2022-2023学年上海市徐汇区九年级（上）期中数学试卷(解析版)

2022-2023学年上海市徐汇区九年级（上）期中数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共6小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 如果、均不为零，那么：的值是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 已知点、分别在的边、上，下列条件一定能够判定的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列关于二次函数的图象说法中错误的是(    )

A. 它的对称轴是直线
B. 它的图象有最高点
C. 它的顶点坐标是
D. 在对称轴的左侧，随着的增大而减小

4. 下列说法中正确的是(    )

A. 如果或，那么
B. 如果与均是单位向量，那么
C. 如果是单位向量，的长度为，那么
D. 如果、为非零实数，为非零向量，那么

5. 已知二次函数的图象如图，下列结论：；；；其中正确的个数是(    )

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

6. 如图，是边上的一点，，的平分线交边于点，交于点，则下列结论错误的是(    )

A. ∽ B. ∽
C. ∽ D. ∽

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）

7. 如果线段、满足，那么的值等于______．
8. 已知函数是关于的二次函数，且顶点在轴上，那么的值为______．
9. 把抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位所得的抛物线的解析式为______．
10. 如果向量、、满足，用、表示______．
11. 已知与相似，且与的相似比为，如果的面积为，那么的面积等于______．
12. 点在线段上，且，，那么的长为______．
13. 如图，已知直线，直线分别与直线、、分别交于点、、，直线分别与直线、、相交于点、、，直线与交于点如果：：，，那么的长为______．

14. 已知点，，都在抛物线上，那么，，的大小关系是______用“”连接
15. 已知点是等腰直角三角形的重心，，那么的长为______．
16. 如图，矩形中，点在边上，交于点，如果，，，那么的长为______．

17. 如果梯形的一条对角线把梯形分成的两个三角形相似，那么我们称该梯形为“优美梯形”如果一个直角梯形是“优美梯形”，它的上底等于，下底等于，那么它的周长为______．
18. 如图，点在边上，，，，点、分别在边、上，联结，将沿着翻折，点恰好与点重合，则的长等于______．

三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 本小题分
    已知：：：：，，求的值．
20. 本小题分
    将二次函数的解析式化为的形式，并指出该函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴．
21. 本小题分
    如图，在平行四边形中，是边上的一点，，，射线与射线相交于点．
    求的值；
    若，，求向量用向量、表示．

22. 本小题分
    如图，在中，点、分别在边、上，联结、，，．
    求证：；
    若，，求的面积．

23. 本小题分
    如图，在四边形中，对角线与交于点，平分，且．
    求证：∽；
    ．

24. 本小题分
    如图，抛物线经过点，点
    
    求抛物线表达式和顶点的坐标；
    点在线段上，过点作轴的垂线与抛物线交于点，
    直线交轴于点，联结、，如果，求的长；
    将上述抛物线向下平移，使得顶点的对应点恰好与点关于直线对称，求平移的距离．
25. 本小题分
    已知菱形边长为，对角线长为，点、分别是边、上的动点，且，延长交射线于点．
    
    如图，如果，求的面积；
    如图，如果点为边的中点，求的长；
    如图，延长交射线于点，联结，如果是以为腰的等腰三角形，求的长．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：两边都除以得，．
故选：．
等式两边都除以即可．
本题考查比例的基本性质，正确记忆相关内容是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：当时，，
则，故选项C符合题意，
A、、中的条件不能够判定，不符合题意；
故选：．
根据平行线分线段成比例定理判断即可．
本题考查的是平行线的判定，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
抛物线开口向下，对称轴为轴，抛物线顶点坐标为，
时，随增大而增大，时，随增大而减小．
故选：．
由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
 

4.【答案】 

【解析】解：如果或，那么，故A错误；
如果与均是单位向量，那么，故B错误；
如果是单位向量，的长度为，那么，故C错误；
如果、为非零实数，为非零向量，那么，故D正确，
故选：．
根据平面向量的运算法则逐一判断即可．
本题考查了平面向量，熟练掌握平面向量的运算法则是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：抛物线的开口方向向下，
；
抛物线与轴的交点在轴的正半轴上，
；
对称轴为，
又，
，
故，
，
由图象可知：当时，
；
当时，
，
、、正确．
故选：．
由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
考查二次函数系数符号的确定．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
∽故C正确．
平分，
，
∽故A正确．
相似三角形的对应角相等，
等角的补角相等，
∽故D正确．
∽，找不到相似的条件，故B错误．
故选：．
根据相似三角形的判定方法，找出正确的答案，
本题考查的是相似三角形的判定，因为本题中只能找到角相等，所以用两个对应角相等来判断三角形相似，证明角相等是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
设，则，
．
故答案为：．
由，可设，则，代入，计算即可．
本题考查了比例线段，利用设法是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意可知，
解得，
故的值为，
故答案为：．
由函数是关于的二次函数，且顶点在轴上，即可得到，解得．
本题考查了二次函数的定义，二次函数的性质，根据题意得到关于的方程组是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：把抛物线向左平移两个单位得到抛物线的图象，
再向下平移两个单位得到抛物线的图象，
化简即得，
故答案是：．
把抛物线向左平移两个单位得到抛物线的图象，再向下平移个单位得到抛物线的图象，化简即可．
主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．会利用方程求抛物线与坐标轴的交点．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
故答案为：．
根据平面向量的运算法则求解即可．
本题考查了平面向量，熟练掌握平面向量的运算法则是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：∽，相似比为：，
的面积与的面积比为：：，
的面积为，
的面积为，
故答案为：．
直接利用相似三角形面积比等于相似比的平方得出两三角形面积比，进而求解即可．
此题主要考查了相似三角形的性质，正确得出三角形的面积比是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：点在线段上，，
点为线段的黄金分割点，
，
故答案为：．
根据黄金分割点的定义，得，代入数据即可得出的长度．
此题考查了黄金分割，理解黄金分割点的概念，熟记黄金比的值是解决问题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：直线，
，即，
，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
的长为．
故答案为：．
由直线，可得出，即，解之经检验后，即可得出的长．
本题考查了平行线分线段成比例，牢记“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：抛物线，
抛物线开口向下，对称轴为直线，
当时，随的增大而减小，
点，，都在抛物线上，
，
故答案为：．
根据二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征可以解答本题．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，要熟悉二次函数的性质及二次函数的图象．
 

15.【答案】 

【解析】解：是等腰直角的重心，，

，
由勾股定理得：，
，
故答案为：．
根据三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的倍解答即可．
本题考查了三角形的重心，熟记三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的倍是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：在中：，
，，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，，
∽，
，
即，
，
在中：，
，
解得：，
，
，
故答案为：．
首先利用勾股定理计算出的长，再证明∽，根据相似三角形的性质可得，代入相应线段的长可得的长，再在在中里利用勾股定理即可算出的长，进而得到的长．
此题主要考查了相似三角形的判定与性质，以及勾股定理的应用，关键是掌握相似三角形的判定方法和性质定理．相似三角形对应边的比相等，两个角对应相等的三角形相似．
 

17.【答案】 

【解析】解：如图，过作于，
梯形是直角梯形，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
梯形的一条对角线把梯形分成的两个三角形相似，
∽，
，
，
，
，
它的周长为，
故答案为：．
过作于，根据矩形的性质得到，求得，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查了相似三角形的判定和性质，直角梯形，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键，
 

18.【答案】 

【解析】解：连接，如图：

设，
将沿着翻折，点恰好与点重合，
，
，
，
，
，
，
，，，
，，
，
解得，
，
故答案为：．
连接，设，根据将沿着翻折，点恰好与点重合，，可得，，故，即得，可解得答案．
本题考查三角形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，能利用平行线分线段成比例列方程解决问题．
 

19.【答案】解：：：：：，
设，，，
，
，
解得，
． 

【解析】先根据比例的性质设，，，则利用得到，再求出，然后利用得到的值．
本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质是解决问题的关键．
 

20.【答案】解：，
，
，
开口方向：向上，
顶点坐标：，
对称轴：直线． 

【解析】本题考查了二次函数的性质，正确掌握配方法和二次函数的性质是解题的关键．利用配方法把将二次函数的解析式化为的形式，利用二次函数的性质指出函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴，即可得到答案．
 

21.【答案】解：四边形是平行四边形，，，
，且，
∽，
；
∽，
，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，，
则． 

【解析】根据平行四边形的性质得出、，证∽得；
由∽得，从而知，，再由平行四边形性质及向量可得，，最后根据向量的运算得出答案．
本题主要考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质及向量的运算，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

22.【答案】证明：，
，
又，
∽，
，
，
，
；
解：，
∽，
，
，，
，
，
，
：：．
． 

【解析】根据已知条件得到，根据相似三角形的性质得到，根据平行线的判定定理即可得到结论；
根据相似三角形的性质得到，由已知条件得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
 

23.【答案】证明：，
：：，
，
∽，
，
平分，
，
∽；
由中相似可得，：：，
，
∽，
，，
∽，
：：，
． 

【解析】根据相似三角形的判定可得∽；所以，由此可得出∽；
由中的相似可得出：：，再由可得∽，所以，，可得∽，进而可得结论．
本题主要考查相似三角形的性质与安定，涉及字型相似，字型相似等相关内容，熟练掌握相关判定是解题关键．
 

24.【答案】解：将，点代入抛物线得：
，
解得，
抛物线表达式为，
，
顶点的坐标为；
设点的横坐标为，则，，

设直线的解析式为，
将，代入得，
，
解得，
直线的解析式为，
，
，，
，
，
，
即，
解得，
；
如图：对称轴交于，

，
，
轴，
，
，关于对称，，
≌，
，，
，
轴，
，，
，
解得或舍去，
，
，
．
即平移的距离为． 

【解析】用待定系数法求函数解析式即可；
设点的横坐标为，则，，用待定系数法求出直线的解析式，从而得出点坐标，根据，列出关于的方程，解方程即可；
根据，轴，得出，再根据点恰好与点关于直线对称，得出轴且，然后列出关于的方程，求出，即点坐标即可．
本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数图象和性质，待定系数法求函数解析式，用点的坐标表示线段长度，二次函数的几何变换等知识，关键是对二次函数性质的掌握和运用．
 

25.【答案】解：如图中，连接交于点．

四边形是菱形，
，，，，
，
，

菱形的面积，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
；

如图中，过点作于点．

由可知，，
，
，
，
同法可证∽，
，
，
；

四边形是菱形，
，
，
，
，
，
，
，
同理：，
∽，
，
是等腰三角形，是腰，
有两种情况：
当时，如图所示：

，，，
≌，
，
，
∽，
，
，
；
当时，如图所示，则，

，
，
，
，
∽，
，
，
，
≌，
；
综上所述，的值为或． 

【解析】如图中，连接交于点解直角三角形求出，，再证明∽，推出，可得结论；
如图中，过点作于点解直角三角形求出，再利用相似三角形的性质求出可得结论；
证明∽，推出，分两种情形：当时，如图所示．当时，如图所示，分别利用相似三角形的性质求解即可．
本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．