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【期末满分冲刺】人教版数学七年级上册-专项02《绝对值的几何意义问题》期末重难点突破
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这是一份【期末满分冲刺】人教版数学七年级上册-专项02《绝对值的几何意义问题》期末重难点突破，文件包含专项02绝对值的几何意义问题解析版docx、专项02绝对值的几何意义问题原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共32页， 欢迎下载使用。
专项02：绝对值的几何意义问题
考点导图
几何意义：|a-b|表示数 a 数 b 在数轴上对应的点之间的距离
素质拓展
1．我们知道，|5 (2)|可以理解为5与2两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索：
(1)|5 (2)|= ；
(2)若|x2|=5，则x= ；
(3)同理，|x+1|+|x2|表示数轴上数x所对应的点到1和2所对应的点的距离之和．请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+1|+|x2|=3，这样的整数x为
【答案】(1)7 (2)7或3 (3)1、0、1、2
【分析】（1）利用绝对值的性质求解即可；
（2）利用绝对值的性质，解绝对值方程求解即可；
（3）利用绝对值的性质及数轴求解即可．
（1）解：．
故答案为：7；
（2）解：∵|x2|=5，
∴x2=5或x2=5，
解得：x=7或x=3．
故答案为：7或3；
（3）解：∵|x+1|+|x2|表示数轴上有理数x所对应的点到1和2所对应的点的距离之和，|x+1|+|x2|=3，
∴这样的整数有1、0、1、2．
故答案为：1、0、1、2．
【我思故我在】本题主要考查了绝对值的性质及数轴．解题的关键是熟记绝对值的性质及数轴的定义．
2．同学们都知道：|3﹣（﹣1）|表示3与﹣1之差的绝对值，实际上也可理解为数3与﹣1在数轴上所对应的点之间的距离．请你借助如图所示数轴进行以下探索：
(1)数轴上表示3与﹣1的两点之间的距离为______；
(2)数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为______；
(3)若|x﹣2|＝3，则x＝______；
(4)同理：|x+2|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣2和1所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+2|+|x﹣1|＝3．
【答案】(1)4
(2)|x﹣2|
(3)﹣1或5
(4)x的值为﹣2，﹣1，0，1
【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离的表示方法即可得到结论；
（2）根据数轴上两点之间的距离的表示方法即可得到结论；
（3）利用绝对值求解即可；
（4）利用绝对值及数轴求解即可．
（1）
解：∵|3﹣（﹣1）|＝4，
∴表示3与﹣1的两点之间的距离为4，
故答案为：4；
（2）
表示x与2的两点之间的距离可以表示为|x﹣2|，
故答案为：|x﹣2|；
（3）
∵|x﹣2|＝3，，
∴x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3，
解得x＝5或x＝﹣1，
故答案为：﹣1或5；
（4）
∵|x+2|+|x﹣1|＝3，
∴x在﹣2与1之间，
∴﹣2≤x≤1，
∵x是整数，
∴x的值为﹣2，﹣1，0，1．
【我思故我在】考查了数轴与绝对值的关系，解题关键是理解去绝对值的方法，去绝对值在数轴上的运用，其中去绝对值的关键是确定绝对值里面的数的正负性．
3．我们知道：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上AB两点之间的距离AB＝|a﹣b|．请回答下列问题：
(1)数轴上表示x和2的两点之间的距离为3，则有理数x是 ．
(2)若|x﹣3|+|x+1|＝8，则x的值为 ．
(3)若x表示一个有理数，且﹣3＜x＜3，则|x﹣3|+|x+4|＝ ．
(4)求式子|x﹣1|+|x+3|+|x﹣6|的最小值．
【答案】(1)5或﹣1
(2)5或﹣3
(3)7
(4)9
【分析】（1）根据两点间距离公式即可求解；
（2）根据绝对值的意义分三种情况进行讨论，列方程解方程即可；
（3）根据绝对值的意义，列方程解方程即可；
（4）根据绝对值的意义分四种情况进行讨论，分别求出最小值即可．
（1）
解：∵x和2的两点之间的距离为：|x﹣2|＝3，
∴x﹣2＝±3，
解得：x＝5或﹣1，
答案为：5或﹣1；
（2）
解：当x＞3时，原式=x﹣3+x+1＝8，解得：x＝5；
当x＜﹣1时，原式=3﹣x﹣x﹣1＝8，解得：x＝﹣3；
当﹣1＜x＜3时，3﹣x+x+1＝8，无解；
综上，x＝5或﹣3，
故答案为：5或﹣3；
（3）
解：∵﹣3＜x＜3，
∴x﹣3＜0，x+4＞0，
∴|x﹣3|+|x+4|＝3﹣x+x+4＝7，
故答案为：7；
（4）
解：当x≥6时，原式＝x﹣1+x+3+x﹣6＝3x﹣4，此时最小值是14；
当1≤x＜6时，原式＝x﹣1+x+3+6﹣x＝x+8，此时最小值是9；
当﹣3＜x＜1时，原式＝1﹣x+x+3+6﹣x＝﹣x+10，此时无最小值；
当x≤﹣3时，原式＝1﹣x﹣x﹣3+6﹣x＝﹣3x+4，此时最小值是13；
综上，式子|x﹣1|+|x+3|+|x﹣6|的最小值为9，
故答案为：9．
【我思故我在】本题考查了数轴与绝对值的意义、化简、求值，分类讨论是解题关键．
实战演练
4．点A、B在数轴上分别表示有理数a、b、A、B两点之间的距离表示为A、B，在数轴上AB两点之间的距离AB=|a−b|．
利用数形结合思想回答下列问题：
(1)当代数式|x−1|+|x+2|取最小值时，则满足条件的所有整数x是_______；
(2)若x表示一个有理数，求代数式|x+2|+|x−3|+|x−5|的最小值；
(3)若x表示一个有理数，当x= 时，代数式|x−1|+|x−2|+|x−3|+|x−4|+…+|x−2018|+|x−2019|取得最小值？
【答案】(1)(2)7 (3)1010
【分析】（1）根据代数式表示，到与的距离的和，则，求得整数解即可；
（2）代数式可以看作是数轴上表示的点到三点的距离和，则时，取得最小值，代入进行计算即可求解；
（3）可以看作是数轴上表示的点到的距离和，当取中点位置时，取得最小值．
（1）∵代数式可以看作是数轴上表示的点到与的距离的和，
∴当表示的点在与之间时，取得最小值，
∴满足条件的所有整数是：，
故答案为：；
（2）∵代数式可以看作是数轴上表示的点到三点的距离和，
∴时，有最小值，
最小值为；
（3）∵可以看作是数轴上表示的点到的距离和，
∴当时，取得最小值，
故答案为：1010．
【我思故我在】本题考查了绝对值的几何意义，数轴上的点表示有理数，数形结合是解题的关键．
5．数学探究
点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．
利用数形结合思想回答下列问题：
(1)数轴上表示2和7两点之间的距离是_______；
(2)数轴上有理数x与有理数﹣7所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为_______；
(3)若x表示一个有理数，且|x+1|+|x﹣3|≥4，则有理数x的取值范围是_______；
(4)若x表示一个有理数，则|x﹣3|+|x+2|+|x﹣1|有最_______值为________，此时x=_______．
【答案】(1)5
(2)|x+7|
(3)全体实数；
(4)小，5，1．
【分析】（1）根据两点间距离公式求解即可；
（2）根据已知给出的求两点间距离的公式表示即可；
（3）根据已知的不等式进行分析，从而不难求得有理数x的取值范围；
（4）根据已知的不等式进行分析，从而不难求得x的取值范围．
（1）
解：数轴上表示2和7两点之间的距离＝7−2＝5；
故答案为：5
（2）
解：数轴上表示x和-7的两点之间的距离表示为|x−（-7）|=|x+7|；
故答案为：|x+7|
（3）
（3）|x+1|+|x﹣3|表示数轴上到-1和3的距离的和，则|x+1|+|x﹣3|≥4，
故|x+1|+|x﹣3|≥4的解集为：全体实数；
（4）
（4）∵式子|x−3|＋|x＋2|＋|x−1|可看作是数轴上表示x的点到3、-2、1三点的距离之和，
∴当x为1时，|x＋2|＋|x−3|＋|x−1|有最小值，
∴|x＋2|＋|x−3|＋|x−1|的最小值＝|1＋2|＋|1−3|＋|1−1|＝5．
故答案为：小，5，1．
【我思故我在】本题考查了数轴，绝对值，两点距离，理解新定义并能运用是本题的关键．
6．已知点A在数轴上对应的数为，点B在数轴上对应的数为b＝2，A，B之间的距离记为或，请回答问题：
(1)设点P在数轴上对应的数为x，若，则x＝ ．
(2)如图，点M，N，P是数轴上的三点，点M表示的数为4，点N表示的数为 ，动点P表示的数为x．
①若点P在点M、N之间，则 ；
②若，则x＝ ．
③若点P表示的数是，现在有一蚂蚁从点P出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，当经过多少秒时，蚂蚁所在的点到点M、点N的距离之和是8？
【答案】(1)或
(2)① ②③当s或s时，蚂蚁所在的点到点M、点N的距离之和是8．
【分析】（1）由，可得或 从而可得答案；
（2）①表示之间的距离与之间的距离之和，可得答案；②由①得：点P在之间，则当，则P在N的左边，或M的右边，再分两种情况讨论即可；③由①得：点P在之间，则当，则P在N的左边，或M的右边，再分两种情况讨论即可；③P运动秒对应的数为此时即蚂蚁所在的位置，记为 则 结合题意可得 由②得：当在表示对应的点之间时，在表示的点的左边，或在表示的点的右边，再分两种情况讨论．
（1）
解：∵，
∴或
解得：或
故答案为：或．
（2）
①如图，点P在之间，
∴表示之间的距离与之间的距离之和，
∴
②由①得：点P在之间，则
当，则P在N的左边，或M的右边，
当P在N的左边，则
∴
解得：
当P在M的右边，则
∴
解得：
综上：当，则或
故答案为：
③∵P运动秒对应的数为此时即蚂蚁所在的位置，记为
∴
∴
由②得：当在表示对应的点之间时，
∴在表示的点的左边，或在表示的点的右边，
当在表示的点的左边，即时，
∴
解得：
当在表示的点的右边，则，
∴
解得：
综上：当s或s时，蚂蚁所在的点到点M、点N的距离之和是8．
【我思故我在】本题考查的是数轴上两点之间的距离，绝对值方程的应用，一元一次方程的应用，利用数形结合，方程思想解决问题是解本题的关键．
7．我们知道，在数轴上，|a|表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为∶． 利用此结论，回答以下问题∶
(1)数轴上表示和的两点之间的距离是_________．
(2)数轴上表示x和的两点A，B之间的距离是_________．
(3)式子的最小值是 _________ ．
(4)结合数轴求的最小值为 _________ ，此时符合条件的整数x为_________．
【答案】(1)5
(2)
(3)6
(4)7；0或1
【分析】（1）利用两点距离公式计算即可；
（2）利用两点距离公式计算即可；
（3）结合数轴可知式子表示数轴上一点到的距离和，根据数轴即可求解；
（4）表示数轴上一点到的距离和，根据数轴即可求解．
（1）
解：依题意，，
故答案为：；
（2）
解：依题意，，
故答案为：；
（3）
解：∵式子表示数轴上一点到的距离和，如图，
∴当时，取的最小值，最小值为，
故答案为：6；
（4）
解：表示数轴上一点到的距离和，如图，
∴当或时，取得最小值，最小值为，
故答案为：7；0或1．
【我思故我在】本题考查了绝对值的应用，数轴上两点距离，利用数轴求多点之间的距离和的最值是解题的关键．
8．如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且AB=20，
(1)写出数轴上点B表示的数______；
(2)表示5与3之差的绝对值，实际上也可理解为5与3两数在数轴上所对的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x的点之间的距离．试探索：
①若，则x =______；
②的最小值为______．
(3)动点P从O点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．当t=______，A，P两点之间的距离为2；
(4)动点P，Q分别从O，B两点，同时出发，点P以每秒2个单位长度沿数轴匀速运动，Q点以P点速度的两倍，沿数轴匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．当P，Q之间的距离为4时，求t的值．
【答案】(1)-12
(2)①6或10；②20
(3)5或3
(4)或4或8
【分析】（1）根据两点间的距离公式可得数轴上点B表示的数；
（2）①根据绝对值的性质即可求解；②根据两点间的距离公式即可求解；
（3）设经过t秒时，A，P之间的距离为2，根据距离的等量关系即可求解；
（4）分两种情况：当点Q向右运动，点P向左运动时，当点P，Q同时向右运动时，再根据距离的等量关系即可求解．
（1）
解：点B表示的数8-20=-12．
故答案为：-12；
（2）
解：①因为，
所以x-8=±2，
解得：x=6或10．
故答案为：6或10；
②根据题意得：表示数轴上表示有理数x的点到表示有理数-12的点之间的距离与表示有理数x的点到表示有理数8的点之间的距离的和，
所以的最小值为8-（-12）=20．
故答案为：20；
（3）
解：设经过t秒时，A，P之间的距离为2．
此时P点表示的数是2t，则
，
解得：t=5或3
故当t为5或3时，A，P两点之间的距离为2；
故答案为：5或3
（4）
解：∵点B表示的数-12，
∴OB=12，
∵动点P，Q分别从O，B两点，同时出发，点P以每秒2个单位长度沿数轴匀速运动，Q点以P点速度的两倍，P，Q之间的距离为4
∴点P，Q同时向左运动或点P向右运动，点Q向左运动，不符合题意；
设运动时间为t（t＞0）秒．P，Q之间的距离为4．则点P运动的距离为2t，点Q运动的距离为4t，
当点Q向右运动，点P向左运动时，则有
2t+4t+4=12，
解得：；
当点P，Q同时向右运动时，则有
，
解得：t=4或8；
综上所述，当或4或8时，P，Q之间的距离为4．
【我思故我在】本题考查了数轴一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离，根据题意找到等量关系，列出方程求解，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
9．同学们都知道，|4-(-2)|表示4与-2的差的对值，实际上也可理解为4与-2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理|x-3|也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请完成：
(1)可理解为 在数轴上所对应的两点之间的距离
(2)若|x+4|=5，则x=
(3)使得|1-x|+|x+2|=4，则x=
(4)已知a，b，c三个数在数轴上的位置如图所示，且|a|=|b|．化简：|a+b|+|a-b|+|a+c|+|b-c|．
【答案】(1)x与2
(2)1或
(3)或
(4)
【分析】（1）根据题意，直接求解即可；
（2）根据绝对值的意义去掉绝对值，然后解方程即可求解；
（3）分、、三种情况，根据绝对值的意义去掉绝对值，然后解方程求解即可；
（4）根据a，b，c三个数在数轴上的位置确定、、、的符号，然后根据绝对值的性质去掉绝对值，然后合并同类项即可求解．
（1）
解：根据题意，可理解为x与2在数轴上所对应的两点之间的距离，
故答案为：x与2；
（2）
解：∵，
∴，
解得：或，
故答案为：1或；
（3）
解：对于方程，
当时，解得：；
当时，，方程无解；
当时，，解得：，
故答案为：或；
（4）
解：由数轴可知，，，
∴，，，，
∴
=
=．
【我思故我在】本题考查数轴、绝对值、解一元一次方程、有理数的加减法、合并同类项，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键．
10．数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．利用数形结合思想回答下列问题：
(1)数轴上表示2和5两点之间的距离是 ，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是 ．
(2)数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为 ．
(3)如果数轴上表示数a的点位于﹣1和2之间，那么|a+1|+|a﹣2|＝ ．
(4)若x表示一个有理数，则|x﹣2|+|x+5|的最小值是 ．
【答案】(1)3，4
(2)|x+2|
(3)3
(4)7
【分析】（1）根据在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|解答即可；
（2）根据在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|解答即可；
（3）根据绝对值的性质解答即可；
（4）根据数轴上实数的大小关系，分析出当﹣5≤x≤2时，两距离之和最小即可．
（1）
解：数轴上表示2和5两点之间的距离是5﹣2＝3，
数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是1﹣（﹣3）＝4，
故答案为：3，4；
（2）
解：数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为|x﹣（﹣2）|＝|x+2|，
故答案为：|x+2|；
（3）
解：|a+1|+|a﹣2|＝a+1+2﹣a＝3，
故答案为：3；
（4）
解：有最小值7，理由如下：
|x﹣2|表示数轴上x和2两点之间的距离，|x+5|表示数轴上x和﹣5两点之间的距离，
当且仅当﹣5≤x≤2时，两距离之和最小为7，
故答案为：7．
【我思故我在】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键．
11．数轴揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础.我们知道，它在数轴上的意义是表示数2的点与原点（即表示0的点）之间的距离，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；
(1)数轴上表示3和-1的两点之间的距离的式子是___________．
(2)若，则x=___________．
(3)进一步探究：的最小值为___________．
(4)能力提升：当的值最小时，x的值为___________．
【答案】(1)
(2)7或1
(3)7
(4)4
【分析】（1）根据题意，利用两点间的距离公式即可得解；
（2）根据表示数轴上表示的点与表示4的点之间的距离为3，即可得解；
（3）根据表示数轴上表示的点到-1和6的距离和，当在两点之间时距离和最小，即可得解；
（3）表示数轴上表示的点分别到-1，4和9之间的距离和，根据，即可得解．
（1）
解：由题意得：数轴上表示3和-1的两点之间的距离的式子是：；
（2）
解：表示数轴上表示的点与表示4的点之间的距离为3，
∴当在4左侧，，当在4右侧，；
∴或；
（3）
解：表示数轴上表示的点到-1和6的距离和，
∴当时，和最小，即：；
（4）
解：表示数轴上表示的点分别到-1，4和9之间的距离和，
则：
当且仅当时，等号成立，
∴当时，的值最小．
【我思故我在】本题考查数轴上两点之间的距离．熟练掌握两点间的距离公式所表示的几何意义，是解题的关键．
12．我们知道， 表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为．利用此结论，回答以下问题：
(1)数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和-3两点之间的距离是 ；
(2)数轴上表示x和－2的两点A、B之间的距离为___________，如果，那么x的值为___________；
(3)求的最小值是___________；
(4)若，则x＝___________．
(5)如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且AB＝20，
①写出数轴上点B表示的数 ；
②动点P从O点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．当t＝ ，A，P两点之间的距离为2
【答案】(1)3，4
(2)；0或-4；
(3)3
(4)-3或2
(5)①-12；②1.2或2
【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离公式列式计算得出答案；
（2）根据数轴上两点之间的距离公式求解即可；
（3）根据所表示的意义，得出当-2≤x≤1时，这个距离之和最小，最小值为3；
（4）根据绝对值的几何意义，把绝对值方程转化为一元一次方程解决即可；
（5）①根据AB=20列出方程，即可求解；②先表示出运动时间为t（t>0）秒时点P表示的数，再根据AP=2列出方程，解方程即可．
（1）
解：数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是
，
数轴上表示1和-3两点之间的距离是；
故答案为：3，4；
（2）
解：数轴上表示x和-2的两点A、B之间的距离为，
∵，
∴，
解得x=0或一4．
故答案为：；0或-4；
（3）
解：的意义为数轴上表示数x的点到表示数1和表示数x的点到数-2的点的距离之和，
∴当-2≤x≤1时，这个距离之和最小，最小值为；
故答案为：3；
（4）
解：，
当x<-2时，1-x-x-2=5，
解得x=-3，
当-2≤x≤1时，1-x+x+2=5，方程无解，
当x>1时，x-1+x+2=5，
解得x=2．
∴x=-3或2．
故答案为：-3或2；
（5）
解：①设点B表示的数为x，则x<8
∵数轴上点A表示的数为8，AB=20，
∴8-x=20，
∴x=-12．
∴点B表示的数为-12；
故答案为：-12；
②由题意可得，运动时间为t（t>0）秒时点P表示的数为5t，
∵数轴上点A表示的数为8，A，P两点之间的距离为2，
∴，
解得：t=1.2或2．
故答案为：1.2或2．
【我思故我在】本题考查了一元一次方程的应用，数轴，绝对值等知识，解题的关键是理解绝对值的几何意义，掌握数轴上两点之间的距离公式．
13．我们知道：点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离表示为，在数轴上两点之间的距离．请回答下列问题：
(1)数轴上表示－1和3的两点之间的距离是_________．
(2)数轴上表示和2的两点之间的距离为3，则有理数是_________．
(3)若表示一个有理数，且，则_________．
(4)若，则的值为_________．
(5)式子的最小值为_________．
【答案】(1)4
(2)5或﹣1
(3)﹣2x﹣1
(4)5或﹣3
(5)9
【分析】（1）根据两点间距离公式求解即可；
（2）根据已知给出的求两点间距离的公式表示即可；
（3）根据x的取值范围，分别判断x-3与x+4的正负，然后根据绝对值的性质求解即可；
（4）根据绝对值的意义分三种情况进行讨论，列方程解方程可得结论；
（5）根据绝对值的意义分四种情况进行讨论，分别确定最小值可得结论．
（1）
解：∵﹣1和3两点之间的距离是：；
故答案为：4；
（2）
解：∵x和2的两点之间的距离为：，
∴，
解得：或；
故答案为：5或﹣1；
（3）
解：∵，
∴，，
∴；
故答案为：﹣2x﹣1；
（4）
解：当x＞3时，x﹣3＋x＋1＝8，解得，x＝5；
当x＜﹣1时，3﹣x﹣x﹣1＝8，解得，x＝﹣3；
当﹣1≤x≤3时，3﹣x＋x＋1＝8，无解；
综上，x＝5或﹣3；
故答案为：5或﹣3；
（5）
解：当时，原式＝x﹣1＋x＋3＋x﹣6＝3x﹣4，此时最小值是14；
当时，原式＝x﹣1＋x＋3＋6﹣x＝x＋8，此时最小值是9；
当﹣3＜x＜1时，原式＝1﹣x＋x＋3＋6﹣x＝﹣x＋10，此时无最小值；
当时，原式＝1﹣x﹣x﹣3＋6﹣x＝﹣3x＋4，此时最小值是13；
综上，式子的最小值为9．
故答案为：9．
【我思故我在】此题主要考查了数轴和绝对值的意义，涉及整式的加减、解一元一次方程，解答此类问题时要用分类讨论的思想．
14．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
(1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是 ；表示和2两点之间的距离是 ；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于 ．
(2)如果，那么x＝ ；
(3)若，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是 ，最小距离是 ．
(4)利用数轴，找出所有符合条件的x，使，则x= ．
(5)已知，求 的最大值和最小值．
【答案】(1)3，5，
(2)2或
(3)8，2
(4)或
(5)最大值为7，最小值为．
【分析】（1）根据数轴上两点间距离的求法解题即可；
（2）根据题意可得方程 或，求出x的值即可求解；
（3）由题意可得或，或，分别求出a、b的值，再求解即可；
（4）根据绝对值的几何意义可知，当时，，当时，，当x＞5时，；
（5）根据绝对值的几何意义可知，当时，的最小值为3，当时，的最小值为3，当时，的最小值为4，再由已知可得，根据x、y、z的范围求的最大值和最小值即可．
（1）
数轴上表示4和1的两点之间的距离是；
表示和2两点之间的距离是；
一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于；
故答案为：3，5，；
（2）
∵，
∴或 ，
解得x=2或 ，
故答案为：2或；
（3）
∵，
∴或，
解得a=5或a=1，
∵，
∴或，
解得或，
当时，A、B两点间的最大距离是8，
当时，A、B两点间的最小距离是2，
故答案为；8，2；
（4）
∵表示数轴上有理数x所对应的点到-2和5所对应的点的距离之和，
∴当时，，
∵，
当x＜时， ，
解得，
当x＞5时，，
解得，
∴x的值为或，
故答案为：或；
（5）
当时，的最小值为3，
当时，的最小值为3，
当时，的最小值为4，
∵，
∴，
当x=2，y=2，z=3时，有最大值7，
当时，有最小值．
【我思故我在】本题考查了数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的意义是解题的关键．
专项02：绝对值的几何意义问题
考点导图
几何意义：|a-b|表示数 a 数 b 在数轴上对应的点之间的距离
素质拓展
1．我们知道，|5 (2)|可以理解为5与2两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索：
(1)|5 (2)|= ；
(2)若|x2|=5，则x= ；
(3)同理，|x+1|+|x2|表示数轴上数x所对应的点到1和2所对应的点的距离之和．请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+1|+|x2|=3，这样的整数x为
【答案】(1)7 (2)7或3 (3)1、0、1、2
【分析】（1）利用绝对值的性质求解即可；
（2）利用绝对值的性质，解绝对值方程求解即可；
（3）利用绝对值的性质及数轴求解即可．
（1）解：．
故答案为：7；
（2）解：∵|x2|=5，
∴x2=5或x2=5，
解得：x=7或x=3．
故答案为：7或3；
（3）解：∵|x+1|+|x2|表示数轴上有理数x所对应的点到1和2所对应的点的距离之和，|x+1|+|x2|=3，
∴这样的整数有1、0、1、2．
故答案为：1、0、1、2．
【我思故我在】本题主要考查了绝对值的性质及数轴．解题的关键是熟记绝对值的性质及数轴的定义．
2．同学们都知道：|3﹣（﹣1）|表示3与﹣1之差的绝对值，实际上也可理解为数3与﹣1在数轴上所对应的点之间的距离．请你借助如图所示数轴进行以下探索：
(1)数轴上表示3与﹣1的两点之间的距离为______；
(2)数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为______；
(3)若|x﹣2|＝3，则x＝______；
(4)同理：|x+2|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣2和1所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+2|+|x﹣1|＝3．
【答案】(1)4
(2)|x﹣2|
(3)﹣1或5
(4)x的值为﹣2，﹣1，0，1
【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离的表示方法即可得到结论；
（2）根据数轴上两点之间的距离的表示方法即可得到结论；
（3）利用绝对值求解即可；
（4）利用绝对值及数轴求解即可．
（1）
解：∵|3﹣（﹣1）|＝4，
∴表示3与﹣1的两点之间的距离为4，
故答案为：4；
（2）
表示x与2的两点之间的距离可以表示为|x﹣2|，
故答案为：|x﹣2|；
（3）
∵|x﹣2|＝3，，
∴x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3，
解得x＝5或x＝﹣1，
故答案为：﹣1或5；
（4）
∵|x+2|+|x﹣1|＝3，
∴x在﹣2与1之间，
∴﹣2≤x≤1，
∵x是整数，
∴x的值为﹣2，﹣1，0，1．
【我思故我在】考查了数轴与绝对值的关系，解题关键是理解去绝对值的方法，去绝对值在数轴上的运用，其中去绝对值的关键是确定绝对值里面的数的正负性．
3．我们知道：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上AB两点之间的距离AB＝|a﹣b|．请回答下列问题：
(1)数轴上表示x和2的两点之间的距离为3，则有理数x是 ．
(2)若|x﹣3|+|x+1|＝8，则x的值为 ．
(3)若x表示一个有理数，且﹣3＜x＜3，则|x﹣3|+|x+4|＝ ．
(4)求式子|x﹣1|+|x+3|+|x﹣6|的最小值．
【答案】(1)5或﹣1
(2)5或﹣3
(3)7
(4)9
【分析】（1）根据两点间距离公式即可求解；
（2）根据绝对值的意义分三种情况进行讨论，列方程解方程即可；
（3）根据绝对值的意义，列方程解方程即可；
（4）根据绝对值的意义分四种情况进行讨论，分别求出最小值即可．
（1）
解：∵x和2的两点之间的距离为：|x﹣2|＝3，
∴x﹣2＝±3，
解得：x＝5或﹣1，
答案为：5或﹣1；
（2）
解：当x＞3时，原式=x﹣3+x+1＝8，解得：x＝5；
当x＜﹣1时，原式=3﹣x﹣x﹣1＝8，解得：x＝﹣3；
当﹣1＜x＜3时，3﹣x+x+1＝8，无解；
综上，x＝5或﹣3，
故答案为：5或﹣3；
（3）
解：∵﹣3＜x＜3，
∴x﹣3＜0，x+4＞0，
∴|x﹣3|+|x+4|＝3﹣x+x+4＝7，
故答案为：7；
（4）
解：当x≥6时，原式＝x﹣1+x+3+x﹣6＝3x﹣4，此时最小值是14；
当1≤x＜6时，原式＝x﹣1+x+3+6﹣x＝x+8，此时最小值是9；
当﹣3＜x＜1时，原式＝1﹣x+x+3+6﹣x＝﹣x+10，此时无最小值；
当x≤﹣3时，原式＝1﹣x﹣x﹣3+6﹣x＝﹣3x+4，此时最小值是13；
综上，式子|x﹣1|+|x+3|+|x﹣6|的最小值为9，
故答案为：9．
【我思故我在】本题考查了数轴与绝对值的意义、化简、求值，分类讨论是解题关键．
实战演练
4．点A、B在数轴上分别表示有理数a、b、A、B两点之间的距离表示为A、B，在数轴上AB两点之间的距离AB=|a−b|．
利用数形结合思想回答下列问题：
(1)当代数式|x−1|+|x+2|取最小值时，则满足条件的所有整数x是_______；
(2)若x表示一个有理数，求代数式|x+2|+|x−3|+|x−5|的最小值；
(3)若x表示一个有理数，当x= 时，代数式|x−1|+|x−2|+|x−3|+|x−4|+…+|x−2018|+|x−2019|取得最小值？
【答案】(1)(2)7 (3)1010
【分析】（1）根据代数式表示，到与的距离的和，则，求得整数解即可；
（2）代数式可以看作是数轴上表示的点到三点的距离和，则时，取得最小值，代入进行计算即可求解；
（3）可以看作是数轴上表示的点到的距离和，当取中点位置时，取得最小值．
（1）∵代数式可以看作是数轴上表示的点到与的距离的和，
∴当表示的点在与之间时，取得最小值，
∴满足条件的所有整数是：，
故答案为：；
（2）∵代数式可以看作是数轴上表示的点到三点的距离和，
∴时，有最小值，
最小值为；
（3）∵可以看作是数轴上表示的点到的距离和，
∴当时，取得最小值，
故答案为：1010．
【我思故我在】本题考查了绝对值的几何意义，数轴上的点表示有理数，数形结合是解题的关键．
5．数学探究
点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．
利用数形结合思想回答下列问题：
(1)数轴上表示2和7两点之间的距离是_______；
(2)数轴上有理数x与有理数﹣7所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为_______；
(3)若x表示一个有理数，且|x+1|+|x﹣3|≥4，则有理数x的取值范围是_______；
(4)若x表示一个有理数，则|x﹣3|+|x+2|+|x﹣1|有最_______值为________，此时x=_______．
【答案】(1)5
(2)|x+7|
(3)全体实数；
(4)小，5，1．
【分析】（1）根据两点间距离公式求解即可；
（2）根据已知给出的求两点间距离的公式表示即可；
（3）根据已知的不等式进行分析，从而不难求得有理数x的取值范围；
（4）根据已知的不等式进行分析，从而不难求得x的取值范围．
（1）
解：数轴上表示2和7两点之间的距离＝7−2＝5；
故答案为：5
（2）
解：数轴上表示x和-7的两点之间的距离表示为|x−（-7）|=|x+7|；
故答案为：|x+7|
（3）
（3）|x+1|+|x﹣3|表示数轴上到-1和3的距离的和，则|x+1|+|x﹣3|≥4，
故|x+1|+|x﹣3|≥4的解集为：全体实数；
（4）
（4）∵式子|x−3|＋|x＋2|＋|x−1|可看作是数轴上表示x的点到3、-2、1三点的距离之和，
∴当x为1时，|x＋2|＋|x−3|＋|x−1|有最小值，
∴|x＋2|＋|x−3|＋|x−1|的最小值＝|1＋2|＋|1−3|＋|1−1|＝5．
故答案为：小，5，1．
【我思故我在】本题考查了数轴，绝对值，两点距离，理解新定义并能运用是本题的关键．
6．已知点A在数轴上对应的数为，点B在数轴上对应的数为b＝2，A，B之间的距离记为或，请回答问题：
(1)设点P在数轴上对应的数为x，若，则x＝ ．
(2)如图，点M，N，P是数轴上的三点，点M表示的数为4，点N表示的数为 ，动点P表示的数为x．
①若点P在点M、N之间，则 ；
②若，则x＝ ．
③若点P表示的数是，现在有一蚂蚁从点P出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，当经过多少秒时，蚂蚁所在的点到点M、点N的距离之和是8？
【答案】(1)或
(2)① ②③当s或s时，蚂蚁所在的点到点M、点N的距离之和是8．
【分析】（1）由，可得或 从而可得答案；
（2）①表示之间的距离与之间的距离之和，可得答案；②由①得：点P在之间，则当，则P在N的左边，或M的右边，再分两种情况讨论即可；③由①得：点P在之间，则当，则P在N的左边，或M的右边，再分两种情况讨论即可；③P运动秒对应的数为此时即蚂蚁所在的位置，记为 则 结合题意可得 由②得：当在表示对应的点之间时，在表示的点的左边，或在表示的点的右边，再分两种情况讨论．
（1）
解：∵，
∴或
解得：或
故答案为：或．
（2）
①如图，点P在之间，
∴表示之间的距离与之间的距离之和，
∴
②由①得：点P在之间，则
当，则P在N的左边，或M的右边，
当P在N的左边，则
∴
解得：
当P在M的右边，则
∴
解得：
综上：当，则或
故答案为：
③∵P运动秒对应的数为此时即蚂蚁所在的位置，记为
∴
∴
由②得：当在表示对应的点之间时，
∴在表示的点的左边，或在表示的点的右边，
当在表示的点的左边，即时，
∴
解得：
当在表示的点的右边，则，
∴
解得：
综上：当s或s时，蚂蚁所在的点到点M、点N的距离之和是8．
【我思故我在】本题考查的是数轴上两点之间的距离，绝对值方程的应用，一元一次方程的应用，利用数形结合，方程思想解决问题是解本题的关键．
7．我们知道，在数轴上，|a|表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为∶． 利用此结论，回答以下问题∶
(1)数轴上表示和的两点之间的距离是_________．
(2)数轴上表示x和的两点A，B之间的距离是_________．
(3)式子的最小值是 _________ ．
(4)结合数轴求的最小值为 _________ ，此时符合条件的整数x为_________．
【答案】(1)5
(2)
(3)6
(4)7；0或1
【分析】（1）利用两点距离公式计算即可；
（2）利用两点距离公式计算即可；
（3）结合数轴可知式子表示数轴上一点到的距离和，根据数轴即可求解；
（4）表示数轴上一点到的距离和，根据数轴即可求解．
（1）
解：依题意，，
故答案为：；
（2）
解：依题意，，
故答案为：；
（3）
解：∵式子表示数轴上一点到的距离和，如图，
∴当时，取的最小值，最小值为，
故答案为：6；
（4）
解：表示数轴上一点到的距离和，如图，
∴当或时，取得最小值，最小值为，
故答案为：7；0或1．
【我思故我在】本题考查了绝对值的应用，数轴上两点距离，利用数轴求多点之间的距离和的最值是解题的关键．
8．如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且AB=20，
(1)写出数轴上点B表示的数______；
(2)表示5与3之差的绝对值，实际上也可理解为5与3两数在数轴上所对的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x的点之间的距离．试探索：
①若，则x =______；
②的最小值为______．
(3)动点P从O点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．当t=______，A，P两点之间的距离为2；
(4)动点P，Q分别从O，B两点，同时出发，点P以每秒2个单位长度沿数轴匀速运动，Q点以P点速度的两倍，沿数轴匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．当P，Q之间的距离为4时，求t的值．
【答案】(1)-12
(2)①6或10；②20
(3)5或3
(4)或4或8
【分析】（1）根据两点间的距离公式可得数轴上点B表示的数；
（2）①根据绝对值的性质即可求解；②根据两点间的距离公式即可求解；
（3）设经过t秒时，A，P之间的距离为2，根据距离的等量关系即可求解；
（4）分两种情况：当点Q向右运动，点P向左运动时，当点P，Q同时向右运动时，再根据距离的等量关系即可求解．
（1）
解：点B表示的数8-20=-12．
故答案为：-12；
（2）
解：①因为，
所以x-8=±2，
解得：x=6或10．
故答案为：6或10；
②根据题意得：表示数轴上表示有理数x的点到表示有理数-12的点之间的距离与表示有理数x的点到表示有理数8的点之间的距离的和，
所以的最小值为8-（-12）=20．
故答案为：20；
（3）
解：设经过t秒时，A，P之间的距离为2．
此时P点表示的数是2t，则
，
解得：t=5或3
故当t为5或3时，A，P两点之间的距离为2；
故答案为：5或3
（4）
解：∵点B表示的数-12，
∴OB=12，
∵动点P，Q分别从O，B两点，同时出发，点P以每秒2个单位长度沿数轴匀速运动，Q点以P点速度的两倍，P，Q之间的距离为4
∴点P，Q同时向左运动或点P向右运动，点Q向左运动，不符合题意；
设运动时间为t（t＞0）秒．P，Q之间的距离为4．则点P运动的距离为2t，点Q运动的距离为4t，
当点Q向右运动，点P向左运动时，则有
2t+4t+4=12，
解得：；
当点P，Q同时向右运动时，则有
，
解得：t=4或8；
综上所述，当或4或8时，P，Q之间的距离为4．
【我思故我在】本题考查了数轴一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离，根据题意找到等量关系，列出方程求解，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
9．同学们都知道，|4-(-2)|表示4与-2的差的对值，实际上也可理解为4与-2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理|x-3|也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请完成：
(1)可理解为 在数轴上所对应的两点之间的距离
(2)若|x+4|=5，则x=
(3)使得|1-x|+|x+2|=4，则x=
(4)已知a，b，c三个数在数轴上的位置如图所示，且|a|=|b|．化简：|a+b|+|a-b|+|a+c|+|b-c|．
【答案】(1)x与2
(2)1或
(3)或
(4)
【分析】（1）根据题意，直接求解即可；
（2）根据绝对值的意义去掉绝对值，然后解方程即可求解；
（3）分、、三种情况，根据绝对值的意义去掉绝对值，然后解方程求解即可；
（4）根据a，b，c三个数在数轴上的位置确定、、、的符号，然后根据绝对值的性质去掉绝对值，然后合并同类项即可求解．
（1）
解：根据题意，可理解为x与2在数轴上所对应的两点之间的距离，
故答案为：x与2；
（2）
解：∵，
∴，
解得：或，
故答案为：1或；
（3）
解：对于方程，
当时，解得：；
当时，，方程无解；
当时，，解得：，
故答案为：或；
（4）
解：由数轴可知，，，
∴，，，，
∴
=
=．
【我思故我在】本题考查数轴、绝对值、解一元一次方程、有理数的加减法、合并同类项，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键．
10．数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．利用数形结合思想回答下列问题：
(1)数轴上表示2和5两点之间的距离是 ，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是 ．
(2)数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为 ．
(3)如果数轴上表示数a的点位于﹣1和2之间，那么|a+1|+|a﹣2|＝ ．
(4)若x表示一个有理数，则|x﹣2|+|x+5|的最小值是 ．
【答案】(1)3，4
(2)|x+2|
(3)3
(4)7
【分析】（1）根据在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|解答即可；
（2）根据在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|解答即可；
（3）根据绝对值的性质解答即可；
（4）根据数轴上实数的大小关系，分析出当﹣5≤x≤2时，两距离之和最小即可．
（1）
解：数轴上表示2和5两点之间的距离是5﹣2＝3，
数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是1﹣（﹣3）＝4，
故答案为：3，4；
（2）
解：数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为|x﹣（﹣2）|＝|x+2|，
故答案为：|x+2|；
（3）
解：|a+1|+|a﹣2|＝a+1+2﹣a＝3，
故答案为：3；
（4）
解：有最小值7，理由如下：
|x﹣2|表示数轴上x和2两点之间的距离，|x+5|表示数轴上x和﹣5两点之间的距离，
当且仅当﹣5≤x≤2时，两距离之和最小为7，
故答案为：7．
【我思故我在】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键．
11．数轴揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础.我们知道，它在数轴上的意义是表示数2的点与原点（即表示0的点）之间的距离，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；
(1)数轴上表示3和-1的两点之间的距离的式子是___________．
(2)若，则x=___________．
(3)进一步探究：的最小值为___________．
(4)能力提升：当的值最小时，x的值为___________．
【答案】(1)
(2)7或1
(3)7
(4)4
【分析】（1）根据题意，利用两点间的距离公式即可得解；
（2）根据表示数轴上表示的点与表示4的点之间的距离为3，即可得解；
（3）根据表示数轴上表示的点到-1和6的距离和，当在两点之间时距离和最小，即可得解；
（3）表示数轴上表示的点分别到-1，4和9之间的距离和，根据，即可得解．
（1）
解：由题意得：数轴上表示3和-1的两点之间的距离的式子是：；
（2）
解：表示数轴上表示的点与表示4的点之间的距离为3，
∴当在4左侧，，当在4右侧，；
∴或；
（3）
解：表示数轴上表示的点到-1和6的距离和，
∴当时，和最小，即：；
（4）
解：表示数轴上表示的点分别到-1，4和9之间的距离和，
则：
当且仅当时，等号成立，
∴当时，的值最小．
【我思故我在】本题考查数轴上两点之间的距离．熟练掌握两点间的距离公式所表示的几何意义，是解题的关键．
12．我们知道， 表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为．利用此结论，回答以下问题：
(1)数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和-3两点之间的距离是 ；
(2)数轴上表示x和－2的两点A、B之间的距离为___________，如果，那么x的值为___________；
(3)求的最小值是___________；
(4)若，则x＝___________．
(5)如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且AB＝20，
①写出数轴上点B表示的数 ；
②动点P从O点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．当t＝ ，A，P两点之间的距离为2
【答案】(1)3，4
(2)；0或-4；
(3)3
(4)-3或2
(5)①-12；②1.2或2
【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离公式列式计算得出答案；
（2）根据数轴上两点之间的距离公式求解即可；
（3）根据所表示的意义，得出当-2≤x≤1时，这个距离之和最小，最小值为3；
（4）根据绝对值的几何意义，把绝对值方程转化为一元一次方程解决即可；
（5）①根据AB=20列出方程，即可求解；②先表示出运动时间为t（t>0）秒时点P表示的数，再根据AP=2列出方程，解方程即可．
（1）
解：数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是
，
数轴上表示1和-3两点之间的距离是；
故答案为：3，4；
（2）
解：数轴上表示x和-2的两点A、B之间的距离为，
∵，
∴，
解得x=0或一4．
故答案为：；0或-4；
（3）
解：的意义为数轴上表示数x的点到表示数1和表示数x的点到数-2的点的距离之和，
∴当-2≤x≤1时，这个距离之和最小，最小值为；
故答案为：3；
（4）
解：，
当x<-2时，1-x-x-2=5，
解得x=-3，
当-2≤x≤1时，1-x+x+2=5，方程无解，
当x>1时，x-1+x+2=5，
解得x=2．
∴x=-3或2．
故答案为：-3或2；
（5）
解：①设点B表示的数为x，则x<8
∵数轴上点A表示的数为8，AB=20，
∴8-x=20，
∴x=-12．
∴点B表示的数为-12；
故答案为：-12；
②由题意可得，运动时间为t（t>0）秒时点P表示的数为5t，
∵数轴上点A表示的数为8，A，P两点之间的距离为2，
∴，
解得：t=1.2或2．
故答案为：1.2或2．
【我思故我在】本题考查了一元一次方程的应用，数轴，绝对值等知识，解题的关键是理解绝对值的几何意义，掌握数轴上两点之间的距离公式．
13．我们知道：点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离表示为，在数轴上两点之间的距离．请回答下列问题：
(1)数轴上表示－1和3的两点之间的距离是_________．
(2)数轴上表示和2的两点之间的距离为3，则有理数是_________．
(3)若表示一个有理数，且，则_________．
(4)若，则的值为_________．
(5)式子的最小值为_________．
【答案】(1)4
(2)5或﹣1
(3)﹣2x﹣1
(4)5或﹣3
(5)9
【分析】（1）根据两点间距离公式求解即可；
（2）根据已知给出的求两点间距离的公式表示即可；
（3）根据x的取值范围，分别判断x-3与x+4的正负，然后根据绝对值的性质求解即可；
（4）根据绝对值的意义分三种情况进行讨论，列方程解方程可得结论；
（5）根据绝对值的意义分四种情况进行讨论，分别确定最小值可得结论．
（1）
解：∵﹣1和3两点之间的距离是：；
故答案为：4；
（2）
解：∵x和2的两点之间的距离为：，
∴，
解得：或；
故答案为：5或﹣1；
（3）
解：∵，
∴，，
∴；
故答案为：﹣2x﹣1；
（4）
解：当x＞3时，x﹣3＋x＋1＝8，解得，x＝5；
当x＜﹣1时，3﹣x﹣x﹣1＝8，解得，x＝﹣3；
当﹣1≤x≤3时，3﹣x＋x＋1＝8，无解；
综上，x＝5或﹣3；
故答案为：5或﹣3；
（5）
解：当时，原式＝x﹣1＋x＋3＋x﹣6＝3x﹣4，此时最小值是14；
当时，原式＝x﹣1＋x＋3＋6﹣x＝x＋8，此时最小值是9；
当﹣3＜x＜1时，原式＝1﹣x＋x＋3＋6﹣x＝﹣x＋10，此时无最小值；
当时，原式＝1﹣x﹣x﹣3＋6﹣x＝﹣3x＋4，此时最小值是13；
综上，式子的最小值为9．
故答案为：9．
【我思故我在】此题主要考查了数轴和绝对值的意义，涉及整式的加减、解一元一次方程，解答此类问题时要用分类讨论的思想．
14．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
(1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是 ；表示和2两点之间的距离是 ；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于 ．
(2)如果，那么x＝ ；
(3)若，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是 ，最小距离是 ．
(4)利用数轴，找出所有符合条件的x，使，则x= ．
(5)已知，求 的最大值和最小值．
【答案】(1)3，5，
(2)2或
(3)8，2
(4)或
(5)最大值为7，最小值为．
【分析】（1）根据数轴上两点间距离的求法解题即可；
（2）根据题意可得方程 或，求出x的值即可求解；
（3）由题意可得或，或，分别求出a、b的值，再求解即可；
（4）根据绝对值的几何意义可知，当时，，当时，，当x＞5时，；
（5）根据绝对值的几何意义可知，当时，的最小值为3，当时，的最小值为3，当时，的最小值为4，再由已知可得，根据x、y、z的范围求的最大值和最小值即可．
（1）
数轴上表示4和1的两点之间的距离是；
表示和2两点之间的距离是；
一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于；
故答案为：3，5，；
（2）
∵，
∴或 ，
解得x=2或 ，
故答案为：2或；
（3）
∵，
∴或，
解得a=5或a=1，
∵，
∴或，
解得或，
当时，A、B两点间的最大距离是8，
当时，A、B两点间的最小距离是2，
故答案为；8，2；
（4）
∵表示数轴上有理数x所对应的点到-2和5所对应的点的距离之和，
∴当时，，
∵，
当x＜时， ，
解得，
当x＞5时，，
解得，
∴x的值为或，
故答案为：或；
（5）
当时，的最小值为3，
当时，的最小值为3，
当时，的最小值为4，
∵，
∴，
当x=2，y=2，z=3时，有最大值7，
当时，有最小值．
【我思故我在】本题考查了数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的意义是解题的关键．
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