2023年河北省中考数学一轮复习—全等三角形 练习题附答案

这是一份2023年河北省中考数学一轮复习—全等三角形 练习题附答案，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年河北省中考数学一轮复习—全等三角形练习题附答案
一、单选题
1．（2021·河北唐山·二模）如图，△ABC中，AB>AC，∠CAD为△ABC的外角，观察图中尺规作图的痕迹，则下列结论错误的是（    ）

A．∠DAE=∠B B．∠EAC=∠C C．AE∥BC D．∠DAE=∠EAC
2．（2022·河北唐山·二模）三个全等三角形按如图的形式摆放，则的度数是（       ）

A． B． C． D．
3．（2022·河北石家庄·二模）观察下列尺规作图的痕迹：

其中，能够说明的是（    ）
A．①② B．②③ C．①③ D．③④
4．（2022·河北保定·二模）如图，是作△ABC的作图痕迹，则此作图的已知条件是（    ）

A．两角及夹边 B．两边及夹角 C．两角及一角的对边 D．两边及一边的对角
5．（2022·河北沧州·一模）为了疫情防控工作的需要，某学校在门口的大门上方安装了人体体外测温摄像头，当学生站在点B时测得摄像头M的仰角为30°，当学生走到点A时测得摄像头M的仰角为60°，则当学生从B走向A时，测得的摄像头M的仰角为（    ）

A．越来越小，可能为20° B．越来越大，可能为40°
C．越来越大，可能为70° D．走到AB中点时，仰角一定为45°
6．（2022·河北·唐山市路北区教育局中教研二模）下列各图中，OP 是∠MON 的平分线，点E，F，G 分别在射线OM，ON，OP 上，则可以解释定理“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”的图形是(      )
A． B． C． D．
7．（2022·河北邯郸·三模）在正方形网格中，的位置如图所示，则下列各点中到两边距离相等的点是（    ）

A．点Q B．点N C．点R D．点M
8．（2021·河北石家庄·二模）如图，中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心、以大于为长的半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点，若，为上一动点，则的最小值为（  ）

A．无法确定 B． C．1 D．2
9．（2021·河北廊坊·一模）如图，在和中，，，，．连接、交于点，连接．下列结论：

①；②；③平分；④平分
其中正确的结论个数有（    ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
10．（2021·河北唐山·二模）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，以点B为圆心，适当长为半径的画弧，分别交BA，BC于点M、N；再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D，则下列说法中不正确的是（）

A．BP是∠ABC的平分线 B．AD=BD C． D．CD=BD
11．（2021·河北保定·一模）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是（ ）

A．7 B．30 C．14 D．60
12．（2021·河北唐山·一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，利用尺规在BC、BA上分别截取BD、BE，使BD=BE；分别以D、E为圆心，以大于的长为半径作圆弧，两弧交于点O；作射线BO交AC于点F．若CF=2，点P是AB上的动点，则FP的最小值为（　　）

A．1 B．2 C． D．无法确定
13．（2021·河北邢台·一模）已知：在中，
求证：
证明：如图，作______
在和中，



其中，横线应补充的条件是（    ）

A．边上高 B．边上中线
C．的平分线 D．边的垂直平分线
14．（2021·河北唐山·二模）下面是黑板上出示的尺规作图题，需要回答横线上符号代表的内容．
如图，已知∠AOB，求作：∠DEF，使∠DEF＝∠AOB．
作法：（1）以△为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点P，Q；
（2）作射线EG，并以点E为圆心，○长为半径画弧交EG于点D；
（3）以点D为圆心，* 长为半径画弧交前弧于点F；
（4）作⊕，则∠DEF即为所求作的角．

A．△表示点E B．○表示PQ
C．*表示ED D．⊕表示射线EF
15．（2022·河北邯郸·一模）投影屏上是对“定理：角平分线上的点到角两边的距离相等”的证明．
已知：如图，是的平分线，点P是上任意一点，，

，垂足分别为E、F．
求证：．
证明：∵是的平分线，
∴，
∵，，∴，
∴，∴．
小明为了保证以上证明过程更加严谨，想在投影屏上“∴”和“∴”之间作补充，下列正确的是（    ）
A．投影屏上推理严谨，不必补充 B．应补充：“又∵”
C．应补充：“又” D．应补充：“又”

二、填空题
16．（2021·河北唐山·一模）在x轴，y轴上分别截取OA，OB，使，再分别以点A，B为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点P．若点P的坐标为，则a的值为___________．
17．（2021·河北石家庄·三模）如图，线段AC、BD交于点O，请你添加一个条件：________，使△AOB∽△COD．

18．（2022·河北邢台·二模）如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，点M，N分别在射线OA，OB上（都不与点O重合），且∠MPN与∠AOB互补．若∠MPN绕着点P转动，那么以下四个结论：①PM＝PN恒成立；②MN的长不变；③OM+ON的值不变；④四边形PMON的面积不变．其中正确的为_____．（填番号）

19．（2022·河北邯郸·三模）嘉淇为了测量建筑物墙壁AB的高度，采用了如图所示的方法：
①把一根足够长的竹竿AC的顶端对齐建筑物顶端A，末端落在地面C处；
②把竹竿顶端沿AB下滑至点D，使DB＝_____，此时竹竿末端落在地面E处；
③测得EB的长度，就是AB的高度．
以上测量方法直接利用了全等三角形的判定方法 _____（用字母表示）．


三、解答题
20．（2022·河北·平泉市教育局教研室二模）如图，，点E在BC上，且，．

(1)求证：；
(2)判断AC和BD的位置关系，并说明理由．
21．（2022·河北唐山·一模）如图，C是AB上一点，点D、E分别位于AB的异侧，AD∥BE，且AD=BC，AC=BE．
（1）求证：CD=CE；
（2）当时，求BF的长；
（3）若∠A=α，∠ACD=25°，且△CDE的外心在该三角形的外部，请直接写出α的取值范围．

22．（2021·河北承德·一模）如图，点，，，四点在同一条直线上，点在线段上，且，，连接，．

（1）求证；
（2）写出，和三者间的数量关系，并说明理由．
23．（2021·河北唐山·二模）下面是嘉琪同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．

已知：如图，直线l和直线l外一点P．
求作：直线PQ，使直线PQ直线l．
作法：如图，
①在直线l上取一点A，连接PA；
②作PA的垂直平分线MN，分别交直线l，线段PA于点B，O；
③以O为圆心，OB长为半径作弧，交直线MN于另一点Q；
④作直线PQ，所以直线PQ为所求作的直线．
根据上述作图过程，回答问题：
（1）用直尺和圆规，补全图中的图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
证明：∵直线MN是PA的垂直平分线，
∴ ＝ ，∠POQ＝∠AOB＝90°．
∴△POQ≌△AOB．
∴ ＝ ，
∴PQl（ ）（填推理的依据）．

参考答案：
1．D
【解析】解：根据图中尺规作图的痕迹，可得∠DAE=∠B，故A选项正确，
∴AE∥BC，故C选项正确，
∴∠EAC=∠C，故B选项正确，
∵AB＞AC，∴∠C＞∠B，∴∠CAE＞∠DAE，故D选项错误，
故选D．
本题考查作图—复杂作图；平行线的判定与性质；三角形的外角性质．
2．D
【解析】根据全等三角形的性质和三角形的内角和定理和三角形的外角可得，即．
解：如图所示：

∵图中是三个全等三角形，
∴,
又∵三角形ABC的外角和，
又，即，
∴，
故选：D．
本题主要考查了全等三角形性质以及三角形的内角和定理， 解题关键点：熟记全等三角形的性质．
3．C
【解析】根据中垂线、角平分线、画等长线段以及作角平分线等知识点解答即可．
解：如图①为作BC的中垂线，即BD=DC, 由在△ABC中,AD+DC＞AC,即AD+DB＞AC，可判；
如图②为作∠ABC的角平分线，无法判定;
如图③为以AC为半径画弧交AB于D，即;
如图③为作∠ACB的平分线，无法判定;
综上，①③正确．
故选C．

本题考查了基本作图和三角形的三边关系，掌握基本作图方法是解答本题的关键．
4．B
【解析】观察图像可知已知线段AB，AC，∠A，由此即可判断．
解：根据作图痕迹可以知道，∠A为已知角，AB和AC是已知的边，
符合“两边及夹角”，
故选：B．
本题考查作图-复杂作图，解题的关键是理解题意，属于中考常考题型．
5．B
【解析】根据三角形的外角的性质以及解平分线的性质可得结论．
解：∵是的外角又
又
∴摄像头M的仰角的范围为：越来越大，大于30°而小于60°
所以，选项A. 越来越小，可能为20°说法错误；
B. 越来越大，可能为40°，说法正确；
C. 越来越大，可能为70°，说法错误；
D. 走到AB中点时，仰角一定为45°，说法错误，
此选项证明如下：
∵∠是△的外角
∴∠
∴∠
∵∠
∴∠
设点O为CD的中点，
∴
过点O作于点M，作交MC的延长线于点H，连接MO，如图，

∴∠
∵∠
∴∠
∴∠
∴∠
在△和△中，

∴△
∴
∵
∴
∴MO不是的平分线，
∴
∴
∴
所以，选项D说法错误，
故选：B
本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．
6．D
由角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知：GE⊥OM，GF⊥ON.
故选：D
7．D
【解析】根据角平分线性质得出当点在∠AOB的角平分线上时符合，根据图形得出即可．
解：∵当点在∠AOB的角平分线上时，到角的两边的距离相等，
∴根据图形可知M点符合．
故选：D．
本题考查了角平分线性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
8．C
【解析】当GP⊥AB时，GP的值最小，根据尺规作图的方法可知，GB是∠ABC的角平分线，再根据角平分线的性质可知，当GP⊥AB时，GP=CG=1．
解：由题意可知，当GP⊥AB时，GP的值最小，
根据尺规作图的方法可知，GB是∠ABC的角平分线，
∵∠C=90°，
∴当GP⊥AB时，GP=CG=1，
故答案为：C．
本题考查了角平分线的尺规作图以及角平分线的性质，难度不大，解题的关键是根据题意得到GB是∠ABC的角平分线，并熟悉角平分线的性质定理．
9．B
【解析】由SAS证明△AOC≌△BOD，得到∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB＋∠OBD＝∠AOB＋∠OAC，得出∠AMB＝∠AOB＝36°，①正确；
根据全等三角形的性质得出∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正确；
作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，如图所示：则∠OGC＝∠OHD＝90°，由AAS证明△OCG≌△ODH（AAS），得出OG＝OH，由角平分线的判定方法得出MO平分，④正确；
由∠AOB＝∠COD，得出当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC，假设∠DOM＝∠AOM，由△AOC≌△BOD得出∠COM＝∠BOM，由MO平分∠BMC得出∠CMO＝∠BMO，推出△COM≌△BOM，得OB＝OC，而OA＝OB，所以OA＝OC，而，故③错误；即可得出结论．
∵∠AOB＝∠COD＝36°，
∴∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC，
即∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正确；
∴∠OAC＝∠OBD，

由三角形的外角性质得：∠AMB＋∠OBD＝∠AOB＋∠OAC，
∴∠AMB＝∠AOB＝36°，②正确；
作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，如图所示：
则∠OGC＝∠OHD＝90°，
在△OCG和△ODH中，
，
∴△OCG≌△ODH（AAS），
∴OG＝OH，
∴平分，④正确；
∵∠AOB＝∠COD，
∴当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC，
假设∠DOM＝∠AOM
∵△AOC≌△BOD，
∴∠COM＝∠BOM，
∵MO平分∠BMC，
∴∠CMO＝∠BMO，
在△COM和△BOM中，
，
∴△COM≌△BOM（ASA），
∴OB＝OC，
∵OA＝OB
∴OA＝OC
与矛盾，
∴③错误；
正确的有①②④；
故选B．

本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．
10．C
【解析】A、由作法得BD是∠ABC的平分线，即可判定；
B、先根据三角形内角和定理求出∠ABC的度数，再由BP是∠ABC的平分线得出∠ABD＝30°＝∠A,即可判定；
C，D、根据含30°的直角三角形，30°所对直角边等于斜边的一半，即可判定.
解：由作法得BD平分∠ABC，所以A选项的结论正确；
∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∴∠ABD＝30°＝∠A，
∴AD＝BD，所以B选项的结论正确；
∵∠CBD＝∠ABC＝30°，
∴BD＝2CD，所以D选项的结论正确；
∴AD＝2CD，
∴S△ABD＝2S△CBD，所以C选项的结论错误．
故选C．

此题考查含30°角的直角三角形的性质，尺规作图（作角平分线），解题关键在于利用三角形内角和进行计算.
11．A
【解析】过点D作DE⊥AB于点E，由题意易得CD=DE=2，进而根据三角形面积公式可求解．
解：过点D作DE⊥AB于点E，如图所示：

∵AD平分∠CAB，∠C=90°，
∴CD=DE，
∵CD=2，
∴DE=2，
∵，
∴；
故选A．
本题主要考查角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键．
12．B
【解析】由作法得BF平分∠ABC，过F点作FH⊥BA于H，根据角平分线的性质可知 FH＝FC＝2，再根据垂线段最短即可求解．
解：由作法得BF平分∠ABC，
过F点作FH⊥BA于H，如图，

根据角平分线的性质可知：FH＝FC＝2，
∵点P是AB上的动点，FH⊥BA，
∴点P点运动到H点时，FP的最小值，
即FP的最小值为2．
故选：B．
本题考查角平分线的作图方法、角平分线的性质、求直线外一点到直线的最短距离等知识，根据作图方法判断出BF平分∠ABC是解题关键．
13．C
【解析】根据全等三角形判定，即可选出．
证明：如图，作的平分线
在和中，



故选C
本题主要考查了全等三角形的判定，属于基础题型．
14．D
【解析】根据作一个角等于已知角的方法进行判断，即可得出结论．
解：由图可得作法：
（1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点P，Q；
（2）作射线EG，并以点E为圆心，OQ为半径画弧交EG于点D；
（3）以D为圆心，PQ长为半径画弧交前弧于点F；
（4）作射线EF，∠DEF即为所求作的角．
故选：D．
本题主要考查了基本作图，解决问题的关键是掌握作一个角等于已知角的方法．
15．D
【解析】根据全等三角形的判定：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）；即可解答；
解：根据全等三角形的判定条件，应补充：“又∵”，利用（AAS）证明，从而有．
故选：D．
本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质；掌握（AAS）的判定条件是解题关键．
16．3
【解析】利用角平分线的性质即可求解．
解：如图：

由作法可知点P在的平分线上，故横坐标与纵坐标相等，
∵点P的坐标为，
∴，
∴．
故答案为：3．
本题考查了尺规作图：作一个角的平分线，角平分线的性质，明确题中的作图方法及角平分线的性质是解题的关键．
17．OB=OD．(答案不唯一)
【解析】AO=OC，有一对对顶角∠AOB与∠COD，添加OB=OD，即得结论．
解： ∵OA=OC，∠AOB=∠COD（对顶角相等），OB=OD，
∴△ABO≌△CDO（SAS）．
故答案为：OB=OD．(答案不唯一)
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
18．①③④
【解析】作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．只要证明Rt△POE≌Rt△POF，△PEM≌△PFN，即可一一判断．
如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．

∵∠PEO＝∠PFO＝90°，
∴∠EPF+∠AOB＝180°，
∵∠MPN+∠AOB＝180°，
∴∠EPF＝∠MPN，
∴∠EPM＝∠FPN，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∴PE＝PF，
在Rt△POE和Rt△POF中，
,
∴Rt△POE≌Rt△POF（HL），
∴OE＝OF，
在△PEM和△PFN中，
,
∴△PEM≌△PFN（ASA），
∴EM＝NF，PM＝PN，故①正确，
∴S△PEM＝S△PNF，
∴S四边形PMON＝S四边形PEOF＝定值，故④正确，
∵OM+ON＝OE+ME+OF﹣NF＝2OE＝定值，故③正确，
∵M，N的位置变化，
∴MN的长度是变化的，故②错误，
故答案为①③④．
本题考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
19．     ##    
【解析】根据题意，将的长度转化为的长度，证明即可求解．
解：由③可得将的长度转化为的长度，证明，故把竹竿顶端沿AB下滑至点D，使DB＝，
证明，
（HL）
故答案为：，．
本题考查了HL证明三角形全等，全等三角形的性质，掌握的性质与判定是解题的关键．
20．(1)见解析
(2)，理由见解析

【解析】（1）运用SSS证明即可；
（2）由（1）得，根据内错角相等，两直线平行可得结论．
（1）在和中，
，
∴(SSS)；
（2）AC和BD的位置关系是，理由如下：
∵
∴，
∴．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解答本题的关键．
21．（1）见解析；（2）；（3）
【解析】（1）根据全等三角形的判定，证明，即可得到结论；
（2）由（1）的结论，结合三角形的外角性质，得到，然后得到，即可得到答案；
（3）根据题意，先用表示出∠DCE，然后判断△DCE为钝角三角形，结合等腰三角形和钝角三角形的性质，即可求出的取值范围.
解：（1）∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴；
（2）由（1）知，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）∵，，
∴，
∵的外心在该三角形的外部，
∴为钝角三角形，
由（2）知为等腰三角形，
∴为钝角，
∴，
∴．
本题主要考查全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，以及钝角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，从而得到角的关系和边的关系.
22．（1）证明见解析；（2）∠2=∠1+∠C，理由见解析．
【解析】（1）根据线段的和差关系可得OC=OE，利用SAS可证明△OCD≌△OEA，根据全等三角形的性质即可得结论；
（2）根据全等三角形的性质可得∠C=∠E，根据三角形外角性质可得∠2=∠1+∠E，即可得答案．
（1）∵，，
∴OC=OE，
在△OCD和△OEA中，，
∴△OCD≌△OEA，
∴．
（2）∠2=∠1+∠C，理由如下：
∵△OCD≌△OEA，
∴∠C=∠E，
∵∠2是△EAO的外角，
∴∠2=∠1+∠E，
∴∠2=∠1+∠C．
本题考查全等三角形的判定与性质及三角形外角性质，常用的全等三角形的判定方法有SSS、SAS、AAS、ASA和HL，注意：ASS、AAA不能判定两个三角形确定，当用SAS时，角必须是两边的夹角，熟练掌握并灵活运用适当的方法是解题关键．
23．（1）见解析；（2）PO，AO，∠QPO，∠BAO，内错角相等，两直线平行
【解析】（1）根据作图的步骤，直接作图，即可；
（2）先证明△POQ≌△AOB，从而得∠QPO＝∠BAO ，进入即可得到PQ∥l．
（1）补全图形如下：

（2）∵直线MN是PA的垂直平分线，
∴PO＝AO，∠POQ＝∠AOB＝90°，
∵OQ＝OB，
∴△POQ≌△AOB，
∴∠QPO＝∠BAO ，
∴PQ∥l（ 内错角相等，两直线平行 ）．
本题主要考查尺规作图，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，根据作图步骤，作出图形，是解题的关键．