2022-2023学年山东省菏泽市巨野县人教版九年级（上）期中数学试卷(解析版)

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2022-2023学年山东省菏泽市巨野县九年级第一学期期中数学试卷一、选择题（每题3分，共24分）1．下列方程中是一元二次方程的是（　　）A．x+2y＝1 B．2x（x﹣1）＝2x2+3 C．x2﹣2＝0 D．3x+＝42．∠β为锐角，且2cosβ﹣1＝0，则∠β＝（　　）A．30° B．60° C．45° D．37.5°3．下列说法正确的是（　　）A．若一元二次方程的常数项为0，则0必是它的一个根 B．方程3x2＝4的常数项是4 C．方程ax2+bx+c＝0是关于x的一元二次方程 D．当一次项系数为0时，一元二次方程总有非零解4．如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么该古城墙的高度是（　　）A．6米 B．8米 C．18米 D．24米5．在坡度为1：2的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是（　　）米．A．3 B．12 C． D．6．关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，则a满足（　　）A．a≥1且a≠5 B．a＞1且a≠5 C．a≥1 D．a≠57．△ABO三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（6，0），C（0，0），以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，可以得到△A'B'O，则点A′的坐标是（　　）A．（1，2） B．（1，2）或（﹣1，﹣2） C．（2，1）或（﹣2，﹣1） D．（﹣2，﹣1）8．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：3，则S△DOE：S△AOC的值为（　　）A． B． C． D．二、填空题（每题3分，共18分）9．如图，D、E是三角形ABC的边AB、AC上的点，DE∥BC，已知AB＝8cm，AC＝12cm，BD＝3cm，则AE＝　 　cm．10．如图，在正方形网格中，直线AB、CD相交所成的锐角为α，则sinα的值为 　 　．11．若a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，则2a2+4a的值是 　 　．12．计算：cos245°﹣sin30°•tan60°+sin60°＝　 　．13．已知关于x的一元二次方程（x+1）2+m＝0可以用直接开平方法求解，则m的取值范围是　 　．14．我市牡丹机场现已成功运营，给出了某型号客机的机翼示意图．其中m＝1，，则AB的长为 　 　．三、解答题（共78分）15．（16分）解方程：（1）2x2﹣4x+1＝0；（2）5（x+1）2＝7（x+1）；（3）x2+2x﹣3＝0；（4）（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0．16．若方程（m+2）+2mx﹣3＝0是关于x的一元二次方程，求m的值．17．已知平行四边形ABCD的两边AB、BC的长是关于x的方程的两个实数根．（1）求证：无论m取何值，方程总有两个实数根；（2）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长．18．数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含45°的三角板的斜边与含30°的三角板的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角板直角顶点重合拼放在一起，点B，C，E在同一直线上，若BC＝2，求AF的长．请你运用所学的数学知识解决这个问题．19．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE＝ED，DF＝DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．（1）求证：△ABE∽△DEF．（2）若正方形的边长为8，求FG的长．20．如图，张华同学在学校某建筑物的C点处测得旗杆顶部A点的仰角为30°，旗杆底部B点的俯角为45°．若旗杆底部B点到建筑物的水平距离BE＝9米，旗杆台阶高1米，则求旗杆顶点A离地面的高度（结果保留根号）．21．某水果商场经销一种高档水果，原售价每千克50元，连续两次降价后每千克售价32元；每次下降的百分率相同．（1）求每次下降的百分率；（2）已知这种水果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但规定每千克涨价不能超过8元，现该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价多少元？22．如图所示，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．点D由点A出发沿AB方向向点B匀速运动，同时点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接DE，设运动时间为t（s）（0＜t＜10），解答下列问题：（1）当t为何值时，DE⊥BC；（2）在点D，E的运动中，是否存在时间t，使得△BDE与△ABC相似？若存在，请求出对应的时间t；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（每题3分，共24分）1．下列方程中是一元二次方程的是（　　）A．x+2y＝1 B．2x（x﹣1）＝2x2+3 C．x2﹣2＝0 D．3x+＝4【分析】依据一元二次方程的定义回答即可．解：A、x+2y＝1，含有两个未知数，故不是一元二次方程，故A错误；B、方程2x（x﹣1）＝2x2+3可变形为﹣2x＝3，故不是一元二次方程，故B错误；C、方程x2﹣2＝0是一元二次方程，故C正确；D、方程3x+＝4不是一元二次方程，故D错误．故选：C．【点评】本题主要考查的是一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．2．∠β为锐角，且2cosβ﹣1＝0，则∠β＝（　　）A．30° B．60° C．45° D．37.5°【分析】直接利用特殊角的三角函数值，进而得出答案．解：∵∠β为锐角，且2cosβ﹣1＝0，∴cosβ＝，∴∠β＝60°．故选：B．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．3．下列说法正确的是（　　）A．若一元二次方程的常数项为0，则0必是它的一个根 B．方程3x2＝4的常数项是4 C．方程ax2+bx+c＝0是关于x的一元二次方程 D．当一次项系数为0时，一元二次方程总有非零解【分析】根据一元二次方程的定义、一元二次方程的解进行解答．解：A、若一元二次方程的常数项为0，则0必是它的一个根，例如ax2+bx＝x（ax+b）＝0（a≠0）的一个根是0；故本选项正确；B、由方程3x2＝4得，3x2﹣4＝0，则该方程的常数项是﹣4；故本选项错误；C、当a＝0时，方程ax2+bx+c＝0不是一元二次方程；故本选项错误；D、当一次项系数为0时，关于x的一元二次方程为ax2+c＝0（a≠0），它不一定总有非零解．例如，当该方程的常数项c＝0时，它的根是0；故本选项错误；故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程的定义、一元二次方程的解的定义以及一元二次方程的一般形式．注意，一元二次方程ax2+bx+c＝0的二次项系数不为零．4．如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么该古城墙的高度是（　　）A．6米 B．8米 C．18米 D．24米【分析】由已知得△ABP∽△CDP，则根据相似形的性质可得，解答即可．解：由题意知：光线AP与光线PC，∠APB＝∠CPD，∴Rt△ABP∽Rt△CDP，∴，∴CD＝＝8（米）．故选：B．【点评】本题综合考查了平面镜反射和相似形的知识，是一道较为简单的题，考查相似三角形在测量中的应用．5．在坡度为1：2的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是（　　）米．A．3 B．12 C． D．【分析】利用坡度求得垂直高度，进而利用勾股定理可求得相邻两树间的坡面距离．解：∵相邻两树间的水平距离是6 m，坡度为1：2．∴垂直高度为3m．根据勾股定理可得斜坡上相邻两树间的坡面距离是：＝3（m）．故选：C．【点评】此题主要考查了坡度问题，此题的关键是熟悉且会灵活应用公式：tanα（坡度）＝垂直高度÷水平宽度．6．关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，则a满足（　　）A．a≥1且a≠5 B．a＞1且a≠5 C．a≥1 D．a≠5【分析】分类讨论：当a＝5时，原方程变形一元一次方程，有一个实数解；当a≠5时，根据判别式的意义得到a≥1且a≠5时，方程有两个实数根，然后综合两种情况即可得到满足条件的a的范围．解：当a＝5时，原方程变形为﹣4x﹣1＝0，解得x＝﹣；当a≠5时，Δ＝（﹣4）2﹣4（a﹣5）×（﹣1）≥0，解得a≥1，即a≥1且a≠5时，方程有两个实数根，所以a的取值范围为a≥1．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．7．△ABO三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（6，0），C（0，0），以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，可以得到△A'B'O，则点A′的坐标是（　　）A．（1，2） B．（1，2）或（﹣1，﹣2） C．（2，1）或（﹣2，﹣1） D．（﹣2，﹣1）【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案．解：以原点O为位似中心，把△ABO缩小为原来的，得到△A'B'O，点A的坐标为（2，4），则点A'的坐标为（2×，4×）或[2×（﹣），4×（﹣）]，即（1，2）或（﹣1，﹣2），故选：B．【点评】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．8．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：3，则S△DOE：S△AOC的值为（　　）A． B． C． D．【分析】证明BE：EC＝1：3，进而证明BE：BC＝1：4；证明△DOE∽△AOC，得到＝，借助相似三角形的性质即可解决问题．【解答】 解：∵S△BDE：S△CDE＝1：3，∴BE：EC＝1：3；∴BE：BC＝1：4；∵DE∥AC，∴△DOE∽△AOC，∴＝，∴＝，故选：D．【点评】该命题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用形似三角形的判定及其性质来分析、判断、推理或解答．二、填空题（每题3分，共18分）9．如图，D、E是三角形ABC的边AB、AC上的点，DE∥BC，已知AB＝8cm，AC＝12cm，BD＝3cm，则AE＝　　cm．【分析】先求出AD的长，根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解，即可得到AE的长，由EC＝AC﹣AE得出EC的长．解：AD＝AB﹣BD＝5cm，∵DE∥BC，∴CA：AE＝AB：AD．∵AB＝8cm，AC＝12cm，∴AE＝cm．故答案为：．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，注意线段之间的对应关系是解题的关键．10．如图，在正方形网格中，直线AB、CD相交所成的锐角为α，则sinα的值为 　　．【分析】过点C作CE∥AB，过点D作DE⊥CE，垂足为E，如图，根据两直线平行，同位角相等，可得∠DCE＝α，在Rt△CDE中由CE＝4，DE＝3，可得CD＝5，根据sinα＝sin∠DCE＝代入计算即可得出答案．解：过点C作CE∥AB，过点D作DE⊥CE，垂足为E，如图，由题意可知，∠DCE＝α，在Rt△CDE∵CE＝4，DE＝3，∴CD＝5，∴sinα＝sin∠DCE＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法进行计算，添加适当辅助线构造直角三角形是解决本题的关键．11．若a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，则2a2+4a的值是 　6　．【分析】将a代入x2+2x﹣3＝0，即可得出a2+2a＝3，再把a2+2a＝3整体代入2a2+4a，即可得出答案．解：∵a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，∴a2+2a﹣3＝0，∴a2+2a＝3，∴2a2+4a＝2（a2+2a）＝2×3＝6，故答案为：6．【点评】本题考查了一元二次方程的根的定义，整体思想的应用是本题的关键．12．计算：cos245°﹣sin30°•tan60°+sin60°＝　　．【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入，进而计算得出答案．解：原式＝×（）2﹣×+＝×﹣×+＝．故答案为：．【点评】此题主要考查了实数的运算，正确记忆相关数据是解题关键．13．已知关于x的一元二次方程（x+1）2+m＝0可以用直接开平方法求解，则m的取值范围是　m≤0　．【分析】根据直接开平方法求解可得．解：∵（x+1）2+m＝0，∴（x+1）2＝﹣m，∵方程（x+1）2+m＝0可以用直接开平方法求解∴﹣m≥0，∴m≤0．故答案为m≤0．【点评】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，正确化简方程是解题关键．14．我市牡丹机场现已成功运营，给出了某型号客机的机翼示意图．其中m＝1，，则AB的长为 　2﹣　．【分析】构造直角三角形，根据特殊锐角的三角函数求出DE、AG即可．解：如图，延长BA与过点C、D且平行于BE的直线相交于点G、F，在Rt△BDE中，∠DBE＝30°，BE＝n＝，∴DE＝BE＝1，∴BG＝CE＝1+1＝2，在Rt△ACG中，∠ACG＝45°，∴AG＝CG＝BE＝n＝，∴AB＝BG﹣AG＝2﹣，故答案为：2﹣．【点评】本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系以及锐角三角函数的定义是正确正确解答的关键．三、解答题（共78分）15．（16分）解方程：（1）2x2﹣4x+1＝0；（2）5（x+1）2＝7（x+1）；（3）x2+2x﹣3＝0；（4）（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0．【分析】（1）利用配方法解方程，进而得出答案；（2）利用因式分解法解方程，进而得出答案；（3）利用因式分解法解方程，进而得出答案；（4）利用因式分解法解方程，进而得出答案．解：（1）2x2﹣4x+1＝0，则x2﹣2x＝﹣，故x2﹣2x+1＝1﹣，则（x﹣1）2＝，故x﹣1＝±，解得：x1＝，x2＝；（2）5（x+1）2＝7（x+1），则（x+1）[5（x+1）﹣7]＝0，故（x+1）（5x﹣2）＝0，则x+1＝0或5x﹣2＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝；（3）x2+2x﹣3＝0，（x+3）（x﹣1）＝0，则x+3＝0或x﹣1＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1；（4）（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0，（x﹣3）（x﹣3+2x）＝0，故x﹣3＝0或3x﹣3＝0，解得：x1＝3，x2＝1．【点评】此题主要考查了配方法以及因式分解法解方程，正确掌握解方程的方法是解题关键．16．若方程（m+2）+2mx﹣3＝0是关于x的一元二次方程，求m的值．【分析】本题根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．解：由题意得：m2﹣2＝2，m+2≠0，解得m＝2．【点评】本题考查了一元二次方程的定义．要特别注意二次项系数a≠0这一条件，当a＝0时，上面的方程就不是一元二次方程了，而b，c可以是0．17．已知平行四边形ABCD的两边AB、BC的长是关于x的方程的两个实数根．（1）求证：无论m取何值，方程总有两个实数根；（2）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长．【分析】（1）利用根的判别式求出△的符号进而得出答案；（2）利用菱形的性质以及一元二次方程的解法得出答案．【解答】（1）证明：由题意得Δ＝m2﹣2m+1＝（m﹣1）2，∵（m﹣1）2≥0，∴无论m取何值，方程总有两个实数根；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，即（m﹣1）2＝0，∴m＝1，∴方程为，∴，即菱形的边长为．【点评】此题主要考查了一元二次方程的解法以及菱形的性质和根的判别式等知识，得出m的值是解题关键．18．数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含45°的三角板的斜边与含30°的三角板的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角板直角顶点重合拼放在一起，点B，C，E在同一直线上，若BC＝2，求AF的长．请你运用所学的数学知识解决这个问题．【分析】根据正切的定义求出AC，根据正弦的定义求出CF，计算即可．解：在Rt△ABC中，BC＝2，∠A＝30°，AC＝＝2，则EF＝AC＝2，∵∠E＝45°，∴FC＝EF•sinE＝，∴AF＝AC﹣FC＝2﹣．【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值的应用，掌握锐角三角函数的概念、熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．19．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE＝ED，DF＝DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．（1）求证：△ABE∽△DEF．（2）若正方形的边长为8，求FG的长．【分析】（1）由正方形的性质可得AD＝AB＝DC＝BC，∠A＝∠D＝90°，然后根据对应边成比例且夹角相等可判定△ABE∽△DEF；（2）通过证明△DEF∽△CGF，可得，根据DF＝DC可得CF＝6，CG＝12，由勾股定理可求解．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝AB＝DC＝BC，∠A＝∠D＝90°，∵AE＝ED，∴＝，∵DF＝DC，∴＝，∴，∴△ABE∽△DEF；（2）解：∵四边形ABCD为正方形，∴ED∥BG，∴△DEF∽△CGF，∴，又∵DF＝DC，正方形的边长为8，∴DF＝2，ED＝4，∴CF＝6，CG＝12，∴GF＝＝6．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，关键是掌握两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．20．如图，张华同学在学校某建筑物的C点处测得旗杆顶部A点的仰角为30°，旗杆底部B点的俯角为45°．若旗杆底部B点到建筑物的水平距离BE＝9米，旗杆台阶高1米，则求旗杆顶点A离地面的高度（结果保留根号）．【分析】作CH⊥AB于H，在Rt△ACH中求出AH，在Rt△CHB中求出BH，即可得出答案．解：如图，作CH⊥AB于H，在Rt△ACH中，∵∠ACH＝30°，tan30°＝，∴AH＝CH•tan30°＝米，在Rt△CHB中，∵∠HCB＝45°，tan45°＝，∴BH＝CH•tan45°＝9米，答：旗杆顶点A离地面的高度为米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识求解相关线段的长度．21．某水果商场经销一种高档水果，原售价每千克50元，连续两次降价后每千克售价32元；每次下降的百分率相同．（1）求每次下降的百分率；（2）已知这种水果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但规定每千克涨价不能超过8元，现该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价多少元？【分析】（1）设每次降价的百分率为a，（1﹣a）2为两次降价的百分率，50降至32就是方程的平衡条件，列出方程求解即可；（2）根据题意列出一元二次方程，然后求出其解，最后根据题意确定其值．解：（1）设每次下降的百分率为a，根据题意，得：50（1﹣a）2＝32，解得：a＝1.8（舍）或a＝0.2，答：每次下降的百分率为20%；（2）设每千克应涨价x元，由题意，得（10+x）（500﹣20x）＝6000，整理，得 x2﹣15x+50＝0，解得：x1＝5，x2＝10，因为规定每千克涨价不能超过8元，所以x＝5符合题意．答：该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元．【点评】此题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找到蕴含的相等关系，列出方程，解答即可．22．如图所示，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．点D由点A出发沿AB方向向点B匀速运动，同时点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接DE，设运动时间为t（s）（0＜t＜10），解答下列问题：（1）当t为何值时，DE⊥BC；（2）在点D，E的运动中，是否存在时间t，使得△BDE与△ABC相似？若存在，请求出对应的时间t；若不存在，请说明理由．【分析】（1）如图，当DE⊥BC时，过点A作AH⊥BC于点H，构造直角三角形和相似三角形，利用勾股定理和相似三角形的对应边成比例列出关于t的方程并解答；（2）根据等腰三角形和相似三角形的判定和性质分两种情况说明即可．解：（1）如图，过点A作AH⊥BC于点H，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm，则BH＝BC＝8cm．在直角△ABH中，由勾股定理得到：AH＝＝＝6（cm）．∵AH⊥BC，DE⊥BC，∴DE∥AH．∴△BDE∽△BAH．∴＝，即＝．解得t＝；（2）存在．理由如下：①当BE＝DE时，△BDE∽△BCA，∴＝，即＝，解得t＝，②当BD＝DE时，△BDE∽△BAC，＝，即＝，解得t＝．答：存在时间t为或时，使得△BDE与△ABC相似．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，解决本题的关键是动点变化过程中形成不同的等腰三角形．