四川省内江市隆昌市隆昌市第六中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试题(含答案)

2022-2023学年隆昌六中九年级（上）期中检测

数学试卷

一．选择题（每小题，共36分）

1. 下列方程是一元二次方程的是（    ）

A. x2＝2 B. 1＋x2＝y C.  D. x2﹣x﹣1

【答案】A

【解析】

【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，进行求解即可．

【详解】解：A、，是一元二次方程，符合题意；

B、，含有2个未知数，故不是一元二次方程，不符合题意；

C、，不整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意；

D、，不是方程，故不是一元二次方程，不符合题意；

故选A．

【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟知定义是解题的关键．

2. 要使式子有意义，则x的取值范围是（     ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由二次根式的被开方数为非负数可得解不等式即可得到答案．

【详解】解：∵式子有意义，

∴

解得：

故选D．

【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握“二次根式的被开方数为非负数”是解本题的关键．

3. 已知一元二次方程x2﹣4x＋3＝0配方后转化为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先把常数项移到右边，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即可得到答案．

【详解】解：∵

∴，

∴，

∴，

故选D．

【点睛】本题主要考查了配方法的应用，解题的关键在于能够熟练掌握配方法．

4. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】将每个选项进行化简为最简二次根式，再跟据化简的结果选出正确选项即可．

【详解】解：A、不能化简，故与不是同类二次根式，不符合题意；

B、，与是同类二次根式，故符合题意；

C、，与不是同类二次根式，故不符合题意；

D、，与不同类二次根式，故不符合题意；

故选：B．

【点睛】本题考查化简二次根式，最简二次根式，以及同类二次根式的定义，能够熟练化简二次根式是解决本题的关键．

5. 如果a是一元二次方程的一个根，那么代数式是（　　）

A.  B. 2 C. 1 D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据一元二次方程解的定义，可得，再代入，即可求解．

【详解】解：∵a是一元二次方程的一个根，

∴，

∴，

∴．

故选：D

【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，熟练掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键．

6. 如图，已知直线a∥b∥c，直线m，n与直线a，b，c分别交于点A，B，C，D，E，F，若DE＝7，EF＝10，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，求解即可．

【详解】解：∵DE=7，EF=10，a∥b∥c，

∴，

故选A．

【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．

7. 下列运算正确的是（　　）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据二次根式混合运算、二次根式的性质逐项分析判断即可求解．

【详解】解：A. 与不能合并，故该选项不正确，不符合题意；

B. ，故该选项不正确，不符合题意；

C. ，故该选项不正确，不符合题意；   

D. ，故该选项正确，符合题意．

故选：D．

【点睛】本题考查了二次根式的性质，二次根式的乘除法运算，正确的计算是解题的关键．

8. 若关于x的方程（m﹣1）x2+2x+1＝0有实数解，则m的取值范围是 (    )

A. m≤2 B. m≤ C. m≤2且m≠1 D. m＜2

【答案】A

【解析】

【分析】分为两种情况，①方程为一元一次方程，②方程为一元二次方程，再求出即可．

【详解】解：有两种情况：①当m-1=0，即m=1时，方程为一元一次方程2x+1=0，此时方程有解，解为x=- ；
②当m-1≠0时，方程为一元二次方程，此时当△=22-4（m-1）×1≥0时，方程有实数根，
解得：m≤2且m≠1，
综合上述：当m≤2时，关于x的方程（m-1）x2+2x+1=0有实数解，
故选A．

【点睛】本题考查了一元一次方程的定义、一元二次方程的定义、根的判别式等知识点，能够进行分类讨论是解此题的关键．

9. 如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列四个图中的三角形（阴影部分）与相似的是（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据相似三角形的判定，易得出的三边的边长，故只需分别求出各选项中三角形的边长，分析两三角形对应边是否成比例即可．

【详解】解：∵小正方形边长为1，

∴在中，，， ，

A、三边分别为，，，三边与中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似．故此选项不符合题意；

B、三边分别为，，，有，即三边与中的三边对应成比例，故两三角形相似．故此选项符合题意；

C、三边分别为，，，三边与中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似．故此选项不符合题意；

D、三边分别为，，，三边与中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似．故此选项不符合题意．

故选：B．

【点睛】本题考查了相似三角形判定、勾股定理．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比．

10. 计算的结果为（　　）

A. 0 B. 1 C.  D. 1

【答案】A

【解析】

【分析】先分母有理化，然后根据二次根式的加减进行计算即可求解．

【详解】解：

，

故选：A．

【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，先分母有理化是解题的关键．

11. 某学校生物兴趣小组在该校空地上围了一块面积为的矩形试验田，用来种植蔬菜．如图，试验田一面靠墙，墙长，另外三面用长的篱笆围成，其中一边开有一扇宽的铁制小门．设试验田垂直于墙的一边的长为，则下列所列方程正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】首先确定墙的长不是AD，根据题意求出矩形的长BC即可，注意加上门的长度.

【详解】解：已知设试验田垂直于墙的一边AB的长为xm，BC=49-2x+1 ，

所以 S矩形ABCD=AB×BC ，

所以方程为： x(49+1-2x)=200 ，

故选 C.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系是解题的关键.

12. 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是（  ）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

【答案】C

【解析】

【详解】试题分析：由于∠PAD=∠PBC=90°，故要使△PAD与△PBC相似，分两种情况讨论：①△APD∽△BPC，②△APD∽△BCP，这两种情况都可以根据相似三角形对应边的比相等求出AP的长，即可得到P点的个数．

解：∵AB⊥BC，

∴∠B=90°．

∵AD∥BC，

∴∠A=180°﹣∠B=90°，

∴∠PAD=∠PBC=90°．AB=8，AD=3，BC=4，

设AP的长为x，则BP长为8﹣x．

若AB边上存P点，使△PAD与△PBC相似，那么分两种情况：

①若△APD∽△BPC，则AP：BP=AD：BC，即x：（8﹣x）=3：4，解得x=；

②若△APD∽△BCP，则AP：BC=AD：BP，即x：4=3：（8﹣x），解得x=2或x=6．

∴满足条件的点P的个数是3个，

故选C．

考点：相似三角形的判定；直角梯形．

二．填空题（每小题4分，共24分）

13. 计算：=_______ .

【答案】

【解析】

【分析】根据二次根式的加减即可求解.

【详解】=

故填：.

【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知二次根式的运算法则.

14. 若，则＝__________．

【答案】10

【解析】

【分析】根据比例的性质解答即可．

【详解】解：设＝k，

可得：a＝2k，b＝3k，c＝4k，

把a＝2k，b＝3k，c＝4k代入

＝

故答案为10

【点睛】此题考查比例的性质，关键是根据比例的性质设＝k来解答．

15. 若菱形的两条对角线长分别是方程的两实根，则菱形的面积为_____．

【答案】12.

【解析】

【分析】先解出方程的解，根据菱形面积为对角线乘积的一半，可求出结果．

【详解】x2−10x+24=0
x=4或x=6.
所以菱形的面积为：（4×6）÷2=12.菱形的面积为：12.

【点睛】本题考查菱形的性质和面积的求法、根与系数的关系，解题的关键是掌握菱形的性质和面积的求法、根与系数的关系.

16. 若，则______．

【答案】1

【解析】

【分析】根据二次根式的非负性确定的值，代入计算即可．

【详解】解：∵，

∴，，

∴，，

，

故答案为：1．

【点睛】本题考查了二次根式的非负性，解题关键是根据非负数的性质确定字母的值．

17. 如果关于x的一元二次方程的一个根为3，那么此方程的另一个根为______．

【答案】2

【解析】

【分析】设方程的另一根为t，根据根与系数的关系得，然后解关于t的方程即可．

【详解】解：设方程的另一根为t，

根据根与系数的关系得，

解得，

即方程的另一个根为2．

故答案为：2．

【点睛】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，则，．

18. 如图，在中，，棱长为1的立方体的表面展开图有两条边分别在，上，有两个顶点在斜边上，则的面积为__________．

【答案】16

【解析】

【分析】根据题意、结合图形，根据相似三角形的判定和性质分别计算出CB、AC即可．

【详解】解：

由题意得：DE∥MF,所以△BDE∽△BMF,所以 ，即 ,解得BD=1，同理解得：AN=6；又因为四边形DENC是矩形，所以DE=CN=2，DC=EN=3,所以BC=BD+DC=4，AC=CN+AN=8，的面积=BC×AC÷2=4×8÷2=16.

故答案为16.

【点睛】本题考查正方形的性质和相似三角形的判定和性质，解题的关键是需要对正方形的性质、相似三角形的判定和性质熟练地掌握．

三．解答题（7小题，共60分）

19. 解下列方程

（1）

（2）

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据配方法解一元二次方程；

（2）根据因式分解法解一元二次方程即可求解．

【小问1详解】

解：，

∴，

即，

∴，

解得：；

【小问2详解】

解：，

，

即，

解得．

【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．

20. 化简

（1）计算

（2）

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据二次根式的性质化简，然后根据二次根式的加减运算进行计算即可求解；

（2）根据二次根式的混合运算进行计算即可求解．

【小问1详解】

解：

；

【小问2详解】

解：

．

【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．

21. 实数a、b在数轴上的位置如图所示．化简．

【答案】

【解析】

【分析】首先判断出a＜0，b＞0，a-b＜0，再化简即可；

【详解】解：由数轴知，，且．

∴．

．

【点睛】本题主要考查绝对值的定义，算术平方根的性质，正确掌握相关定义是解题关键．

22. 已知关于x的一元二次方程．

（1）若方程的一个根为2，求m的值．

（2）求证：无论m取何实数，该方程总有两个不相等的实数根．

【答案】（1）   

（2）见解析

【解析】

【分析】（1）将代入一元二次方程，即可求解．

（2）求判别式即可证明；

【小问1详解】

解：∵方程的一个根为2，

将代入一元二次方程，

得，

解得．

【小问2详解】

证明：，

，

∴无论m取何实数，该方程总有两个不相等的实数根；

【点睛】本题考查一元二次方程的根和根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根存在性的判别方法．

23. 如图，在△ABC中，D，E分别是AC，AB上的点，∠ADE＝∠B．△ABC的角平分线AF交DE于点G，交BC于点F．

（1）求证：△ADG∽△ABF；

（2）若，AF＝6，求GF的长．

【答案】（1）见解析；（2）2

【解析】

【分析】（1）由角平分线的定义可得∠DAG=∠BAF，再由∠ADE=∠B，即可证明△ADG∽△ABF；

（2）由△ADG∽△ABF，可得，即可得到，则GF=AF-AG=2．

【详解】解：（1）∵AF平分∠BAC，

∴∠DAG=∠BAF，

∵∠ADE=∠B，

∴△ADG∽△ABF；

（2）∵△ADG∽△ABF，

∴，

∵，，

∴，

∴GF=AF-AG=2．

【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，相似三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的性质与判定条件．

24. 解决问题：邓州公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售500个，9月份销售720个，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同．

（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；

（2）若此种头盔的进价为30元/个，经市场预测，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？

【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为；   

（2）该品牌头盔的实际售价应定为50元/个．

【解析】

【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据“该品牌头盔7月份销售500个，9月份销售720个，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同”列一元二次方程求解即可；

（2）设该品牌头盔的实际售价为y元/个，根据月销售利润=每个头盔的利润×月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可求出答案．

【小问1详解】

解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x，

由题意得：，

解得：，（不合题意，舍去），

答：该品牌头盔销售量的月增长率为；

【小问2详解】

解：设该品牌头盔的实际售价应定为y元/个，

由题意得：，

整理得：，

解得：，，

∵尽可能让顾客得到实惠，

∴，

答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个．

【点睛】本题考查了列一元二次方程解决实际问题，解题关键是准确理解题意，找出等量关系且熟练掌握解一元二次方程的方法．

25. 如图，在平面直角坐标系中，点，点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，且满足．

（1）求点A、B的坐标；

（2）若点P在y轴上，从点B出发，沿射线运动，连接（不包括），是否存在点P，使得以点为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1），   

（2）存在，点P的坐标为或

【解析】

【分析】（1）根据．可求得，，根据图象可知，；

（2）分类讨论：，，根据相似三角形的性质，可得的长，即可求解．

【小问1详解】

解：∵，

∴，，

∴，，

∵点A，点B分别在x轴，y轴的正半轴上，

∴，；

【小问2详解】

解：存在，

当时，如图：

∵，

∴，

∴，

∴，

∴点P的坐标为；

当时，如图：

∵

∴，

∴，

∴OP=，

∴点P的坐标为；

综上所述，存在，点P的坐标为或．

【点睛】本题是三角形综合题，考查了非负数的性质，相似三角形的性质等知识点，熟练掌握相似三角形的性质以及分类思想的应用是解题的关键．