2022-2023学年上海外国语大学附中八年级（上）期中数学试卷(解析版)

这是一份2022-2023学年上海外国语大学附中八年级（上）期中数学试卷(解析版)，共15页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年上海外国语大学附中八年级（上）期中数学试卷  一、选择题（本大题共16小题，共32分）方程的解是______．代数式有意义，则的取值范围是______．方程的解是______．写出的一个有理化因式：______．在实数范围内因式分解：______．若两最简根式和是同类二次根式，则的值的平方根是______．关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，的取值范围是______．把中根号外因式适当变形后移至根号内得______．的最大值为______．设的整数部分为，小数部分为，则的值是______．分母有理化：______．已知，则______．化简：______．将进货单价为元的商品按元出售时，能卖出个．已知这种商品每个涨价元，其销售量就减少个，则为了赚得元的利润售价应定为______元．已知关于的方程的根是正整数，则整数的值为______．关于的方程有四个相异的实数根，则的取值范围是______．二、选择题（本大题共4小题，共12分）已知，则二次根式化简后的结果为(    )A.  B.  C.  D. 下列关于的方程中，一定是一元二次方程的有个．(    )
 A.  B.  C.  D. 下列命题正确的是(    )A.
B. 与是同类二次根式
C. 是分式方程的增根
D. 一元二次方程可能没有实根，可能有一个实根，可能有两个实根旅游节期间几名同学包租一辆面包车去游览，面包车的租价为元，出发前，又增加两名同学，结果每个同学比原来少分摊元车费，若设原来参加游览的学生有人，则所列方程为(    )A.  B.
C.  D. 三、解答题（本大题共11小题，共56分）计算：解方程：配方法．解方程：．解方程：．解关于的方程：．解关于的方程：．已知，，求：的值．若关于的方程只有一个解相等的解也算作一个，试求的值与方程的解．某厂一月份的产值是万元，第一季度总产值是万元，求：平均月增长率．已知关于的方程和有公共根，求：的值．尝试用解方程的方法求无限循环分式．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：

．
本题直接开平方即可．
用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：；同号且；；同号且法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为，再开平方取正负，分开求得方程解”．
 2.【答案】 【解析】解：由题意得：且，
解得：，
故答案为：．
根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为是解题的关键．
 3.【答案】 【解析】解：去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
分式方程的解为．
故答案为：．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
 4.【答案】 【解析】解：

，
的一个有理化因式：，
故答案为：．
利用平方差公式，进行计算即可解答．
本题考查了分母有理化因式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
 5.【答案】 【解析】解：原式




故答案为：
把化为，则利用完全平方公式得到原式，然后利用平方差公式分解因式．
本题考查了实数范围内分解因式：一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式．通过补项配成完全平方公式是解决问题的关键．
 6.【答案】 【解析】解：由题意得：，
整理得：，
解得：，
则，
的平方根为，
的平方根为，
故答案为：．
根据同类二次根式的概念列出二元一次方程组，解二元一次方程组求出、，根据平方根的概念解答即可．
本题考查的是同类二次根式的概念、平方根的概念、二元一次方程组的解法，掌握同类二次根式的概念是解题的关键．
 7.【答案】且 【解析】解：关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
，
解得：且．
故答案为：且．
由二次项系数非零、被开方数非负及根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出结论．
本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
 8.【答案】 【解析】解：，
，
，
原式
．
故答案为：．
判断出的符号，根据二次根式的性质进行解答．
本题考查了二次根式的性质与化简，判断出的符号是解题的关键．
 9.【答案】 【解析】解：原式



故答案为：．
配方后即可得到最大值．
本题考查了配方法的应用和非负数的性质偶次方，配方是解题的关键．
 10.【答案】 【解析】解：，
，
，
，即，
的整数部分，，
则原式，
故答案为：
估算得出与的值，代入原式计算即可求出值．
此题考查了估算无理数的大小，设实数为，的整数部分为不大于的最大整数，小数部分为实数减去其整数部分，即；理解概念是解题的关键．
 11.【答案】 【解析】解：，
原式．
故答案为：．
先求的值，把化为，则可计算得到，所以原式，然后分母有理化即可．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则．利用倒数法和异分母的分数的加法得逆运算是解决问题的关键．
 12.【答案】 【解析】解：设，
则原方程变形为，
整理得：，
解得：，，
，
，
故答案为：．
利用换元法解出方程，根据算术平方根的非负性解答即可．
本题考查的是二次根式的计算，一元二次方程的解法，掌握换元法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
 13.【答案】 【解析】解：原式
，
，
，，
，，
原式
．
故答案为：．
根据完全平方公式把原式化为，再根据，得，，进一步可得，，根据二次根式的性质化简即可．
本题考查了二次根式的加减法，完全平方公式，熟练掌握二次根式的性质和完全平方公式是解题的关键．
 14.【答案】或 【解析】解：设涨价元能赚得元的利润，即售价定为每个元，应进货个，依题意得：
，
解得，．
当时，；
当时，．
答：售价定为每个或．
故答案为：或．
总利润销售量每个利润．设涨价元能赚得元的利润，即售价定为每个元，应进货个，根据为了赚得元的利润，可列方程求解．
本题考查一元二次方程的应用，属于销售利润问题，要会结合题意，表示每个的销售利润，销售量，根据销售利润的基本等量关系，列方程求解．
 15.【答案】或或 【解析】解：当，即时，方程为，解得，不合题意舍去；
当，即时，

，
，，
方程的两个实数根都为正整数，
是正整数，
或或，
故答案为：或或．
利用因式分解法求出方程的两个根，再根据方程的两个实数根都为正整数，即可求出的值．
本题考查了因式分解法解一元二次方程，解题的关键是结合方程的解为正整数，找出关于的分式方程．
 16.【答案】 【解析】解：方程，
，
当时，方程为，即，
，
方程有两个不相等的实数根，
这与关于的方程有四个相异的实数根，不相符，应舍去；
当时，方程可化为：或，
即或，
，，
方程有两个不相等的实数根为：，
若，即，故时，方程有两个不相等的实数根为，
又、这个实数互不相等，
当时，关于的方程有四个相异的实数根；
综上，当时，关于的方程有四个相异的实数根．
故答案为：．
分两种情况：与根据绝对值的意义，去掉绝对值可化为一个或两个方程，原方程有四个不同的解，则得到的两个一元二次方程都有两个不同的解，根据，建立关于的不等式，求出的取值范围．
本题是解绝对值方程，考查了一元二次方程的根的情况与判别式的关系，绝对值的性质．关键是把绝对值方程转化为常规方程进行解答．一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．
 17.【答案】 【解析】解：，，
，，
．
故选：．
首先由，，即可判定，，然后利用二次根式的性质，即可将此二次根式化简．
此题考查了二次根式的化简．正确判定与的符号，根据二次根式的性质化简此题是关键．
 18.【答案】 【解析】解：，是分式方程；
，不是一元二次方程；
，整理可得，是一元一次方程；
当时，方程不是一元二次方程；
所以一定是一元二次方程的有个．
故选：．
根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一次未知数，并且所含未知数的项的最高次数是的整式方程，叫一元二次方程．
 19.【答案】 【解析】解：、，小于时，等式不成立；本选项不符合题意；
B、因为，，所以与是同类二次根式，本选项符合题意；
C、去分母得到，，显然不是整式方程的解，故C错误，本选项不符合题意；
D、一元二次方程可能没有实根，可能有一个实根，可能有两个实根，错误，应该是一元二次方程可能没有实根，可能有两个相等的实根，可能有两个实根，本选项不符合题意．
故选：．
根据二次根式的性质，同类二次根式的定义，分式方程的解，一元二次方程等知识，一一判断即可．
本题考查命题与定理，二次根式的性质，分式方程的解，一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 20.【答案】 【解析】解：原来参加游览的学生有人，则增加两人后人数是人，由题意得；
，
故选：．
有总价元，求的是人数，那么一定是根据人均付费来列等量关系的．关键描述语是：“每个同学比原来少分摊元车费”，等量关系为：原来每人分摊的钱实际每人分摊的钱．
本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是首先弄清题意，根据关键描述语，找到合适的等量关系；易错点是得到出发前后的人数．
 21.【答案】解：原式

 【解析】根据二次根式的乘除法法则计算即可．
本题考查的是二次根式乘除法，掌握二次根式的乘除法法则是解题的关键．
 22.【答案】解：，
，
，即，
，
，． 【解析】先移项，然后把方程两边除以，然后利用配方法得到，再利用直接开平方法解方程．
此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为，一次项的系数是的倍数．
 23.【答案】解：，
，
，
或，
，． 【解析】利用平方差公式分解因式，即可得出一元一次方程，求出方程的解即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
 24.【答案】解：设，则原式化为，
去分母得：，
解得：或，
当时，，
去分母得：，
解得：或，
当时，，
去分母得：，
解得：或，
经检验：或或或是原分式方程的解，
分式方程的解为或或或． 【解析】设，则原式化为，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，进而利用解分式方程的步骤即可得到的值．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
 25.【答案】解：当，时，方程为，方程的解为；
当时，，
，
或． 【解析】利用解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程因式分解法，准确熟练地计算是解题的关键．
 26.【答案】解：当时，则，解得；
当，且时，；
当，且时，原方程无实数解． 【解析】分三种情况讨论：当时，则为一次方程，解得即可；当，且时，利用公式法即可求解；当，且时，方程无解．
此题考查了解一元二次方程公式法，熟练掌握一元二次方程的解法是解本题的关键．
 27.【答案】解：，，
，，
则原式




． 【解析】根据题意确定、的符号，根据二次根式的性质、完全平方公式把原式变形，代入计算即可．
本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质、完全平方公式是解题的关键．
 28.【答案】解：原方程化为．
当时，原方程有一个解，；
当时，方程，总有两个不同的实数根，
由题意知必有一个根是原方程的增根，从原方程知增根只能是或，显然不是的根，
故，得．
综上可知的值为或，当时，方程的解为；时，方程的解为． 【解析】先将分式方程转化为整式方程，把分式方程解的讨论转化为整式方程的解的讨论，“只有一个解”内涵丰富，在全面分析的基础上求出的值．
本题考查了解分式方程．注意：分式方程转化为整式方程不一定是等价转化，有可能产生增根，分式方程只有一个解，可能是转化后所得的整式方程只有一个解，也可能是转化后的整式方程有两个解，而其中一个是原方程的增根，故分式方程的解的讨论，要运用判别式、增根等知识全面分析．
 29.【答案】解：设平均月增长率为，
由题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意舍去，
，
答：平均月增长率为． 【解析】设平均月增长率为，由题意：一月份的产值是万元，第一季度总产值是万元，列出一元二次方程，解方程取其正值即可．
本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 30.【答案】解：方程和有公共根，
得，，
因式分解得，，
解得，，．
当时，得，
，方程无解，舍去；
当时，代入方程可得，，解得．
把代入得，，解得，；
把代入得，，解得，；
有公共根，符合题意；
故的值为． 【解析】把两式相减，消掉，然后因式分解，分情况讨论．
本题考查了一元二次方程的解，根据方程有公共根，列出方程组解答．
 31.【答案】解：设这个式子为，
则，
，
解得，舍去，
． 【解析】设这个式子为，根据式子的特点得，解这个方程即可求出答案．
本题考查了解分式方程，关键是根据题意得出分式方程．