福建省厦门市思明区双十中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(解析版)

这是一份福建省厦门市思明区双十中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(解析版)，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
福建省厦门市思明区双十中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷（解析版）
一、选择题（本大题共10题，每小题4分，共40分；每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）
1．将一元二次方程3x2﹣1＝2x化成一般形式后（二次项系数为正数），二次项系数和一次项系数分别是（　　）
A．3、﹣2 B．3、2 C．3、﹣1 D．3、1
2．抛物线y＝2（x﹣3）2+5的顶点坐标是（　　）
A．（﹣3，5） B．（3，5） C．（﹣3，﹣5） D．（3，﹣5）
3．解方程x2﹣6x+3＝0，可用配方法将其变形为（　　）
A．（x+3）2＝3 B．（x﹣6）2＝3 C．（x﹣3）2＝3 D．（x﹣3）2＝6
4．一元二次方程x2+x﹣2＝0的解为x1、x2，则x1•x2＝（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
5．在如图所示的正方形ABCD中，点E在边CD上，把△ADE绕点A顺时针旋转得到△ABF，∠FAB＝20°，旋转角的度数是（　　）

A．110° B．90° C．70° D．20°
6．将抛物线y＝x2+2向右平移1个单位后所得抛物线的解析式是（　　）
A．y＝x2+3 B．y＝x2+1 C．y＝（x+1）2+2 D．y＝（x﹣1）2+2
7．已知点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（0，y3）在函数y＝x2﹣2x+m的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y1＜y3＜y2 B．y3＜y1＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
8．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段AB上一点（AP＞BP），若满足，则称点P是AB的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧B进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（　　）

A．（20﹣x）2＝20x B．x2＝20（20﹣x）
C．x（20﹣x）＝202 D．以上都不对
9．如图，在边长为12的等边△ABC中，D为边BC上一点，BD＝8，点E是AC上一动点，连接DE，将线段DE绕点E顺时针旋转60°得到线段EF．当点F恰好落在边AB上时，则△AEF的面积是（　　）

A．4 B．4 C．8 D．8
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（﹣1，0）与（3，0）两点，关于x的方程ax2+bx+c+p＝0（p＞0）有两个不同的实数根，其中一个根是x＝m（m＜﹣1）．如果关于x的方程ax2+bx+c+q＝0（q＜0）有两个不同的整数根，则这两个整数根是（　　）
A．x1＝0，x2＝﹣2 B．x1＝2，x2＝0 C．x1＝﹣2，x2＝4 D．x1＝﹣3，x2＝5
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
11．一元二次方程x2﹣9＝0的解是　 　．
12．在平面直角坐标系中，点P（2，4）关于原点对称点的坐标是　 　．
13．关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 　 　．
14．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么abc　 　0（填“＞”“＜”或“＝”）．

15．一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图所示），桥高为8米，拱高6米，跨度20米．相邻两支柱间的距离均为5米，则支柱MN的高度为 　 　米．

16．已知：如图，点P是等边△ABC内一点，且PA，PB，PC的长分别为a，a，a，下列结论：①△ACP≌△BCP；②∠APB＝120°；③∠BPC＝105°；④S△PAB+S△PBC＝a2．其中正确的结论有：　 　．

三、解答题（本大题有9小题，共86分）
17．（8分）解方程：x2﹣2x﹣5＝0．
18．（8分）化简并求值：（1﹣）÷，其中x＝﹣1．
19．（8分）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（﹣1，0）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）在图中画出该函数的图象．

20．（8分）学校开展的课外阅读活动中，学生人均阅读量从2019年的每年100万字增加到2021年的每年144万字，这两年人均阅读量年平均增长率是多少？
21．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC＞BC，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使得点B的对应点E落在边AB上（点E不与点B重合）．
（1）尺规作图：作出△DEC；
（2）试判断线段AB、CD的位置关系．

22．（10分）已知抛物线y＝x2﹣（m+1）x+m．
（1）求证：抛物线与x轴必有交点；
（2）若该抛物线与直线y＝﹣x两个交点的横坐标是x1，x2，并且x12+mx2＝6，求m的值．
23．（10分）在等腰Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，动点F在射线BC上，点E是AF上一点．

（1）如图1，若点F在BC延长线上，点D为Rt△ABC内一点，且满足∠ECD＝90°，EC＝ED，求证：AE＝BD．
（2）如图2，若点F在边BC上，且满足∠CEF＝45°，EF＝5，△ABF面积为33，求AE的长．

24．（13分）用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图1）．
科学原理：如图2，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为H（单位：cm），如果在离水面竖直距离为h（单位：cm）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）s（单位：cm）与h的关系为s2＝4h（H﹣h）．
应用思考：现用高度为20cm的圆柱体塑料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连续注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距离hcm处开一个小孔．
（1）写出s2与h的关系式：并求出当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是多少？
（2）在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a，b，要使两孔射出水的射程相同，求a，b之间的关系式；
（3）如果想通过垫高塑料水瓶使射出水的最大射程增加，试问垫高的高度是否可以等于最大射程？若可以请求出此时垫高的高度，若不可以请说明理由．

25．（13分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．

（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）如图1，连接BC，点E是第四象限内抛物线上的动点，过点E作EF⊥BC于点F，EG∥x轴交直线BC于点G，求△EFG面积的最大值；
（3）如图2，点M在线段OC上（点M不与点O重合），点M、N关于原点对称，射线BN、BM分别与抛物线交于P、Q两点，连接PA、QA，若△BMN的面积为S1，四边形BPAQ的面积为S2，求的值．


参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10题，每小题4分，共40分；每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）
1．将一元二次方程3x2﹣1＝2x化成一般形式后（二次项系数为正数），二次项系数和一次项系数分别是（　　）
A．3、﹣2 B．3、2 C．3、﹣1 D．3、1
【分析】先化成一元二次方程的一般形式，再找出二次项系数和一次项系数即可．
【解答】解：∵3x2﹣1＝2x，
∴3x2﹣2x﹣1＝0，
∴二次项系数和一次项系数分别是3和﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，多项式的项和单项式的系数等知识点，注意：找多项式项的系数时，带着前面的符号．
2．抛物线y＝2（x﹣3）2+5的顶点坐标是（　　）
A．（﹣3，5） B．（3，5） C．（﹣3，﹣5） D．（3，﹣5）
【分析】利用二次函数的性质求解即可．
【解答】解：抛物线y＝2（x﹣3）2+5的顶点坐标是（3，5）．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟记二次函数的性质．
3．解方程x2﹣6x+3＝0，可用配方法将其变形为（　　）
A．（x+3）2＝3 B．（x﹣6）2＝3 C．（x﹣3）2＝3 D．（x﹣3）2＝6
【分析】方程移项，两边加上一次项系数一半的平方配方得到结果，即可作出判断．
【解答】解：方程x2﹣6x+3＝0，
移项得：x2﹣6x＝﹣3，
平方得：x2﹣6x+9＝6，即（x﹣3）2＝6．
故选：D．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
4．一元二次方程x2+x﹣2＝0的解为x1、x2，则x1•x2＝（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【分析】直接根据根与系数的关系求解．
【解答】解：根据题意得x1•x2＝＝﹣2．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个解为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
5．在如图所示的正方形ABCD中，点E在边CD上，把△ADE绕点A顺时针旋转得到△ABF，∠FAB＝20°，旋转角的度数是（　　）

A．110° B．90° C．70° D．20°
【分析】根据图形旋转前后对应点与旋转中心的连线的夹角即为旋转角确定把△ADE绕点A顺时针旋转得到△ABF后旋转角即为∠DAB，然后根据正方形的性质求解．
【解答】解：∵把△ADE绕点A顺时针旋转得到△ABF，
∴旋转角为∠DAB，
又∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB＝90°，
故选：B．
【点评】本题考查旋转的性质，理解旋转角的概念是解题基础．
6．将抛物线y＝x2+2向右平移1个单位后所得抛物线的解析式是（　　）
A．y＝x2+3 B．y＝x2+1 C．y＝（x+1）2+2 D．y＝（x﹣1）2+2
【分析】易得原抛物线的顶点及新抛物线的顶点，利用顶点式及平移不改变二次项的系数可得新抛物线的解析式．
【解答】解：原抛物线的顶点为（0，2），向右平移1个单位，那么新抛物线的顶点为（1，2）．
可设新抛物线的解析式为：y＝（x﹣h）2+k，代入得：y＝（x﹣1）2+2．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的平移，得到平移前后的顶点是解决本题的关键；用到的知识点为：二次函数的平移，看顶点的平移即可，二次函数的平移不改变二次项的系数．
7．已知点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（0，y3）在函数y＝x2﹣2x+m的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y1＜y3＜y2 B．y3＜y1＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据各点与对称轴的距离大小关系求解．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x+m，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝1，
∵1﹣（﹣3）＞1﹣（﹣1）＞1﹣0，
∴y1＞y2＞y3，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与不等式的关系．
8．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段AB上一点（AP＞BP），若满足，则称点P是AB的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧B进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（　　）

A．（20﹣x）2＝20x B．x2＝20（20﹣x）
C．x（20﹣x）＝202 D．以上都不对
【分析】点P是AB的黄金分割点，且PB＜PA，PB＝x，则PA＝20﹣x，则，即可求解．
【解答】解：由题意知，点P是AB的黄金分割点，且PB＜PA，PB＝x，则PA＝20﹣x，
∴，
∴（20﹣x）2＝20x，
故选：A．
【点评】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．
9．如图，在边长为12的等边△ABC中，D为边BC上一点，BD＝8，点E是AC上一动点，连接DE，将线段DE绕点E顺时针旋转60°得到线段EF．当点F恰好落在边AB上时，则△AEF的面积是（　　）

A．4 B．4 C．8 D．8
【分析】首先利用SAS证明△CDE≌△AEF，得AE＝CD＝4，再证明∠EDC＝90°，即可解决问题．
【解答】解：如图，

∵BC＝12，BD＝8，
∴CD＝4，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝∠C＝60°，
由题意得，ED＝EF，∠DEF＝60°，
又∵∠C+∠CDE+∠CED＝180°，∠CED+∠DEF+∠AEF＝180°，
∴∠CED+∠AEF＝120°，∠CDE+∠CED＝120°，
∴∠CDE＝∠AEF，
在△CDE与△AEF中，
，
∴△CDE≌△AEF（AAS），
∴AE＝CD＝4，
∴EC＝AC﹣AE＝12﹣4＝8，
∵S△AEF＝S△EDC，
∵∠C＝60°，CE＝8，
过点E作EH⊥BC于H，
则CH＝4，
∴CD＝CH＝4，
即点D与H重合，
∴∠EDC＝90°，
∴ED＝＝4，
∴S＝＝8，
∴S，
故选：D．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，证明∠EDC＝90°是解题的关键．
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（﹣1，0）与（3，0）两点，关于x的方程ax2+bx+c+p＝0（p＞0）有两个不同的实数根，其中一个根是x＝m（m＜﹣1）．如果关于x的方程ax2+bx+c+q＝0（q＜0）有两个不同的整数根，则这两个整数根是（　　）
A．x1＝0，x2＝﹣2 B．x1＝2，x2＝0 C．x1＝﹣2，x2＝4 D．x1＝﹣3，x2＝5
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数与一元二次方程的关系，可以得到关于x的方程ax2+bx+c+q＝0（q＜0）的两个不同的整数根，从而可以解答本题．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（3，0）与（﹣1，0）两点，
∴当y＝0时，0＝ax2+bx+c的两个根为3和﹣1，函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，
又∵关于x的方程ax2+bx+c+p＝0（p＞0）有两个不同的实数根，其中一个根是m（m＜﹣1），
∴方程ax2+bx+c+p＝0（p＞0）的另一个根为2﹣m，函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，
∵关于x的方程ax2+bx+c+q＝0（q＜0）有两个不同的整数根，
∴这两个整数根是0或2，
故选：B．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的关系解答．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
11．一元二次方程x2﹣9＝0的解是　x1＝3，x2＝﹣3　．
【分析】利用直接开平方法解方程得出即可．
【解答】解：∵x2﹣9＝0，
∴x2＝9，
解得：x1＝3，x2＝﹣3．
故答案为：x1＝3，x2＝﹣3．
【点评】此题主要考查了直接开平方法解方程，正确开平方是解题关键．
12．在平面直角坐标系中，点P（2，4）关于原点对称点的坐标是　（﹣2，﹣4）　．
【分析】根据关于关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．填空即可．
【解答】解：点P（2，4）关于原点对称的点的坐标是（﹣2，﹣4），
故答案为：（﹣2，﹣4）
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
13．关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 　k＜1　．
【分析】由方程有两个不等实数根可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．
【解答】解：由已知得：Δ＝4﹣4k＞0，
解得：k＜1．
故答案为：k＜1．
【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是得出关于k的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出不等式（或不等式组）是关键．
14．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么abc　＜　0（填“＞”“＜”或“＝”）．

【分析】根据抛物线开口方向、对称轴及抛物线与y轴交点的位置即可得到a、b、c符号，从而可得答案．
【解答】解：抛物线开口向上，
∴a＞0，
对称轴直线在y轴右侧，
∴﹣＞0，
∴b＜0，
而抛物线与y轴交点在正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，
故答案为：＜．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是掌握a、b、c符号的判定方法．
15．一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图所示），桥高为8米，拱高6米，跨度20米．相邻两支柱间的距离均为5米，则支柱MN的高度为 　3.5　米．

【分析】根据题目建立直角坐标系，可得A．B，C的坐标，用待定系数法求出抛物线的解析式，令x＝5即可求出支柱MN的长度．
【解答】解：建直角坐标系，如图：

根据题目条件，A、B、C的坐标分别是（﹣10，0）、（10，0）、（0，6）．
将B、C的坐标代入y＝ax2+c，得：
，解得：a＝﹣，c＝6．
∴抛物线的表达式是y＝﹣x2+6（﹣10≤x≤10）；
在y＝﹣x2+6（﹣10≤x≤10）中，令x＝5得y＝﹣×52+6＝4.5，
∴支柱MN的长度是8﹣4.5＝3.5（米）；
故答案为：3.5．
【点评】本题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题是解题根本，求出二次函数关系式是关键．
16．已知：如图，点P是等边△ABC内一点，且PA，PB，PC的长分别为a，a，a，下列结论：①△ACP≌△BCP；②∠APB＝120°；③∠BPC＝105°；④S△PAB+S△PBC＝a2．其中正确的结论有：　①③④　．

【分析】由“SAS”可证△BCP≌△ACP，故①正确；由“SAS”可证△ABP≌△CBQ，得AP＝CQ＝a，∠APB＝∠BQC，由勾股定理的逆定理可得∠PQC＝90°，∠BQC＝150°＝∠APB，故②错误；可求∠QPC＝∠QCP＝45°，∠BPC＝105°，故③正确；由面积和差关系可求S△ABP+S△BPC＝a2，故④正确，即可得出结论．
【解答】解：①∵PA＝PB＝a，AC＝BC，
∴CP是AB的中垂线，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACP＝∠BCP＝30°，
又∵BC＝AC，CP＝CP，
∴△BCP≌△ACP（SAS），故①正确；
②如图，将线段BP以点B为旋转中心顺时针旋转60°得到线段BQ，连接PQ、CQ，
则BP＝BQ，∠PBQ＝60°，
∴△BPQ是等边三角形，
∴PQ＝BP＝BQ＝a，∠BQP＝60°＝∠PBQ＝∠BPQ，
∴∠ABC＝∠PBQ＝60°，
∴∠ABP＝∠CBQ，
又∵BP＝BQ，AB＝BC，
∴△ABP≌△CBQ（SAS），
∴AP＝CQ＝a，∠APB＝∠BQC，
∵PC2＝2a2，PQ2+CQ2＝2a2，
∴PC2＝PQ2+CQ2，
∴∠PQC＝90°，
∴∠BQC＝150°＝∠APB，故②错误；
③∵△PCQ是等腰直角三角形，
∴∠QPC＝∠QCP＝45°，
∴∠BPC＝∠BPQ+∠QPC＝60°+45°＝105°，故③正确；
④∵S△ABP+S△BPC＝S△BQC+S△BPC＝S△BPQ+S△PQC，
∴S△ABP+S△BPC＝a2+a2＝a2，故④正确；
故答案为：①③④．

【点评】本题是考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理以及等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
三、解答题（本大题有9小题，共86分）
17．（8分）解方程：x2﹣2x﹣5＝0．
【分析】先利用配方法得到（x﹣1）2＝6，然后利用直接开平方法解方程．
【解答】解：x2﹣2x＝5，
x2﹣2x+1＝6，
（x﹣1）2＝6，
x﹣1＝±，
所以x1＝1+，x2＝1﹣．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
18．（8分）化简并求值：（1﹣）÷，其中x＝﹣1．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝•＝，
当x＝﹣1时，原式＝＝＝．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．（8分）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（﹣1，0）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）在图中画出该函数的图象．

【分析】（1）根据点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）列表，描点连线画出函数图象即可．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（﹣1，0）．
∴，解得：，
∴二次函数的解析式为y＝x2+4x+3．
（2）由y＝x2+4x+3＝（x+2）2﹣1，
列表得：
x
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
y
3
0
﹣1
0
3
如图即为该函数的图象：

【点评】本题考查了二次函数的图象，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式．
20．（8分）学校开展的课外阅读活动中，学生人均阅读量从2019年的每年100万字增加到2021年的每年144万字，这两年人均阅读量年平均增长率是多少？
【分析】根据从2019的每年100万字增加到2021的每年144万字，列一元二次方程，求解即可．
【解答】解：设这两年人均阅读量的年均增长率为x，
根据题意，得100（1+x）2＝144，
解得x1＝20%，x2＝﹣220%（舍去），
答：这两年人均阅读量的年均增长率为20%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立一元二次方程是解题的关键．
21．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC＞BC，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使得点B的对应点E落在边AB上（点E不与点B重合）．
（1）尺规作图：作出△DEC；
（2）试判断线段AB、CD的位置关系．

【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）证明∠DCA＝∠A，可得结论．
【解答】解：（1）如图，△EDC即为所求；


（2）结论：CD∥AB．
理由：∵AB＝AC，CB＝CE，
∴∠B＝∠CEB＝∠ACB，
∴∠A＝∠BCE，
∵∠DCE＝∠ACB，
∴∠DCA＝∠A，
∴CD∥AB．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，平行线的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22．（10分）已知抛物线y＝x2﹣（m+1）x+m．
（1）求证：抛物线与x轴必有交点；
（2）若该抛物线与直线y＝﹣x两个交点的横坐标是x1，x2，并且x12+mx2＝6，求m的值．
【分析】（1）证明根的判别式Δ≥0即可；
（2）先求出抛物线与直线y＝﹣x的交点，再代入x12+mx2＝6求解即可．
【解答】（1）证明：∵Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（m+1）]2﹣4m＝m2+2m+1﹣4m＝（m﹣1）2≥0，
∴抛物线与x轴必有交点；
（2）解：∵抛物线与直线y＝﹣x两个交点的横坐标是x1，x2，
∴令x2﹣（m+1）x+m＝﹣x，
解得x1＝，x2＝，
∴（）2+m×＝6，
整理得：m2﹣m﹣6＝0，
解得m1＝﹣2，m2＝3，
∴m的值为﹣2或3．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点和一元二次方程的解，关键是掌握一元二次方程的解法．
23．（10分）在等腰Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，动点F在射线BC上，点E是AF上一点．

（1）如图1，若点F在BC延长线上，点D为Rt△ABC内一点，且满足∠ECD＝90°，EC＝ED，求证：AE＝BD．
（2）如图2，若点F在边BC上，且满足∠CEF＝45°，EF＝5，△ABF面积为33，求AE的长．

【分析】（1）根据SAS证明△ACE≌△BCD，便可得出结论；
（2）过点C作CG⊥CE，使得CE＝CG，连接BE，EG，根据SAS证明△ACE≌△BCG，得AE＝BG，∠AEC＝∠BGC，再证明E、F、G三点共线，得∠AGB＝90°，设AE＝BG＝x，由三角形的面积列出方程求得x便可，
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠ECD＝90°，
∴∠ACE＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE＝BD；
（2）解：过点C作CG⊥CE，使得CE＝CG，连接BE，EG，如图，

∵∠ACB＝∠ECG＝90°，
∴∠ACE＝∠BCG，
∵AC＝BC，CE＝CG，
∴△ACE≌△BCG（SAS），
∴AE＝BG，∠AEC＝∠BGC，
∵∠ECG＝90°，CE＝CG，
∴∠CEG＝∠CGE＝45°
∵∠ECF＝45°，
∴E、F、G三点共线，∠AEC＝135°，
∴∠BGC＝135°，
∴∠AGB＝135°﹣45°＝90°，
设AE＝BG＝x，
∵△ABF面积为33，
∴，即，
解得x＝﹣11（舍）或x＝6．
∴AE＝6..
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，关键是证明三角形全等．
24．（13分）用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图1）．
科学原理：如图2，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为H（单位：cm），如果在离水面竖直距离为h（单位：cm）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）s（单位：cm）与h的关系为s2＝4h（H﹣h）．
应用思考：现用高度为20cm的圆柱体塑料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连续注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距离hcm处开一个小孔．
（1）写出s2与h的关系式：并求出当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是多少？
（2）在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a，b，要使两孔射出水的射程相同，求a，b之间的关系式；
（3）如果想通过垫高塑料水瓶使射出水的最大射程增加，试问垫高的高度是否可以等于最大射程？若可以请求出此时垫高的高度，若不可以请说明理由．

【分析】（1）将s2＝4h（20﹣h）写成顶点式，按照二次函数的性质得出s2的最大值，再求s2的算术平方根即可；
（2）设存在a，b，使两孔射出水的射程相同，则4a（20﹣a）＝4b（20﹣b），利用因式分解变形即可得出答案；
（3）设垫高的高度为m，写出此时s2关于h的函数关系式，根据二次函数的性质可得答案．
【解答】解：（1）∵s2＝4h（H﹣h），
∴当H＝20cm时，s2＝4h（20﹣h）＝﹣4（h﹣10）2+400，
∴当h＝10cm时，s2有最大值400cm2，s有最大值20cm，
答：当h为10cm时，射程s有最大值，最大射程是20cm；
（2）∵s2＝4h（20﹣h），
设存在a，b，使两孔射出水的射程相同，则有：
4a（20﹣a）＝4b（20﹣b），
∴20a﹣a2＝20b﹣b2，
∴a2﹣b2＝20a﹣20b，
∴（a+b）（a﹣b）＝20（a﹣b），
∴（a﹣b）（a+b﹣20）＝0，
∴a﹣b＝0，或a+b﹣20＝0，
∴a＝b或a+b＝20；
（3）垫高的高度不可以等于最大射程，理由如下：
设垫高的高度为mcm，
则s2＝4h（20+m﹣h）＝﹣4（h﹣）2+（20+m）2，
∴当h＝时，s最大＝20+m，
∵m≠20+m，
∴垫高的高度不可以等于最大射程．
【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并明确二次函数的性质是解题的关键．
25．（13分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．

（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）如图1，连接BC，点E是第四象限内抛物线上的动点，过点E作EF⊥BC于点F，EG∥x轴交直线BC于点G，求△EFG面积的最大值；
（3）如图2，点M在线段OC上（点M不与点O重合），点M、N关于原点对称，射线BN、BM分别与抛物线交于P、Q两点，连接PA、QA，若△BMN的面积为S1，四边形BPAQ的面积为S2，求的值．

【分析】（1）令y＝0，求点B、A的坐标，令y＝0，求点C的坐标即可；
（2）先判断△GEF是等腰直角三角形，设E（t，t2﹣2t﹣3），则G（t2﹣2t，t2﹣2t﹣3），则S△GEF＝GE2＝﹣（t﹣）2+，当t＝时，△EFG面积的最大值为；
（3）设M（0，m），则N（0，﹣m），由用待定系数法求直线BM、BN的解析式，再通过联立方程组的方法求出点P、Q的坐标，分别求出S1＝﹣3m，S四边形BPAQ＝S△APB+S△ABQ＝×4×PQ＝﹣m，即可求＝．
【解答】解：（1）令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，
解得x＝3或x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3）；
（2）∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴OB＝OC，
∴∠OBC＝45°，
∵GE∥x轴，
∴∠FGE＝45°，
∵EF⊥BC，
∴△GEF是等腰直角三角形，
∴GF＝GE，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝x﹣3，
设E（t，t2﹣2t﹣3），则G（t2﹣2t，t2﹣2t﹣3），
∴GE＝t﹣t2+2t＝﹣t2+3t，
∴S△GEF＝×EF2＝GE2＝﹣（t﹣）2+，
∴当t＝时，△EFG面积的最大值为；
（3）设M（0，m），则N（0，﹣m），
设直线BN的解析式为y＝k'x+b'，
∴，
解得，
∴y＝x﹣m，
联立方程组，
解得或，
∴P（，m2﹣m），
同理可求直线BM的解析式为y＝﹣x+m，
联立方程组，
解得或，
∴Q（﹣，m2+m），
∵MN＝﹣2m，
∴S1＝×3×（﹣2m）＝﹣3m，S四边形BPAQ＝S△APB+S△ABQ＝×4×（m2﹣m﹣m2﹣m）＝﹣m，
∴＝＝．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，用待定系数法求函数的解析式的方法是解题的关键．