人教版九年级上册数学第二十一章-一元二次方程单元练习题附详细解析教师版

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人教版九年级上册数学第二十一章 一元二次方程单元练习题附详细解析
一、单选题
1．已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x+1=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是(　　).
A．a2
C．a0，则根据判别式的意义可判断方程根的情况.
4．用配方法解方程 时，原方程应变形为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】移项得，x2-2x=5，
配方得，x2-2x+1=5+1，
即（x-1）2=6，
故答案为C
【分析】在本题中，把常数项-5移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数-2的一半的平方．
5．方程-x2+3x=1用公式法求解，先确定a，b，c的值，正确的是（　　）
A．a=-1，b=3，c=-1 B．a=-1，b=3，c=1
C．a=-1，b=-3，c=-1 D．a=1，b=-3，c=-1
【答案】A
【解析】【解答】将-x2+3x=1整理为一般形式得：-x2+3x-1=0，
可得出a=-1，b=3，c=-1．
故选A
【分析】将一元二次方程整理为一般形式，找出二次项系数a，一次项系数b及常数项c即可．
6．下列方程中，有两个不相等实数根的是（　　）.
A．x2-4x+4=0 B．x2+3x-1=0 C．x2+x+1=0 D．x2-2x+3=0
【答案】B
【解析】【解答】 A.x2-4x+4=0，△=（-4）2-4×1×4=0，方程有两相等实数根．
B.x2+3x-1=0，△=32-4×1×（-1）=13＞0，方程有两个不相等的实数根．
C.x2+x+1=0，△=12-4×1×1=-3＜0，方程没有实数根．
D.x2-2x+3=0，△=（-2）2-4×1×3=-8＜0，方程没有实数根．
选B
【分析】利用一元二次方程的根的判别式计算分别求出判别式的值，当判别式的值大于0时，方程有两个不相等的实数根
7．关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有实数根,则k的取值范围是(　　)
A．k>-1或k≠0 B．k≥-1 C．k≤-1或k≠0 D．k≥-1且k≠0
【答案】D
【解析】【解答】解：∵一元二次方程kx2-2x-1=0有实数根，
∴△=(−2) 2 +4k=4+4k⩾0，
且k≠0，
解得：k⩾−1，且k≠0，
故答案为：D.
【分析】根据关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有实数根可知：其二次项的系数不为0，且其根的判别式的值为非负数，从而列出不等式组，求解即可.
8．参加一次活动的每个人都和其他人各握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加活动？设有x人参加活动，可列方程为（　　）
A．12x(x−1)=10 B．x(x−1)=10
C．12x(x+1)=10 D．2x(x−1)=10
【答案】A
【解析】【解答】解：设有x人参加活动，每个人与其他人握手的次数均为(x−1)次，并且每个人与其他人握手均重复一次，由此可得：
x(x−1)2=10，
故答案为：A．
【分析】设有x人参加活动，每个人与其他人握手的次数均为(x−1)次，可得共握手x(x−1)2次，根据共握手的次数列出方程即可.
9．如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为 xm ，则下面所列方程正确的是（　　）

A．(32−x)(20−x)=32×20−570 B．32x+2×20x=32×20−570
C．32x+2×20x−2x2=570 D．(32−2x)(20−x)=570
【答案】D
【解析】【解答】解：由题意得，( 32 − 2 x ) ( 20 − x ) = 570
【分析】将六块草坪拼为一块可得一个矩形，该矩形面积为六块草坪的面积和570m2。由图易得新矩形的长为(32−2x)m,宽为（20-x）m，所以可得方程( 32 − 2 x ) ( 20 − x ) = 570
10．直角三角形两条直角边的和为7，面积是6，则斜边长是（　　）
A．37 B．5 C．38 D．7
【答案】B
【解析】【解答】解：设其中一条直角边的长为x，则另一条直角边的长为（7﹣x），由题意，得
12 x（7﹣x）=6，
解得：x1=3．，x2=4，
由勾股定理，得
斜边为： 9+16 =5．
故答案为：B．
【分析】根据直角三角形的面积求出量直角边的长，进而根据勾股定理得出答案。
二、填空题
11．已知（x2+y2+1）（x2+y2+2）=6，则x2+y2的值为　 　。
【答案】1
【解析】【解答】令x2+y2=t，将原方程化为（t+1）（t+2）=6，
即（t-1）（t+4）=0，
解得t1=1，t2=-4，
∵t≥0，∴t=1，
∴x2+y2=1，
故答案为1．
【分析】本题考查了用换元法解一元二次方程，注意题目中的整体是x2+y2
12．方程x2-2|x+4|-27=0的所有根的和为　 　．
【答案】6-2 5
【解析】【解答】解：①当x＞-4时；原方程可化为x2-2x-35=0，解得x=-5或7，舍去-5；
②当x＜-4时；原方程可化为x2+2x-19=0，解得x=-1±2 5 ，舍去正号；
∴两根为7和-1-2 5 ，
∴7+（-1-2 5 ）=6-2 5 ．
故答案为：6-2 5
【分析】由绝对值的性质可知，分x＞-4和x＜-4两种情况求解。
①当x＞-4时；原方程化为一般形式，再根据公式x=−b±b2−4ac2a即可求解；
②当x＜-4时；原方程化为一般形式，再根据公式x=−b±b2−4ac2a即可求解。
13．已知方程x2+mx+3=0的一个根是1，则它的另一个根是　 　，m的值是　 　。
【答案】3；-4
【解析】【解答】设方程的另一个解是a，则1+a=-m，1×a=3，
解得：m=-4，a=3．
故答案是：3，-4
【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系，两根的和是-m，两个根的积是3，即可求解
14．代数式 有最　 　值，最值是　 　.
【答案】大；－3
【解析】【解答】变形得 ，因为 ，所以当 代数式有最大值，最大值为－3.
【分析】此题考查配方法运用，得出 的代数式，从而根据平方的非负性得出本题结果，此题渗透函数的思想.
15．已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2-8x+7=0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是　 　。
【答案】3
【解析】【解答】设直角三角形的斜边为c，两直角边分别为a与b．
∵直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2-8x+7=0的两个根，
∴a+b=4，ab=3.5；
根据勾股定理可得：c2=a2+b2=（a+b）2-2ab=16-7=9，
∴c=3
【分析】根据根与系数的关系，求出两根之积与两根之和的值，再根据勾股定理列出直角三角形三边之间的关系式，然后将此式化简为两根之积与两根之和的形式，最后代入两根之积与两根之和的值进行计算
16．若一个三角形的三边长均满足方程x2﹣6x+8=0，则此三角形的周长为　 　．
【答案】6或10或12
【解析】【解答】∵x2﹣6x+8=0，
∴（x-2）（x-4）=0，
∴x1=2，x2=4，
①当4为腰，2为底时，
∴C三角形=4+4+2=10，
②当2为腰，4为底时，
∵2+2=4，
∴ 不能构成三角形，
③当三角形三边都是4时，
∴C三角形=4+4+4=12，
④当三角形三边都是2时，
∴C三角形=2+2+2=6，
故答案为：6，10或12.
【分析】先解一元二次方程求出根为2或4，之后分情况讨论三角形三边的长度，从而求出其周长.
17．一元二次方程 的求根公式是　 　．
【答案】
【解析】【解答】一元二次方程 的求根公式是 ．
【分析】用公式法解一元二次方程必须是一元二次方程的一般形式．
18．设x1，x2是方程x2－3x－1＝0的两个根，则x1＋x2＝　 　，x1x2＝　 　.
【答案】3；－1
【解析】【解答】解：∵x1，x2是方程x2－3x－1＝0的两个根，
∴x1+x2=3，x1⋅x2=−1 .
故答案为：3，-1.
【分析】若x1、x2为一元二次方程ax2+bx+c=0的两根，则x1+x2= −ba，x1x2= ca，据此解答.
19．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是13，则每个支干长出　 　个小分支.
【答案】3
【解析】【解答】解：设每个支干长出x个小分支，
根据题意得1+x+x•x＝13，
整理得x2+x﹣12＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣4（舍去）.
即：每个支干长出3个小分支.
故答案为：3.
【分析】设每个支干长出x个小分支，则主干、支干和小分支的个数分别为1、x、x·x，结合总数为13建立方程，求解即可.
20．两个连续整数的平方和为113，则这两个连续整数为　 　．
【答案】7，8或-8，-7
【解析】【解答】解：设较小的一个数为x，则另外一个数为（x+1），
依题意，得：x2+（x+1）2=113，
整理，得：x2+x-56=0，
解得：x1=7，x2=-8，
∴x+1=8或x+1=-7．
故答案为：7，8或-8，-7.
【分析】设较小的一个数为x，则另外一个数为(x+1)，根据题意可得x2+(x+1)2=113，求解可得x的值，据此解答.
21．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，点P从点A开始沿AB向B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向C点以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，　 　秒后△PBQ的面积等于8cm2．

【答案】4或2
【解析】【解答】解：设x秒后△PBQ的面积等于8cm2，由题意得：
12 （6-x）2x=8，
解得：x1=2，x2=4，
故答案为：2或4．

【分析】设x秒后△PBQ的面积等于8cm2，然后用含x的式子表示PB、QB，再利用三角形的面积公式求解即可。
22．在2021年10月的日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为180，则这个最小数为　 　．

【答案】10
【解析】【解答】解：设最小的数为x，则最大的数为x+8，根据题意，
得：x(x+8)=180，即x2+8x=180，
配方，得：（x+4）2=196，
直接开平方，得：x+4=±14，
解得：x1=10，x2=﹣18（不符题意，舍去），
∴这个最小数为10，
故答案为：10．
【分析】先求出x(x+8)=180，再求出x+4=±14，最后计算求解即可。
23．在国家政策的宏观调控下，某市的商品房成交均价由去年10月份的7000元/m2下降到12月份的5670元/m2，则11、12两月平均每月降价的百分率是　 　%。
【答案】10
【解析】【解答】设11、12两月平均每月降价的百分率是x，则11月份的成交价是7000-7000x=7000（1-x），12月份的成交价是7000（1-x）（1-x）=7000（1-x）2，由题意，得
∴7000（1-x）2=5670，
∴（1-x）2=0.81，
∴x1=0.1，x2=1.9（不合题意，舍去）．
故答案为：10%．
【分析】本题是一道一元二次方程的运用题，是一道降低率问题，与实际生活结合比较紧密，正确理解题意，找到关键的数量关系，然后列出方程是解题的关键
24．有一人患了流感，经过两轮传染后共有 169 人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了　 　人．
【答案】12
【解析】【解答】设平均一人传染了x人，
x＋1＋(x＋1)x＝169
x＝12或x＝－14（舍去）．
平均一人传染12人．
故答案为：12．
【分析】设平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感，列方程求解．本题考查理解题意的能力，关键是看到两轮传染．
三、计算题
25．用适当的方法解下列方程
（1）（3x-1）2=（x+1）2 （2）x2－2x－3=0
（3） x2+6x=1 （4）用配方法解方程：x2－4x+1=0
【答案】(1) （3x-1）2=（x+1）2 9x2-6x+1=x2+2x+19x2-x2-(6x+2x)=08x2-8x=08x(x-1)=0解得：x1=0,x2=1（2）x2－2x－3=0（x-3）（x+1）=0解得：x1=3，x2=-1（3） x2+6x=1x2+6x-1=0x=−6±36+42解得：x1=−3+10，x2=−3−10（4）x2－4x+1=0[x-(2+3)][x+(3-2)]=0解得：x1=2+3，x2=2-3
【解析】【分析】此题主要考查了街二元一次方程的方法，如有提取公因式法，配方法，公式法和因式分解法等，除此之外，解方程还有十字相乘法，换元法和添项去项法等等，总之一定要灵活选取解题方法。
26．按要求解方程
（1）x2−3x+1=0 （公式法)
（2）(x+1)2=2x+2 （因式分解法）
（3）x2+2x−399=0 （配方法）
【答案】（1）x2−3x+1=0 ，
Δ=b2−4ac=9−4=5>0 ，
x=−b±b2−4ac2a=3±52 ，
x1=3+52 ， x2=3−52 ；
（2）(x+1)2=2x+2
(x+1)2=2(x+1)
(x+1)(x+1−2)=0
(x+1)(x−1)=0
x1=−1 ， x2=1 ；
（3）x2+2x−399=0
x2+2x+1=399+1
(x+1)2=400
x+1=±20
x1=19 ， x2=−21 ．
【解析】【分析】（1）先根据根的判别式判断方程是否有解，再利用公式 x=−b±b2−4ac2a 求出解；
（2）提取公因式 （x+1） ，用因式分解法解方程；
（3）先把常数项移到等式右边，再两边同时加上1，等式左边可以写成完全平方的形式．
四、解答题
27．已知关于 x 的方程 x2+(m+2)x+2m−1=0 .
（1）求证：方程有两个不相等的实数根.
（2）当 m 为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解.
【答案】（1）证明：△=（m+2）2﹣4（2m﹣1）
=m2﹣4m+8
=（m﹣2）2+4，
∵（m﹣2）2≥0，
∴（m﹣2）2+4＞0，
即△＞0，
所以方程有两个不相等的实数根
（2）解：设方程的两个根为x1，x2，由题意得：
x1+x2=0，即m+2=0，解得m=﹣2，
当m=﹣2时，方程两根互为相反数，
当m=﹣2时，原方程为x2﹣5=0，
解得：x1=﹣ 5 ，x2= 5
【解析】【分析】（1）一元二次方程的根的个数与判别式∆有关，当∆>0时，方程有两个不等的实数根，即∆=（m+2）2﹣4（2m﹣1）=（m﹣2）2+4>0，因此，此方程有两个不等的实数根。
（2）设方程的两个根为x1，x2，根据题意可得x1+x2=0，即m+2=0，求得m的值，再代入方程中求解x的值即可。
28．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查发现：在一段时间内，当销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．若商场要获得10000元销售利润，该玩具销售单价应定为多少元？售出玩具多少件？
【答案】解：设该玩具的销售单价应定为 x 元
根据题意，得 (x−30)[600−10(x−40)]=10000
解得 x1=50,x2=80
当 x=50 时， 600−10(x−40)=500 件，当 x=80 时， 600−10(x−40)=200 件.
答：该玩具的销售单价定为 50 元时，售出500件；或售价定为 80 元时售出200件.
【解析】【分析】根据题意找出相等的关系量，购进时的单价是30元，销售单价定为 x 元时，一件的利润是( x − 30 )，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具，得到销售的数量是600-10（x-40），得到等式，求出x的值，该玩具销售单价和数量.
29．小明在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，求金色纸边的宽度．

【答案】解：设金色纸边的宽度为xcm，则挂图的长为（80+2x）cm，宽就为（50+2x）cm，
根据题意得：（80+2x）（50+2x）=5400，
解得：x1=﹣70（不符合题意，舍去），x2=5．
答：金色纸边的宽度为5cm
【解析】【分析】设金色纸边的宽度为xcm，则挂图的长为（80+2x）cm，宽就为（50+2x）cm，根据题目条件列出方程，求出其解就可以．
30．学校为奖励“汉字听写大赛”的优秀学生，派王老师到商店购买某种奖品，他看到如表所示的关于该奖品的销售信息，便用1400元买回了奖品，求王老师购买该奖品的件数.
购买件数
销售价格
不超过30件
单价40元
超过30件
每多买1件，购买的所有物品单价将降低0.5元，但单价不得低于30元
【答案】解：∵30×40=1200＜1400，
∴奖品数超过了30件，
设总数为x件，则每件商品的价格为：[40﹣（x﹣30）×0.5]元，根据题意可得：
x[40﹣（x﹣30）×0.5]=1400，
解得：x1=40，x2=70，
∵x=70时，40﹣（70﹣30）×0.5=20＜30，
∴x=70不合题意舍去，
答：王老师购买该奖品的件数为40件
【解析】【分析】根据题意首先表示出每件商品的价格，进而得出购买商品的总钱数，进而得出等式求出答案．
五、综合题
31．某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“十一”国庆节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．
（1）设每件童装降价x元时，每天可销售　 　件，每件盈利　 　元；（用x的代数式表示）
（2）每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元．
（3）要想平均每天赢利2000元，可能吗？请说明理由．
【答案】（1）20+2x；40-x
（2）解：依题可得：（20+2x）（40-x）=1200，
∴x2-30x+200=0，
∴（x-10）（x-20）=0，
∴x1=10，x2=20，
答：每件童装降价10元或20元时，平均每天赢利1200元．
（3）解：（20+2x）（40-x）=2000，
∴x2-30x+600=0，
∴△=b2-4ac=（-30）2-4×1×600=-1500 20×60，
∴x>20
根据题意，得x [60-2(x-20)]= 1232，
整理，得x2- 50x+616=0，
解得x1=22，x2=28
当x=22时，人均旅游费用为60-4=56；
当x=28时，人均旅游费用为60- 16-44