专题08 二次根式（1）-2022-2023学年八年级数学上册期末复习考点强化训练（冀教版）

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专题08  二次根式（1）考点1：二次根式的定义1．下列式子一定是二次根式的是（　　）A． B．﹣ C． D．【答案】A【解析】A、中a2≥0，所以是二次根式，本选项符合题意；B、当a＜0时﹣不是二次根式，本选项不符合题意；C、的根指数是3，本选项不符合题意；D、当a＜0时不是二次根式，本选项不符合题意．故选：A．2．已知是正整数，则实数n的最小值是（　　）A．3 B．2 C．1 D．【答案】D【解析】是正整数，则实数n的最小值为．故选：D．3．下列式子中不一定是二次根式的是（　　）A． B． C． D．【答案】D【解析】A、是二次根式，故此选项不合题意；B、是二次根式，故此选项不合题意；C、是二次根式，故此选项不合题意；D、当x＜﹣1时，不是二次根式，故此选项符合题意；故选：D．4．已知n是正整数，是整数，则n的值可以是（　　）A．5 B．7 C．9 D．10【答案】D【解析】A、当n＝5时，＝＝2，不是整数，故A不符合题意；B、当n＝7时，＝，不是整数，故B不符合题意；C、当n＝9时，＝＝2，不是整数，故C不符合题意；D、当n＝10时，＝＝7，是整数，故D符合题意．故选：D．5．当x＝﹣14时，二次根式的值是_______．【答案】3．【解析】当x＝﹣14时，＝＝3，6．当x＝4时，二次根式的值是_______．【答案】3．【解析】当x＝4时，＝＝＝＝3，7．当二次根式取得最小值时，x＝_______．【答案】﹣1．【解析】要使二次根式取最小值，必须x+1＝0，解得：x＝﹣1，8．用思维导图或框架图的形式描述你对二次根式的认识．【答案】见解析【解析】  考点2：二次根式有意义的条件1．若﹣＝（x+y）2，则x﹣y的值为（　　）A．﹣1 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】由题意得，1﹣x≥0，x﹣1≥0，解得，x＝1，则y＝﹣1，∴x﹣y＝2，故选：C．2．已知y＝3+，则x+2y的立方根为（　　）A．4 B．2 C．8 D．3【答案】B【解析】由题意得，2x﹣4≥0，4﹣2x≥0，解得，x＝2，则y＝3，∴x+2y＝8，∵8的立方根是2，∴x+2y的立方根为2，故选：B．3．如果有意义，那么字母x的取值范围是（　　）A．x＞1 B．x≥1 C．x≥﹣1 D．x＞﹣1【答案】C【解析】∵式子在实数范围内有意义，∴x+1≥0，解得x≥﹣1．故选：C．4．在代数式中，m的取值范围是（　　）A．m＞3 B．m≤3 C．m≥3 D．m＜3【答案】B【解析】由题意得：3﹣m≥0，解得：m≤3，故选：B．5．式子中x的取值范围是_______．【答案】x≥1且x≠2．【解析】由题意得：x﹣1≥0，且x﹣2≠0，解得：x≥1且x≠2，6．若二次根式有意义，则x的取值范围是_______．【答案】x≤．【解析】由题意得，3﹣4x≥0，解得，x≤，7．当代数式有意义时，x要满足的条件是_______．【答案】x＞0．【解析】由可知，x≥0，由x为分母可知，x≠0，解得，x＞0，8．如图，在河岸EF和河岸GH（EF∥GH）上分别安置了A、B两盏探照灯，若灯A发出射线AM自AF逆时针旋转至AE便立即回转，灯B发出射线BN自BG逆时针旋转至BH便立即回转．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a、b满足a＝++4．（1）求a、b的值；（2）如图1，若灯B射线先转动2秒，灯A射线才开始转动，设A灯转动t秒（t＜90），问t为何值时，两灯的光束互相平行？（3）如图2，连接AB，∠BAE＝60°，两灯同时转动，射出的光束交于点C，过C作CP⊥AC交GH于点P，则在灯A自AF转至AE之前，的比值是否发生变化？若不变，求其值；若改变，请求出其取值范围．【答案】见解析【解析】（1）∵a＝++4，∴，解得：b＝1，∴a＝4；（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，由题意得，at＝b（t+2）或360﹣at＝2+t，即4t＝t+2，360﹣4t＝2+t，解得：t＝；或t＝；故t为s或s时，两灯的光束互相平行；（3）不变，如图3，过C作CQ∥GH，∵GH∥EF，∴CQ∥EF，设A灯转动时间为t秒，∵∠CAE＝180°﹣4t，∴∠BAC＝60°﹣（180°﹣4t）＝4t﹣120°，又∵GH∥EF∥CQ，∴∠GBC＝∠BCQ，∠ACQ＝∠CAE，∴∠BCA＝∠CBG+∠CAE＝t+180°﹣4t＝180°﹣3t，而∠ACP＝90°，∴∠BCP＝90°﹣∠BCA＝90°﹣（180°﹣3t）＝3t﹣90°，∴＝．考点3：二次根式的性质与化简1．若1＜x＜4；则化简﹣＝（　　）A．﹣3 B．5﹣2x C．3 D．5【答案】B【解析】∵1＜x＜4，原式＝|x﹣4|﹣|x﹣1|＝﹣（x﹣4）﹣（x﹣1）＝﹣x+4﹣x+1＝5﹣2x．故选：B．2．下列计算中．正确的是（　　）A．x+x＝x2 B．x•x2•x3＝x5 C．＝x D．（x3）2＝x6【答案】D【解析】（A）原式＝2x，故A错误．（B）原式＝x6，故B错误．（C）原式＝|x|，故C错误．故选：D．3．下列计算正确的是（　　）A．（﹣）﹣2＝9 B．＝﹣2 C．（﹣2）0＝﹣1 D．|﹣5﹣3|＝2【答案】A【解析】（﹣）﹣2＝＝9，因此选项A符合题意；＝|﹣2|＝2，因此选项B不符合题意；（﹣2）0＝1，因此选项C不符合题意；|﹣5﹣3|＝8，因此选项，D不符合题意；故选：A．4．若＝2，则x的值为（　　）A．2 B．﹣2 C．± D．±2【答案】D【解析】∵＝2，∴|x|＝2，∴x＝±2．故选：D．5．二次根式中x的取值范围是_______．【答案】x＞2．【解析】要使有意义，必须x﹣2＞0，解得：x＞2，6．若＝1﹣2a，则a的取值范围是a＜．_______（判断对错）【答案】错．【解析】有题意得，1﹣2a≥0，解得，a≤，所以，题目说法错误，7．若要说明“＝3m”是错误的，则m的值可以为_______（写出一个m的值）．【答案】﹣2．（答案不唯一）【解析】∵“＝3m”是错误的，∴3m＜0，∴m＜0，∴m的值可以为﹣2．8．像（+2）（﹣2）＝1、•＝a（a≥0）、（+1）（﹣1）＝b﹣1（b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，与，+1与﹣1，2+3与2﹣3等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题：（1）化简：；（2）计算：+；（3）比较﹣与﹣的大小，并说明理由．【答案】见解析【解析】（1）＝＝；（2）+＝+＝2+++＝2+2+；（3）∵﹣＝，﹣＝，又∵+＞+，∴＜，即：﹣＜﹣．考点4：最简二次根式1．下列二次根式是最简二次根式的是（　　）A． B． C． D．【答案】D【解析】A.＝，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；B.＝2，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；C.＝2，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；D.是最简二次根式，故本选项符合题意；故选：D．2．下列二次根式中，最简二次根式是（　　）A． B． C． D．【答案】B【解析】A、，不是最简二次根式，本选项不合题意；B、是最简二次根式，本选项符合题意；C、，不是最简二次根式，本选项不合题意；D、＝，不是最简二次根式，本选项不合题意；故选：B．3．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　）A． B． C． D．【答案】A【解析】A、是最简二次根式，故本选项符合题意；B、＝|a|，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；C、中被开方数是分数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；D、＝2，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；故选：A．4．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）A． B． C． D．【答案】A【解析】A、是最简二次根式，故本选项符合题意；B、中被开方数是小数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；C、＝2，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；D、中被开方数是分数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；故选：A．5．将化成最简二次根式为_______．【答案】．【解析】＝，6．在根式，，中，是最简二次根式的有_______个．【答案】1．【解析】是最简二次根式；＝，故不是最简二次根式；＝a，故不是最简二次根式．综上所述，最简二次根式的有1个．7．将二次根式化为最简二次根式为　　．【答案】．【解析】＝＝＝，8．把下列二次根式化成最简二次根式（1）（2）（3）【答案】见解析【解析】（1）＝； （2）＝4； （3）＝＝．考点5：分母有理化1．若x＝，则x2﹣2x（　　）A． B．1 C．2+ D．﹣1【答案】B【解析】∵x＝＝+1，∴x2﹣2x＝x（x﹣2）＝（+1）（+1﹣2）＝2﹣1＝1．故选：B．2．若（4+）•x＝y，且y为整数，则x的值可以是（　　）A． B．4+ C．4﹣ D．2﹣【答案】C【解析】A、当x＝时，（4+）•x＝（4+）×＝4+3＝y，此时y不是整数，不合题意；B、当x＝4+时，（4+）•x＝（4+）×（4+）＝19+8＝y，此时y不是整数，不合题意；C、当x＝4﹣时，（4+）•x＝（4+）×（4﹣）＝13＝y，此时y是整数，符合题意；D、当x＝2﹣时，（4+）•x＝（4+）×（2﹣）＝5+2＝y，此时y不是整数，不合题意；故选：C．3．下列所给的二次根式中，是最简二次根式的是（　　）A． B． C． D．【答案】B【解析】A．＝2，此选项不符合题意；B．是最简二次根式，符合题意；C．＝，此选项不符合题意；D．＝，此选项不符合题意；故选：B．4．将化为最简二次根式，正确的是（　　）A． B． C． D．【答案】A【解析】＝＝＝．故选：A．5．已知a＝，b＝，那么ab＝_______．【答案】．【解析】∵a＝，b＝，∴ab＝＝＝．6．把化成最简二次根式的结果是　　．【答案】．【解析】＝．7．计算：++20180﹣＝_______．【答案】7+2．【解析】原式＝+2+1﹣＝1+2+1+1+2+2＝7+2．8．计算：（﹣）﹣1﹣+﹣（π﹣）0+|1﹣|．【答案】见解析【解析】原式＝﹣3﹣2+﹣1+﹣1＝﹣5．考点6：同类二次根式1．下列各组二次根式，属于同类二次根式的是（　　）A．与 B．与 C．与 D．与【答案】B【解析】A、∵＝3，∴与不属于同类二次根式；B、∵＝3，＝2，∴与属于同类二次根式；C、∵＝＝，＝，∴与不属于同类二次根式；D、∵＝2，＝6，∴与不属于同类二次根式；故选：B．2．下列二次根式与是同类二次根式的是（　　）A． B． C．﹣ D．【答案】C【解析】A、＝＝3，与不是同类二次根式；B、＝＝，与不是同类二次根式；C、﹣＝﹣2，与是同类二次根式；D、＝＝6，与不是同类二次根式；故选：C．3．下列各数中，化为最简二次根式后能与合并的是（　　）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为＝9，＝2，＝，＝，所以能与合并的是，故选：B．4．下列二次根式能与进行合并的是（　　）A． B． C． D．【答案】A【解析】A、，能与进行合并，故本选项符合题意；B、，不能与进行合并，故本选项不符合题意；C、，不能与进行合并，故本选项不符合题意；D、，不能与进行合并，故本选项不符合题意；故选：A．5．最简二次根式与是同类二次根式，则m＝_______．【答案】4．【解析】∵最简二次根式与是同类二次根式，∴2m﹣1＝7．∴m＝4．6．已知最简二次根式与是同类二次根式，则a＝_______．【答案】3．【解析】＝2，∵最简二次根式与2是同类二次根式，∴a＝3．7．若与最简根式是同类二次根式，则a＝_______．【答案】2．【解析】根据题意得a+1＝3，解得a＝2，8．若最简二次根式与是同类二次根式，求a，b的值．【答案】见解析【解析】∵最简二次根式与是同类二次根式，∴，解得：．