【期末单元复习】2022-2023学年 苏科版数学 九年级上学期-第二章《圆》（过关测试提优）

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圆过关测试（提优）
一．选择题（共12小题）
1．一个圆锥和一个圆柱的高相等，若要使体积一样，圆锥底面积应是圆柱底面积的（　　）
A．3倍 B．13 C．π倍 D．1π
【分析】因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以当圆柱与圆锥的体积相等、高相等时，圆锥的底面积是圆柱底面积的3倍．据此解答即可．
【解答】解：一个圆锥和一个圆柱的高相等，若要使体积一样，圆锥底面积应是圆柱底面积的3倍．
故选：A．
【点评】此题考查圆锥的计算，圆柱的计算，考查的目的是理解掌握等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系及应用．
2．在平面直角坐标系中，点P的坐标为（3，m），若⊙P与y轴相切，那么⊙P与直线x＝5的位置关系是（　　）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
【分析】由题意可知⊙P的圆心在直线x＝3上，从而根据切线的性质由⊙P与y轴相切推出圆的半径r＝3，进而利用直线与圆的位置关系进行求解即可．
【解答】解：由题意可知⊙P的圆心在直线x＝3上，
∵⊙P与y轴相切，
∴圆的半径r＝3，
∵r＞5﹣3，
∴⊙P与直线x＝5相交，
故选：A．
【点评】本题考查切线的性质、坐标与图形的性质及直线与圆的位置关系，解题的关键是结合题意根据切线的性质推出⊙P的半径r＝3，也可以作出图形进行求解．
3．如图，C是⊙O上一点，若∠C＝40°，则∠AOB的度数为（　　）

A．20° B．40° C．80° D．140°
【分析】利用圆周角定理计算即可．
【解答】解：由题意，∠AOB＝2∠ACB，
∵∠C＝40°，
∴∠AOB＝80°，
故选：C．
【点评】本题考查圆周角定理，解题的关键是记住在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
4．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，BD为⊙O的直径，则⊙O的半径为（　　）

A．4 B．6 C．8 D．12
【分析】连接OA，由等腰三角形的性质得出∠C＝∠ABC，证明△AOB为等边三角形，由等边三角形的性质得出OA＝AB＝4，则可得出答案．
【解答】解：连接OA，

∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∵∠BAC＝120°，
∴∠C=180°-120°2=30°，
∴∠BOA＝2∠C＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB为等边三角形，
∴OA＝AB＝4，
则⊙O的半径为4．
故选：A．
【点评】本题考查的是圆周角定理，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
5．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，且D为AB中点，若∠D＝30°，BC＝2，则BD的值为（　　）

A．22 B．23 C．6 D．3
【分析】如图，连接AD，OC．证明△OBC是等边三角形，求出OB＝2，推出AB＝4，再证明△ADB是等腰直角三角形，可得结论．
【解答】解：如图，连接AD，OC．

∵∠BOC＝2∠BDC，∠BDC＝30°，
∴∠BOC＝60°，
∵OC＝OB，
∴△BOC是等边三角形，
∴OB＝BC＝2，
∴AB＝2OB＝4，
∵D是AB的中点，
∴AD=DB，
∴AD＝DB，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD=22AB＝22，
故选：A．
【点评】本题考查圆周角定理，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．
6．如图，PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点B，点C在⊙O上，连接AC，BC．若∠P＝45°，则∠ACB的度数为（　　）

A．15° B．22.5° C．30° D．37.5°
【分析】连接OA，根据切线的性质得∠OAP＝90°，则∠AOP＝45°，然后根据圆周角定理得到∠ACB的度数．
【解答】解：如图，连接OA，

∵直线PA与⊙O相切于点A，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP＝90°，
∵∠P＝45°，
∴∠AOB＝45°，
∵∠ACB=12∠AOB＝22.5°．
故选：B．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．解决本题的关键是掌握圆周角定理．
7．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，BD为⊙O的直径．若BD＝10，∠ABD＝2∠C，则AB的长度为（　　）

A．4 B．5 C．5.5 D．6
【分析】连接AD，根据BD为⊙O的直径，可得∠BAD＝90°，根据∠ACB＝∠D，可得∠D＝30°．进而可得AB的长．
【解答】解：如图，连接AD，

∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°，
∵∠ACB＝∠D，
∴∠ABD＝2∠C＝2∠D，
∵∠D+∠ABD＝90°，
∴∠D＝30°．
∴∠ABD＝60°，
∴AB＝OB＝0.5BD＝5．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，含30度角的直角三角形，解决本题的关键是掌握圆周角定理．
8．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝45°，BC＝8，则⊙O的半径为（　　）

A．4 B．42 C．8 D．82
【分析】根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，得∠COB＝90°，又OC＝OB，BC＝B，根据勾股定理，即可得圆的半径．
【解答】解：∵∠A＝45°，
∴∠COB＝90°，
∵OC＝OB，BC＝8，
∴OB＝42，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，勾股定理，解决本题的关键是掌握一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠CAB＝30°，∠ACB＝105°，CD⊥AB于点D且CD＝22，则⊙O的半径为（　　）

A．22 B．4 C．42 D．43
【分析】连接OA，OC，根据圆周角定理得∠AOC＝90°，根据直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半求出AC，再利用勾股定理求出OA．
【解答】解：如图，连接OA，OC，

∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∵∠CAB＝30°，CD＝22，
∴AC＝2CD＝42，
∵∠ACB＝105°，∠ACD＝60°，
∴∠CBA＝45°，
∵∠COA＝2∠CBA＝2×45°＝90°，
在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC2＝OA2+OC2，
∵OA＝OC，
∴OA=22AC＝4，
∴⊙O的半径为4，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形外接圆与外心，垂径定理定理，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，利用圆周角定理构造出Rt△AOC是解题的关键．
10．下列关于圆的说法中，正确的是（　　）
A．等圆中，相等的弦所对的弧也相等
B．过圆心且平分弦的直线一定垂直于这条弦
C．经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线
D．三角形的内心一定在三角形内部，且到三条边的距离相等
【分析】根据切线的判定，圆心角、弧、弦定理，三角形的内切圆与内心进行逐一判断即可．
【解答】解：A．等圆中，相等的弦所对的弧不一定相等，故A错误；
B．过圆心且平分弦（不是直径 ）的直线一定垂直于这条弦，故B错误；
C．经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故C错误；
D．三角形的内心一定在三角形内部，且到三条边的距离相等，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，切线的判定，圆心角、弧、弦定理，解决本题的关键是掌握切线的判定定理．
11．如图，△ABC内接于⊙O，AD是直径．若∠B＝60°，AC=3，则直径AD的长为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．23
【分析】连接CD，根据直径所对圆周角是直角可得∠ACD＝90°，根据同弧所对圆周角相等可得∠ADC＝∠B＝60°，进而可得结果．
【解答】解：如图，连接CD，

∵AD是直径．
∴∠ACD＝90°，
∵∠ADC＝∠B＝60°，
∴∠DAC＝30°，
∵AC=3，
∴AD=23×AC＝2，
则直径AD的长为2．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形外接圆与外心，圆周角定理、勾股定理，找出辅助线构建直角三角形是解题的关键．
12．如图，⊙O的直径AB＝8，AM，BN是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E，并与AM，BN分别相交于D，C两点，BD，OC相交于点F，若CD＝10，则BF的长是（　　）

A．8179 B．10179 C．8159 D．10159
【分析】如图，构建如图平面直角坐标系，过点D作DH⊥BC于H．想办法求出C，D两点坐标，构建一次函数，利用方程组确定交点坐标即可．
【解答】解：如图，构建如图平面直角坐标系，过点D作DH⊥BC于H．

∵AB是直径，AB＝8，
∴OA＝OB＝4，
∵AD，BC，CD是⊙O的切线，
∴∠DAB＝∠ABH＝∠DHB＝90°，DA＝DE，CE＝CB，
∴四边形ABHD是矩形，
∴AD＝BH，AB＝DH＝8，
∴CH=CD2-DH2=102-82=6，
设AD＝DE＝BH＝x，则EC＝CB＝x+6，
∴x+x+6＝10，
∴x＝2，
∴D（2，4），C（8，﹣4），B（0，﹣4），
∴直线OC的解析式为y=-12x，直线BD的解析式为y＝4x﹣4，
由y=-12xy=4x-4，解得x=89y=-49，
∴F（89，-49），
∴BF=(89)2+(-49+4)2=8179，
故选：A．
【点评】本题考查切线的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会构建平面直角坐标系，学会构建一次函数，利用方程组确定交点坐标，属于中考选择题中的压轴题．
二．填空题（共12小题）
13．锐角△ABC，其外接圆圆心为O，AB、AC上的高交于H，若O、H、B、C在同一圆周上，则∠BAC＝　60°　．
【分析】如图，连接OB，OC，根据垂直的定义得到∠ADC＝∠AEB＝90°，根据圆周角定理得到∠BOC＝∠BHC＝∠DHE，求得∠BOC＝2∠BAC，列方程即可得到结论．
【解答】解：如图，连接OB，OC，
∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠ADC＝∠AEB＝90°，
∴∠BAC+∠DHE＝360°﹣∠ADC﹣∠AEB＝180°，
∵O、H、B、C在同一圆周上，
∴∠BOC＝∠BHC＝∠DHE，
∴∠BAC+∠BOC＝180°，
∵∠BOC＝2∠BAC，
∴∠BAC+∠BOC＝3∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝60°，
故答案为：60°．

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，正确的作出图形是解题的关键．
14．已知，如图，将半径为4的圆O沿AB折叠，AB与AB垂直的半径OC交于点D，且CD＝3OD，则AB＝　55　．

【分析】延长CO交AB于E点，连接OB，构造直角三角形，然后再根据勾股定理求出AB的长
【解答】解：延长CO交AB于E点，连接OB，
∵CE⊥AB，
∴E为AB的中点，
∵OC＝4，CD＝3OD，
∴CD＝3，OD＝1，OB＝4，
∴DE=12（2OC﹣CD）=12（4×2﹣3）=52，
∴OE＝DE﹣OD=52-1=32，
在Rt△OEB中，
∵OE2+BE2＝OB2，
∴BE=OB2-OE2=42-(32)2=552，
∴AB＝2BE=55．
故答案为：55．

【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．
15．如图，四边形ABCD内接于圆O，∠BOD＝108°，则∠BCD的度数是 　126　度．

【分析】先根据圆周角定理得到∠A=12∠BOD＝54°，然后根据圆内接四边形的性质求∠BCD的度数．
【解答】解：∵∠BOD＝108°，
∴∠A=12∠BOD＝54°，
∴∠BCD＝180°﹣∠A＝126°．
故答案是：126．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
16．如图，△ABC内接于圆O，连接AO，D，E分别是BC，AO的中点，且OD＝OE，若∠ODE＝10°，则∠B等于　50°　．

【分析】连接OC，D，E分别是BC，AO的中点，且OD＝OE，可得OD=12OC，即∠OCD＝30°，再由∠ODE＝10°得∠DOE＝160°，从而∠AOC＝160°﹣60°＝100°，再由圆周角定理得∠B=12∠AOC＝50°．
【解答】解：如图，连接OC，

∵D为BC中点，OB＝OC，
∴OD⊥BC，
∵E为OA中点，
∴OE=12OA=12OC，
∵OD＝OE，
∴OD=12OC，
∴∠OCD＝30°，
∴∠COD＝90°﹣30°＝60°，
∵∠ODE＝10°，
∴∠DOE＝180°﹣2×10°＝160°，
∴∠AOC＝160°﹣60°＝100°，
∴∠B=12∠AOC＝50°，
故答案为：50°．
【点评】本题考查了三角形的外接圆、圆周角定理、含30°角的直角三角形的性质，分析出OD=12OC、∠OCD＝30°是解决问题的关键．
17．若点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC＝60°，底边BC＝8，则S△ABC＝　32+163或32﹣163　．
【分析】作AD⊥BC于D，如图，利用等腰三角形的性质得BD＝CD＝4，则AD垂直平分BC，根据外心的定义得点O在AD上，再利用∠BOC＝60°得到△OBC为等边三角形，则OB＝BC＝8，OD＝43，讨论：当等腰△ABC为锐角三角形时，AD＝8+43，当等腰△A′BC为钝角三角形时，A′D＝8﹣43，然后根据三角形面积公式分别计算两种情况下的三角形面积．
【解答】解：作AD⊥BC于D，如图，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD=12BC＝4，
∴AD垂直平分BC，
∴点O在AD上，
∵∠BOC＝60°，
∴△OBC为等边三角形，
∴OB＝BC＝8，
在△OBD中，OD=82-42=43，
当等腰△ABC为锐角三角形时，AD＝8+43，此时△ABC的面积=12×8×（8+43）＝32+163；
当等腰△A′BC为钝角三角形时，A′D＝8﹣43，此时△ABC的面积=12×8×（8﹣43）＝32﹣163．
综上所述，△ABC的面积为32+163或32﹣163．
故答案为32+163或32﹣163．

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质和勾股定理，分类讨论是解题的关键．
18．如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OC＝4，OG⊥BC，垂足为点G，则正六边形的中心角＝　60°　，边长＝　4　，边心距＝　23　．

【分析】由正六边形的性质得∠COD=360°6=60°，再证△OCD是等边三角形，得BC＝CD＝OC＝4，再由垂径定理和含30°角的直角三角形的性质求出OG即可．
【解答】解：在圆内接正六边形ABCDEF中，∠COD=360°6=60°，
∵OC＝OD，
∴△OCD是等边三角形，
∴BC＝CD＝OC＝4，
∵OG⊥BC，
∴CG=12BC＝2，
∵∠COG=12∠COD＝30°，
∴OG=3CG＝23，
故答案为：60°，4，23．
【点评】本题考查了正多边形和圆、正六边形的5性质、等边三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质；熟练掌握正六边形的性质和等边三角形的判定与性质是解题的关键．
19．如图，AB是半圆O的直径，PB切半圆O于点B，PC切半圆O于点C，若AB＝2，∠CAB＝60°，则图中阴影部分面积等于 　334-π6　．

【分析】连接OC，OP，根据切线的性质得到∠PCO＝∠PBO＝90°，∠CPO＝∠BPO，根据圆周角定理得到∠COB＝2∠CAB＝120°，求得∠CPB＝60°，然后根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：连接OC，OP，
∵PB切半圆O于点B，PC切半圆O于点C，
∴∠PCO＝∠PBO＝90°，∠CPO＝∠BPO，
∵∠CAB＝60°，
∴∠COB＝2∠CAB＝120°，
∴∠CPB＝60°，
∴∠CPO＝∠BPO＝30°，
∵AB＝2，AB是半圆O的直径，
∴OC＝OA＝OB＝1，
∴PC＝PB=3OC=3，
∴图中阴影部分面积＝S四边形PBOC+S扇形AOC﹣S扇形BOC﹣S△AOC＝1×3+60⋅π×1360-120⋅π×1360-12×1×32=334-π6．
故答案为：334-π6．

【点评】本题考查了切线的性质，扇形的面积的计算，圆周角定理，求得图中阴影部分面积＝S四边形PBOC+S扇形AOC﹣S扇形BOC﹣S△AOC是解题的关键．
20．如图，AC，BD都是⊙O的直径，过点A作O的切线，与BD的延长线相交于点E．若⊙O的半径为1，DE＝x，CE＝y，则y关于x的函数关系式为 　y=x2+2x+4（x＞0）　．

【分析】由题意知OD＝OA＝1，AC＝2，OE＝x+1，根据切线的性质得到OA⊥AE，在Rt△AOE中，由勾股定理得到AE2＝x2+2x，在Rt△ACE中，根据勾股定理列方程即可得到y关于x的函数关系式．
【解答】解：∵⊙O的半径为1，AC，BD都是⊙O的直径，
∴OD＝OA＝1，AC＝2，
∵DE＝x，
∴OE＝OD+DE＝x+1，
∵AE是⊙O的切线，
∴OA⊥AE，
∴∠OAE＝90°，
在Rt△AOE中，AE2＝OE2﹣OA2＝（x+1）2﹣12＝x2+2x，
在Rt△ACE中，
∵AC＝2，CE＝y，CE2＝AC2+AE2＝22+x2+2x＝x2+2x+4，
∴y=x2+2x+4（x＞0），
故答案为：y=x2+2x+4（x＞0）．

【点评】本题主要考查了切线的性质，勾股定理，函数解析式，根据勾股定理由含x的代数式表示出AE2是解决问题的关键．
21．如图，正方形ABCD的边长为4，分别以B、D为圆心，正方形的边长为半径画圆，则图中的阴影部分面积为 　8π﹣16　．（结果保留π）

【分析】由图可知，阴影部分的面积是两个圆心角为90°，且半径为4的扇形的面积与正方形的面积的差，可据此求出阴影部分的面积．
【解答】解：由题意可得出：S阴影＝2S扇形﹣S正方形＝2×90π⋅42360-42＝8π﹣16，
故答案为8π﹣16．
【点评】本题考查了扇形的面积，正方形的性质，得出S阴影＝2S扇形﹣S正方形是解题关键．
22．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，点B、C在⊙O上，边AB、AC分别交⊙O于D、E两点，点B是CD的中点，则∠ABE＝　13°　．

【分析】由∠ABC＝90°，可得CD是⊙O的直径，由点B是CD的中点以及三角形的内角和，可得∠BDC＝∠BCD＝45°，利用三角形的内角和求出∠ACB，再根据角的和差关系求出∠DCE，由圆周角定理可得∠ABE＝∠DCE得出答案．
【解答】解：如图，连接DC，
∵∠DBC＝90°，
∴DC是⊙O的直径，
∵点B是CD的中点，
∴∠BCD＝∠BDC＝45°，
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，
∴∠ACB＝90°﹣32°＝58°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝58°﹣45°＝13°＝∠ABE，
故答案为：13°．

【点评】本题考查圆周角定理，弦、弧、圆心角之间的关系以及三角形内角和定理，掌握圆周角定理和推论是正确计算的前提．
23．如图，点A、B、C均在⊙O上，点D在AB的延长线上，若∠AOC＝124°，则∠CBD＝　62°　．

【分析】首先在优弧AC上取点E，连接AE，CE，由圆周角定理可求得∠E的度数，又由圆的内接四边形的性质，可得∠CBD＝∠E．
【解答】解：在优弧AC上取点E，连接AE，CE，
∵∠AOC＝124°，
∴∠E=12∠AOC＝62°，
∵∠ABC＝180°﹣∠E，∠ABC＝180°﹣∠CBD，
∴∠CBD＝∠E＝62°．
故答案为：62°．

【点评】此题考查了圆的内接多边形的性质以及圆周角定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
24．如图，AD、AE、CB均为⊙O的切线，D，E，F分别是切点，AD＝5，则△ABC的周长为　10　．

【分析】由AD、AE、CB均为⊙O的切线，D、E、F分别为切点，根据切线长定理，可得CE＝CF，BD＝BF，AE＝AD＝5，继而可求得△ABC的周长为AE+AD．
【解答】解：∵AD，AE、CB均为⊙O的切线，D，E，F分别是切点，
∴EC＝FC，BF＝BD，AD＝AE，
∵△ABC的周长＝AC+BC+AB＝AC+CF+BF+AB，
∴△ABC的周长＝AC+EC+BD+AB＝AE+AD＝2AD，
∵AD＝5，
∴△ABC的周长为10，
故答案为：10．
【点评】本题主要考查了切线长定理，熟练掌握从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，此题运用线段间的等量代换将周长转化为AE+AD是解决问题的关键．
三．解答题（共8小题）
25．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，连接AC，若CA＝CP，∠A＝30°．
（1）求证：CP是⊙O的切线；
（2）若OA＝1，求弦AC的长．

【分析】（1）连接OC，由等腰三角形的性质得出∠A＝∠ACO＝30°，∠P＝30°，求出∠ACP的度数，则可求出答案；
（2）连接BC，由勾股定理可求出答案．
【解答】（1）证明：连接OC，如图，

∵OA＝OC，∠A＝30°，
∴∠A＝∠ACO＝30°，
∵CA＝CP，
∴∠A＝∠P＝30°，
∴∠ACP＝180°﹣∠A﹣∠P＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∴∠OCP＝∠ACP﹣∠ACO＝120°﹣30°＝90°，
∴OC⊥CP，
∴CP是⊙O的切线；
（2）解：如图，连接BC，

∵OA＝OB＝1，
∴AB＝2，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠A＝30°，
∴BC=12AB＝1，
∴AC=AB2-BC2=3．
【点评】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握切线的判定是解题的关键．
26．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点（C不与点A，B重合）连接AC，BC，过点C作CD⊥AB，垂足为点D．将△ACD沿AC翻折，点D落在点E处得△ACE，AE交⊙O于点F．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若∠BAC＝15°，OA＝2，求阴影部分面积．

【分析】（1）连接OC，求得∠ACO＝∠EAC，根据内错角相等两直线平行得到OC∥AE，进而求得∠ECO＝90°，即可证明CE是⊙O的切线；
（2）根据锐角三角函数求出OG、AG、CD、OD，进而求得AF、AE，利用S阴影＝S梯形OCEF﹣S扇形OCF即可求得面积．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∵△ACD沿AC翻折得到△ACE，
∴∠EAC＝∠BAC，∠AEC＝∠ADC＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠BAC，
∴∠ACO＝∠EAC，
∴OC∥AE，
∴∠AEC+∠ECO＝180°，
∴∠ECO＝90°，即OC⊥CE，
∴CE是⊙O的切线；
（2）解：连接OF，过点O作OG⊥AE于点G，
∵∠BAC＝15°，
∴∠BAE＝2∠BAC＝30°，∠COF＝2∠EAC＝2∠BAC＝30°，
∵OA＝2，
∴OG=12OA＝1，AG=3，
∵OA＝OF，
∴AF＝2AG＝23，
∵∠BOC＝2∠BAC＝30°，CD⊥AB，OC＝OA＝2，
∴CD=12OC＝1，OD=3，
∴AE＝AD＝AO+OD＝2+3，
∴EF＝AE﹣AF＝2-3，CE＝CD＝1，
∴S阴影＝S梯形OCEF﹣S扇形OCF
=12×（2-3+2）×1-30360×π×22
＝2-32-13π．


【点评】本题主要考查翻折的性质、切线的判定与性质和垂径定理，熟记梯形和扇形的面积公式是解题的关键．
27．如图，在矩形ABCD中，点O为边AB上一点，以点O为圆心，OA为半径的⊙O与对角线AC相交于点E，连接BE，当BE为⊙O的切线时．
（1）求证：BC＝BE；
（2）若点E为AC的中点，⊙O的半径为1，求矩形ABCD的面积．

【分析】（1）根据矩形的性质，切线的性质以及等角的余角相等得出∠CEB＝∠ACB，进而得出BC＝BE；
（2）根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半、直角三角形的边角关系以及等腰三角形的性质可得∠BAC＝30°，∠ACB＝60°，利用直角三角形的边角关系求出OB、BC利用矩形的面积计算方法进行计算即可．
【解答】解：（1）连接OE，
∵OA＝OE，
∠EAO＝∠AEO，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ACB+∠CAB＝90°，
∵BE是⊙O的切线，
∴∠OEB＝90°，
∴∠AEO+∠CEB＝180°﹣90°＝90°，
∴∠CEB＝∠ACB，
∴BC＝BE；
（2）在Rt△ABC中，点E为AC的中点，
∴BE＝CE＝AE＝BC，
∴∠BAC＝30°，∠ACB＝60°，
∴∠EBO＝30°，
在Rt△BOE中，OE＝1，
∴OB＝2OE＝2，BE=3OE=3，
∴AB＝1+2＝3，BC＝BE=3，
∴矩形ABCD的面积为AB•BC＝33．

【点评】本题考查矩形的性质、直角三角形的边角关系以及特殊锐角三角函数值，掌握直角三角形的边角关系以及矩形、等腰三角形的性质是正确解答的前提．
28．已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，∠BAC＝40°．
（1）如图①，若D为AB的中点，求∠ABC和∠ABD的大小；
（2）如图②，若D为AB上的点，且∠OCD＝25°，过点D作DP∥AC与AB的延长线交于点P，求证：DP是⊙O的切线．

【分析】（1）根据圆周角和圆心角的关系求得∠ABC和∠ABD的大小，于是得到结论；
（2）如图②，连接OD，根据等腰三角形的性质得到∠OCD＝∠ODC＝25°．根据三角形的内角和定理得到∠COD＝180°﹣25°﹣25°＝130°，根据周角的定义得到∠AOD＝360°﹣∠AOC﹣∠DOC＝130°，根据平行线的性质得到∠P＝∠BAC＝40°．根据切线的判定定理即可得到结论．
【解答】解：（1）如图①，连接OD，
∵AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，∠BAC＝40°，
∴∠ACB＝90°．
∴∠ABC＝∠ACB﹣∠BAC＝90°﹣40°＝50°．
∵D为弧AB的中点，∠AOB＝180°，
∴∠AOD＝90°，
∴∠ABD＝45°；

（2）如图②，连接OD，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC＝25°．
∴∠COD＝180°﹣25°﹣25°＝130°，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠A＝40°，
∴∠AOC＝180°﹣∠A﹣∠ACO＝100°，
∴∠AOD＝360°﹣∠AOC﹣∠DOC＝130°，
由DP∥AC，又∠BAC＝40°，
∴∠P＝∠BAC＝40°．
∵∠AOD是△ODP的一个外角，
∴∠AOD＝∠P+∠ODP＝130°．
∴∠ODP＝∠AOD﹣∠P＝90°．
∴DP是⊙O的切线．


【点评】本题考查切线的判定、圆周角定理，平行线的性质，三角形的内角和定理，周角的定义，求得∠AOD＝130°是解题的关键．
29．如图，已知AB是⊙O的直径，点D，C是圆上的两个点，且AC=BD，直线CD⊥BF于点E．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）若∠BAD＝30°，AB＝4，求阴影部分的面积．

【分析】（1）根据圆周角定理得出AB∥CD，进而利用平行线的性质得出AB⊥BF，进而得出结论；
（2）根据S阴影部分＝S△BOD+S△BDE﹣S扇形OBD，求出S△BOD与S△BDE以及S扇形OBD即可．
【解答】解：（1）∵AC=BD，
∴∠BAD＝∠ADC，
∴AB∥CD，
∵CE⊥BF，
∴AB⊥BF，且AB是直径，
∴BF是⊙O的切线；
（2）连接OD、BD，
∵∠BAD＝30°，AB＝4，
∴∠BOD＝60°，
∵OB＝OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴OB＝OD＝BD＝2，
∵BF是⊙O的切线，
∴∠ABF＝90°，
∴∠DBF＝30°，
∵CE⊥BF，
∴DE＝1，BE=3，
∴S阴影部分＝S△BOD+S△BDE﹣S扇形OBD
=12×2×3+12×1×3-60π×22360
=332-2π3．

【点评】本题考查切线的判定和性质，扇形面积的计算以及圆周角定理，掌握切线的判定方法以及扇形面积的计算方法是正确解答的关键．
30．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BCA＝75°，∠ABC＝45°，连接CO并延长，交⊙O于D，连接BD，过A作AE∥CD，与BC的延长线交于E．
（1）求证：AE与⊙O相切．
（2）若BD=2，求⊙O的半径的长．

【分析】（1）如图，连接OA，根据圆周角定理得到∠AOC＝90°，根据平行线的性质得到∠OAE＝180°﹣∠AOC＝90°，于是得到结论．
（2）根据已知条件得到∠BDC＝60°，根据圆周角定理得到∠DBC＝90°，根据直角三角形的性质得到CD＝2BD＝22，于是得到⊙O的半径的长为2．
【解答】（1）证明：如图，连接OA，
∵∠ABC＝45°，
∴∠AOC＝90°，
∵CD∥AE，
∴∠OAE＝180°﹣∠AOC＝90°，
∴AE与⊙O相切．
（2）解：∵∠CAB＝180°﹣∠BCA﹣∠ABC＝180°﹣75°﹣45°＝60°，
∴∠BDC＝60°，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DBC＝90°，
∴∠DCB＝90°﹣∠BDC＝90°﹣60°＝30°，
∴CD＝2BD＝22，
∴⊙O的半径的长为2．

【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，锐角三角函数，正方形的判定和性质，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
31．如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且BD=CD，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E，连接AD．
（1）求证：ED是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，AC＝2，求CD的长．

【分析】（1）连接OD．根据圆周角定理可得∠CAD＝∠DAB，再根据等腰三角形的性质即可结论；可以两种方法证明；
（2）连接BC，交OD于点F，根据直径所对圆周角是直角，利用勾股定理即可求出结果．
【解答】解法一：（1）如图，连接OD．
∵BD=CD，
∴∠CAD＝∠DAB，
∵OA＝OD，
∴∠DAB＝∠ODA．
∴∠CAD＝∠ODA，
∴AE∥OD．
∵DE⊥AE，
∴DE⊥OD，
∵OD为⊙O的半径，
∴ED是⊙O的切线；

（2）解：如图，连接BC，交OD于点F，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵⊙O的半径为3，
∴AB＝6．
∵AC＝2，
∴BC=AB2-AC2=42，
∵AE∥OD，OA＝OB，
∴BF＝CF＝22，OF=12AC＝1，∠BFO＝∠ACB＝90°，
∴FD＝OD﹣OF＝3﹣1＝2，
在Rt△CFD中，CD=CF2+DF2=8+4=23．
解法二：（1）如图，连接OD．
∵BD=CD，
∴∠DAB＝∠CAD．∠DOB＝2∠DAB，
∵∠EAB＝∠DAB+∠CAD＝2∠DAB，
∴∠DOB＝∠EAB，
∴AE∥OD，
∵DE⊥AE，
∴DE⊥OD．
∵OD为⊙O的半径，
∴ED是⊙O的切线，
（2）解：同解法一．
【点评】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，解决本题的关键是掌握切线的判定与性质，圆周角定理．
32．如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ为边作Rt△ABQ，使∠BAQ＝90°，AQ：AB＝3：4，作△ABQ的外接圆O．点C在点P右侧，PC＝4，过点C作直线m⊥l，过点O作OD⊥m于点D，交AB右侧的圆弧于点E．在射线CD上取点F，使DF=32CD，以DE，DF为邻边作矩形DEGF．设AQ＝3x．
（1）用关于x的代数式表示BQ＝　5x　，DF＝　3x　．
（2）当点P在点A右侧时，若矩形DEGF的面积等于90，求AP的长．
（3）当点P在点A右侧时，作直线BG交⊙O于点N，若BN的弦心距为1，求AP的长．

【分析】（1）由AQ：AB＝3：4，AQ＝3x，易得AB＝4x，由勾股定理得BQ，再由中位线的性质得AH＝BH=12AB，求得CD，FD；
（2）利用（1）的结论，易得CQ的长，作OM⊥AQ于点M，则OM∥AB，由垂径定理得QM＝AM=32x，由矩形性质得OD＝MC，利用矩形面积，求得x，得出结论；
（3）连接NQ，由点O到BN的弦心距为1，得NQ＝2，过点B作BM⊥EG于点M，GM＝x，BM＝x，易得∠GBM＝45°，BM∥AQ，易得AI＝AB，求得IQ，由NQ得AP．
【解答】解：（1）在Rt△ABQ中，
∵AQ：AB＝3：4，AQ＝3x，
∴AB＝4x，
∴BQ＝5x，
∵OD⊥m，m⊥l，
∴OD∥l，
∵OB＝OQ，
∴AH＝BH=12AB＝2x，
∴CD＝2x，
∴FD=32CD＝3x，
故答案为：5x，3x；
（2）∵AP＝AQ＝3x，PC＝4，
∴CQ＝6x+4，
作OM⊥AQ于点M，如图1，

∴OM∥AB，
∵⊙O是△ABQ的外接圆，∠BAQ＝90°，
∴点O是BQ的中点，
∴QM＝AM=32x
∴OD＝MC=92x+4，
∴OE=12BQ=52x，
∴ED＝2x+4，
S矩形DEGF＝DF•DE＝3x（2x+4）＝90，
解得：x1＝﹣5（舍去），x2＝3，
∴AP＝3x＝9；
（3）连接NQ，由点O到BN的弦心距为1，得NQ＝2，如图2，

过点B作BM⊥EG于点M，
∵GM＝x，BM＝x
∴∠GBM＝45°，
∴BM∥AQ，
∴AI＝AB＝4x，
∴IQ＝x，
∴NQ=x2=2，
∴x＝22，
∴AP＝62．
【点评】本题主要考查了勾股定理，垂径定理，正方形的性质，中位线的性质等，结合图形，分类讨论是解答此题的关键．