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专题1.2 特殊三角形章末重难点题型-2022-2023学年八年级数学上册举一反三系列（浙教版）
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这是一份专题1.2 特殊三角形章末重难点题型-2022-2023学年八年级数学上册举一反三系列（浙教版），文件包含专题12特殊三角形章末重难点题型举一反三浙教版解析版docx、专题12特殊三角形章末重难点题型举一反三浙教版原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共101页， 欢迎下载使用。
专题1.2 特殊三角形章末重难点题型
【浙教版】
【考点1 轴对称图形的识别】
【方法点拨】解决此类问题关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【例1】（2020春•岳阳期末）2020年初，新型冠状病毒引发肺炎疫情．一方有难，八方支援，全国多家医院纷纷选派医护人员驰援武汉．下面是四家医院标志的图案部分，其中图案部分是轴对称图形的是（ ）
A．协和医院 B．湘雅医院 C．齐鲁医院 D．华西医院
【变式1-1】（2020春•青岛期末）下列交通指示标识中，是轴对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1-2】（2020春•陈仓区期末）下列与防疫有关的图案中不是轴对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1-3】（2020春•揭阳期末）下列图形中，是轴对称图形的有（ ）个．
①角 ②线段 ③等腰三角形 ④等边三角形 ⑤扇形 ⑥圆 ⑦平行四边形
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【考点2 轴对称的性质与运用】
【方法点拨】轴对称的性质：对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．
【例2】（2020春•青川县期末）如图，P为∠AOB内一点，分别画出点P关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1P2．交OA于点M，交OB于点N．若P1P2＝5cm，则△PMN的周长为 ．
【变式2-1】（2020•延边州二模）如图，∠AOB＝40°，点P在∠AOB的内部，点C，D分别是点P关于直线OA，OB的对称点，连接CD分别交OA，OB于点E、F．则∠EPF＝ ．
【变式2-2】（2020春•长春期末）如图，点P是∠AOB外一点，点M、N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在线段MN的延长线上．若PM＝2.5cm，PN＝3cm，MN＝4cm，则线段QR的长为 ．
【变式2-3】（2020春•竞秀区期末）如图，点P在∠AOB的内部，点C和点P关于OA对称，点P关于OB对称点是D，连接CD交OA于M，交OB于N．
（1）①若∠AOB＝60°，则∠COD＝ °；
②若∠AOB＝α，求∠COD的度数．
（2）若CD＝4，则△PMN的周长为 ．
【考点3 轴对称最短路径问题】
【例3】（2019秋•广饶县期末）如图所示，OB是一条河流，OC是一片菜田，张大伯每天从家（A点处）去河处流边挑水，然后把水挑到菜田处，最后回到家中．请你帮他设计一条路线，使张大伯每天行走的路线最短．下列四个方案中你认为符合要求的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-1】（2020春•抚远市校级期末）如图，∠AOB＝30°，点M、N分别是射线OB、OA上的动点，点P为∠AOB内一点，且OP＝4，则△PMN的周长的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【变式3-2】（2020春•碑林区校级期末）如图，在锐角△ABC中，∠ACB＝50°；边AB上有一定点P，M、N分别是AC和BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【变式3-3】（2020春•青羊区期末）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝34°，在边AB，BC上分别找一点E，F使△DEF的周长最小，此时∠EDF＝ ．
【考点4 等腰三角形的性质（分类讨论思想）】
【方法点拨】解决此类问题的关键要注意分类讨论思想．
【例4】（2019秋•谢家集区期末）等腰三角形的周长为14cm，其中一边长为4cm，则该等腰三角形的腰长为（ ）
A．4cm B．5cm C．4cm或5cm D．4cm或6cm
【变式4-1】（2019春•郑州期末）等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为50°，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ）
A．40° B．70° C．40°或70° D．40°或140°
【变式4-2】（2020春•东城区校级期末）等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm．则等腰三角形的腰长为（ ）
A．2cm B．8cm
C．2cm或8cm D．以上答案都不对
【变式4-3】（2019秋•殷都区期中）等腰三角形一腰上的高等于该三角形另一边长的一半．则其顶角等于（ ）
A．30° B．30°或150°
C．120°或150° D．120°、30°或150°
【考点5 等腰三角形的性质（求角度综合）】
【方法点拨】解决此类问题的关键要掌握等腰三角形两底角相等（简称等边对等角），常与三角形外角的性质及三角形内角和定理结合运用．
【例5】（2019秋•高州市期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝EB，则∠A的度数是（ ）
A．30° B．36° C．45° D．50°
【变式5-1】（2020春•历下区期末）如图，已知∠AOB＝10°，且OC＝CD＝DE＝EF＝FG＝GH，则∠BGH＝（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【变式5-2】（2020春•广饶县期末）如图，△AA1B中，AB＝A1B，∠B＝20°，A2，A3，A4，A5，…An都在AA1的延长线上，B1，B2，B3，B4…分别在A1B，A2B1，A3B2，A4B3，…上，且满足A1B1＝A1A2，A2B2＝A2A3，A3B3＝A3A4，A4B4＝A4A5，…，依此类推，∠B2019A2020A2019＝ ．
【变式5-3】（2020春•叙州区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，E为BC边上一点，以E为顶点作∠AEF，∠AEF的一边交AC于点F，使∠AEF＝∠B．
（1）如果∠ABC＝40°，则∠BAC＝ ；
（2）判断∠BAE与∠CEF的大小关系，并说明理由；
（3）当△AEF为直角三角形时，求∠AEF与∠BAE的数量关系．
【考点6 等腰三角形的性质（三线合一）】
【方法点拨】解决此类问题的关键要掌握等腰三角形两底角相等（简称等边对等角），常与三角形外角的性质及三角形内角和定理结合运用．
【例6】（2019秋•江油市期末）如图：D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若BD＝1，BC＝3，则AC的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【变式6-1】（2019秋•丰城市期末）如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M．
（1）求∠E的度数．
（2）求证：M是BE的中点．
【变式6-2】（2019秋•宁都县期末）如图所示，△ABC中，AB＝BC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点D，交AC于F．
（1）若∠AFD＝155°，求∠EDF的度数；
（2）若点F是AC的中点，求证：∠CFD=12∠B．
【变式6-3】如图所示，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC．
（1）若D为BC的中点，过D作DM⊥DN分别交AB、AC于M、N，求证：DM＝DN；
（2）若D为BC的中点，DM⊥DN分别和BA、AC延长线交于M、N，问DM和DN有何数量关系，并证明．
【考点7 等腰三角形的性质（作等腰三角形）】
【例7】（2018秋•随县期末）已知：如图，下列三角形中，AB＝AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（ ）
A．①③④ B．①②③④ C．①②④ D．①③
【变式7-1】（2020•海门市一模）线段AB在如图所示的8×8网格中（点A、B均在格点上），在格点上找一点C，使△ABC是以∠B为顶角的等腰三角形，则所有符合条件的点C的个数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式7-2】（2019秋•安陆市期末）如图，已知△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，在△ABC所在平面内一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ）
A．5条 B．4条 C．3条 D．2条
【变式7-3】（2019秋•鼓楼区月考）如图，直线PQ上有一点O，点A为直线外一点，连接OA，在直线PQ上找一点B，使得△AOB是等腰三角形，这样的点B最多有 个．
【考点8 等边三角形的性质（含30°直角三角形）】
【方法点拨】掌握直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
【例8】（2019秋•大洼区期末）如图，在等边三角形ABC中，BC＝2，D是AB的中点，过点D作DF⊥AC于点F，过点F作EF⊥BC于点E，则BE的长为（ ）
A．1 B．32 C．54 D．43
【变式8-1】（2019秋•济南期末）如图，点P、M、N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB于点P，MN⊥BC于点M，PN⊥AC于点N，若AB＝12cm，求CM的长为 ．
【变式8-2】（2019秋•五常市期末）如图，△ABC是等边三角形，D是BC延长线上一点，DE⊥AB于点E，EF⊥BC于点F．若CD＝3AE，CF＝6，则AC的长为 ．
【变式8-3】（2019秋•南岗区校级月考）如图，△ABC是等边三角形，DE∥AB分别交BC、AC于点D、E，过点E做EF⊥DE，交线段BC的延长线于点F．
（1）求证：CE＝CF；
（2）若BD=13CE，AB＝8，求线段DF的长．
【考点9 等边三角形的判定与性质综合】
【例9】（2019秋•雨花区校级月考）已知如图等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②∠APO＝∠DCO；③△OPC是等边三角形；④AB＝AO+AP．其中正确的是（ ）
A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①②③④
【变式9-1】（2020春•龙泉驿区期末）如图，C为线段AE上一动点，（不与点A、E重合），在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．
求证：（1）AD＝BE
（2）△APC≌△BQC
（3）△PCQ是等边三角形．
【变式9-2】（2020•烟台）如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．
【问题解决】
如图1，若点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD；
【类比探究】
如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．
【变式9-3】（2019秋•东台市期末）在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系．
（1）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM＝DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是 ；此时QL= ；
（2）如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想（ I）问的两个结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由．
（3）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，探索BM、NC、MN之间的数量关系如何？并给出证明．
【考点10 共点等腰（手拉手模型）】
【例10】（2019秋•垦利区期中）已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：
①BD＝CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC＝45°；④∠ACE＝∠DBC．
其中结论正确的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式10-1】（2019•滨州）如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【变式10-2】（2019秋•常德期末）（1）问题发现
如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE，求∠AEB的度数．
（2）拓展探究
如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．请求∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．
【变式10-3】（2020秋•上蔡县校级期中）已知Rt△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝45°，点D为直线BC上的一动点（点D不与点B、C重合），以AD为边作Rt△ADE，AD＝AE，∠ADE＝∠AED＝45°，连接CF．
（1）发现问题
如图①，当点D在边BC上时．
①请写出BD和CE之间的数量关系为 ，位置关系为 ；
②求证：CE+CD＝BC
（2）尝试探究
如图②，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，（1）中BC、CE、CD之间存在的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，不证明．
（3）拓展延伸
如图③，当点D在CB的延长线上且其他条件不变时，若BC＝6，CE＝2，求线段CD的长．
【考点11 直角三角形斜边中线】
【方法点拨】掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
【例11】（2020春•蚌埠期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠DAC＝45°，∠BAC＝30°，E是AC的中点，连接BE，BD．则∠DBE的度数为（ ）
A．10° B．12° C．15° D．18°
【变式11-1】（2020春•包河区期末）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，O为AB的中点，点E在BC上，且CE＝AC，∠BAE＝15°，则∠COE＝ 度．
【变式11-2】（2019秋•余姚市期末）如图，AD是△ABC的高线，且BD=12AC，E是AC的中点，连结BE，取BE的中点F，连结DF，求证：DF⊥BE．
【变式11-3】（2020春•重庆期末）如图（1），已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．
（1）求证：MN⊥DE．
（2）连结DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明猜想．
（3）当∠A变为钝角时，如图（2），上述（1）（2）中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由．
【考点12 逆命题和逆定理】
【例12】（2019春•临颍县期中）下列命题中错误的是（ ）
A．任何一个命题都有逆命题
B．一个真命题的逆命题可能是真命题
C．一个定理不一定有逆定理
D．任何一个定理都有逆定理
【变式12-1】（2019秋•桥西区校级月考）下列说法：（1）“两直线平行，同位角相等”与“同位角相等，两直线平行”互为逆定理；（2）命题“如果两个角相等，那么它们都是直角”的逆命题为假命题；（3）命题“如果﹣a＝5，那么a＝﹣5”的逆命题为“如果﹣a≠﹣5，那么a≠﹣5”，其中正确的有（ ）
A．0个 B．1 个 C．2个 D．3个
【变式12-2】（2020春•太平区期末）下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A．两直线平行，同旁内角互补
B．等边三角形的三个内角都相等
C．两个全等直角三角形的对应角相等
D．直角三角形的两个锐角互余
【变式12-3】（2019春•端州区期末）下列命题的逆命题能成立的有（ ）
①两条直线平行，内错角相等； ②如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
③全等三角形的对应角相等； ④在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【考点13 勾股定理的应用（求面积）】
【方法点拨】解决此类问题要善于将面积中的平方式子与勾股定理中的平方式子建立联系.
【例13】（2020春•柳州期末）如图，分别以直角△ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，若S2＝7，S3＝2，那么S1＝（ ）
A．9 B．5 C．53 D．45
【变式13-1】（2020春•西华县期末）如图，所有的四边形是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为13cm，则图中所有的正方形的面积之和为（ ）
A．169cm2 B．196cm2 C．338cm2 D．507cm2
【变式13-2】（2019秋•南海区期末）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了下图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2019次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）
A．1 B．2018 C．2019 D．2020
【变式13-3】（2020春•无为县期末）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算术《周髀算经》中早有记载．以直角三角形纸片的各边分别向外作正方形纸片，再把较小的两张正方形纸片按如图的方式放置在最大正方形纸片内．若已知图中阴影部分的面积，则可知（ ）
A．直角三角形纸片的面积
B．最大正方形纸片的面积
C．最大正方形与直角三角形的纸片面积和
D．较小两个正方形纸片重叠部分的面积
【考点14 勾股定理的应用（面积法求斜边高）】
【方法点拨】解决此类问题要善于利用等积法求解.
【例14】（2020春•安陆市期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，CD⊥AB于D，则CD的长是（ ）
A．5 B．7 C．125 D．245
【变式14-1】（2020春•开原市校级月考）如图所示，在△ABC中，点D是BC上的一点，已知AC＝CD＝5，AD＝6，BD=52，则△ABC的面积是（ ）
A．18 B．36 C．72 D．125
【变式14-2】（2019秋•南海区期末）如图，三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是 ．
【变式14-3】（2020春•大冶市期末）在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC上的高AD长为12，则△ABC的面积为（ ）
A．84 B．24 C．24或84 D．42或84
【考点15 勾股定理的应用（方程思想）】
【方法点拨】解题的关键是利用勾股定理求解线段长度，选择直角三角形借助勾股定理构造方程是解这类
问题通用方法.
【例15】（2019秋•通州区期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°．点D为BC边上一点，线段AD将Rt△ABC分为两个周长相等的三角形．若CD＝2，BD＝6，求△ABC的面积．
【变式15-1】（2019秋•宜宾期末）如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，CD是AB边上的高．求线段AD的长．
【变式15-2】（2020春•林州市期末）已知在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC，垂足为D，交AB于点E，且BE2﹣AE2＝AC2．
（1）求∠A的度数；
（2）若DE＝3，BD＝4，求AE的长．
【变式15-3】（2019秋•大丰区期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若点P从点A出发以每秒1cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值；
（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上（但不与A点重合），求t的值．
【考点16 勾股定理的逆定理（判断直角三角形）】
【方法点拨】如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
【例16】（2020春•官渡区期末）下列条件中，不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．a：b：c＝5：12：13 B．∠A+∠B＝∠C
C．∠A：∠B：∠C＝2：3：5 D．a＝6，b＝12，c＝10
【变式16-1】（2019秋•晋江市期末）在△ABC中，BC＝a，AB＝c，AC＝b，则不能作为判定△ABC是直角三角形的条件的是（ ）
A．∠A＝∠B﹣∠C B．∠A：∠B：∠C＝1：4：3
C．a：b：c＝7：24：25 D．a：b：c＝4：5：6
【变式16-2】（2020春•下陆区校级期中）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（ ）
A．如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC 是直角三角形
B．如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，那么△ABC 是直角三角形
C．如果 a2：b2：c2＝9：16：25，那么△ABC 是直角三角形
D．如果 a2＝b2﹣c2，那么△ABC 是直角三角形且∠A＝90°
【变式16-3】（2020春•碑林区校级期末）在如图所示的网格纸中，有A、B两个格点，试取格点C，使得△ABC是直角三角形，则这样的格点C的个数是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【考点17 勾股定理的逆定理（求面积）】
【方法点拨】如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
【例7】（2020春•嘉陵区期末）如图，四边形ABCD的四边，AB＝13，BC＝12，CD＝4，AD＝3，对角线AC⊥BC．求四边形ABCD的面积．
【变式17-1】（2020春•南丹县期末）如图，在△ABC中，AD＝15，AC＝12，DC＝9，点B是CD延长线上一点，连接AB，若AB＝20．求：△ABD的面积．
【变式17-2】（2020春•阜平县期末）如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD＝3cm，AB＝4cm，CD＝12cm，BC＝13cm，求四边形ABCD的面积．
【变式17-3】（2020秋•黔西县期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°，求：
（1）∠A+∠C的度数；
（2）四边形ABCD的面积．
【考点18 勾股定理的实际应用】
【例18】（2020春•盘龙区期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7米，梯子顶端到地面的距离AC为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A'D为1.5米，则小巷的宽为（ ）
A．2.5米 B．2.6米 C．2.7米 D．2.8米
【变式18-1】（2020春•官渡区期末）《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC+AB＝10尺，BC＝4尺，求AC的长．AC的长为（ ）
A．3尺 B．4.2尺 C．5尺 D．4尺
【变式18-2】（2020春•新乡期末）如图，公路MN和公路PQ在点P处交会，公路PQ上点A处有学校，点A到公路MN的距离为80m，现有一卡车在公路MN上以5m/s的速度沿PN方向行驶，卡车行驶时周围100m以内都会受到噪音的影响，请你算出该学校受影响的时间多长？
【变式18-3】（2019秋•开江县期末）在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破．已知点C与公路上的停靠站A的距离为600米，与公路上另一停靠站B的距离为800米，且CA⊥CB，如图，为了安全起见，爆破点C周围半径400米范围内不得进入．问在进行爆破时，公路AB段是否有危险，是否需要暂时封锁？请通过计算进行说明．
【考点19 勾股定理中的最短路径问题】
【方法点拨】解决此类问题需先将立体图形进行展开，在平面上利用两点之间线段最短作图，利用勾股
定理即可求解.
【例19】（2020春•碑林区校级期末）如图，圆柱的底面半径为24，高为7π，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是 ．
【变式19-1】（2019秋•郑州期末）如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为40πm的半圆，其边缘AB＝CD＝20m，点E在CD上，CE＝5m，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离约为 m．（边缘部分的厚度忽略不计）
【变式19-2】（2020春•河北期末）如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为16cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿4cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为20cm，则该圆柱底面周长为（ ）
A．12cm B．14cm C．20cm D．24cm
【变式19-3】（2019春•颍泉区校级期中）如图，长方体的长为20cm，宽为10cm，高为15cm，点B与点C之间的距离为5cm．一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，那么需要爬行的最短距离是多少？
【考点20 直角三角形全等的判定】
【方法点拨】直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．
【例20】（2019春•桑植县期末）下列命题中：①两直角边对应相等的两个直角三角形全等；②两锐角对应相等的两个直角三角形全等；③斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；④一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等；⑤一锐角和一边对应相等的两个直角三角形全等．其中正确的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式20-1】（2020秋•大港区期末）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，下面四个结论：
①∠ABE＝∠BAD；②△CEB≌△ADC；
③AB＝CE；④AD﹣BE＝DE．
正确的是 （将你认为正确的答案序号都写上）．
【变式20-2】（2019秋•北流市期末）如图（1），AB⊥AD，ED⊥AD，AB＝CD，AC＝DE，试说明BC⊥CE的理由；
如图（2），若△ABC向右平移，使得点C移到点D，AB⊥AD，ED⊥AD，AB＝CD，AD＝DE，探索BD⊥CE的结论是否成立，并说明理由．
【变式20-3】（2020秋•沧州期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于点E；
（1）若B、C在DE的同侧（如图所示）且AD＝CE．求证：AB⊥AC；
（2）若B、C在DE的两侧（如图所示），且AD＝CE，其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由．
专题1.2 特殊三角形章末重难点题型
【浙教版】
【考点1 轴对称图形的识别】
【方法点拨】解决此类问题关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【例1】（2020春•岳阳期末）2020年初，新型冠状病毒引发肺炎疫情．一方有难，八方支援，全国多家医院纷纷选派医护人员驰援武汉．下面是四家医院标志的图案部分，其中图案部分是轴对称图形的是（ ）
A．协和医院 B．湘雅医院 C．齐鲁医院 D．华西医院
【变式1-1】（2020春•青岛期末）下列交通指示标识中，是轴对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1-2】（2020春•陈仓区期末）下列与防疫有关的图案中不是轴对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1-3】（2020春•揭阳期末）下列图形中，是轴对称图形的有（ ）个．
①角 ②线段 ③等腰三角形 ④等边三角形 ⑤扇形 ⑥圆 ⑦平行四边形
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【考点2 轴对称的性质与运用】
【方法点拨】轴对称的性质：对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．
【例2】（2020春•青川县期末）如图，P为∠AOB内一点，分别画出点P关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1P2．交OA于点M，交OB于点N．若P1P2＝5cm，则△PMN的周长为 ．
【变式2-1】（2020•延边州二模）如图，∠AOB＝40°，点P在∠AOB的内部，点C，D分别是点P关于直线OA，OB的对称点，连接CD分别交OA，OB于点E、F．则∠EPF＝ ．
【变式2-2】（2020春•长春期末）如图，点P是∠AOB外一点，点M、N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在线段MN的延长线上．若PM＝2.5cm，PN＝3cm，MN＝4cm，则线段QR的长为 ．
【变式2-3】（2020春•竞秀区期末）如图，点P在∠AOB的内部，点C和点P关于OA对称，点P关于OB对称点是D，连接CD交OA于M，交OB于N．
（1）①若∠AOB＝60°，则∠COD＝ °；
②若∠AOB＝α，求∠COD的度数．
（2）若CD＝4，则△PMN的周长为 ．
【考点3 轴对称最短路径问题】
【例3】（2019秋•广饶县期末）如图所示，OB是一条河流，OC是一片菜田，张大伯每天从家（A点处）去河处流边挑水，然后把水挑到菜田处，最后回到家中．请你帮他设计一条路线，使张大伯每天行走的路线最短．下列四个方案中你认为符合要求的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-1】（2020春•抚远市校级期末）如图，∠AOB＝30°，点M、N分别是射线OB、OA上的动点，点P为∠AOB内一点，且OP＝4，则△PMN的周长的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【变式3-2】（2020春•碑林区校级期末）如图，在锐角△ABC中，∠ACB＝50°；边AB上有一定点P，M、N分别是AC和BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【变式3-3】（2020春•青羊区期末）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝34°，在边AB，BC上分别找一点E，F使△DEF的周长最小，此时∠EDF＝ ．
【考点4 等腰三角形的性质（分类讨论思想）】
【方法点拨】解决此类问题的关键要注意分类讨论思想．
【例4】（2019秋•谢家集区期末）等腰三角形的周长为14cm，其中一边长为4cm，则该等腰三角形的腰长为（ ）
A．4cm B．5cm C．4cm或5cm D．4cm或6cm
【变式4-1】（2019春•郑州期末）等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为50°，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ）
A．40° B．70° C．40°或70° D．40°或140°
【变式4-2】（2020春•东城区校级期末）等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm．则等腰三角形的腰长为（ ）
A．2cm B．8cm
C．2cm或8cm D．以上答案都不对
【变式4-3】（2019秋•殷都区期中）等腰三角形一腰上的高等于该三角形另一边长的一半．则其顶角等于（ ）
A．30° B．30°或150°
C．120°或150° D．120°、30°或150°
【考点5 等腰三角形的性质（求角度综合）】
【方法点拨】解决此类问题的关键要掌握等腰三角形两底角相等（简称等边对等角），常与三角形外角的性质及三角形内角和定理结合运用．
【例5】（2019秋•高州市期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝EB，则∠A的度数是（ ）
A．30° B．36° C．45° D．50°
【变式5-1】（2020春•历下区期末）如图，已知∠AOB＝10°，且OC＝CD＝DE＝EF＝FG＝GH，则∠BGH＝（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【变式5-2】（2020春•广饶县期末）如图，△AA1B中，AB＝A1B，∠B＝20°，A2，A3，A4，A5，…An都在AA1的延长线上，B1，B2，B3，B4…分别在A1B，A2B1，A3B2，A4B3，…上，且满足A1B1＝A1A2，A2B2＝A2A3，A3B3＝A3A4，A4B4＝A4A5，…，依此类推，∠B2019A2020A2019＝ ．
【变式5-3】（2020春•叙州区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，E为BC边上一点，以E为顶点作∠AEF，∠AEF的一边交AC于点F，使∠AEF＝∠B．
（1）如果∠ABC＝40°，则∠BAC＝ ；
（2）判断∠BAE与∠CEF的大小关系，并说明理由；
（3）当△AEF为直角三角形时，求∠AEF与∠BAE的数量关系．
【考点6 等腰三角形的性质（三线合一）】
【方法点拨】解决此类问题的关键要掌握等腰三角形两底角相等（简称等边对等角），常与三角形外角的性质及三角形内角和定理结合运用．
【例6】（2019秋•江油市期末）如图：D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若BD＝1，BC＝3，则AC的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【变式6-1】（2019秋•丰城市期末）如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M．
（1）求∠E的度数．
（2）求证：M是BE的中点．
【变式6-2】（2019秋•宁都县期末）如图所示，△ABC中，AB＝BC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点D，交AC于F．
（1）若∠AFD＝155°，求∠EDF的度数；
（2）若点F是AC的中点，求证：∠CFD=12∠B．
【变式6-3】如图所示，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC．
（1）若D为BC的中点，过D作DM⊥DN分别交AB、AC于M、N，求证：DM＝DN；
（2）若D为BC的中点，DM⊥DN分别和BA、AC延长线交于M、N，问DM和DN有何数量关系，并证明．
【考点7 等腰三角形的性质（作等腰三角形）】
【例7】（2018秋•随县期末）已知：如图，下列三角形中，AB＝AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（ ）
A．①③④ B．①②③④ C．①②④ D．①③
【变式7-1】（2020•海门市一模）线段AB在如图所示的8×8网格中（点A、B均在格点上），在格点上找一点C，使△ABC是以∠B为顶角的等腰三角形，则所有符合条件的点C的个数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式7-2】（2019秋•安陆市期末）如图，已知△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，在△ABC所在平面内一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ）
A．5条 B．4条 C．3条 D．2条
【变式7-3】（2019秋•鼓楼区月考）如图，直线PQ上有一点O，点A为直线外一点，连接OA，在直线PQ上找一点B，使得△AOB是等腰三角形，这样的点B最多有 个．
【考点8 等边三角形的性质（含30°直角三角形）】
【方法点拨】掌握直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
【例8】（2019秋•大洼区期末）如图，在等边三角形ABC中，BC＝2，D是AB的中点，过点D作DF⊥AC于点F，过点F作EF⊥BC于点E，则BE的长为（ ）
A．1 B．32 C．54 D．43
【变式8-1】（2019秋•济南期末）如图，点P、M、N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB于点P，MN⊥BC于点M，PN⊥AC于点N，若AB＝12cm，求CM的长为 ．
【变式8-2】（2019秋•五常市期末）如图，△ABC是等边三角形，D是BC延长线上一点，DE⊥AB于点E，EF⊥BC于点F．若CD＝3AE，CF＝6，则AC的长为 ．
【变式8-3】（2019秋•南岗区校级月考）如图，△ABC是等边三角形，DE∥AB分别交BC、AC于点D、E，过点E做EF⊥DE，交线段BC的延长线于点F．
（1）求证：CE＝CF；
（2）若BD=13CE，AB＝8，求线段DF的长．
【考点9 等边三角形的判定与性质综合】
【例9】（2019秋•雨花区校级月考）已知如图等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②∠APO＝∠DCO；③△OPC是等边三角形；④AB＝AO+AP．其中正确的是（ ）
A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①②③④
【变式9-1】（2020春•龙泉驿区期末）如图，C为线段AE上一动点，（不与点A、E重合），在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．
求证：（1）AD＝BE
（2）△APC≌△BQC
（3）△PCQ是等边三角形．
【变式9-2】（2020•烟台）如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．
【问题解决】
如图1，若点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD；
【类比探究】
如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．
【变式9-3】（2019秋•东台市期末）在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系．
（1）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM＝DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是 ；此时QL= ；
（2）如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想（ I）问的两个结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由．
（3）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，探索BM、NC、MN之间的数量关系如何？并给出证明．
【考点10 共点等腰（手拉手模型）】
【例10】（2019秋•垦利区期中）已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：
①BD＝CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC＝45°；④∠ACE＝∠DBC．
其中结论正确的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式10-1】（2019•滨州）如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【变式10-2】（2019秋•常德期末）（1）问题发现
如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE，求∠AEB的度数．
（2）拓展探究
如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．请求∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．
【变式10-3】（2020秋•上蔡县校级期中）已知Rt△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝45°，点D为直线BC上的一动点（点D不与点B、C重合），以AD为边作Rt△ADE，AD＝AE，∠ADE＝∠AED＝45°，连接CF．
（1）发现问题
如图①，当点D在边BC上时．
①请写出BD和CE之间的数量关系为 ，位置关系为 ；
②求证：CE+CD＝BC
（2）尝试探究
如图②，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，（1）中BC、CE、CD之间存在的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，不证明．
（3）拓展延伸
如图③，当点D在CB的延长线上且其他条件不变时，若BC＝6，CE＝2，求线段CD的长．
【考点11 直角三角形斜边中线】
【方法点拨】掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
【例11】（2020春•蚌埠期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠DAC＝45°，∠BAC＝30°，E是AC的中点，连接BE，BD．则∠DBE的度数为（ ）
A．10° B．12° C．15° D．18°
【变式11-1】（2020春•包河区期末）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，O为AB的中点，点E在BC上，且CE＝AC，∠BAE＝15°，则∠COE＝ 度．
【变式11-2】（2019秋•余姚市期末）如图，AD是△ABC的高线，且BD=12AC，E是AC的中点，连结BE，取BE的中点F，连结DF，求证：DF⊥BE．
【变式11-3】（2020春•重庆期末）如图（1），已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．
（1）求证：MN⊥DE．
（2）连结DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明猜想．
（3）当∠A变为钝角时，如图（2），上述（1）（2）中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由．
【考点12 逆命题和逆定理】
【例12】（2019春•临颍县期中）下列命题中错误的是（ ）
A．任何一个命题都有逆命题
B．一个真命题的逆命题可能是真命题
C．一个定理不一定有逆定理
D．任何一个定理都有逆定理
【变式12-1】（2019秋•桥西区校级月考）下列说法：（1）“两直线平行，同位角相等”与“同位角相等，两直线平行”互为逆定理；（2）命题“如果两个角相等，那么它们都是直角”的逆命题为假命题；（3）命题“如果﹣a＝5，那么a＝﹣5”的逆命题为“如果﹣a≠﹣5，那么a≠﹣5”，其中正确的有（ ）
A．0个 B．1 个 C．2个 D．3个
【变式12-2】（2020春•太平区期末）下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A．两直线平行，同旁内角互补
B．等边三角形的三个内角都相等
C．两个全等直角三角形的对应角相等
D．直角三角形的两个锐角互余
【变式12-3】（2019春•端州区期末）下列命题的逆命题能成立的有（ ）
①两条直线平行，内错角相等； ②如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
③全等三角形的对应角相等； ④在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【考点13 勾股定理的应用（求面积）】
【方法点拨】解决此类问题要善于将面积中的平方式子与勾股定理中的平方式子建立联系.
【例13】（2020春•柳州期末）如图，分别以直角△ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，若S2＝7，S3＝2，那么S1＝（ ）
A．9 B．5 C．53 D．45
【变式13-1】（2020春•西华县期末）如图，所有的四边形是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为13cm，则图中所有的正方形的面积之和为（ ）
A．169cm2 B．196cm2 C．338cm2 D．507cm2
【变式13-2】（2019秋•南海区期末）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了下图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2019次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）
A．1 B．2018 C．2019 D．2020
【变式13-3】（2020春•无为县期末）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算术《周髀算经》中早有记载．以直角三角形纸片的各边分别向外作正方形纸片，再把较小的两张正方形纸片按如图的方式放置在最大正方形纸片内．若已知图中阴影部分的面积，则可知（ ）
A．直角三角形纸片的面积
B．最大正方形纸片的面积
C．最大正方形与直角三角形的纸片面积和
D．较小两个正方形纸片重叠部分的面积
【考点14 勾股定理的应用（面积法求斜边高）】
【方法点拨】解决此类问题要善于利用等积法求解.
【例14】（2020春•安陆市期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，CD⊥AB于D，则CD的长是（ ）
A．5 B．7 C．125 D．245
【变式14-1】（2020春•开原市校级月考）如图所示，在△ABC中，点D是BC上的一点，已知AC＝CD＝5，AD＝6，BD=52，则△ABC的面积是（ ）
A．18 B．36 C．72 D．125
【变式14-2】（2019秋•南海区期末）如图，三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是 ．
【变式14-3】（2020春•大冶市期末）在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC上的高AD长为12，则△ABC的面积为（ ）
A．84 B．24 C．24或84 D．42或84
【考点15 勾股定理的应用（方程思想）】
【方法点拨】解题的关键是利用勾股定理求解线段长度，选择直角三角形借助勾股定理构造方程是解这类
问题通用方法.
【例15】（2019秋•通州区期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°．点D为BC边上一点，线段AD将Rt△ABC分为两个周长相等的三角形．若CD＝2，BD＝6，求△ABC的面积．
【变式15-1】（2019秋•宜宾期末）如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，CD是AB边上的高．求线段AD的长．
【变式15-2】（2020春•林州市期末）已知在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC，垂足为D，交AB于点E，且BE2﹣AE2＝AC2．
（1）求∠A的度数；
（2）若DE＝3，BD＝4，求AE的长．
【变式15-3】（2019秋•大丰区期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若点P从点A出发以每秒1cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值；
（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上（但不与A点重合），求t的值．
【考点16 勾股定理的逆定理（判断直角三角形）】
【方法点拨】如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
【例16】（2020春•官渡区期末）下列条件中，不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．a：b：c＝5：12：13 B．∠A+∠B＝∠C
C．∠A：∠B：∠C＝2：3：5 D．a＝6，b＝12，c＝10
【变式16-1】（2019秋•晋江市期末）在△ABC中，BC＝a，AB＝c，AC＝b，则不能作为判定△ABC是直角三角形的条件的是（ ）
A．∠A＝∠B﹣∠C B．∠A：∠B：∠C＝1：4：3
C．a：b：c＝7：24：25 D．a：b：c＝4：5：6
【变式16-2】（2020春•下陆区校级期中）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（ ）
A．如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC 是直角三角形
B．如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，那么△ABC 是直角三角形
C．如果 a2：b2：c2＝9：16：25，那么△ABC 是直角三角形
D．如果 a2＝b2﹣c2，那么△ABC 是直角三角形且∠A＝90°
【变式16-3】（2020春•碑林区校级期末）在如图所示的网格纸中，有A、B两个格点，试取格点C，使得△ABC是直角三角形，则这样的格点C的个数是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【考点17 勾股定理的逆定理（求面积）】
【方法点拨】如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
【例7】（2020春•嘉陵区期末）如图，四边形ABCD的四边，AB＝13，BC＝12，CD＝4，AD＝3，对角线AC⊥BC．求四边形ABCD的面积．
【变式17-1】（2020春•南丹县期末）如图，在△ABC中，AD＝15，AC＝12，DC＝9，点B是CD延长线上一点，连接AB，若AB＝20．求：△ABD的面积．
【变式17-2】（2020春•阜平县期末）如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD＝3cm，AB＝4cm，CD＝12cm，BC＝13cm，求四边形ABCD的面积．
【变式17-3】（2020秋•黔西县期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°，求：
（1）∠A+∠C的度数；
（2）四边形ABCD的面积．
【考点18 勾股定理的实际应用】
【例18】（2020春•盘龙区期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7米，梯子顶端到地面的距离AC为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A'D为1.5米，则小巷的宽为（ ）
A．2.5米 B．2.6米 C．2.7米 D．2.8米
【变式18-1】（2020春•官渡区期末）《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC+AB＝10尺，BC＝4尺，求AC的长．AC的长为（ ）
A．3尺 B．4.2尺 C．5尺 D．4尺
【变式18-2】（2020春•新乡期末）如图，公路MN和公路PQ在点P处交会，公路PQ上点A处有学校，点A到公路MN的距离为80m，现有一卡车在公路MN上以5m/s的速度沿PN方向行驶，卡车行驶时周围100m以内都会受到噪音的影响，请你算出该学校受影响的时间多长？
【变式18-3】（2019秋•开江县期末）在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破．已知点C与公路上的停靠站A的距离为600米，与公路上另一停靠站B的距离为800米，且CA⊥CB，如图，为了安全起见，爆破点C周围半径400米范围内不得进入．问在进行爆破时，公路AB段是否有危险，是否需要暂时封锁？请通过计算进行说明．
【考点19 勾股定理中的最短路径问题】
【方法点拨】解决此类问题需先将立体图形进行展开，在平面上利用两点之间线段最短作图，利用勾股
定理即可求解.
【例19】（2020春•碑林区校级期末）如图，圆柱的底面半径为24，高为7π，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是 ．
【变式19-1】（2019秋•郑州期末）如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为40πm的半圆，其边缘AB＝CD＝20m，点E在CD上，CE＝5m，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离约为 m．（边缘部分的厚度忽略不计）
【变式19-2】（2020春•河北期末）如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为16cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿4cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为20cm，则该圆柱底面周长为（ ）
A．12cm B．14cm C．20cm D．24cm
【变式19-3】（2019春•颍泉区校级期中）如图，长方体的长为20cm，宽为10cm，高为15cm，点B与点C之间的距离为5cm．一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，那么需要爬行的最短距离是多少？
【考点20 直角三角形全等的判定】
【方法点拨】直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．
【例20】（2019春•桑植县期末）下列命题中：①两直角边对应相等的两个直角三角形全等；②两锐角对应相等的两个直角三角形全等；③斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；④一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等；⑤一锐角和一边对应相等的两个直角三角形全等．其中正确的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式20-1】（2020秋•大港区期末）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，下面四个结论：
①∠ABE＝∠BAD；②△CEB≌△ADC；
③AB＝CE；④AD﹣BE＝DE．
正确的是 （将你认为正确的答案序号都写上）．
【变式20-2】（2019秋•北流市期末）如图（1），AB⊥AD，ED⊥AD，AB＝CD，AC＝DE，试说明BC⊥CE的理由；
如图（2），若△ABC向右平移，使得点C移到点D，AB⊥AD，ED⊥AD，AB＝CD，AD＝DE，探索BD⊥CE的结论是否成立，并说明理由．
【变式20-3】（2020秋•沧州期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于点E；
（1）若B、C在DE的同侧（如图所示）且AD＝CE．求证：AB⊥AC；
（2）若B、C在DE的两侧（如图所示），且AD＝CE，其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由．
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