【期末满分冲刺】2022-2023学年-北师大版数学七年级上册——压轴题系列一《线段的动点问题》期末复习精讲精练（教案）

压轴题系列一

      ——线段动点问题

一、 双基目标

掌握“线段中的动点问题”四种类型解题方法：

①与中点相关类型；

②线段中的和差倍分类型；

③“追及、相遇”类型；

④追及、相遇与折返综合类型.

二、能力目标

通过此类问题的学习、探索可以深入培养学生对“分类讨论思想”“数形结合思想”的领会，同时提升学生综合分析问题，解决问题的能力。

1、看课件，复习知识体系和基本方法；

2、学习例题，完成变式练习；

3、完成课后练习，巩固基础，提升能力。

【例1】 如图，点P是线段AB上的一点，点M、N分别是线段AP、PB的中点．

（1）如图1，若点P是线段AB的中点，且MP＝4cm，则线段AB的长　   　cm；

（2）如图2，若点P是线段AB上的任一点，且AB＝12cm，求线段MN的长；

（3）小明由（1）（2）猜想到，若点P是直线AB上的任意一点，且AB＝12cm，线段MN的长与（2）中结果一样，你同意他的猜想吗？说明你的理由．

【解析】解：（1）∵M是线段AP的中点，MP=4cm，

∴AP=2MP=2×4=8（cm），

又∵点P是线段AB的中点，

∴AB=2AP=2×8=16（cm）．

（2）∵点M是线段AP的中点，点N是线段PB的中点，

∴

∴

∵AB=12cm，

∴MN=12÷2=6（cm）．

（3）同意。①当P点在线段AB延长线上时，

∵点M是线段AP的中点，点N是线段PB的中点，

∴

∴

∵AB=12cm，

∴MN=12÷2=6（cm）．②当点P在线段BA延长线时，与此类似。

【例2】 如图A在数轴上所对应的数为﹣2．

（1）点B在点A右边距A点4个单位长度，求点B所对应的数；

（2）在（1）的条件下，点A以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，点 B 以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，当点A运动到﹣6所在的点处时，求A，B两点间距离．

（3）在（2）的条件下，现A点静止不动，B点再以每秒2个单位长度沿数轴向左运动时，经过多长时间A，B两点相距4个单位长度．

【解析】解：（1）-2+4=2．

故点B所对应的数；

（2）（-2+6）÷2=2（秒），

4+（2+2）×2=12（个单位长度）．

故A，B两点间距离是12个单位长度．

（3）运动后的B点在A点右边4个单位长度，

设经过x秒长时间A，B两点相距4个单位长度，依题意有

2x=12-4，  解得x=4；

运动后的B点在A点左边4个单位长度，

设经过x秒长时间A，B两点相距4个单位长度，依题意有

2x=12+4，

解得x=8．

故经过4秒或8秒长时间A，B两点相距4个单位长度．

【例3】已知A、B分别为数轴上两点，A点对应的数为—20，B点对应的数为100。

⑴  AB中点M对应的数；

⑵ 现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只

电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，求C点对应的数；

⑶若当电子蚂蚁P从B点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的D点相遇，求D点对应的数

【解析】（1）∵A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为-20，B点对应的数为100，

∴ =60；则AB中点M对应的数是100-60=40；故答案为：40．

(2)①∵A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为-20，B点对应的数为100，∴AB=100+20=120，设t秒后P、Q相遇，∵电子蚂蚁P从B点出发，以6单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4单位/秒的速度向右运动，∴6t+4t=120，解得t=12秒；答：PQ经过12秒以后相遇；

（3）设两只蚂蚁经x秒相遇。得：6x-4x=120，x=60，

                -20-4×60=-260，则D点对应的数是-260.

【例4】已知数轴上三点A，O，B表示的数分别为6，0，﹣4，动点P从A出发，以每秒6个单位的速度沿数轴向左匀速运动．

（1）当点P到点A的距离与点P到点B的距离相等时，点P在数轴上表示的数是　   　；

（2）另一动点R从B出发，以每秒4个单位的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、R同时出发，问点P运动多少时间追上点R？

（3）若M为AP的中点，N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若发生变化，请你说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长度．

【解析】解∶（1）（6-4）÷2=1.

故点P在数轴上表示的数是1;

故答案为∶1;

（2）设点P运动x秒时，在点C处追上点R，

则AC=6x BC=4x，AB=10，

∵AC-BC=AB,

∴6x-4x=10, 解得x=5，

∴点P运动5秒时，追上点R;

（3）线段 MN的长度不发生变化，理由如下分两种情况∶

①当点P在A、B之间运动时（如图①）∶

MN=MP+PN=1/2AP+1/2PB=1/2（AP+PB）=1/2AB=5.

②当点P运动到点 B左侧时（如图②）

解题过程略。【答案】MN=5

【变式训练】如图，数轴上A、B、C三点表示的数分别是-20、0、40，甲、乙两个电动蚂蚁分别在A、C两处同时出发，运动速度分别是6个单位/秒和4个单位/秒.

（1）若甲、乙相向而行，当两只电动蚂蚁相距10个单位时，求出此时甲所在位置表示的数；

（2）在（1）的条件下，当两只电动蚂蚁相距10个单位时，甲立刻掉头往回走，当甲、乙相遇时即停止运动，求出相遇时甲所在位置表示的数.

【解析】解∶ ①当甲、乙相遇之前，设出发x秒两只电动蚂蚁相距10个单位。

6x＋4x=40-(-20)-10 解得x=5

此时甲所在位置表示的数为一20＋ 5×6=10.

②当甲、乙相遇之后，设出发y秒之后两只电动蚂蚁相距10个单位。

6y +4y =40-(-20)+ 10 解得y =7

此时甲所在位置表示的数为一20+7×6= 22

综上所述，当两只电动蚂蚁相距10个单位时，求出此时甲所在位置表示的数为10或22。

（2）解∶∵乙的速度<甲的速度，

乙追不上甲，即在（1）的条件下，只有"甲、乙相遇之后"满足情况，

此时乙所在位置表示的数是40-7×4=12，

设经过z秒甲、乙相遇，6z-4z=22-12 解得 z =5     22-5×6= -8

故相遇时甲所在位置表示的数为-8

【例5】如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．

（1）数轴上点B表示的数是　 　，点P表示的数是　 　（用含t的代数式表示）；

（2）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求：①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？

②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？

【解析】解：（1）一4；6-6t

（2）①设点 P运动t秒时追上点Q，根据题意，得6t=10十4t，解得 t=5.

答∶当点 P运动5秒时，点 P与点Q相遇.

②设当点 P运动t秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度，当点 P不超过点Q时，则10十4t一6t=8，解得t=1;当点P超过点Q时，则10十4t+8=6t，解得 t=9.

答∶当点 P运动1或9秒时，点 P与点Q间的距离为8个单位长度。

【变式训练1】（2018郑州）乐乐家距离学校2800米，一天早晨，他以80米/分的速度上学，5分钟后乐乐的妈妈发现他忘了带数学书，妈妈立即以180米/分的速度去追乐乐，并且在途中追上了他．

(1)妈妈追上乐乐用了多长时间？

(2)放学后乐乐仍以80米/分的速度回家，出发10分钟时，同学英树以280米/分的速度从学校出发骑自行车回家，乐乐家和英树家是邻居(两家距离忽略不计，两人路上互不等待，两人到家后不再外出)，请问英树出发多长时间，两人相距300米？

【解析】解∶（1）设妈妈追上乐乐用了x分钟，根据题意，得180x=80x+80×5，解得x=4. 答∶妈妈追上乐乐用了4分钟.

（2）设英树出发y分钟，两人相距300米.根据题意，得

①英树在乐乐后面相距300米，则280y=80y+80×10-300，解得y=2.5;

②英树在乐乐前面相距300米，则280y=80y+80×10+300，解得y=5.5;

或80（y+10）=2800-300，解得y=21.25.

答∶英树出发2.5分或5.5分或21.25分钟，两人相距300米.

【变式训练2】（2021郑州）寒风凛凛、爱心涌动，临近传统佳节，我市某学校部分师生冒着严寒为50km外的夕阳红敬老院送去过节物资，并为老人们表演节目．学校司机小李开车以60km/h的速度带着师生和物资从学校出发，同时志愿者小王开车以90km/h的速度从敬老院出发，前去迎接小李车上的部分学生到敬老院给老人们表演节目，小王接到学生以后立刻返回敬老院（学生下车和上车的时间不计），学校司机小李开车行驶多长时间时两车相距5km？写出答案，并说明理由．

【解析】解：①在两车相遇之前，设从出发到两车相距 5km时的时间为 t h，

由题可知∶60t+90t+5=50.

 解得 t=  

②设当两车相遇时所需时间为x h，由题可知 60x+90x=50.

解得X=  ；

设当两车相遇之后到两车相距 5km 时所需时间为yh 由题可知∶90y- 60y=5.

解得：y=

所以此时学校司机小李开车行驶的时间为 =    =

【例6】如图，在数轴上，点A、B分别表示点﹣5、3，M、N两点分别从A、B同时出发以3cm/s、1cm/s的速度沿数轴向右运动．

（1）求线段AB的长；

（2）求当点M、N重合时，它们运动的时间；

（3）M、N在运动的过程中是否存在某一时刻，使BM=2BN．若存在请求出它们运动的时间，若不存在请说明理由．

【解析】解∶（1）AB=l3-（-5）|=8;

（2）设它们运动的时间为t，根据题意得，3t-t=8，解得∶t=4，

当点M、N重合时，它们运动的时间是4s;

（3）存在，

设它们运动的时间是x s，

根据题意得，8-3x=x-3或3x-8=x-3，

【点评】本题考查了线段与行程问题的关系的运用，线段之间的数量关系的运用，

一元一次方程的运用，解答时找到题意的等量关系是关键.

【变式训练】如图所示，已知点E，点C和点D是线段AB上的点，点C是线段AB的中点，AD＝2BD，AE＝ AC，AB＝30；动点M从点A出发以每秒2个单位的速度向B点运动，动点M到达B点后立即以相同的速度从B点返回到A点．动点M从点A出发的同时动点N从点B出发以每秒1个单位的速度向A点运动，当点N到达点A时，两点停止运动．动点N的运动时间记为t．

（1）求线段ED的长；

（2）当MN＝   CD时，请直接写出t的值．

【解析】解∶(1)∵ AB =30，AD=2BD

又 AD十 BD=AB

即 3BD=30

∴BD=10，AD=20

①当t<15时，即M还未到B点

MN= 30-（2+t）=|2，t=6s ;

②t≥I5s时，即M从B反向运动

MN=I0t-2(t-15）=12，t=18s

∴综上t=6或 18s (注意分类讨论）

【例7】如图，点A点从原点出发沿数轴向左运动，同时点B从原点出发沿数轴向右运动，４秒钟后，两点相距１６个单位长度，已知点A的速度是点B的速度的３倍．（速度单位：单位长度／秒）

（１）求出点A、B运动的速度，并在数轴上标出点A、B两点运动４秒后所在的位置；

（２）若A、B两点从（１）中位置开始，仍以原来的速度同时 沿数轴向左运动，几秒时原点恰好处在点A、B的正中间？

（３）若A、B两点从（１）中的位置开始，仍以原来的速度同时沿数轴向左运动时，

另一点C同时从点A位置出发向点B运动，当遇到点B后，立即返回向点A运动，

遇到点A又立即返回向点B运动，如此往返，直 到点A追上点B时，点C即停止运动，

问点C一直以１０单位长度／秒的速度运动，那么点C从开始运动到停止运动，

【解析】解：（1）设点A的速度为每秒t个单位长度，则点B的速度为每秒3t个单位长度．

依题意有：4t+4×3t=16，

解得：t=1，

故点A的速度为每秒1个单位长度，点B的速度为每秒3个单位长度，

则A到达的位置为：-4，B到达的位置是12，在数轴上的位置如图：

答：点A的速度为每秒1个单位长度，点B的速度为每秒3个单位长度；

（2）设y秒时，原点恰好处在两个动点的正中间，根据题意得：

4+y=12-3y

解得：y=2，

答：2秒时，原点恰好处在AB的中点；

（3）设当C运动z秒后，C为AB的中点，

由题意可得：4+z+1/2z=1/2（16-3z+z），

解得：z=8/5，

答：当点C运动 8/5 秒时，C为AB的中点．

 【例8】如图，数轴上有A，B两点，所表示的有理数分别为a、b，已知AB=12，原点O是线段AB上的一点，且OA=2OB．

（1）a=　   　，b=　   　．

（2）若动点P，Q分别从A，B同时出发，向右运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒，当点P与点Q重合时，P，Q两点停止运动．

①当t为何值时，2OP﹣OQ=4；

②当点P到达点O时，动点M从点O出发，以每秒3个单位长度的速度也向右运动，当点M

追上点Q后立即返回，以同样的速度向点P运动，遇到点P后再立即返回，

以同样的速度向点Q运动，如此往返，直到点P，Q停止时，点M也停止运动，

求在此过程中点M行驶的总路程，并直接写出点M最后位置在数轴上所对应的有理数．

【解析】（1）AB=12，AO=2OB，AO=8，OB=4，A点所表示的实数为-8，B点所表示的实数为4 ·.a=-8,b=4.

故答案为∶ a=-8;   b=4;

（2）①当0<t≤4时，如图3，AP=2t，OP=8-2t，BQ=t，OQ=4+t.

∵2OP-OQ=4,:2(8-2t)-(4+t)=4,t=1.6;

②当点P与点Q重合时，如图4，2t=12+t，t=12

③当4<t＜12时，如图5，OP=2t-8，OQ=4+t，

则2（2t-8）-（4+t）=4，t=8.

综上所述;当t为1.6秒或8秒时，2OP-OQ=4;

②当点P到达点O时 8÷2=4，此时OQ=4+t=8 即点Q 所表示的实数为8

如图6 设点M运动的时间为t秒 由题意得;2t-t-8 t-8 此时 点P表示的实数为8×2=16，所以点M表示的实数也是16 .点M行驶的总路程为∶3×8=24.