专题11 轴对称和中心对称（2）-2022-2023学年八年级数学上册期末复习考点强化训练（冀教版）

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专题11 轴对称和中心对称（2）
考点6：角平分线的性质
1．如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，AE平分∠CAB，交BD于点E，AB＝8，DE＝3，则△ABE的面积等于（　　）

A．15 B．12 C．10 D．14
【答案】B
【解析】过点E作EF⊥AB于点F，如图：

∵BD是AC边上的高，
∴ED⊥AC，
又∵AE平分∠CAB，DE＝3，
∴EF＝3，
∵AB＝8，
∴△ABE的面积为：8×3÷2＝12．
故选：B．
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，AB＝10，∠CAB和∠ABC的平分线交于点O，OM⊥BC于点M，则OM的长为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】过O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，
∵AO平分∠CAB，OB平分∠ABC，
∴OD＝OE＝OM，
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，AB＝10，
∴S△ABC＝AC•BC＝×AB•OE+AC•OD+BC•OM，
∴＝+•OM+，
∴OM＝2，
故选：B．

3．下列说法正确的是（　　）
A．不等式x＜有3个正整数解
B．点P到线段AB的两端点距离相等，则过点P的直线是线段AB的垂直平分线
C．任何一个定理都对应一个逆定理
D．三角形三个内角的平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等
【答案】A
【解析】A、不等式x＜的正整数解为1、2、3，共3个，本选项说法正确；
B、点P到线段AB的两端点距离相等，则过点P的线段AB的垂线是线段AB的垂直平分线，本选项说法错误；
C、任何一个定理都对应一个逆命题，不一定是逆定理，本选项说法错误；
D、三角形三个内角的平分线相交于一点，这个点到三角形三边的距离相等，本选项说法错误；
故选：A．
4．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝2，连接BD，BD⊥CD，垂足是D且∠ADB＝∠C，点P是边BC上的一动点，则DP的最小值是（　　）

A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
【答案】C
【解析】过点D作DE⊥BC于E，则DE即为DP的最小值，
∵∠BAD＝∠BDC＝90°，∠ADB＝∠C，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵∠ABD＝∠CBD，DA⊥AB，DE⊥BC，
∴DE＝AD＝2，
故选：C．

5．如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E．若PE＝5，则点P到AB的距离是_______．

【答案】5．
【解析】作PF⊥AB于F，
∵AD是∠BAC的平分线，PE⊥AC，PF⊥AB，
∴PF＝PE＝5，

6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，若CD＝2，AB＝9，则△ABD的面积为_______．

【答案】9．
【解析】如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵BD平分∠ABC，
又∵DE⊥AB，DC⊥BC，
∴DE＝DC＝2，
∴△ABD的面积＝•AB•DE＝×9×2＝9．

7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，点D到AB的距离为7cm，则CD＝_______cm．

【答案】7．
【解析】作DE⊥AB于点E，
∵在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，
∴DC＝DE，
∵点D到AB的距离为7cm，
∴DE＝7cm，
∴DC＝7cm，

8．如图，直线AC分别与射线DE交于A，与射线BF交于C，连接AB，连接DC，∠1+∠2＝180°，AD＝BC．若DC平分∠ACF，证明AB平分∠EAC．

【解答】证明：∠1+∠2＝180°，∠1+∠ACB＝180°，
∴∠2＝∠ACB，
∴AD∥BC，
又∵AD＝BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠DCF＝∠B，∠DCA＝∠BAC，
∵DC平分∠ACF，
∴∠DCF＝∠DCA，
∴∠B＝∠BAC，
∵AD∥BC，
∴∠EAB＝∠B，
∴∠BAC＝∠EAB，即AB平分∠EAC．
考点7：中心对称
1．如图，已知△ABC和△A'B'C'关于点O成中心对称，则下列结论错误的是（　　）

A．∠ABC＝∠A'B'C' B．∠AOB＝∠A'OB'
C．AB＝A'B' D．OA＝OB'
【答案】D
【解析】∵△ABC和△A′B′C′关于点O成中心对称，
∴△ABC≌△A′B′C′，
∴AB＝A′B′，OA＝OA′，∠ABC＝∠A′B′C′，
可得∠AOC＝∠A′OC′，
故A，B，C正确，只有D选项错误．
故选：D．
2．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC＝4，BD＝16，将△BOC绕着点C旋转180°得到△B′O′C′，则点A与点B′之间的距离为（　　）

A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【解析】∵菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC＝4，BD＝16，
∴AC⊥BD，
∴∠BOC＝90°，
∵△BOC绕着点C旋转180°得到△B′O′C，
∴∠CO′B′＝∠BOC＝90°，
∴O′C＝OC＝OA＝AC＝2，
∴AO′＝6，
∵OB＝OD＝OB′＝BD＝8，
在Rt△AO′B′中，根据勾股定理，得
AB′＝＝10．
则点A与点B′之间的距离为10．
故选：C．
3．如图，在矩形ABCD中，把∠A沿DF折叠，点A恰好落在矩形的对称中心E处，则∠ADF的度数为（　　）

A．15° B．20° C．25° D．30°
【答案】D
【解析】如图，连接AE，

∵把∠A沿DF折叠，点A恰好落在矩形的对称中心E处，
∴AD＝ED＝AE，∠ADF＝∠EDF＝∠ADE，
∴△DAE的等边三角形，
∴∠ADE＝60°，
∴∠ADF＝30°，
故选：D．
4．在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，3）关于点O中心对称的点的坐标是（　　）
A．（2，3） B．（﹣2，﹣3） C．（2，﹣3） D．（﹣2，3）
【答案】C
【解析】∵点A（﹣2，3）与点A关于原点O中心对称，
∴点B的坐标为：（2，﹣3）．
故选：C．
5．如图，一副直角三角板△ABC和△DEF，∠F＝30°，将△ABC和△DEF放置如图2的位置，点B、D、C、F在同一直线上，点A在DE上，△ABC固定不动，当△EDF绕点D逆时针旋转至180°的过程中（不含180°），当旋转角为_______　时，EF与△ABC的边垂直．

【答案】75°或120°或165°．
【解析】如图1所示，
当AC⊥EF时，
∵∠F＝30°，
∴∠GHF＝60°，
∴∠DHC＝60°，
∵∠HCD＝45°，
∴∠FDC＝75°，
∴当旋转角为75°时，EF⊥AC；
如图2所示，
当BC⊥EF时，
∵∠F＝30°，
∴∠GDF＝60°，
∴∠FDC＝120°，
∴当旋转角为120°时，EF⊥BC．
如图3所示，
当AB⊥EF时，
∵∠F＝30°，
∴∠GHF＝60°，
∴∠AHD＝60°，
∵∠BAD＝45°，
∴∠ADH＝75°，
∴∠FDC＝75°+90°＝165°，
∴当旋转角为165°时，EF⊥AB．
综上，当旋转角为75°或120°或165°时，EF与△ABC的边垂直．



6．如图，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，若AB＝2，则DE＝_______．

【答案】2．
【解析】∵△ABC与△DEC关于点C成中心对称，
∴CA＝CD，CB＝CE，
∵∠ACB＝∠DCE
∴△ABC≌△DEC（SAS），
∴AB＝DE，
∵AB＝2，
∴DE＝2，
7．如图，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，AB＝3，AC＝1，∠D＝90°，则AE的长是_______．

【答案】．
【解析】∵△DEC与△ABC关于点C成中心对称，
∴△ABC≌△DEC，
∴AB＝DE＝3，AC＝DC＝1，
∴AD＝2，
∵∠D＝90°，
∴AE＝＝＝，
8．如图，△ABO与△CDO关于O点中心对称，点E，F在线段AC上，且AF＝CE，求证：FD＝BE．

【解答】证明：∵△ABO与△CDO关于O点中心对称，
∴BO＝DO，AO＝CO，
∵AF＝CE，
∴AO﹣AF＝CO﹣CE，
∴FO＝EO，
在△FOD和△EOB中
，
∴△FOD≌△EOB（SAS），
∴DF＝BE．
考点8：中心对称图形
1．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，作为一种镂空艺术，它能给人以视觉上透空的感觉和艺术享受，下列照片中剪纸图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故本选项不合题意；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形．故本选项符合题意．
故选：D．
2．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项不符合题意；
C、是中心对称图形但不是轴对称图形，故选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选不项符合题意．
故选：C．
3．下列美丽的图案，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项不符合题意；
C、是中心对称图形但不是轴对称图形，故选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意．
故选：C．
4．手机已成为人们生活的必备工具，下列常用手机APP的图标中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
5．如图，两个“心”形有一个公共点O，且点C，O，E在同一条直线上，OC＝OE＝OD，下列说法中：
①这两个“心”形关于点O成中心对称；
②点C，E是以点O为对称中心的一对对称点；
③这两个“心”形成轴对称，对称轴是过点O且与直线AB垂直的直线和直线AB；
④若把这两个“心”形看作一个整体，则它又是一个中心对称图形．
正确的有_______．（只填你认为正确的说法的序号）

【答案】①②③④．
【解析】①这两个“心”形关于点O成中心对称；说法正确；
②点C，E是以点O为对称中心的一对对称点；说法正确；
③这两个“心”形成轴对称，对称轴是过点O且与直线AB垂直的直线和直线AB；说法正确；
④若把这两个“心”形看作一个整体，则它又是一个中心对称图形．说法正确．
所以正确的有①②③④．
6．如图中阴影部分是由4个完全相同的的正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在_______处（填写区域对应的序号）．

【答案】②．
【解析】把正方形添加在②处，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，
7．在等腰直角三角形、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有_______个．
【答案】3．
【解析】由题可得，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有3个：矩形、菱形、正方形，
8．如图，将△ABC以点C为旋转中心，顺时针旋转180°，得到△DEC，过点A作AF∥BE，交DE的延长线于点F，试问：∠B与∠F相等吗？为什么？

【答案】见解析
【解析】∠B与∠F相等，理由如下：
∵将△ABC以点C为旋转中心，顺时针旋转180°，得到△DEC，
∴∠B＝∠DEC，
∵AF∥BE，
∴∠F＝∠DEC，
∴∠B＝∠F．
考点9：利用平移设计图案
1．如图所示，北京2022年冬奥会会徽是以汉字“冬”为灵感设计的．下列四个选项中，由会徽
经过平移而得到的是（　　）

A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据“平移”的定义可知，由题图经过平移得到的图形是：
．
故选：C．
2．下列车标，可看作图案的某一部分经过平移所形成的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】选项A，B，C不能由基本图形平移得到，选项B是由基本图形圆平移得到，
故选：D．
3．下列四个图形中，不能通过基本图形平移得到的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】选项A，C，D可以通过平移变换得到，选项B看图通过旋转变换得到，
故选：B．
4．如所示图形可由平移得到的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】A．图形可以由旋转得到，不合题意；
B．图形可由平移得到，符合题意；
C．图形可以由旋转得到，不合题意；
D．图形可以由翻折得到，不合题意；
故选：B．
5．如图所示，第1个图案是由黑白两种颜色的六边形地面砖组成的，第2个，第3个图案可以看成是由第1个图案经过平移而得，那么第n个图案中白色六边形地面砖的数量为　_______（代数式需要简化）．

【答案】4n+2．
【解析】∵第一个图案中，有白色的是6个，后边是依次多4个．
∴第n个图案中，是6+4（n﹣1）＝4n+2．
6．如图，在方格中画着两艘完全一样的小船，左边小船向右平移了_______格可以来到右边小船位置．

【答案】6．
【解析】如图所示：左边小船向右平移了6格可以来到右边小船位置．
7．有一种电脑软件叫做“画图”，它有个功能，可以复制已经出现在窗口的所有图形或部分图形，粘贴的图形又可以进行任意的平移．如图，在画图窗口中已有一个正方形．从窗口中已有图形开始，复制、粘贴已有图形或部分图形一次，且通过平移后与原图形拼接，叫做一次操作．则要出现一个4×6的网格，至少需要操作_______次．

【答案】5．
【解析】如图，方法如下：

答：要出现一个4×6的网格，至少需要操作5次．
8．如图，请根据船帆的位置变化，画出小船ABCD经过平移后得到的位置．

【答案】见解析
【解析】如图所示：
．
考点10：利用旋转设计图案
1．下列图案中，含有旋转变换的有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【解析】根据旋转的含义可知：选项中给出的4个图都可以通过旋转得到，
故选：A．
2．如图的四个三角形中，不能由△ABC经过旋转或平移得到的是（　　）

A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意，选项A，C，D可以通过平移，旋转得到，选项B可以通过翻折，平移，旋转得到．
故选：B．
3．如图，在4×4的网格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上，现要在这张网格纸的四个格点M，N，P，Q中找一点作为旋转中心．将△ABC绕着这个中心进行旋转，旋转前后的两个三角形成中心对称，且旋转后的三角形的三个顶点都在这张4×4的网格纸的格点上，那么满足条件的旋转中心有（　　）

A．点M，点N B．点M，点Q C．点N，点P D．点P，点Q
【答案】C
【解析】观察图象可知，点P．点N满足条件．

故选：C．
4．下面各图形中，不能通过所给图形旋转得到的是（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，将这个图形逆时针旋转90°可得到图形A；
将这个图形顺时针旋转90°可得到图形B；
将这个图形旋转180°可得到图形C；
不论怎么旋转，都不可能得到图形D，
故选：D．
5．如图所示的美丽图案，可以看作是由一个三角形绕旋转中心旋转_______次，每次旋转_______度形成的．

【答案】7；45．
【解析】如图所示的美丽图案，可以看作是由一个三角形绕旋转中心旋转7次，每次旋转45度形成的，
6．如图，香港特别行政区区徽由五个相同的花瓣组成，它是以一个花瓣为“基本图案”通过连续四次旋转所组成，这四次旋转中，旋转角度最小是_______度．

【答案】72°
【解析】观察图形可知，中心角是由五个相同的角组成，
∴旋转角度是360°÷5＝72°，
∴这四次旋转中，旋转角度最小是72°．
7．如图所示的图案，可以看作是由大写字母A绕中心连续旋转，每次旋转_______度构成的．

【答案】60
【解析】根据图形可得出：这是一个由字母A绕着中心连续旋转5次，每次旋转60度角形成的图案．
故答案为60．
8．我们把如图1所示的菱形称为基本图形，将此基本图形不断复制并平移，使得相邻两个基本图形的一个顶点与对称中心重合，得到的所有菱形都称为基本图形的特征图形，显然图2中有3个特征图形．

（1）观察以上图形并完成如表：
根据表中规律猜想，图n（n≥2）中特征图形的个数为_______．（用含?的式子表示）
图形名称
基本图形的个数
特征图形的个数
图1
1
1
图2
2
3
图3
3
7
图4
4

……
……
……
（2）若基本图形的面积为2，则图2中小特征图形的面积是_______；图2020中所有特征图形的面积之和为_______．
【答案】见解析
【解析】（1）由题意可知，图③中菱形的个数7＝3+4×（3﹣2），
图④中，菱形的个数为3+4×（4﹣2）＝11，
∵当n≥3时，每多一个基本图形就会多出4个菱形，
∴图（n）中，菱形的个数为3+4（n﹣2）＝4n﹣5，
故答案为：4n﹣5．

（2）如图2中，图形的面积＝×2＝，
图2020中所有特征图形的面积之和为＝2020×2+（3×2020﹣5）×＝，
故答案为，．