2022-2023学年辽宁省大连市高新园区九年级（上）期中数学试卷(解析版)

这是一份2022-2023学年辽宁省大连市高新园区九年级（上）期中数学试卷(解析版)
2022-2023学年辽宁省大连市高新园区九年级（上）期中数学试卷第I卷（选择题）一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）下列图形是中心对称图形的是(    )A. B. C. D. 方程(x-2)2=3(x-2)的解是(    )A. x=5 B. x1=5，x2=2C. x1=1，x2=2 D. x=2在平面直角坐标系中，点(2,1)关于原点对称的点的坐标是(    )A. (-2,1) B. (2,-1) C. (1,2) D. (-2,-1)抛物线y=2(x-1)2-3的顶点是(    )A. (-1,-3) B. (-1,3) C. (1.-3) D. (1.3)如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，若DE//BC，ADAB=25，DE=4cm，则BC的长为(    )A. 10cmB. 12cmC. 14cmD. 16cm抛物线y=ax2+(a-2)x-a-1经过原点，那么a的值等于(    )A. 0 B. 1 C. -1 D. 3如图，D为△ABC中AC边上一点，∠CBD=∠A，BC=4，AC=6，则线段DC长为(    )A. 32 B. 83 C. 2 D. 43已知关于x的方程x2-6x+k-1=0没有实数根，则k的取值范围是(    )A. k10如图，在△ABC中，∠BAC=120°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A、B的对应点分别为D、E，连接AD.当点A、D、E在同一条直线上时，下列结论：①∠ADC=60°；②∠BCE=60°；③AE平分∠BAC．其中正确的结论是(    )A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③如图，一位运动员推铅球，铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系是y=-112x2+12x+43，则此运动员把铅球推出多远(    )A. 6m B. 8m C. 10m D. 12m第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）二次函数y=x2-2x+3图象与y轴的交点坐标是______ ．若m是一元二次方程x2+x-1=0的一个根，则m2+m+2022的值是______．如图，在▱ABCD中，AEEB=23，若S△AEF=4cm2，则S△CDF=______cm2．在二次函数y=x2-2x+5中，当x>2时，y随x的增大而______(填“增大”或“减小”)．《九章算术)是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？“其意思为：今有一门，高比宽多6尺，门对角线距离恰好为1丈，问门高、宽各是多少？(1丈=10尺)如图，设门高AB为x尺，根据题意，可列方程为______(将方程化简并写成一般形式)．如图，M是Rt△ABC斜边AB上的中点，将Rt△ABC绕点B旋转，使得点C落在射线CM上的点D处，点A落在点E处，边ED的延长线交边AC于点F.如果BC=3.AC=4.那么CF的长等于______．三、解答题（本大题共10小题，共102.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）(本小题9.0分)已知抛物线的顶点坐标为(1,-2)，且经过点(4,-5)，求该抛物线的解析式．(本小题10.0分)如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC三个顶点的坐标分别为A(2,4)，B(1,1)，C(4,3)．(1)请画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1，点A、B、C的对应点分别为A1、B1，C1；(2)请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2B2C2，点A、B、C的对应边分别为A2、B2、C2，并写出点A2的坐标．(本小题10.0分)如图，△ADE与△ABC有公共顶点A，∠BAD=∠CAE=∠DCB.求证：△ADE∽△ABC．(本小题10.0分)某市2019年底，城市树木花草的绿化面积约400万亩，为持续保护和改善生态环境，经过两年的努力，到2021年底绿化面积约484万亩．求这两年绿化面积的年平均增长率．(本小题9.0分)如图，小明同学用自制的直角三角形DEF测量树的高度AB，∠DEF=90°，DF=0.5m，EF=0.3m.他调整自己的位置，使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线，测得边DF离地面高度AC=1.5m，CD=10m，求树高AB．(本小题10.0分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是中线，AE⊥CD，垂足为F．(1)求证△CAE∽△CBA；(2)若CD=2，AE=3，求AC的长度．(本小题10.0分)某商店销售一种销售成本为40元/件的商品，销售一段时间后发现，每天的销量y(件)与当天的销售单价x(元/件)满足一次函数关系，并且当x=20时，y=1000；当x=25时，y=950.其中40≤x≤100．(1)求出y与x的函数关系式；(2)求出每件售价多少元时，商店销售该商品每天能获得最大利润，最大利润是多少元．(本小题11.0分)如图，在△ABC中，AB=BC，AD⊥BC于点D，AD=5cm，BD=12CD，点P是AB边上一动点(点P不与点A、B重合)，过点P作PQ⊥BC于点Q.点M在射线QC上，且QM=BQ，设BQ=x cm，△PQM与△ABD重叠部分的面积为scm2．(1)求AB的长；(2)求s关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围．(本小题11.0分)综合与实践：问题情境：数学活动课上，张老师出示了一个问题：如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，D为BC边上一点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转12α.得到AE，连接CE．探究∠ADB与∠CAE之间的数量关系，并证明．独立思考：(1)请解答张老师提出的问题．实践探究：(2)在原有问题条件不变的情况下，张老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答．“如图2，若α=120°，求证：AD=CE”．问题解析：(3)数学活动小组对上述问题特殊化研究之后发现，当EC⊥BC时，若给出△ABC的腰和底的数量关系，则图3中所有已经用字母标记的线段，任意两条线段之间的比值均可求．该小组提出下面问题，请你解答．“如图3，在(1)条件下，若EC⊥BC，ABBC=58，求CECD的值”．(本小题12.0分)如图1，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，直线y=-x+3经过B、C两点．(1)求抛物线的解析式；(2)点D在抛物线上，连接BD、CD，若△BCD的面积为15，求点D的坐标；(3)如图2，连接AC，点E在抛物线上，连接AE，若∠BAE=2∠ACB，求点E的坐标．答案和解析1.【答案】A 【解析】解：选项B、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．故选：A．根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．2.【答案】B 【解析】解：(x-2)2=3(x-2)，(x-2)2-3(x-2)=0，(x-2)(x-2-3)=0，x-2=0或x-2-3=0，所以x1=2，x2=5．故选：B．先移项得到(x-2)2=3(x-2)，然后利用因式分解法解方程．本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．3.【答案】D 【解析】解：在平面直角坐标系中，点(2,1)关于原点对称的点的坐标是(-2,-1)．故选：D．根据“平面直角坐标系中任意一点P(x,y)，关于原点的对称点是(-x,-y)，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答．此题主要考查了关于原点对称点的性质，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．4.【答案】C 【解析】解：由y=-2(x-1)2-3，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为(1,-3)，故选：C．已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．本题考查二次函数的性质，记住顶点式y=a(x-h)2+k，顶点坐标是(h,k)，对称轴是直线x=h．5.【答案】A 【解析】解：∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，∴DEBC=ADAB=25，∵DE=4cm，∴BC=52DE=52×4=10(cm)，∴BC的长为10cm，故选：A．由DE//BC证明△ADE∽△ABC，根据“相似三角形的对应边成比例”得DEBC=ADAB=25，而DE=4cm，则BC=52DE=10cm，于是得到问题的答案．本题考查相似三角形的判定与性质，根据“平行于三角形一边的直线和其它两边或两边的延长线相交所构成的三角形与原三角形相似”证明△ADE∽△ABC是解题的关键．6.【答案】C 【解析】解：∵抛物线y=ax2+(a-2)x-a-1经过原点，∴0=-a-1，解得a=-1，故选：C．根据抛物线y=ax2+(a-2)x-a-1经过原点，可以得到0=-a-1，然后求出a的值即可．本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．7.【答案】B 【解析】解：∵∠CBD=∠A，∠C=∠C，∴△CBD∽△CAB，∴CBAC=CDCB，∴BC2=AC⋅CD，∴CD=BC2AC=166=83．故选：B．设CD=x，根据两角对应相等推出△CBD∽△CAB，得出比例式，代入求出即可．本题考查了相似三角形的性质和判定，注意：有两角对应相等的两三角形相似，相似三角形的对应边成比例．8.【答案】D 【解析】解：∵关于x的方程x2-6x+k-1=0没有实数根，∴Δ=(-6)2-4(k-1)10．故选：D．根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ=36-4k+42时，y随x的增大而增大．故答案为：增大．先把二次函数解析式化为顶点式，根据顶点式可求顶点坐标及对称轴，再结合开口方向判断增减性．本题考查了二次函数的性质，抛物线的增减性是由对称轴和开口方向确定的，确定开口方向和对称轴是关键．15.【答案】(x-6)2+x2=102 【解析】解：设门高AB为x尺，则门的宽为(x-6)尺，AC=1丈=10尺，依题意得：AB2+BC2=AC2，即(x-6)2+x2=102．故答案为：(x-6)2+x2=102．设门高AB为x尺，则门的宽为(x-6)尺，利用勾股定理，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．16.【答案】92 【解析】解：如图，连接BF． 在Rt△BFC和Rt△BFD中，BF=BFBC=BD，∴Rt△BFC≌Rt△BFD(HL)，∴CF=DF，∵BC=BD，∴BF垂直平分线段CD，∴∠MCB+∠CBF=90°，∠ACM+∠BCM=90°，∴∠ACM=∠CBM，∵∠ACB=90°，AM=BM，∴CM=MA=MB，∴∠ACM=∠A，∴∠CBF=∠A，∵∠ACB=∠BCF=90°，∴△ACB∽△BCF，∴BCCF=ACCB，∴CF=CB2AC=368=92，故答案为：92．如图，连接BF.证明Rt△BFC≌Rt△BFD(HL)，推出CF=DF，证明BF垂直平分线段CD，再证明△ACB∽△BCF，可得BCCF=ACCB，即可解决问题．本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题．17.【答案】解：由抛物线的顶点坐标为(1,-2)，设抛物线的解析式为y=a(x-1)2-2，将(4,-5)代入y=a(x-1)2-2得-5=9a-2，解得a=-13．∴y=-13(x-1)2-2． 【解析】设抛物线的解析式为y=a(x-1)2-2，将(4,-5)代入解析式求解．本题考查求二次函数解析式，解题的关键是掌握待定系数法．18.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1为所作；(2)如图，△A2B2C2为所作，点A2坐标为(-2,2)． 【解析】(1)利用关于原点对称的点的坐标特征得到A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；(2)利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A2、B2、C2即可；本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．19.【答案】证明：∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAD+∠BAE=∠BAE+∠CAE，即∠DAE=∠CAB，∵∠AED=∠CAE+∠ACE，∠ACB=∠DCB+∠ACE，∵∠CAE=∠DCB，∴∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC， 【解析】利用两角对应相等的三角形相似进而得出即可．此题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练应用相似三角形的性质是解题关键．20.【答案】解：设这两年绿化面积的年平均增长率为x，根据题意得：400(1+x)2=484，解得：x1=0.1=10%，x2=-2.1(不符合题意，舍去)．答：这两年绿化面积的年平均增长率为10%． 【解析】设这两年绿化面积的年平均增长率为x，利用该市2021年底绿化面积=该市2019年底绿化面积×(1+这两年绿化面积的年平均增长率)2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．21.【答案】解：由题意得：DC⊥BC，∵∠DEF=90°，DF=0.5m，EF=0.3m，∴DE=DF2-EF2=0.4m，F=∠DCB=90°，∵∠D=∠D，∴△DEF∽△DCB，∴EFBC=DEDC，∴0.3BC=0.410，∴BC=7.5m．∴AB=AC+BC=1.5+7.5=9m．答：树高AB为9m． 【解析】利用相似三角形的判定得到△DEF∽△DCB，由相似三角形的性质求得BC的长，则AB=AC+BC．本题主要考查了相似三角形的判定与性质，相似三角形的应用，利用相似三角形的性质求得BC的长是解题的关键．22.【答案】(1)证明：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∵CD是中线，∴CD=AD=DB=12AB，∴∠FCE=∠B，∵∠ACB=90°，∴∠FCE+∠ACF=90°，∵AE⊥CD，∴∠ACF+∠FAC=90°，∴∠FAC=∠FCE，∴∠FAC=∠B，∵∠ACE=∠BCA=90°，∴△CAE∽△CBA；(2)解：∵△CAE∽△CBA，∴AEAB=CECA，在Rt△ABC中，∵CD是中线，CD=2，AE=3，∴2CD=AB=4，∴CECA=AEAB=34，设AC=4k，则CE=3k，在Rt△ACE中，∠ACE=90°，∴AC2+CE2=AE2，∴(4k)2+(3k)2=32，解得k=35，∴AC=4k=125． 【解析】(1)根据相似三角形的判定方法即可得证；(2)根据相似三角形对应边成比例可得CECA=AEAB=34，设AC=4k，则CE=3k，再根据勾股定理求出k的值，进而可得AC的长．本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解决本题的关键是得到△CAE∽△CBA．23.【答案】解：(1)设y与x的函数关系式为：y=kx+b，将当x=20时，y=1000，当x=25时，y=950代入得：20k+b=100025k+b=950，解得k=-10b=1200，∴y=-10x+1200，∴y与x的函数关系式为y=-10x+1200；(2)设销售利润为W元，W=(x-40)(-10x+1200) =-10x2+1600x-48000 =-10(x-80)2+16000，∵a=-100，∴x=1，∴AB=13cm；(2)由(1)知：BD=12cm，∵PQ⊥BC，AD⊥BC，∴PQ//AD，∴△PBQ∽△ABD，∴PQAD=BQBD，∴PQ=512x，∵QM=BQ，∴当0