【期末单元复习】2022-2023学年 苏科版数学 九年级上学期-第一章《一元二次方程》（过关测试基础）

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一元二次方程过关测试（基础）
一．选择题（共12小题）
1．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．（x+1）（x﹣2）＝x（x+3） B．x2+2x=2
C．x2+2x=4 D．x2+4＝0
【分析】根据一元二次方程的概念判断即可．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
【解答】解：A．（x+1）（x﹣2）＝x（x+3），化简后是一元一次方程，不符合题意；
B.x2+2x=2，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
C．x2+2x=4，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
D、x2+4＝0，是一元二次方程，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是一元二次方程的概念，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．
2．若关于x的方程2x2+mx＝4x+2中不含一次项，则m＝（　　）
A．0 B．4 C．﹣4 D．±4
【分析】首先要把方程化成一般形式．不含x的一次项，即是一次项系数为0，再解答即可．
【解答】解：2x2+mx＝4x+2，
2x2+（m﹣4）x﹣2＝0，
不含x的一次项，
则m﹣4＝0，
解得m＝4．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式．本题关键是明白不含x的一次项，即是一次项系数为0．
3．已知α，β是方程x2+3x﹣8＝0的两个实数根，则α2+β2的值为（　　）
A．﹣7 B．25 C．17 D．1
【分析】由α，β是方程x2+3x﹣8＝0的两个实数根，利用根与系数的关系可得出α+β＝﹣3，α•β＝﹣8，再将其代入α2+β2＝（α+β）2﹣2α•β中即可求出α2+β2的值．
【解答】解：∵α，β是方程x2+3x﹣8＝0的两个实数根，
∴α+β＝﹣3，α•β＝﹣8，
∴α2+β2＝（α+β）2﹣2α•β＝（﹣3）2﹣2×（﹣8）＝9+16＝25．
故选：B．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于-ba，两根之积等于ca”是解题的关键．
4．下列关于x的一元二次方程定有实数解的是（　　）
A．ax2﹣x+2＝0 B．2x2﹣2x+1＝0 C．x2﹣x﹣m＝0 D．x2﹣mx﹣1＝0
【分析】分别求出每个一元二次方程根的判别式△与0的关系，进而选择正确的选项．
【解答】解：A、ax2﹣x+2＝0，Δ＝1﹣8a，只有a≤18时，△≥0，所以原方程不一定有实数解，故此选项不符合题意；
B、2x2﹣2x+1＝0，Δ＝4﹣42＜0，所以原方程没有实数解，故此选项不符合题意；
C、x2﹣x﹣m＝0，Δ＝1+4m，只有m≥-14时，△≥0，所以原方程不一定有实数解，故此选项不符合题意；
D、x2﹣mx﹣1＝0，Δ＝m2+4＞0，所以原方程一定有实数解，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题的关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
5．一元二次方程2019x2﹣2020x+2021＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义求解．
【解答】解：∵一元二次方程2019x2﹣2020x+2021＝0中，
a＝2019，b＝﹣2020，c＝2021，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2020）2﹣4×2019×2021＜0，
∴方程没有实数根．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与b2﹣4ac有如下关系：当Δ＝b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝b2﹣4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＝b2﹣4ac＜0时，方程无实数根．
6．一个三角形的两条边长分别是方程x2﹣8x+15＝0的两根，三角形的周长是12，则该三角形的面积是（　　）
A．5 B．6 C．7.5 D．12
【分析】先利用因式分解法解方程得到三角形的两条边长分别3、5，再计算出第三边长为7，接着利用勾股定理的逆定理判断此三角形为直角三角形，然后根据三角形面积公式计算该三角形的面积．
【解答】解：x2﹣8x+15＝0，
（x﹣3）（x﹣5）＝0，
x﹣3＝0或x﹣5＝0，
所以x1＝3，x2＝5，
即三角形的两条边长分别3、5，
而三角形的周长是12，
所以第三边长为7，
因为32+42＝52，
所以此三角形为直角三角形，
所以该三角形的面积=12×3×4＝6．
故选：B．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了勾股定理的逆定理和三角形面积公式．
7．下列一元二次方程：①x2+1＝0，②x2﹣2x+1＝0，③x2+4x+4＝0，④x2﹣9＝0，其中有两个不相等实数根的方程个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】分别计算四个方程的根的判别式，然后根据判别式的意义判断各方程根的情况．
【解答】解：①x2+1＝0，Δ＝02﹣4×1×1＝﹣4＜0，此方程没有实数解；
②x2﹣2x+1＝0，，△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，此方程有两个相等的实数解；
③x2+4x+4＝0，△＝42﹣4×1×4＝0，此方程有两个相等的实数解；
④x2﹣9＝0，Δ＝02﹣4×1×（﹣9）＝36＞0，此方程有两个不相等的实数解．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
8．若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，则a的取值范围是（　　）
A．a≥﹣3 B．a≠1 C．a＞﹣3且a≠1 D．a≥﹣3且a≠1
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a﹣1≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4（a﹣1）×（﹣1）≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得a﹣1≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4（a﹣1）×（﹣1）≥0，
解得a≥﹣3且a≠1．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
9．若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个根，则2021+3a﹣3b的值为（　　）
A．2018 B．2020 C．2022 D．2024
【分析】将x＝﹣1代入方程得出a﹣b＝1，再整体代入计算可得．
【解答】解：将x＝﹣1代入方程，得：a﹣b﹣1＝0，
则a﹣b＝1，
所以原式＝2021﹣3（a﹣b）
＝2021﹣3×1
＝2021﹣3
＝2018，
故选：D．
【点评】本题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是掌握方程的解的概念及整体代入思想的运算．
10．已知x2+y2﹣4x+6y+13＝0，则xy+（3﹣π）0的值为（　　）
A．10 B．109 C．﹣7 D．98
【分析】先配方，再根据非负数的和为0，求x，y的值，最后求结果．
【解答】解：∵x2+y2﹣4x+6y+13＝0，
∴x2﹣4x+4+y2+6y+9＝0，
（x﹣2）2+（y+3）2＝0，
∴x﹣2＝0，y+3＝0，
解得，x＝2，y＝﹣3．
代入原式＝2﹣3+1，
=123+1
=98．
∴xy+（3﹣π）0=98．
故选：D．
【点评】本题考查配方法的应用，整式运算，掌握如何配方，每一个非负数等于0是解题关键．
11．一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根为x1，x2，则x12+3x2+x1x2﹣2的值是（　　）
A．10 B．9 C．8 D．7
【分析】先利用一元二次方程根的定义得到x12＝3x1﹣1，则x12+3x2+x1x2﹣2可化为为3（x1+x2）+x1x2﹣3，再利用根与系数的关系得到x1+x2＝3，x1x2＝1，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵x1为方程x2﹣3x+1＝0的根，
∴x12﹣3x1+1＝0，
∴x12＝3x1﹣1，
∴x12+3x2+x1x2﹣2＝3x1﹣1+3x2+x1x2﹣2＝3（x1+x2）+x1x2﹣3，
∵一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根为x1，x2，
∴x1+x2＝3，x1x2＝1，
∴x12+3x2+x1x2﹣2＝3×3+1﹣3＝7．
故选：D．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=-ba，x1x2=ca．注意先降次，再利用根与系数的关系解决问题．
12．2021年是中国共产党成立100周年，某中学发起了“热爱祖国，感恩共产党”说句心里话征集活动．学校学生会主席要求征集活动在微信朋友圈里进行传递，规则为：将征集活动发在自己的朋友图，再邀请n个好友转发征集活动，每个好友转发朋友圈，又邀请n个互不相同的好友转发征集活动，以此类推，已知经过两轮传递后，共有931人参与了传递活动，则方程列为（　　）
A．（1+n）2＝931 B．n（n﹣1）＝931 C．1+n+n2＝931 D．n+n2＝931
【分析】设邀请了n个好友转发朋友圈，第一轮转发了n个人，第二轮转发了n2个人，根据两轮转发后，共有931人参与列出方程即可．
【解答】解：由题意，得
n2+n+1＝931，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解答时先由条件表示出第一轮增加的人数和第二轮增加的人数，根据两轮总人数为931人建立方程是关键．
二．填空题（共12小题）
13．设x1，x2是一元二次方程3x2﹣2x﹣3＝0的两根，则x1+x2＝　23　．
【分析】根据方程的系数，结合“两根之和等于-ba”，即可求出x1+x2=23．
【解答】解：∵a＝3，b＝﹣2，c＝﹣3，x1，x2是一元二次方程3x2﹣2x﹣3＝0的两根，
∴x1+x2=-ba=--23=23．
故答案为：23．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于-ba，两根之积等于ca”是解题的关键．
14．若方程（m﹣1）xm2+1+5x﹣3＝0是关于x的一元二次方程，则m＝　﹣1　．
【分析】根据一元二次方程的概念判断即可．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
【解答】解：∵方程（m﹣1）xm2+1+5x﹣3＝0是关于x的一元二次方程，
∴m-1≠0m2+1=2，
解得m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查的是一元二次方程的概念，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．
15．将方程3x2+2＝5x化成一般形式为 　3x2﹣5x+2＝0　．
【分析】把5x移到方程的左侧得到一元二次方程的一般形式．
【解答】解：移项得3x2﹣5x+2＝0．
故答案为3x2﹣5x+2＝0．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
16．若一元二次方程mx+x2+2＝0有两个相等的实数根，则m＝　±22　．
【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，可得b2﹣4ac＝0，最后即可求出m的值．
【解答】解：∵mx+x2+2＝0，
∴x2+mx+2＝0，
a＝1，b＝m，c＝2，
∵方程有两个相等的实数根，
∴b2﹣4ac＝0，
∴m2﹣4×1×2＝0，
即m2＝8，
∴m=±22．
故答案为：±22．
【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解题的关键在于能够根据一元二次方程有两个相等的实数根得到b2﹣4ac＝0，从而正确求得m的值．
17．某种家电价格受市场购买力影响，连续两次降价，由原来售价5000元降到3200元，则平均每次降价的百分率为 　20%　．
【分析】设平均每次降价的百分率为x，利用经过两次降价后的价格＝原价×（1﹣下降率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，
依题意得：5000（1﹣x）2＝3200，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不合题意，舍去）．
故答案为：20%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
18．一元二次方程2x2﹣bx+c＝0的两根为x1，x2，若x1+x2＝5，x1•x2＝﹣2，则b＝　10　，c＝　﹣4　．
【分析】根据根与系数的关系解答．
【解答】解：∵x1+x2=b2=5，x1•x2=c2=-2，
∴b＝10，c＝﹣4．
故答案是：10；﹣4．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2=-ba，x1•x2=ca．
19．如图，要设计一副宽20cm、长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比2：3，如果要使彩条所占面积是图案面积的925，则每个横彩条的宽度是 　2　cm．

【分析】设每个横彩条的宽度是2xcm，则每个竖彩条的宽度是3xcm，空白部分可合成长为（30﹣2×3x）cm，宽为（20﹣2×2x）cm的矩形，利用矩形的面积计算公式，结合空白部分所占面积是图案面积的（1-925），即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，将符合题意的值代入2x中可求出每个横彩条的宽度．
【解答】解：设每个横彩条的宽度是2xcm，则每个竖彩条的宽度是3xcm，空白部分可合成长为（30﹣2×3x）cm，宽为（20﹣2×2x）cm的矩形，
依题意得：（30﹣2×3x）（20﹣2×2x）＝30×20×（1-925），
整理得：（5﹣x）2＝16，
解得：x1＝1，x2＝9（不合题意，舍去），
∴2x＝2×1＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
20．关于x的方程（x+m﹣1）2＝b（m，b为常数，且b＞0）的解是x1＝﹣1，x2＝4，则关于x的方程m2+2mx＝b﹣x2的解是 　x1＝﹣2，x2＝3　．
【分析】可把方程a（x+m）2+b＝0看作关于x+1的一元二次方程，从而得到x+1＝﹣1，x+1＝4，然后解两个一次方程即可．
【解答】解：∵方程m2+2mx＝b﹣x2整理得（x+m﹣1+1）2＝n，
把方程关于x的方程m2+2mx＝b﹣x2看作关于x+1的一元二次方程，
而关于x的方程a（x+m﹣1）2+b＝0的解是x1＝﹣1，x2＝4，
所以x+1＝﹣1，x+1＝4，
所以x1＝﹣2，x2＝3．
故答案为x1＝﹣2，x2＝3．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21．已知二次多项式x2﹣ax+a﹣5．
（1）当x＝1时，该多项式的值为 　﹣4　；
（2）若关于x的方程x2﹣ax+a﹣5＝0，有两个不相等的整数根，则正数a的值为 　2或5　．
【分析】（1）把x＝1代入代数式化简即可；
（2）设x1，x2是方程两个不相等的整数根，于是得到x1+x2＝a，x1x2＝a5．求得Δ＝（﹣a）2﹣4（a﹣5）＝a2﹣4a+20＝（a﹣2）2+16为完全平方数，列方程组即可得到结论．
【解答】解（1）当x＝1时，x2﹣ax+a﹣5＝1﹣a+a﹣5＝﹣4，
故答案为﹣4；
（2）设x1，x2是方程两个不相等的整数根，
则x1+x2＝a，x1x2＝a﹣5．
∴a，a﹣5均为整数，
∴Δ＝（﹣a）2﹣4（a﹣5）＝a2﹣4a+20＝（a﹣2）2+16为完全平方数，
设（a﹣2）2+16＝t2（t为整数，且t≥0），
则（a﹣2）2﹣t2＝﹣16．于是，（a﹣2﹣t）（a﹣2+t）＝﹣16，
由于a﹣2﹣t，a﹣2+t奇偶性相同，且a﹣2﹣t≤a﹣2+t，
∴a-2-t=-4a-2+t=4或a-2-t=-8a-2+t=2或a-2-t=-2a-2+t=8，
解得a=2t=4或a=-1t=5（舍去）或a=5t=5，
经检验a＝2，a＝5符合要求，
∴a＝2或a＝5，
故答案为2或5．
【点评】本题考查了代数式求值以及根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：
（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
也考查了二元一次方程组的解法．
22．某产品每件的生产成本为50元，销售价65元，经市场预测，接下来的第一个月销售价格将下降10%，第二个月又将回升5%．若要使两个月以后每件的销售利润不变，设每个月平均降低成本的百分率为x，根据题意可列方程 　65×（1﹣10%）×（1+5%）﹣50（1﹣x）2＝65﹣50　．
【分析】设每个季度平均降低成本的百分率为x，根据利润＝售价﹣成本价结合半年以后的销售利润为（65﹣50）元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设每个季度平均降低成本的百分率为x，
依题意，得：65×（1﹣10%）×（1+5%）﹣50（1﹣x）2＝65﹣50．
故答案为：65×（1﹣10%）×（1+5%）﹣50（1﹣x）2＝65﹣50．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23．无论x取何值，（x+2）（x﹣1）＝x2+mx+n总成立，则m+n的值为 　﹣1　．
【分析】根据多项式乘多项式的运算法则计算等式的左边，进而求出m、n，计算即可．
【解答】解：∵（x+2）（x﹣1）＝x2+2x﹣x﹣2＝x2+x﹣2，
∴m＝1，n＝﹣2，
∴m+n＝1﹣2＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查的是多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．
24．若m，n是一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两个实数根，则m3+m2n3m-1的值为 　3　．
【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到m2+3m﹣1＝0，再根据根与系数的关系得到m+n＝﹣3，再将其代入所求式子即可求解．
【解答】解：m，n是一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两个实数根，
∴m2+3m﹣1＝0，
∴3m﹣1＝﹣m2，
∵Δ＝32﹣4×1×（﹣1）＝13＞0，
∴m+n＝﹣3，
∴m3+m2n3m-1=m2(m+n)3m-1=-3m2-m2=3，
故答案为3．
【点评】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解与方程的关系得到3m﹣1＝﹣m2是解题的关键．
三．解答题（共8小题）
25．解下列方程．
（1）4x2+6x﹣5＝0（用配方法）；
（2）5（x﹣2）2＝2（2﹣x）．
【分析】（1）将常数项移到方程的右边，继而将二次项系数化为1，再两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得；
（2）利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）∵4x2+6x﹣5＝0，
∴4x2+6x＝5，
∴x2+32x=54，
则(x+34)2=2916，
∴x+34=±2916，
∴x1=-34+294，x2=-34-294．

（2）∵（x﹣2）（5x﹣10+2）＝0，
∴x﹣2＝0或5x﹣10+2＝0，
∴x1＝2，x2=85．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
26．已知关于x的方程x2﹣4x+m＝0的一个根为2+3．
（1）求m的值及方程的另一个根．
（2）设方程的两个根为x1，x2，求x12020x22021+x1的值．
【分析】（1）设方程的另一个根为a，则由根与系数的关系得：a+2+3=4，（2+3）a＝m，求出即可．
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2＝4，x1•x2＝1，根据积的乘方把原式变形，代入计算即可．
【解答】解：设方程的另一个根为a，
则由根与系数的关系得：a+2+3=4，（2+3）a＝m，
解得：a＝2-3，m＝1，
即m＝1，方程的另一个根为2-3．
（2）x1，x2是方程x2﹣4x+1＝0的两个根，
则x1+x2＝4，x1•x2＝1，
∴x12020x22021+x1＝（x1x2）2020x2+x1＝x2+x1＝4．
【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式的应用，x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=-ba，x1x2=ca，反过来也成立．
27．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有一个根是1，且系数a、b满足等式a-2+2-a=b+5．
（1）求a、b、c的值；
（2）解关于x的方程：cx2+bx+a﹣1＝0．
【分析】（1）先根据二次根式有意义的条件可得到a＝2，则b＝﹣5，再根据一元二次方程解的定义得a+b+c＝0，从而可求出c的值；
（2）利用求根公式法解方程．
【解答】解：（1）∵a﹣2≥0且2﹣a≥0，
∴a＝2，
∴b+5＝0，解得b＝﹣5；
把x＝1代入方程ax2+bx+c＝0得a+b+c＝0，
∴2﹣5+c＝0，解得c＝3；
（2）方程cx2+bx+a﹣1＝0变形为3x2﹣5x+1＝0，
∵Δ＝（﹣5）2﹣4×3×1＝13，
∴x=-b±b2-4ac2a=5±132×3，
∴x1=5+136，x2=5-136．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．也考查了二次根式有意义的条件．
28．红旗村的李师傅要利用家里的一面墙用铁丝网围成一个矩形苗圃，围墙的长为35米，铁丝网总长是70米．如图所示，设AB的长为x米，BC的长为y米．
（1）用含x的代数式表示y；
（2）当苗圃的面积是600平方米时，求出x，y的值；
（3）苗圃的面积能否达到700平方米？如果能，求出x，y的值；如果不能，请说明理由．

【分析】（1）由铁丝网的总长是70米，即可得出2x+y＝70，变形后即可得出y＝﹣2x+70，由0＜y≤35，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围；
（2）利用矩形的面积计算公式，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，结合（1）可确定x的值，再将其代入y＝﹣2x+70中可求出y值；
（3）利用矩形的面积计算公式，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣175＜0，即可得出该方程没有实数根，进而可得出苗圃的面积不能达到700平方米．
【解答】解：（1）依题意得：2x+y＝70，
∴y＝﹣2x+70．
∵0＜y≤35，即-2x+70＞0-2x+70≤35，
解得：352≤x＜35．
∴y＝﹣2x+70（352≤x＜35）．
（2）依题意得：xy＝600，即x（﹣2x+70）＝600，
整理得：x2﹣35x+300＝0，
解得：x1＝15（不合题意，舍去），x2＝20，
∴y＝﹣2x+70＝﹣2×20+70＝30．
答：当苗圃的面积是600平方米时，x的值为20，y的值为30．
（3）不能，理由如下：
依题意得：xy＝700，即x（﹣2x+70）＝700，
整理得：x2﹣35x+350＝0．
∵Δ＝（﹣35）2﹣4×1×350＝﹣175＜0，
∴该方程没有实数根，
∴苗圃的面积不能达到700平方米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用、解一元一次不等式、根的判别式以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出y值；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）牢记“当Δ＜0，方程无实数根”．
29．某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000个，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求．工厂决定从2月份起扩大产能，则第一季度三个月的平均日产量之和为66200个．
（1）求口罩日产量的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？
【分析】（1）设口罩日产量的月平均增长率为x，则2月份平均日产量为20000（1+x）个，3月份平均日产量为20000（1+x）2个，根据第一季度三个月的平均日产量之和为66200个，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出口罩日产量的月平均增长率；
（2）利用4月份平均日产量＝1月份平均日产量×（1+增长率）3，即可预计出4月份平均日产量．
【解答】解：（1）设口罩日产量的月平均增长率为x，则2月份平均日产量为20000（1+x）个，3月份平均日产量为20000（1+x）2个，
依题意得：20000+20000（1+x）+20000（1+x）2＝66200，
整理得：100x2+300x﹣31＝0，
解得：x1＝﹣3.1（不合题意，舍去），x2＝0.1＝10%．
答：口罩日产量的月平均增长率为10%．
（2）20000×（1+10%）3＝26620（个）．
答：预计4月份平均日产量为26620个．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
30．某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，如果这种商品每件的销售价每提高0.5元，其销售量就减少10件．
问（1）应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润为640元？
（2）店主想要获得每天800元的利润，小红同学认为不可能．如果你同意小红同学的说法吗？（说明理由）
【分析】（1）设售价定为x元，则每件的销售利润为（x﹣8）元，每天的销售量为（400﹣20x）件，利用总利润＝每件的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出每件商品的售价；
（2）利用总利润＝每件的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣16＜0，即可得出该方程没有实数根，即小红的说法正确．
【解答】解：（1）设售价定为x元，则每件的销售利润为（x﹣8）元，每天的销售量为200﹣10×x-100.5=（400﹣20x）件，
依题意得：（x﹣8）（400﹣20x）＝640，
整理得：x2﹣28x+192＝0，
解得：x1＝12，x2＝16．
答：应将每件售价定为12元或16元时，才能使每天利润为640元．
（2）同意，理由如下：
依题意得：（x﹣8）（400﹣20x）＝800，
整理得：x2﹣28x+200＝0．
∵Δ＝（﹣28）2﹣4×1×200＝﹣16＜0，
∴该方程没有实数根，
∴小红的说法正确．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”．
31．某工厂生产并销售A，B两种型号车床共14台，生产并销售1台A型车床可以获利10万元；如果生产并销售不超过4台B型车床，则每台B型车床可以获利17万元，如果超出4台B型车床，则每超出1台，每台B型车床获利将均减少1万元．设生产并销售B型车床x台．
（1）当x＞4时，完成以下两个问题：
①请补全下面的表格：

A型
B型
车床数量/台
　14﹣x　
x
每台车床获利/万元
10
　21﹣x　
②若生产并销售B型车床比生产并销售A型车床获得的利润多70万元，问：生产并销售B型车床多少台？
（2）当0＜x≤14时，设生产并销售A，B两种型号车床获得的总利润为W万元，如何分配生产并销售A，B两种车床的数量，使获得的总利润W最大？并求出最大利润．
【分析】（1）①由题意得，生产并销售B型车床x台时，生产并销售A型车床（14﹣x）台，当x＞4时，每台B型车床可以获利[17﹣（x﹣4）]＝（21﹣x）万元，②由题意得方程10（14﹣x）+70＝[17﹣（x﹣4）]x，解得x1＝10，x2＝21（舍去）；（2）当0＜x≤4时，W＝10（14﹣x）+17x，整理得，W＝3x+140，因为3＞0，故当x＝4时总利润W最大为3×4+140＝152（万元）；当x≥＞4时，W＝10（14﹣x）+[17﹣（x﹣4）]x，整理得W＝﹣x2+11x+140，因为﹣1＜0，所以当x=-112(-1)=5.5时总利润W最大，又由题意x只能取整数，所以当x＝5或x＝6时，总利润W最大为﹣52+11×5+140＝170（万元）
【解答】解：（1）①由题意得，生产并销售B型车床x台时，生产并销售A型车床（14﹣x）台，当x＞4时，每台B型车床可以获利[17﹣（x﹣4）]＝（21﹣x）万元．
故答案应为：14﹣x，21﹣x；
②由题意得方程10（14﹣x）+70＝[17﹣（x﹣4）]x，
解得x1＝10，x2＝21（舍去），
答：生产并销售B型车床10台；
（2）当0＜x≤4时，总利润W＝10（14﹣x）+17x，
整理得，W＝7x+140，
∵7＞0，
∴当x＝4时总利润W最大为7×4+140＝168（万元）；
当x＞4时，总利润
W＝10（14﹣x）+[17﹣（x﹣4）]x，
整理得W＝﹣x2+11x+140，
∵﹣1＜0，
∴当x=-112(-1)=5.5时总利润W最大，
又由题意x只能取整数，
∴当x＝5或x＝6时，
∴当x＝5时，总利润W最大为﹣52+11×5+140＝170（万元）
又∵168＜170，
∴当x＝5或x＝6时，总利润W最大为170万元，
而14﹣5＝9，
14﹣6＝8，
答：当生产并销售A，B两种车床各为9台、5台或8台、6台时，使获得的总利润W最大；最大利润为170万元．
【点评】此题考查了一元一次方程方程、一元二次方程、一次函数及二次函数的实际问题应用能力，关键是能根据实际问题列出合适的方程或函数式，并进行讨论解决．
32．毕业季来临，许多商家都抓住商机推出了毕业礼盒．重庆某知名礼品文化公司主推两款毕业礼盒，前程似锦礼盒和未来可期礼盒．礼盒上市第一天，卖出两种礼盒共计5000盒，其中前程似锦礼盒和未来可期礼盒的售价分别为160元和120元．
（1）若礼盒上市当天，前程似锦礼盒销售数量是未来可期礼盒销售数量的1.5倍，求当天未来可期礼盒的销售量？
（2）在（1）的条件下，礼盒上市第二天，前程似锦礼盒销售数量增长了a%，未来可期礼盒销售数量增长了15a%，而前程似锦礼盒价格下降了a%，未来可期礼盒价格不变，最终礼盒上市第二天两种礼盒的销售总额和（1）中两种礼盒的销售总额相等，求a的值．
【分析】（1）设当天未来可期礼盒的销售量为x盒，则前程似锦礼盒的销售量为1.5x盒，根据礼盒上市第一天共卖出两种礼盒5000盒，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）根据销售总额＝销售单价×销售数量，结合第二天两种礼盒的销售总额和（1）中两种礼盒的销售总额相等，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）设当天未来可期礼盒的销售量为x盒，则前程似锦礼盒的销售量为1.5x盒，
依题意得：x+1.5x＝5000，
解得：x＝2000．
答：当天未来可期礼盒的销售量为2000盒．
（2）依题意得：160（1﹣a%）×1.5×2000（1+a%）+120×2000（1+15a%）＝160×1.5×2000+120×2000，
整理得：48a2﹣480a＝0，
解得：a1＝10，a2＝0（不合题意，舍去）．
答：a的值为10．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．