资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩4页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
【期末满分冲刺】人教版数学七年级上册-专项08《角中的动态综合问题》期末重难点突破
展开
这是一份【期末满分冲刺】人教版数学七年级上册-专项08《角中的动态综合问题》期末重难点突破，文件包含专项08角中的动态综合问题解析版docx、专项08角中的动态综合问题原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共24页， 欢迎下载使用。
专项08 角中的动态综合问题
考点导图
素质拓展
1．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=120°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC．问：此时直线ON是否平分∠AOC？请说明理由．
（2）将图1中的三角板绕点O以每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则 t的值为 秒（直接写出结果）．
（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，试探索：在旋转过程中，∠AOM与∠NOC的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请求出差的变化范围．
【答案】（1）直线ON平分∠AOC；（2）12或30秒；（3）差为定值30°．
【详解】试题分析：（1）直线ON平分∠AOC，设ON的反向延长线为OD，已知OM平分∠BOC，根据角平分线的定义可得∠MOC=∠MOB，又由OM⊥ON，根据垂直的定义可得∠MOD=∠MON=90°，所以∠COD=∠BON，再根据对顶角相等可得∠AOD=∠BON，即可∴∠COD=∠AOD，结论得证；（1）已知∠BOC=120°，根据平角的定义可得∠AOC=60°，旋转至直线ON恰好平分锐角∠AOC，可得旋转120°或300°时ON平分∠AOC，由此可得10t=120°或300°，所以n=12或30；（3）差为定值30°，因为∠MON=90°，∠AOC=60°，所以∠AOM=90°-∠AON，∠NOC=60°-∠AON，再根据角的的和差计算即可．
试题解析：
（1）直线ON平分∠AOC．理由：
设ON的反向延长线为OD，
∵OM平分∠BOC，
∴∠MOC=∠MOB，
又∵OM⊥ON，
∴∠MOD=∠MON=90°，
∴∠COD=∠BON，
又∵∠AOD=∠BON（对顶角相等），
∴∠COD=∠AOD，
∴OD平分∠AOC，即直线ON平分∠AOC．
（2）12或30秒
（3）差为定值30°
∵∠MON=90°，∠AOC=60°，
∴∠AOM=90°-∠AON、∠NOC=60°-∠AON，
∴∠AOM-∠NOC=（90°-∠AON）-（60°-∠AON）=30°．
我思故我在：本题考查了角平分线的定义及角的和差计算，解题的关键是认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系．
实战演练
2．如图①，点O为直线AB上一点，射线OC⊥AB于O点，将一直角三角板的60°角的顶点放在点O处，斜边OE在射线OB上，直角顶点D在直线AB的下方．
（1）将图①中的三角板绕点O逆时针旋转至图②，使一边OE在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，问：直线OD是否平分∠AOC？请说明理由；
（2）将图①中的三角板绕点O按每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线OD恰好平分∠AOC，则t的值为________；(直接写出结果)
（3）将图①中的三角板绕点O顺时针旋转至图③，使OD在∠AOC的内部，请探究：∠AOE与∠DOC之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）直线OD不平分∠AOC，理由见解析；（2）3或39；（3）∠DOC－∠AOE＝30°，理由见解析.
【详解】试题分析：（1）先根据角平分线的性质得到，∠BOE=45°，于是∠BOD=∠DOE-∠BOE=15°，进而求出∠COM与∠AOM的值，∠AOM≠∠COM，直线OD不平分∠AOC；
（2）分OD与OD的延长线平分∠AOC两种情况；
（3）∠AOE=60°-∠AOD、∠DOC=90°-∠AOD，∠DOC-∠AOE=（90°-∠AOD）-（60°-∠AOD）=30°．
试题解析：（1）直线OD不平分∠AOC，理由：因为OE平分∠BOC，所以∠BOE＝45°，∠BOD＝∠DOE－∠BOE＝60°－45°＝15°，延长DO至M，则∠COM＝180°－90°－15°＝75°，∠AOM＝90°－75°＝15°，即∠AOM≠∠COM；
（2）3或39；
延长DO，
∵∠AOC=90°，
当直线OD恰好平分角∠AOC，
∴∠AOM=∠COM=45°，
即逆时针旋转15°时DO延长线平分∠AOC，
由题意得，5t=15°
∴t=3，
当DO平分∠AOC，
∴∠DOA=45°
即逆时针旋转195°时DO平分∠AOC，
∴5t=195°，
∴t=39，
∴t=3或39；
（3）∠DOC-∠AOE=30°，
∵∠DOE=60°，∠AOC=90°，
∴∠AOE=60°-∠AOD、∠DOC=90°-∠AOD，
∴∠DOC-∠AOE=（90°-∠AOD）-（60°-∠AOD）=30°，
所以∠AOE与∠DOC之间的数量关系为：∠DOC-∠AOE=30°．
3．如图，∠AOB=120°，射线OC从OA开始，绕点O逆时针旋转，旋转的速度为每分钟20°；射线OD从OB开始，绕点O逆时针旋转，旋转的速度为每分钟5°，OC和OD同时旋转，设旋转的时间为t（0≤t≤15）．
（1）当t为何值时，射线OC与OD重合；
（2）当t为何值时，∠COD=90°；
（3）试探索：在射线OC与OD旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OC，OB与OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的t的取值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）t=8min时，射线OC与OD重合；
（2）当t=2min或t=14min时，射线OC⊥OD；
（3）存在，详见解析.
【分析】（1）当OC与OD重合时，根据角度关系可知∠AOC=∠AOB+∠BOD，利用题中射线的旋转速度，由角度=时间×旋转速度，列出方程，求解即可得到射线OC与OD重合时的时间t；
（2）当∠COD=90°时，可分为两种情况，当OC位于OD的右边时：∠BOD+120°=∠AOC+90°；当OC位于OD左边时：∠AOC-90°-120°=∠BOD，列出对应的方程，求解即可；
（3）分三种情况来考虑，当OB为角平分线时：120°-∠AOC=∠BOD；当OC为角平分线时：∠AOC-120°=∠BOD；当OD为角平分线时：∠AOC-120°=2∠BOD，列方程求解即可.
【详解】解：（1）由题意得，20t=5t+120°，解得t=8，
即当t=8分钟时，射线OC与OD重合；
（2）当OC位于OD的右边时：∠BOD+120°=∠AOC+90°，则可得5t+120°=20t+90°，解得t=2分钟；
当OC位于OD左边时：∠AOC-90°-120°=∠BOD，则可得20t-90°-120°=5t，解得t=14分钟；
故当t=2或14分钟时，∠COD=90°；
（3）存在.
当OB为角平分线时：120°-∠AOC=∠BOD，则可得120°-20t=5t，解得t=4.8分钟；
当OC为角平分线时：∠AOC-120°=∠BOD，则可得20t-120°=×5t，解得t=分钟；
当OD为角平分线时：∠AOC-120°=2∠BOD，则可得20t -120°=2×5t，解得t=12分钟.
故当t=4.8或或12分钟时，射线OC，OB与OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线.
【我思故我在】本题由角的边的旋转考查了角的和差运算，注意运动的不确定性所带来的多可能性.
4．已知O为直线AB上一点，∠COE是直角，OF平分∠AOE.
(1)如图①，若∠COF＝34°，则∠BOE＝________；若∠COF＝n°，则∠BOE＝________；∠BOE与∠COF的数量关系为________________．
(2)当射线OE绕点O逆时针旋转到如图②的位置时，(1)中∠BOE与∠COF的数量关系是否仍然成立？请说明理由．
(3)在图③中，若∠COF＝65°，在∠BOE的内部是否存在一条射线OD，使得2∠BOD与∠AOF的和等于∠BOE与∠BOD的差的一半？若存在，请求出∠BOD的度数；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)68°；2n°；∠BOE＝2∠COF(2)仍然成立(3)存在
【详解】
（1）若∠COF＝34°，则∠BOE＝68°；若∠COF＝m°，则∠BOE＝°；所以∠BOE=2∠COF；
（2）成立．理由如下：
设
∵OF 平分∠AOE
∴ 结合余角和补角的性质，
∴∠BOE=2∠COF；
（3）存在，∠BOD=16°．理由如下：
∵∠COF=65°
∴∠BOE=2∠COF=130°
∴∠AOF=(180°-∠BOE)=25°
又2∠BOD+∠AOF=(∠BOE-∠BOD)
∴2∠BOD+25°=(130°-∠BOD)
∴∠BOD=16°.
考点：角平分线的性质，比较角的大小
点评：解题的关键是熟练掌握角的平分线把角分成相等的两个小角，且都等于大角的一半，注意本题要有整体意识.
5．以直线上的一点为端点作射线，使，将直角的直角顶点放在点处．
（1）如图1，若直角的边放在射线上，则______；
（2）如图2，将直角绕点按逆时针方向转动，使得平分，说明所在射线是的平分线；
（3）将直角绕点按逆时针方向转动到某个位置，使得．求的度数．
【答案】（1）30°；（2）见解析；（3）65°或52.5°
【分析】（1）代入∠BOE=∠COE+∠COB求出即可；
（2）求出∠AOE=∠COE，根据∠DOE=90°求出∠AOE+∠DOB=90°，∠COE+∠COD=90°，推出∠COD=∠DOB，即可得出答案；
（3）画出符合的两种图形，再根据平角等于180°求出即可．
【详解】解：（1）∵∠BOE=∠COE+∠COB=90°，
又∵∠COB=60°，
∴∠COE=30°，
故答案为：30；
（2）∵OE平分∠AOC，
∴∠COE=∠AOE=∠COA，
∵∠EOD=90°，
∴∠AOE+∠DOB=90°，∠COE+∠COD=90°，
∴∠COD=∠DOB，
∴OD所在射线是∠BOC的平分线；
（3）设∠COD=x，则∠AOE=5x．
有两种情况：①如图1，OD在∠AOC内部时，
∵∠AOE+∠DOE+∠COD+∠BOC=180°，∠DOE=90°，∠BOC=60°，
∴5x+90°+x+60°=180°，
解得x=5°，
即∠COD=5°．
∴∠BOD=∠COD+∠BOC=5°+60°=65°；
②如图2，OD在∠BOC的内部时，如图2，
∵∠AOC+∠BOC=180°，∠DOE=90°，∠BOC=60°，∠COD=x°，∠AOE=5x°，
∴5x+90-x+60=180，
解得：x=7.5，
即∠COD=7.5°，
∵∠BOC=60°，
∴∠BOD=60°-7.5°=52.5°，
∴∠BOD的度数为65°或52.5°．
【我思故我在】本题考查了角平分线定义和角的计算，能根据图形和已知求出各个角的度数是解此题的关键．
6．已知：，OB、OM、ON，是 内的射线．
（1）如图 1，若 OM 平分 ， ON平分．当射线OB 绕点O 在 内旋转时，= 度．
（2）OC也是内的射线，如图2，若 ，OM平分，ON平分，当射线OB绕点O在内旋转时，求的大小．
（3）在（2）的条件下，当射线OB从边OA开始绕O点以每秒的速度逆时针旋转t秒，如图3，若，求t的值．
【答案】（1）80；（2）70°；（3）26
【分析】（1）根据角平分线的定义进行角的计算即可；
（2）依据OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，即可得到∠MOC=∠AOC，∠BON=∠BOD，再根据∠MON=∠MOC+∠BON-∠BOC进行计算即可；
（3）依据∠AOM=（10°+2t+20°），∠DON=（160°-10°-2t），∠AOM：∠DON=2：3，即可得到3（30°+2t）=2（150°-2t），进而得出t的值．
【详解】解：（1）∵∠AOD=160°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，
∴∠MOB=∠AOB，∠BON=∠BOD，
∴∠MON=∠MOB+∠BON=∠AOB+∠BOD=（∠AOB+∠BOD）=∠AOD=80°，
故答案为：80；
（2）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
∴∠MOC=∠AOC，∠BON=∠BOD，
∴∠MON=∠MOC+∠BON-∠BOC
=∠AOC+∠BOD-∠BOC
=（∠AOC+∠BOD）-∠BOC
=×180-20
=70°；
（3）∵∠AOM=（2t+20°），∠DON=（160°-2t），
又∠AOM：∠DON=2：3，
∴3（20°+2t）=2（160°-2t）
解得，t=26．
答：t为26秒．
【我思故我在】本题考查的是角平分线的定义和角的计算，从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线，解决本题的关键是理解动点运动情况．
7．一个问题解决往往经历发现猜想——探索归纳——问题解决的过程，下面结合一道几何题来体验一下.
【发现猜想】（1）如图①，已知∠AOB＝70°，∠AOD＝100°，OC为∠BOD的角平分线，则∠AOC的度数为 ；.
【探索归纳】（2）如图①，∠AOB＝m，∠AOD＝n，OC为∠BOD的角平分线. 猜想∠AOC的度数（用含m、n的代数式表示），并说明理由.
【问题解决】（3）如图②，若∠AOB＝20°，∠AOC＝90°，∠AOD＝120°.若射线OB绕点O以每秒20°逆时针旋转，射线OC绕点O以每秒10°顺时针旋转，射线OD绕点O每秒30°顺时针旋转，三条射线同时旋转，当一条射线与直线OA重合时，三条射线同时停止运动. 运动几秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的角平分线？
【答案】（1）85°；（2）∠AOC＝；理由见解析；（3）经过，，4秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线.
【分析】（1）根据∠AOD、∠AOB、∠BOD之间的关系，求出∠BOD的度数，然后根据角平分线的性质算出∠BOC的度数，再计算∠AOC即可解决问题.
（2）根据∠AOD、∠AOB、∠BOD之间的关系，用m、n表示出∠BOD的度数，然后根据角平分线的性质用m、n的代数式表示出∠BOC，最后再表示出∠AOC即可解决问题.
（3）根据各角之间存在的数量关系，设经过x秒时，分别用x将∠DOA、∠COA、∠BOA表示出来，然后分四类情况讨论，根据角平分线的性质列出方程，解决即可.
【详解】（1）85°；
（2）∵∠AOB＝m，∠AOD＝n
∴∠BOD＝n－m
∵OC为∠BOD的角平分线
∴∠BOC＝
∴∠AOC＝+m＝
（3）设经过的时间为x秒，
则∠DOA＝120°－30x；∠COA＝90°－10x；∠BOA＝20°+20x；
①当在x＝之前，OC为OB，OD的角平分线；30－20x＝70－30x，x1＝4（舍）；
②当x在和2之间，OD为OC，OB的角平分线；－30+20x＝100－50x，x2＝；
③当x在2和之间，OB为OC，OD的角平分线；70－30x＝－100+50x，x3＝；
④当x在和4之间，OC为OB，OD的角平分线；－70+30x＝－30+20x，x4＝4.
答：经过，，4秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线.
【我思故我在】本题考查了角平分线的性质，一元一次方程的应用，解决本题的关键是熟练掌握角平分线的性质，理清各个角之间存在的数量关系，根据数量关系列出方程.
8．点A，O，B依次在直线MN上，如图1，现将射线OA绕点O顺时针方向以每秒10°的速度旋转，同时射线OB绕着点O按逆时针方向以每秒15°的速度旋转，直线MN保持不动，如图2，设旋转时间为t秒（t≤12）．
（1）在旋转过程中，当t=2时，求∠AOB的度数．
（2）在旋转过程中，当∠AOB=105°时，求t的值．
（3）在旋转过程中，当OA或OB是某一个角（小于180°）的角平分线时，求t的值．
【答案】(1) 130°；(2)t=3或11.4;(3)t=4.5或或9或
【分析】（1）分别求出∠AOM和∠BON的度数，即可得出答案；
（2）分为两种情况，得出方程10t+15t=180-105或10t+15t=180+105，求出方程的解即可；
（3）分为四种情况，列出方程，求出方程的解即可．
【详解】（1）当t=2时，∠AOM=10°t=20°，∠BON=15°t=30°，
所以∠AOB=180°﹣∠AOM﹣∠BON=130°；
（2）当∠AOB=105°时，有两种情况：
①10t+15t=180﹣105，解得：t=3；
②10t+15t=180+105，解得：t=11.4；
（3）①当OB是∠AON的角平分线时，10t+15t+15t=180，解得：t=4.5；
②当OA是∠BOM的角平分线时，10t+10t+15t=180，解得：t=；
③当OB是∠AOM的角平分线时，5t+15t=180，解得：t=9；
④当OA是∠BON的角平分线时，10t+7.5t=180，解得：t=．
【我思故我在】本题考查了角平分线的定义和邻补角的定义，能求出符合的所有情况是解此题的关键．
9．多多对几何中角平分线等兴趣浓厚，请你和多多一起探究下面问题吧．已知∠AOB=100°，射线OE，OF分别是∠AOC和∠COB的角平分线．
(1)如图1，若射线OC在∠AOB的内部，且∠AOC=30°，求∠EOF的度数；
(2)如图2，若射线OC在∠AOB的内部绕点O旋转，则∠EOF的度数_____；
(3)若射线OC在∠AOB的外部绕点O旋转（旋转中∠AOC，∠BOC均指小于180°的角），其余条件不变，请借助图3探究∠EOF的大小，请直接写出∠EOF的度数（不写探究过程）．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）先根据角平分线的定义可得，再根据角的和差、角平分线的定义可得，然后根据即可得；
（2）先根据角的和差可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据即可得；
（3）如图（见解析），先根据角平分线的定义可得，再分①射线在的内部，②射线在的内部，③射线在的内部三种情况，分别根据角的和差即可得．
（1）
解： 是的平分线，，
，
，
，
是的平分线，
，
；
（2）
，
，
是的平分线，是的平分线，
，
故答案为：
（3）
是的平分线，是的平分线，
，
由题意，分以下三种情况：
①如图，延长至点，当射线在的内部时，
，
，
；
②如图，延长至点，延长至点，当射线在的内部时，
，
，
；
③如图，延长至点，当射线在的内部时，
，
，
；
综上，的度数为或．
【我思故我在】本题考查了角平分线的定义、角的和差等知识点，较难的是题（3），正确分三种情况讨论是解题关键．
10．如图，已知直线和交于点，，，垂足为，平分．
(1)当时，则______；______；
(2)当时，射线从开始绕点逆时针匀速转动，同时，射线从开始绕点匀速转动，且射线的转动速度大于射线的转动速度．
①若射线顺时针转动，则射线与射线经过7.5秒第一次重合；若射线逆时针转动，则射线与射线经过37.5秒第一次重合．求射线，绕点转动的速度分别是多少？
②若射线，绕点转动的速度与①中转动速度相同，射线顺时针转动，当射线转动一周时，射线也停止转动，当时，直接写出射线转动的时间．
【答案】(1)60°，75°
(2)①射线绕点转动的速度是，射线绕点转动的速度是；②射线转动的时间为3或12或21或30．
【分析】（1）利用互余可知，利用互补及角平分线的性质可知；
（2）①先根据，可知，则两种情况可以类比二元一次方程应用中的路程问题，根据相遇、追击两种情况列出方程组，求解即可；
②分两种情况：在直线0E的左边和右边，根据其夹角列4个方程可得时间．
（1）
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
故答案为：60°，75°；
（2）
①设射线绕点转动的速度是，射线绕点转动的速度是，
由题意列方程组为，
解得，
答：射线绕点转动的速度是，射线绕点转动的速度是；
②设射线转动的时间为t秒，
由题意得：或或或，
解得：或或或，
综上所述：射线转动的时间为3或12或21或30．
【我思故我在】本题考查了对顶角相等，邻补角互补的定义，解二元一次方程组，角平分线的定义，角的计算，第二问有难度，难点在于要分情况讨论．
专项08 角中的动态综合问题
考点导图
素质拓展
1．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=120°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC．问：此时直线ON是否平分∠AOC？请说明理由．
（2）将图1中的三角板绕点O以每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则 t的值为 秒（直接写出结果）．
（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，试探索：在旋转过程中，∠AOM与∠NOC的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请求出差的变化范围．
【答案】（1）直线ON平分∠AOC；（2）12或30秒；（3）差为定值30°．
【详解】试题分析：（1）直线ON平分∠AOC，设ON的反向延长线为OD，已知OM平分∠BOC，根据角平分线的定义可得∠MOC=∠MOB，又由OM⊥ON，根据垂直的定义可得∠MOD=∠MON=90°，所以∠COD=∠BON，再根据对顶角相等可得∠AOD=∠BON，即可∴∠COD=∠AOD，结论得证；（1）已知∠BOC=120°，根据平角的定义可得∠AOC=60°，旋转至直线ON恰好平分锐角∠AOC，可得旋转120°或300°时ON平分∠AOC，由此可得10t=120°或300°，所以n=12或30；（3）差为定值30°，因为∠MON=90°，∠AOC=60°，所以∠AOM=90°-∠AON，∠NOC=60°-∠AON，再根据角的的和差计算即可．
试题解析：
（1）直线ON平分∠AOC．理由：
设ON的反向延长线为OD，
∵OM平分∠BOC，
∴∠MOC=∠MOB，
又∵OM⊥ON，
∴∠MOD=∠MON=90°，
∴∠COD=∠BON，
又∵∠AOD=∠BON（对顶角相等），
∴∠COD=∠AOD，
∴OD平分∠AOC，即直线ON平分∠AOC．
（2）12或30秒
（3）差为定值30°
∵∠MON=90°，∠AOC=60°，
∴∠AOM=90°-∠AON、∠NOC=60°-∠AON，
∴∠AOM-∠NOC=（90°-∠AON）-（60°-∠AON）=30°．
我思故我在：本题考查了角平分线的定义及角的和差计算，解题的关键是认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系．
实战演练
2．如图①，点O为直线AB上一点，射线OC⊥AB于O点，将一直角三角板的60°角的顶点放在点O处，斜边OE在射线OB上，直角顶点D在直线AB的下方．
（1）将图①中的三角板绕点O逆时针旋转至图②，使一边OE在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，问：直线OD是否平分∠AOC？请说明理由；
（2）将图①中的三角板绕点O按每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线OD恰好平分∠AOC，则t的值为________；(直接写出结果)
（3）将图①中的三角板绕点O顺时针旋转至图③，使OD在∠AOC的内部，请探究：∠AOE与∠DOC之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）直线OD不平分∠AOC，理由见解析；（2）3或39；（3）∠DOC－∠AOE＝30°，理由见解析.
【详解】试题分析：（1）先根据角平分线的性质得到，∠BOE=45°，于是∠BOD=∠DOE-∠BOE=15°，进而求出∠COM与∠AOM的值，∠AOM≠∠COM，直线OD不平分∠AOC；
（2）分OD与OD的延长线平分∠AOC两种情况；
（3）∠AOE=60°-∠AOD、∠DOC=90°-∠AOD，∠DOC-∠AOE=（90°-∠AOD）-（60°-∠AOD）=30°．
试题解析：（1）直线OD不平分∠AOC，理由：因为OE平分∠BOC，所以∠BOE＝45°，∠BOD＝∠DOE－∠BOE＝60°－45°＝15°，延长DO至M，则∠COM＝180°－90°－15°＝75°，∠AOM＝90°－75°＝15°，即∠AOM≠∠COM；
（2）3或39；
延长DO，
∵∠AOC=90°，
当直线OD恰好平分角∠AOC，
∴∠AOM=∠COM=45°，
即逆时针旋转15°时DO延长线平分∠AOC，
由题意得，5t=15°
∴t=3，
当DO平分∠AOC，
∴∠DOA=45°
即逆时针旋转195°时DO平分∠AOC，
∴5t=195°，
∴t=39，
∴t=3或39；
（3）∠DOC-∠AOE=30°，
∵∠DOE=60°，∠AOC=90°，
∴∠AOE=60°-∠AOD、∠DOC=90°-∠AOD，
∴∠DOC-∠AOE=（90°-∠AOD）-（60°-∠AOD）=30°，
所以∠AOE与∠DOC之间的数量关系为：∠DOC-∠AOE=30°．
3．如图，∠AOB=120°，射线OC从OA开始，绕点O逆时针旋转，旋转的速度为每分钟20°；射线OD从OB开始，绕点O逆时针旋转，旋转的速度为每分钟5°，OC和OD同时旋转，设旋转的时间为t（0≤t≤15）．
（1）当t为何值时，射线OC与OD重合；
（2）当t为何值时，∠COD=90°；
（3）试探索：在射线OC与OD旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OC，OB与OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的t的取值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）t=8min时，射线OC与OD重合；
（2）当t=2min或t=14min时，射线OC⊥OD；
（3）存在，详见解析.
【分析】（1）当OC与OD重合时，根据角度关系可知∠AOC=∠AOB+∠BOD，利用题中射线的旋转速度，由角度=时间×旋转速度，列出方程，求解即可得到射线OC与OD重合时的时间t；
（2）当∠COD=90°时，可分为两种情况，当OC位于OD的右边时：∠BOD+120°=∠AOC+90°；当OC位于OD左边时：∠AOC-90°-120°=∠BOD，列出对应的方程，求解即可；
（3）分三种情况来考虑，当OB为角平分线时：120°-∠AOC=∠BOD；当OC为角平分线时：∠AOC-120°=∠BOD；当OD为角平分线时：∠AOC-120°=2∠BOD，列方程求解即可.
【详解】解：（1）由题意得，20t=5t+120°，解得t=8，
即当t=8分钟时，射线OC与OD重合；
（2）当OC位于OD的右边时：∠BOD+120°=∠AOC+90°，则可得5t+120°=20t+90°，解得t=2分钟；
当OC位于OD左边时：∠AOC-90°-120°=∠BOD，则可得20t-90°-120°=5t，解得t=14分钟；
故当t=2或14分钟时，∠COD=90°；
（3）存在.
当OB为角平分线时：120°-∠AOC=∠BOD，则可得120°-20t=5t，解得t=4.8分钟；
当OC为角平分线时：∠AOC-120°=∠BOD，则可得20t-120°=×5t，解得t=分钟；
当OD为角平分线时：∠AOC-120°=2∠BOD，则可得20t -120°=2×5t，解得t=12分钟.
故当t=4.8或或12分钟时，射线OC，OB与OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线.
【我思故我在】本题由角的边的旋转考查了角的和差运算，注意运动的不确定性所带来的多可能性.
4．已知O为直线AB上一点，∠COE是直角，OF平分∠AOE.
(1)如图①，若∠COF＝34°，则∠BOE＝________；若∠COF＝n°，则∠BOE＝________；∠BOE与∠COF的数量关系为________________．
(2)当射线OE绕点O逆时针旋转到如图②的位置时，(1)中∠BOE与∠COF的数量关系是否仍然成立？请说明理由．
(3)在图③中，若∠COF＝65°，在∠BOE的内部是否存在一条射线OD，使得2∠BOD与∠AOF的和等于∠BOE与∠BOD的差的一半？若存在，请求出∠BOD的度数；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)68°；2n°；∠BOE＝2∠COF(2)仍然成立(3)存在
【详解】
（1）若∠COF＝34°，则∠BOE＝68°；若∠COF＝m°，则∠BOE＝°；所以∠BOE=2∠COF；
（2）成立．理由如下：
设
∵OF 平分∠AOE
∴ 结合余角和补角的性质，
∴∠BOE=2∠COF；
（3）存在，∠BOD=16°．理由如下：
∵∠COF=65°
∴∠BOE=2∠COF=130°
∴∠AOF=(180°-∠BOE)=25°
又2∠BOD+∠AOF=(∠BOE-∠BOD)
∴2∠BOD+25°=(130°-∠BOD)
∴∠BOD=16°.
考点：角平分线的性质，比较角的大小
点评：解题的关键是熟练掌握角的平分线把角分成相等的两个小角，且都等于大角的一半，注意本题要有整体意识.
5．以直线上的一点为端点作射线，使，将直角的直角顶点放在点处．
（1）如图1，若直角的边放在射线上，则______；
（2）如图2，将直角绕点按逆时针方向转动，使得平分，说明所在射线是的平分线；
（3）将直角绕点按逆时针方向转动到某个位置，使得．求的度数．
【答案】（1）30°；（2）见解析；（3）65°或52.5°
【分析】（1）代入∠BOE=∠COE+∠COB求出即可；
（2）求出∠AOE=∠COE，根据∠DOE=90°求出∠AOE+∠DOB=90°，∠COE+∠COD=90°，推出∠COD=∠DOB，即可得出答案；
（3）画出符合的两种图形，再根据平角等于180°求出即可．
【详解】解：（1）∵∠BOE=∠COE+∠COB=90°，
又∵∠COB=60°，
∴∠COE=30°，
故答案为：30；
（2）∵OE平分∠AOC，
∴∠COE=∠AOE=∠COA，
∵∠EOD=90°，
∴∠AOE+∠DOB=90°，∠COE+∠COD=90°，
∴∠COD=∠DOB，
∴OD所在射线是∠BOC的平分线；
（3）设∠COD=x，则∠AOE=5x．
有两种情况：①如图1，OD在∠AOC内部时，
∵∠AOE+∠DOE+∠COD+∠BOC=180°，∠DOE=90°，∠BOC=60°，
∴5x+90°+x+60°=180°，
解得x=5°，
即∠COD=5°．
∴∠BOD=∠COD+∠BOC=5°+60°=65°；
②如图2，OD在∠BOC的内部时，如图2，
∵∠AOC+∠BOC=180°，∠DOE=90°，∠BOC=60°，∠COD=x°，∠AOE=5x°，
∴5x+90-x+60=180，
解得：x=7.5，
即∠COD=7.5°，
∵∠BOC=60°，
∴∠BOD=60°-7.5°=52.5°，
∴∠BOD的度数为65°或52.5°．
【我思故我在】本题考查了角平分线定义和角的计算，能根据图形和已知求出各个角的度数是解此题的关键．
6．已知：，OB、OM、ON，是 内的射线．
（1）如图 1，若 OM 平分 ， ON平分．当射线OB 绕点O 在 内旋转时，= 度．
（2）OC也是内的射线，如图2，若 ，OM平分，ON平分，当射线OB绕点O在内旋转时，求的大小．
（3）在（2）的条件下，当射线OB从边OA开始绕O点以每秒的速度逆时针旋转t秒，如图3，若，求t的值．
【答案】（1）80；（2）70°；（3）26
【分析】（1）根据角平分线的定义进行角的计算即可；
（2）依据OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，即可得到∠MOC=∠AOC，∠BON=∠BOD，再根据∠MON=∠MOC+∠BON-∠BOC进行计算即可；
（3）依据∠AOM=（10°+2t+20°），∠DON=（160°-10°-2t），∠AOM：∠DON=2：3，即可得到3（30°+2t）=2（150°-2t），进而得出t的值．
【详解】解：（1）∵∠AOD=160°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，
∴∠MOB=∠AOB，∠BON=∠BOD，
∴∠MON=∠MOB+∠BON=∠AOB+∠BOD=（∠AOB+∠BOD）=∠AOD=80°，
故答案为：80；
（2）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
∴∠MOC=∠AOC，∠BON=∠BOD，
∴∠MON=∠MOC+∠BON-∠BOC
=∠AOC+∠BOD-∠BOC
=（∠AOC+∠BOD）-∠BOC
=×180-20
=70°；
（3）∵∠AOM=（2t+20°），∠DON=（160°-2t），
又∠AOM：∠DON=2：3，
∴3（20°+2t）=2（160°-2t）
解得，t=26．
答：t为26秒．
【我思故我在】本题考查的是角平分线的定义和角的计算，从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线，解决本题的关键是理解动点运动情况．
7．一个问题解决往往经历发现猜想——探索归纳——问题解决的过程，下面结合一道几何题来体验一下.
【发现猜想】（1）如图①，已知∠AOB＝70°，∠AOD＝100°，OC为∠BOD的角平分线，则∠AOC的度数为 ；.
【探索归纳】（2）如图①，∠AOB＝m，∠AOD＝n，OC为∠BOD的角平分线. 猜想∠AOC的度数（用含m、n的代数式表示），并说明理由.
【问题解决】（3）如图②，若∠AOB＝20°，∠AOC＝90°，∠AOD＝120°.若射线OB绕点O以每秒20°逆时针旋转，射线OC绕点O以每秒10°顺时针旋转，射线OD绕点O每秒30°顺时针旋转，三条射线同时旋转，当一条射线与直线OA重合时，三条射线同时停止运动. 运动几秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的角平分线？
【答案】（1）85°；（2）∠AOC＝；理由见解析；（3）经过，，4秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线.
【分析】（1）根据∠AOD、∠AOB、∠BOD之间的关系，求出∠BOD的度数，然后根据角平分线的性质算出∠BOC的度数，再计算∠AOC即可解决问题.
（2）根据∠AOD、∠AOB、∠BOD之间的关系，用m、n表示出∠BOD的度数，然后根据角平分线的性质用m、n的代数式表示出∠BOC，最后再表示出∠AOC即可解决问题.
（3）根据各角之间存在的数量关系，设经过x秒时，分别用x将∠DOA、∠COA、∠BOA表示出来，然后分四类情况讨论，根据角平分线的性质列出方程，解决即可.
【详解】（1）85°；
（2）∵∠AOB＝m，∠AOD＝n
∴∠BOD＝n－m
∵OC为∠BOD的角平分线
∴∠BOC＝
∴∠AOC＝+m＝
（3）设经过的时间为x秒，
则∠DOA＝120°－30x；∠COA＝90°－10x；∠BOA＝20°+20x；
①当在x＝之前，OC为OB，OD的角平分线；30－20x＝70－30x，x1＝4（舍）；
②当x在和2之间，OD为OC，OB的角平分线；－30+20x＝100－50x，x2＝；
③当x在2和之间，OB为OC，OD的角平分线；70－30x＝－100+50x，x3＝；
④当x在和4之间，OC为OB，OD的角平分线；－70+30x＝－30+20x，x4＝4.
答：经过，，4秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线.
【我思故我在】本题考查了角平分线的性质，一元一次方程的应用，解决本题的关键是熟练掌握角平分线的性质，理清各个角之间存在的数量关系，根据数量关系列出方程.
8．点A，O，B依次在直线MN上，如图1，现将射线OA绕点O顺时针方向以每秒10°的速度旋转，同时射线OB绕着点O按逆时针方向以每秒15°的速度旋转，直线MN保持不动，如图2，设旋转时间为t秒（t≤12）．
（1）在旋转过程中，当t=2时，求∠AOB的度数．
（2）在旋转过程中，当∠AOB=105°时，求t的值．
（3）在旋转过程中，当OA或OB是某一个角（小于180°）的角平分线时，求t的值．
【答案】(1) 130°；(2)t=3或11.4;(3)t=4.5或或9或
【分析】（1）分别求出∠AOM和∠BON的度数，即可得出答案；
（2）分为两种情况，得出方程10t+15t=180-105或10t+15t=180+105，求出方程的解即可；
（3）分为四种情况，列出方程，求出方程的解即可．
【详解】（1）当t=2时，∠AOM=10°t=20°，∠BON=15°t=30°，
所以∠AOB=180°﹣∠AOM﹣∠BON=130°；
（2）当∠AOB=105°时，有两种情况：
①10t+15t=180﹣105，解得：t=3；
②10t+15t=180+105，解得：t=11.4；
（3）①当OB是∠AON的角平分线时，10t+15t+15t=180，解得：t=4.5；
②当OA是∠BOM的角平分线时，10t+10t+15t=180，解得：t=；
③当OB是∠AOM的角平分线时，5t+15t=180，解得：t=9；
④当OA是∠BON的角平分线时，10t+7.5t=180，解得：t=．
【我思故我在】本题考查了角平分线的定义和邻补角的定义，能求出符合的所有情况是解此题的关键．
9．多多对几何中角平分线等兴趣浓厚，请你和多多一起探究下面问题吧．已知∠AOB=100°，射线OE，OF分别是∠AOC和∠COB的角平分线．
(1)如图1，若射线OC在∠AOB的内部，且∠AOC=30°，求∠EOF的度数；
(2)如图2，若射线OC在∠AOB的内部绕点O旋转，则∠EOF的度数_____；
(3)若射线OC在∠AOB的外部绕点O旋转（旋转中∠AOC，∠BOC均指小于180°的角），其余条件不变，请借助图3探究∠EOF的大小，请直接写出∠EOF的度数（不写探究过程）．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）先根据角平分线的定义可得，再根据角的和差、角平分线的定义可得，然后根据即可得；
（2）先根据角的和差可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据即可得；
（3）如图（见解析），先根据角平分线的定义可得，再分①射线在的内部，②射线在的内部，③射线在的内部三种情况，分别根据角的和差即可得．
（1）
解： 是的平分线，，
，
，
，
是的平分线，
，
；
（2）
，
，
是的平分线，是的平分线，
，
故答案为：
（3）
是的平分线，是的平分线，
，
由题意，分以下三种情况：
①如图，延长至点，当射线在的内部时，
，
，
；
②如图，延长至点，延长至点，当射线在的内部时，
，
，
；
③如图，延长至点，当射线在的内部时，
，
，
；
综上，的度数为或．
【我思故我在】本题考查了角平分线的定义、角的和差等知识点，较难的是题（3），正确分三种情况讨论是解题关键．
10．如图，已知直线和交于点，，，垂足为，平分．
(1)当时，则______；______；
(2)当时，射线从开始绕点逆时针匀速转动，同时，射线从开始绕点匀速转动，且射线的转动速度大于射线的转动速度．
①若射线顺时针转动，则射线与射线经过7.5秒第一次重合；若射线逆时针转动，则射线与射线经过37.5秒第一次重合．求射线，绕点转动的速度分别是多少？
②若射线，绕点转动的速度与①中转动速度相同，射线顺时针转动，当射线转动一周时，射线也停止转动，当时，直接写出射线转动的时间．
【答案】(1)60°，75°
(2)①射线绕点转动的速度是，射线绕点转动的速度是；②射线转动的时间为3或12或21或30．
【分析】（1）利用互余可知，利用互补及角平分线的性质可知；
（2）①先根据，可知，则两种情况可以类比二元一次方程应用中的路程问题，根据相遇、追击两种情况列出方程组，求解即可；
②分两种情况：在直线0E的左边和右边，根据其夹角列4个方程可得时间．
（1）
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
故答案为：60°，75°；
（2）
①设射线绕点转动的速度是，射线绕点转动的速度是，
由题意列方程组为，
解得，
答：射线绕点转动的速度是，射线绕点转动的速度是；
②设射线转动的时间为t秒，
由题意得：或或或，
解得：或或或，
综上所述：射线转动的时间为3或12或21或30．
【我思故我在】本题考查了对顶角相等，邻补角互补的定义，解二元一次方程组，角平分线的定义，角的计算，第二问有难度，难点在于要分情况讨论．
相关试卷
【期末满分冲刺】人教版数学八年级上册-专题06《整式乘除的综合问题》期末重难点突破： 这是一份【期末满分冲刺】人教版数学八年级上册-专题06《整式乘除的综合问题》期末重难点突破，文件包含专题06整式乘除的综合问题解析版docx、专题06整式乘除的综合问题原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共21页， 欢迎下载使用。
【期末满分冲刺】人教版数学七年级上册-专项07《古代背景及日历中的方程问题》期末重难点突破： 这是一份【期末满分冲刺】人教版数学七年级上册-专项07《古代背景及日历中的方程问题》期末重难点突破，文件包含专项07古代背景及日历中的方程问题解析版docx、专项07古代背景及日历中的方程问题原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共20页， 欢迎下载使用。
【期末满分冲刺】人教版数学七年级上册-专项06《商场促销的方程问题》期末重难点突破： 这是一份【期末满分冲刺】人教版数学七年级上册-专项06《商场促销的方程问题》期末重难点突破，文件包含专项06商场促销的方程问题解析版docx、专项06商场促销的方程问题原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共23页， 欢迎下载使用。
