）中，过点C作交BA的延长线于M，过点N作交CA的延长线于N．
∵，，，
∴，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴．

（3）
如图（2）中，结论：．
理由：在上取一点，使得，则．
过点C作于T．
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∵，
∴．

本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、含30°角的直角三角形的性质等知识，本题综合性强，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
28．(1)①∠CPA＝；②见解析
(2)AB﹣PC＝2PK，理由见解析
(3)或

【解析】（1）①利用三角形内角和定理以及角的和差定义解决问题即可；
②如图1中，过点P作PT⊥AB于点T，证明△CPH≌△PBT（AAS），推出CH＝PT，可得结论；
（2）结论：AB﹣PC＝2PK．如图，过点K作KJ⊥AP交AB于点J．证明△BKP≌△BKJ（ASA），推出PK＝JK，PB＝BJ，可得结论；
（3）分两种情形：①当点C在点D的左侧时，首先证明CP∥AB，由（2）可知，PA＝PB＝PC＝PD，过点C作CH⊥PA于点H，则CHPCPA，利用三角形面积公式，可得结论．②当点C在点D的右侧时，同法可得．
（1）
①解：如图1中，

∵∠APB＝180°﹣∠PAB﹣∠ABP＝180°﹣30°﹣α＝150°﹣α，
∵∠CPB＝150°，
∴∠CPA＝∠CPB﹣∠APB＝150°﹣（150°﹣α）＝α；
②证明：如图1中，过点P作PT⊥AB于点T，
∵CH⊥AP，
∴∠CHP＝∠PTB＝90°，
∵∠CPA＝α，∠ABP＝α，
∴∠CPH＝∠PBT，
∴PC＝PB，
∴△CPH≌△PBT（AAS），
∴CH＝PT，
∵∠ATP＝90°，∠PAT＝30°，
∴PA＝2PT，
∴CH＝PTPA；
（2）
解：结论：AB﹣PC＝2PK．
理由：如图，过点K作KJ⊥AP交AB于点J．

∵PC∥AB，
∴∠APC＝∠PAB＝30°，
∵PC＝PB，∠CPB＝150°，
∴∠PCB＝∠PBC＝15°，
∴∠PCB＝∠ABC＝15°，
∴∠KBP＝∠KBJ，
∵∠PKB＝∠KPC+∠PCK＝30°+15°＝45°，∠PKJ＝90°，
∴∠BKP＝∠BKJ＝45°，
∵BK＝BK，
∴△BKP≌△BKJ（ASA），
∴PK＝JK，PB＝BJ，
∵∠AKJ＝90°，∠KAJ＝30°，
∴AJ＝2KJ＝2PA，
∴AB＝PC＝AB﹣PB＝AB﹣BJ＝AJ＝2PK．
（3）
解：①如图3中，当点C在点D的左侧时，

∵△PCD是等腰直角三角形，
∴∠CPD＝90°，
∵∠CPB＝150°，
∴∠CPD+∠CPB＝240°，
由翻折的性质可知，∠DPE＝∠BPE＝60°，
∴∠CPA＝30°＝∠PAB，
∴CP∥AB，
由（2）可知，PA＝PB＝PC＝PD，
过点C作CH⊥PA于点H，则CHPCPA，
∴．
②如图4中，当点C在点D的右侧时，

由∠DPC＝90°，∠BPC＝150°，得到∠BPD＝60°，
∵B，D关于AP对称，
∴PD＝PB，
∴△PDB是等边三角形，
∴∠APB＝∠APD＝30°，
∵∠PAB＝30°，
∴DPA＝∠PAB＝∠APB，
∴PD∥AF，AB＝PB，
延长CP交AF于点H．则∠BPH＝30°，∠PHB＝90°，
设BH＝a，则AB＝PB＝DP＝PC＝2a，
∴AH＝3a，
∴，
综上所述，或．
本题属于四边形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
29．(1)AB＝2CD，证明见解析；
(2)35分钟．

【解析】（1）易求得CD＝CP，AB＝BP，利用含30°角的直角三角形的性质可得答案；
（2）设原来的陆行速度为x，CD段使用的时间为t，则A到B所用的时间为40分，AB的距离为40x，CD的距离为80%x·t，根据（1）中的结论可得方程，从而得出答案．
（1）
解：AB＝2CD，
证明：∵机器人全程沿着正北方向移动，a∥b，
∴AD⊥a，AD⊥b，
∵∠D＝45°，
∴CD＝CP，
∵AD⊥b，∠DBP＝30°，
∴∠PBA＝180°−30°＝150°，BP=2CP，
∵∠A＝15°，在△BAP中，∠A＋∠PBA＋∠BPA＝180°，
∴∠BPA＝15°，
∴∠A＝∠BPA，
∴AB＝BP，
∵在Rt△BCP中，BP＝2CP，且AB＝BP，CD＝CP，
∴AB＝2CD；
（2）
设原来的陆行速度为x，CD段使用的时间为t，
则A到B所用的时间为40分，AB的距离为40x，CD的距离为80%x·t，
由（1）知，AB＝2CD，
∴40x＝2（80%x·t），
解得：t＝25（分），
∵到达D的时间是14：40，
∴C点时间为14：15，
∴BC段所用时间是35分钟．
本题主要考查了特殊的直角三角形的性质，一元一次方程的应用等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．