吉林省四平市第一高级中学2021-2022学年高三上学期第三次月考数学(文)试题（有答案）

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四平市第一高级中学2021-2022学年度上学期第三次月考高三数学试卷（文科）考生注意：1、本试卷分选择题和非选择题两部分，共150分，共4页，考试时间120分钟，考试结束后，只交答题卡。2、客观题请用2B铅笔填涂在答题卡上，主观题用黑色碳素笔写在答题卡上。3、本试卷主要考查内容：集合与常用逻辑用语、函数、导数及应用、三角函数与解三角形、平面向量、数列、不等式、推理证明、立体几何、直线与圆。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合，，则（    ）A.  B.  C.  D.2.“直线的斜率不小于0”是“直线的倾斜角为锐角”的（    ）A.充分不必要条件  B.必要不充分条件C.充要条件  D.既不充分也不必要条件3.函数的最小值为（    ）A.6 B. C.4 D.4.圆上的点到直线的距离的最小值为（    ）A.1 B.2 C.4 D.55.已知，，，则（    ）A.2 B.3 C.5 D.66.函数的最大值为（    ）A.16 B.27 C.32 D.407.观察下列等式：，，，，…，….根据规律，可推测（    ）A. B. C. D.8.设为等差数列的前项和，且，，则（    ）A.34 B.35 C.36 D.379.设直线经过定点，轴上的两个动点与的距离为2，则的最小值为（    ）A. B. C.2 D.310.中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）。现有一个如图所示的曲池，其高为3，底面，底面扇环所对的圆心角为，弧长度为弧长度的3倍，且，则该曲池的体积为（    ）A. B. C. D.11.设函数（，）的最小正周期为，且在内恰有3个零点，则的取值范围是（    ）A. B. C. D.12.已知是定义域为的奇函数，函数，，当时，恒成立。现有下列四个结论：①在上单调递增；②的图象与轴有2个交点；③；④不等式的解集为。其中所有正确结论的编号为（    ）A.①② B.①④ C.②③ D.②③④二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。将答案填在答题卡相应的位置上）13.函数的定义域为________.14.若球被平面所截得的截面圆的面积为，且球心到平面的距离为cm，则球的表面积为________。15.在中国现代绘画史上，徐悲鸿的马独步画坛，无人能与之相颉颃。《八骏图》是徐悲鸿最著名的作品之一，画中刚劲矫健、剽悍的骏马，在人们心中是自由和力量的象征，鼓舞人们积极向上。现有8匹善于奔跑的马，它们奔跑的速度各有差异。已知第匹马的最长日行路程是第匹马最长日行路程的1.1倍，且第8匹马的最长日行路程为400里，则这8匹马的最长日行路程之和为________里。（取）16.已知点为角终边上一点，，且，则___________.三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题10分）已知等差数列的首项为，且。（1）求的通项公式及其前项和；（2）求数列的前项和。18.（本小题12分）如图，在四棱锥中，，，底面为矩形。（1）证明：平面平面；（2）若，，求异面直线与所成角的大小。19.（本小题12分），，分别为钝角内角，，的对边。已知。（1）求；（2）若，，求的取值范围。20.（本小题12分）已知函数。（1）若，证明：，，这三个数中至少有一个数不大于1；（2）若，且，证明：。21.（本小题12分）已知圆关于直线对称，且与直线相切于点。（1）求圆的方程；（2）过点的直线与圆相交于，两点。若，求直线的斜率。22.（本小题12分）已知函数，。（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，证明：。四平市第一高级中学2021-2022学年度上学期第三次月考高三数学（理）试卷参考答案一、选择题题号123456789101112答案CBDACCADDDCC二、填空题13. 14. 15.4560 16.2三、解答题17.【解】（1）因为，所以。所以的通项公式为，其前项和为。（2）因为所以。18.【解】（1）因为，，且，所以平面。因为平面，所以。又底面为矩形，所以。因为，所以平面。又平面，所以平面平面。（2）因为，所以异面直线与所成的角即（或其补角）。由（1）知，平面，因为，所以平面。因为平面，所以，从而。因为平面，所以，所以。故，从而异面直线与所成的角为60°。19.【解】（1）因为，所以，即，又，所以，且。故。（2）因为，所以为锐角。又，所以。因为为钝角三角形，所以为钝角。因为所以，解得。20.【解】（1）因为，所以。假设，，这三个数中没有一个数不大于1，即每个数都大于1，即，，，则，，，所以，这与矛盾，假设不成立，所以，，这三个数中至少有一个数不大于1。（2）因为，且，所以，且，。要证明，只需证，即证。，当且仅当，即时，等号成立。因为，且，所以，即。21.【解】（1）因为圆关于直线对称，所以，即又圆与直线相切于点，所以，即则，故圆的圆心为，半径。则，则，故圆的方程为。（2）①依题意可设直线，联立方程组，整理得，则，。由，解得。②假设存在定点，使得与互补。设，因为与互补，且它们均不为直角，所以，即。所以。故当时，，即存在点，且的坐标为。22.【解】（1）因为，所以，则，。又，所以曲线在点处的切线方程为，即。（2）证明：，设函数，所以，所以在上单调递增。因为，所以，，所以在上存在唯一零点，且，即。当时，，；当时，，。因此。设函数，，则，所以在上单调递减，从而。即，故。