【期末满分冲刺】2022-2023学年-北师大版数学七年级上册——压轴题系列二《角的几何变换——折叠与旋转》期末复习精讲精练（教案）

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压轴题系列二      ——角的几何变换（折叠与旋转）一、 双基目标 1、理解掌握角的“叠放、折叠、旋转”           三种变换中的解题思路和计算方法。2、注意角的分类讨论问题.二、能力目标通过此类问题的系统复习可以强化训练学生的分类讨论意识、逻辑推理能力，同时增强其综合分析、解决问题的能力.1、看课件，复习知识体系和基本方法；2、学习例题，完成变式练习；3、完成课后练习，巩固基础，提升能力。 【例1】（分类讨论）已知∠AOB=50°，∠BOC=30°，则∠AOC=                     ．【解析】解：①当OC在∠AOB内部，因为∠AOB=50°，∠BOC=30°，所以∠AOC为20°；②当OC在∠AOB外部，因为∠AOB=50°，∠BOC=30°，所以∠AOC为80°；故∠AOC为20°或80°．【分析】本题是角的计算的多解问题，求解时要注意分情况讨论，可以根据OC与∠AOB的位置关系分为OC在∠AOB的内部和外部两种情况求解．　         【例2】将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD=20°，则∠BOC的大小为（ ）A．140° B．160° C．170° D．150°【答案】B【详解】试题分析：根据∠AOD=20°可得：∠AOC=70°，根据题意可得：∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+70°=160°.考点：角度的计算 【例3】如图，一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，若∠AOC＝130°，则∠BOD等于（  ）  A. 30°                         B. 45°                                       C. 50°                                       D. 60°【答案】 C   【考点】角的运算    【解析】【解答】∵∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝130°，∠AOB＝90°，∴∠BOC＝130°－90°＝40°，∵∠BOD＝∠COD－∠BOC，∠COD＝90°，∴∠BOD＝90°－40°＝50°， 故答案为：C. 
【分析】利用∠BOD＝∠COD+∠BOA-∠AOC计算即可。【例4】如图，若将三个含45°的直角三角板的直角顶点重合放置，则∠1的度数为( 　　 )A．15°       B．20°   C．25°     D．30°【答案】D【分析】根据∠1=∠BOD+EOC∠BOE，利用等腰直角三角形的性质，求得∠BOD和∠EOC的度数，从而求解即可．【详解】解：如图，根据题意，有，∴，，∴；故选：D.【点睛】本题考查了角度的计算，正确理解∠1=∠BOD+∠COE∠BOE这一关系是解决本题的关键． 【变式训练】（2016郑州）如图所示，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点与点O重合，则∠AOC+∠BOD=   【答案】180°【解析】∵∠AOC=∠AOB+∠BOC， ∴∠AOC+∠DOB=∠AOB+∠BOC+∠BOD， 又∵∠BOC+∠BOD=∠COD，且∠AOB=∠COD=90°， ∠AOC+∠DOB=∠AOB+∠COD=90°+90°=180°． 【例5】把一副三角尺按如图所示拼在一起，其中B，C，D三点在同一直线上，CM平分∠ACB，CN平分∠DCE，则∠MCN=________°．【答案】【分析】 先容易求得∠ACE=75°，在根据CM、CN分别平分∠ACB，∠ECD由图可知所求角等于∠ACE加上∠ACB，∠ECD的一半．【详解】解：由题可知： 则因为CM 平分∠ACB，CN平分∠DCE，则可得故答案为【点睛】本题主要考察了角平分线的性质；利用角平分线的基本性质来计算角度是关键．【例6】（1）平面内将一副二角板按如图 1所示摆放，∠EBC=    ；（2）平面内将 副三角板按如图 2所示摆放，若∠EBC=165°，那么∠α=____（3）平面内将一副三角板按如图 3所示摆放，∠EBC=115°，求∠α的度数.【解析】（1）∠EBC=90°+60°=150°；（2）∠α=∠EBC-∠DBE-∠ABC             =165°-90°-60°             =15°；（3）因为∠EBC=115°，∠EBD=90°，所以∠DBC=∠EBC-∠EBD=25°．因为∠ABC=60°，所以∠α=∠ABC-∠DBC=35° 【例7】利用折纸可以作出角平分线．（1）如图1，若∠AOB＝58°，则∠BOC＝　    　．（2）折叠长方形纸片，OC，OD均是折痕，折叠后，点A落在点A′，点B落在点B'，连接OA'．①如图2，当点B'在OA'上时，判断∠AOC与∠BOD的关系，并说明理由；②如图3，当点B'在∠COA'的内部时，连接OB'，若∠AOC＝44°，∠BOD＝61°，求∠A'OB'的度数． 【答案】（1）29°；（2）①∠AOC+∠BOD＝90°，理由见解析；②30°【分析】（1）由折叠得出∠AOC＝∠BOC，即可得出结论；（2）①由折叠得出∠AOA'＝2∠AOC，∠BOB'＝2∠BOD，再由点B'落在OA'上，得出∠AOA'+∠BOB'＝180°，即可得出结论；②同①的方法求出∠AOA'＝88°，∠BOB'＝122°，即可得出结论．【详解】解：（1）由折叠知，∠AOC＝∠BOC＝∠AOB，∵∠AOB＝58°，∴∠BOC＝∠AOB＝×58°＝29°，故答案为：29°；（2）①∠AOC+∠BOD＝90°，理由：由折叠知，∠AOC＝∠A'OC，∴∠AOA'＝2∠AOC，由折叠知，∠BOD＝∠B'OD，∴∠BOB'＝2∠BOD，∵点B'落在OA'，∴∠AOA'+∠BOB'＝180°，∴2∠AOC+2∠BOD＝180°，∴∠AOC+∠BOD＝90°；②由折叠知，∠AOA'＝2∠AOC，∠BOB'＝2∠BOD，∵∠AOC＝44°，∠BOD＝61°，∴∠AOA'＝2∠AOC＝2×44°＝88°，∠BOB'＝2∠BOD＝2×61°＝122°，∴∠A'OB'＝∠AOA'+∠BOB'﹣180°＝88°+122°﹣180°＝30°，即∠A'OB'的度数为30°．【点睛】此题主要考查了折叠的性质，平角的定义，角的和差的计算，从图形中找出角之间的关系是解本题的关键． 【例8】已知长方形纸片ABCD，点E在边AB上，点F、G在边CD上，连接EF、EG，将∠BEG对折，点B落在直线EG上的点B′处，得折痕EM；将∠AEF对折，点A落在直线EF上的点A′处，得折痕EN．    （1）如图1，若点F与点G重合，求∠MEN的度数；  （2）如图2，若点G在点F的右侧，且∠FEG＝30°，求∠MEN的度数；  【答案】 （1）解：∵EN平分∠AEF，EM平分∠BEF ∴∠NEF＝ ∠AEF，∠MEF＝ ∠BEF∴∠MEN＝∠NEF+∠MEF＝ ∠AEF+ ∠BEF＝ （∠AEF+∠BEF）＝ ∠AEB∵∠AEB＝180°∴∠MEN＝ ×180°＝90°
（2）解：∵EN平分∠AEF，EM平分∠BEG ∴∠NEF＝ ∠AEF，∠MEG＝ ∠BEG∴∠NEF+∠MEG＝ ∠AEF+ ∠BEG＝ （∠AEF+∠BEG）＝ （∠AEB﹣∠FEG）∵∠AEB＝180°，∠FEG＝30°∴∠NEF+∠MEG＝ （180°﹣30°）＝75°∴∠MEN＝∠NEF+∠FEG+∠MEG＝75°+30°＝105°．【考点】角的运算，翻折变换（折叠问题）    【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义，平角的定义，角的和差定义计算即可；
【例9】如图，将一张长方形纸片ABCD 分别沿着 BE，BF 折叠，使边 AB，CB 均落在 BD 上，得到折痕 BE，BF  ，如果 ∠ABE=15° ，那么 ∠DBF=        ．   【答案】 30°   【考点】角的运算，翻折变换（折叠问题）    【解析】【解答】根据折叠的性质， 得∠ABE=∠GBE，∠CBF=∠DBF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∵ ，∴∠DBC=60°，∴∠DBF=30°．故答案为：30°． 【分析】先求出∠ABC=90°，再求出∠DBC=60°，最后计算求解即可。    【例10】如图，把一张长方形纸片沿着AB折叠，若∠1＝40°，那么∠2的度数是       ．   【答案】 70°   【考点】角的运算，翻折变换（折叠问题）    【解析】【解答】如图，由折叠性质可得： ∠1+2∠2=180°，而∠1=40°，则∠2=（180°-40°）÷2=70°故答案为：70° ． 
【分析】根据折叠的性质可得 ，结合 ，可得。 【例11】（2020郑州）如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC=30°，将一直角三角板（∠M=30°）的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线AB的上方，将图1中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周．（1）几秒后ON与OC重合？（2）如图2，经过t秒后，OM恰好平分∠BOC，求此时t的值．（3）若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，那么经过多长时间OC平分∠MOB？请画图并说明理由．分析 （1）根据：时间=进行计算．通过计算，证明OE平分∠AOC．
（2）由于OC的旋转速度快，需要考虑三种情形．
（3）通过计算分析，OC，OD的位置，然后列方程解决．解：（1）①∵∠AOC=30°，∠AOB=180°，
∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=150°，
∵OD平分∠BOC，
∴∠BOD=∠BOC=75°，
∴t==3．
②是，理由如下：
∵转动3秒，∴∠AOE=15°，
∴∠COE=∠AOC-∠AOE=15°，
∴∠COE=∠AOE，
即OE平分∠AOC．                     
（2）三角板旋转一周所需的时间为==90（秒），射线OC绕O点旋转一周所需的时间为=45（秒），
设经过x秒时，OC平分∠DOE，
由题意：①8x-5x=45-30，
解得：x=5，
②8x-5x=360-30+45，
解得：x=125＞45，不合题意，
③∵射线OC绕O点旋转一周所需的时间为=45（秒），45秒后停止运动，
∴OE旋转345°时，OC平分∠DOE，
∴t==69（秒），
综上所述，t=5秒或69秒时，OC平分∠DOE．

（3）由题意可知，OD旋转到与OB重合时，需要90÷5=18（秒），OC旋转到与OB重合时，需要（180-30）÷8=18.75（秒），
所以OD比OC早与OB重合，
设经过x秒时，OC平分∠DOB，
由题意：8x-（180-30）=（5x-90），
解得：x=，
所以经秒时，OC平分∠DOB．点评 本题目考查了角平分线的定义，旋转的速度，角度，时间的关系，应用方程的思想是解决问题的关键，还需要通过计算进行初步估计位置，掌握分类思想，注意不能漏解． 【例12】操作探究：将两块相同的直角三角板（含有 30°，60° 角）如图1摆放在直线 上，三角板 OMN 绕点O以每秒 10° 的速度顺时针旋转，当 ON 旋转至与射线 OA 重合时停止.设旋转时间为t秒.  （1）若三角板 OBC 保持不动，如图2，当 t=3 时，试判断 ∠AOM 和 ∠BOM 是否相等，并说明理由；    （2）若两块三角板同时旋转，三角板 OBC  以每秒10°的速度绕点O顺时针旋转，当 OB 旋转至与射线 OD 重合时停止.  ①在三角板OBC停止运动之前，求∠AOM  和 ∠AOB 的度数（用含t的代数式表示）；②定义：能把一个角分成 的两部分的直线叫做该角的三分线  ， 当直线OM为 ∠AOB  的三分线时，求t的值.【答案】 （1）解：相等.理由如下：  当 t=3 时，∠AOM=30°，∠BOM=30°  所以∠AOM=∠BOM  .
（2）解：①∠AOM=10t，（∠AOM大于180°时，填写360-10t） , ∠AOB=5t+60 ；   ②在三角板OBC停止运动时，运动时间为24秒直线OM为∠AOB的三分线，分为两种情况：情况1：当 0＜t＜24 时，当∠AOM=∠AOB  时，如图1.   10t=(60+5t),   t=；当 ∠AOM=∠AOB时，如图2. 10t=(60+5t),t=6 ；情况2：当24≤t ≤27 时当 ∠AOM=∠AOB=60° 时，如图3.t=24 ；∴t=,  t=6,  t=24；【考点】角的运算    【解析】【分析】（1）分别求出当t=3时，∠AOM和∠BOM的度数即得结论；
（2）①利用三角板转动的速度乘以时间t，即得∠AOM和∠BOM的度数；
② 在三角板 OBC 停止运动时，运动时间为24秒，直线 OM 为 ∠AOB 的三分线，分为两种情况：当 0＜t＜24 时及当 24≤t ≤27 时，利用三角板转动的速度及时间和三等分线的定义，分别解答即可.【例13】如图，点O为直线 AB 上一点，过点O作射线 OC ，使 ∠BOC 的度数比∠AOC度数的2倍还多6°．将一直角三角板 DFE 的直角顶点F放在点O处（注∠DFE=90° ）．  （1）如图①，若直角三角板的一边 FD 放在射线 OA 上，求 ∠COE 的度数；    （2）如图②，将直角三角板 FDE 绕点O顺时针转动到某位置，若 OC 恰好平分∠AOE  ，求 ∠COD 的度数；    （3）如图③，将直角三角板FDE 绕点O任意转动，如果 FD 始终在 ∠AOC 的内部，试猜想 ∠AOD 和 ∠COE 有怎样的数量关系，并说明理由．    【答案】 （1）解：设 ，则    ∵ ，∴ ，∴ ，∴
（2）解：∵ 平分 ，  ∴ ，
（3）解： ，  理由：当 始终在 的内部时， ， ，∴ ．【考点】三角形的综合    【解析】【分析】（1）由图形可知   和   互为邻补角，再由”  的度数比  度数的2倍还多6°”，设未知列方程即可
（2）（3）结合图形以及题意，找出每个角之间的和差倍分关系即可  【例14】综合与探究  问题背景数学活动课上，老师将一副三角尺按图1所示位置摆放，三角尺ABC中，∠BAC=90°，∠B=∠C=45°；三角尺ADE中，∠D=90°，∠DAE=60°，∠E=30°．分别作出∠BAD、∠CAE的平分线AM、AN．然后提出问题：求出∠MAN的度数．特例探究“智慧小组”的同学决定从特例入手探究老师提出的问题，他们将三角尺分别按图2、图3所示的方式摆放，AM和AN仍然是∠BAD和∠CAE的平分线． 其中，按图2方式摆放时，AB和AE在同一直线上．按图3方式摆放时， AB、AD、AM在同一直线上．（1）计算：图2中∠MAN的度数为      °，图3中∠MAN的度数为      °（直接写出答案，不写过程）．    （2）发现感悟：探究完图2，图3所示的特殊位置问题后，请你猜想图1中∠MAN的度数为  ▲  °；  “智慧小组”的同学认为图2，图3中∠BAD、∠CAE的度数都已知或能求出具体的度数，图1中，∠MAN=∠MAB+∠BAE+∠EAN ，这些角比较一般化，求不出具体的度数，所以想到了用字母表示数，如果设∠BAE为x°，则可以用含x的式子表示∠BAD和∠CAE，进而可以表示∠MAB和∠EAN，这样就能求出∠MAN的度数；请你根据智慧小组的思路，求出图1中∠MAN的度数．（3）类比拓展：受到“智慧小组”的启发，“创新小组”将三角尺按图4所示方式摆放，分别作出∠BAD、∠CAE的平分线AM、AN．他们认为也能求出∠MAN的度数．请你求出∠MAN的度数．  【分析】（1）根据图2，由角平分线的性质可以得到  ，   ， 再结合角的和差解题即可；根据图3，由角平分线的性质可以得到  ， 再结合角的和差解题即可；
（2）由∠MAN=∠MAB+∠BAE+∠EAN，结合角平分线的性质解题即可；
（3）由∠MAN=∠MAD+∠EAN-∠DAE，结合角平分线的性质求解即可。【答案】 （1）75；75
【解析】【解答】解：（1）图2中， AM和AN是∠BAD和∠CAE的平分线，   ；图3中， AM和AN是∠BAD和∠CAE的平分线，故答案为：75；75；（2）解：设∠BAE为x°，则∠BAD=∠DAE- x°=60°- x°，∠CAE=∠BAC- x°=90°-x° 因为AM和AN是∠BAD和∠CAE的平分线，所以∠MAB= ∠BAD = （60°- x°）=30°-   x°∠EAN= ∠CAE= （90°- x°）=45°+   x°． 所以∠MAN=∠MAB+∠BAE+∠EAN=（30°-   x°）+ x°+（45°-   x°）=75°，故答案为：75°；
（3）解：设∠BAE为x°，则∠BAD=∠DAE+ x°=60°+ x°， ∠CAE=360°-∠BAC-∠BAE=360°-90°-x°=270°-x°，因为AM和AN是∠BAD和∠CAE的平分线，所以∠MAD= ∠BAD = （60°+ x°）=30°+   x°∠EAN= ∠CAE= （270°- x°）=135°-   x°．所以∠MAN=∠MAD +∠EAN-∠DAE=（30°+   x°）+（135°-   x°）- 60°=105°．【考点】角的运算，一元一次方程的实际应用-几何问题