2022-2023学年河南省名校联盟高二上学期开学考试数学试题含解析

2022-2023学年河南省名校联盟高二上学期开学考试数学试题

一、单选题

1．为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中，高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（       ）

A．简单随机抽样 B．按性别分层随机抽样

C．按学段分层随机抽样 D．其他抽样方法

【答案】C

【分析】根据三个学段学生的视力情况有较大差异得到使用分层抽样，得到答案.

【详解】因为男女生视力情况差异不大，而学段的视力情况有较大差异，所以应按学段分层抽样

故选：C

2．设集合，若，则（       ）

A． B． C．2 D．4

【答案】C

【分析】解一元二次及一元一次不等式求集合A、B，根据交集的结果有，即可得结果.

【详解】，

，

，则，解得.

故选：C

3．已知，其中为虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（       ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【分析】由复数除法求得后可得其对应点坐标，从而得出正确选项．

【详解】由题意，对应点为，在第一象限．

故选：A

4．在中，已知角，，所对的边分别为，，，，，，则边等于（       ）

A．1 B． C． D．2

【答案】A

【分析】由余弦定理求出答案.

【详解】由余弦定理得：，故.

故选：A

5．已知向量，，且，那么等于（       ）

A．(4，0) B．(0，4) C．(3，－6) D．(－3，6)

【答案】C

【分析】根据共线向量的性质，结合平面向量减法的坐标表示公式进行求解即可.

【详解】解析　∵，∴

则得

∴，

∴＝(1，－2)－(－2，4)＝(3，－6).

故选：C

6．设，则“且”是“”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行推理即可.

【详解】若且，则，充分性成立；取，则成立，但“且”不成立，必要性不成立.因此“且”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

7．设有两条不同的直线和两个不同的平面，则下列命题正确的是（       ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

【答案】D

【分析】根据线面平行的性质与判定逐个选项分析即可.

【详解】若，则可以平行､相交或异面，故A错误；

若与相交，则，故B错误；

若，则或，故C错误；

若，则，故D正确.

故选：D.

8．甲、乙两人有三个不同的学习小组可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组（两人参加各小组的可能性相同），则两人参加同一个学习小组的概率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意，求得所有参加学习小组的情况，找出满足题意的情况，再根据古典概型的概率计算公式即可求得结果.

【详解】根据题意，甲乙两人所有可能的参加情况有如下种：

，

两人参加同一个学习小组的情况有如下种：

，

故两人参加同一个学习小组的概率.

故选：.

9．如图，在长方体中，为的中点，则二面角的大小为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由二面角的定义证明即为二面角的平面角，求出此角即得．

【详解】如图，在长方体中，平面，平面，平面，所以，且，所以即为二面角的平面角，又，易得.

故选：B.

10．将函数的图象上各点横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的解析式为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】先根据周期变换求解出第一步变换后的函数解析式，然后根据平移变换得到的解析式

【详解】解：将图象上各点横坐标变为原来的，得，再向左平移个单位长度后得，

故选：D.

11．已知甲，乙，丙三人去参加某公司面试，他们被该公司录取的概率分别是，且三人的录取结果相互之间没有影响，则他们三人中至少有一人被录取的概率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式可先求三人都没有被录取的概率，再由对立事件的概率求至少一个被录取的概率.

【详解】因为甲，乙，丙三人被该公司录取的概率分别是，且三人录取结果相互之间没有影响，所以他们三人都没有被录取的概率为，故他们三人中至少有一人被录取的概率为.

故选:D

12．已知是定义在上的偶函数，在上是增函数，且，则满足的的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据偶函数的区间单调性判断的区间符号，再把不等式转化为，进而等价转化为不等式组求解集即可.

【详解】因为是定义在上的偶函数，且在上是增函数，，

所以函数在上单调递减，，

当时；当时

不等式，即等价于或，解得或.

所以不等式对应x的范围为.

故选：C

二、填空题

13．已知扇形的圆心角为，面积为，则该扇形所在圆的半径为___________.

【答案】

【分析】通过扇形的面积公式即可得到答案

【详解】解：因为，所以扇形的面积为，

所以，即，

故答案为：2

14．不等式的解集为___________.

【答案】

【分析】解一元二次方程求解集即可.

【详解】由等价于，可得.

故答案为：

15．如果，，，的方差是，则，，，的方差为___________.

【答案】3

【分析】根据线性变化后数据间方差的关系计算方差．

【详解】因为，，，的方差是，则，，，的方差为．

故答案为：3．

16．在三棱锥中，平面平面，则三棱锥的外接球的表面积为___________.

【答案】

【分析】由题意可确定球心的位置在过BC的中点垂直于平面ABC的直线上，继而求得外接球的半径，即可求得答案.，

【详解】如图，取的中点的中点，连接,

由，知是等边三角形，则.

因为平面平面，平面平面平面，

所以平面，

又平面，所以.

过作平面，则.

因为，即BC为球的截面圆的直径，

所以三棱锥的外接球的球心在上，

设球心为，连接，设外接球半径为，

由已知.

在直角梯形中，，

所以三棱锥外接球的表面积，

故答案为：

三、解答题

17．已知幂函数为奇函数.

(1)求函数的解析式；

(2)若，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意得出，求得或，代入解析式，结合为奇函数，即可求解；

（2）由（1）得到在上为增函数，不等式转化为，即可求解.

【详解】(1)解：由题意，幂函数，

可得，即，解得或，

当时，函数为奇函数，

当时，为非奇非偶函数，

因为为奇函数，所以.

(2)解：由（1）知，可得在上为增函数，

因为，所以，解得，

所以的取值范围为.

18．已知为锐角，.

(1)求的值；

(2)求的值.

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）先利用和的范围求，接着利用二倍角公式即可得到答案；

（2）先利用的值算出和的值，再通过第（1）问算出，最后利用即可得到答案

【详解】(1)因为，且所以，

又为锐角，所以，

因此；

(2)因为为锐角，所以，

又因为，

所以，

因此，

因为，

所以，

因此

19．已知向量满足.

(1)求；

(2)若，求实数的值.

【答案】(1)

(2)

【解析】（1）

.

.

(2)∵

∴

化简得：

即：

解得：

【点睛】本题主要考查向量的数量积，属于基础题.在求向量的模长运算时常用结论：.

20．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，平面ABCD⊥平面PAB，E，F分别是线段AD，PB的中点，.证明：

(1)平面PDC；

(2)PB⊥平面DEF.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）根据平行四边形可证明，利用线面平行判定定理求解即可；

（2）根据面面垂直的性质可得AD⊥平面PAB，可得，再由即可得证.

【详解】(1)取PC的中点M，连接DM，MF.

∵M，F分别是PC，PB的中点，

∴，.

∵E为DA的中点，四边形ABCD为正方形，

∴，，

∴，，

∴四边形DEFM为平行四边形.

∴，

∵平面PDC，平面PDC.

∴平面PDC.

(2)∵ 四边形ABCD为正方形，∴.

又平面ABCD⊥平面PAB，平面平面，平面ABCD，

∴ AD⊥平面PAB.

∵平面PAB，∴.

连接AF，∵，F为PB中点，∴.

又，AD，平面DEF，

∴ PB⊥平面DEF.

21．某校为了解高一学生周末的“阅读时间”，从高一年级中随机调查了100名学生进行调查，获得了每人的周末“阅读时间”（单位：小时），按照分成9组，制成样本的频率分布直方图如图所示.

(1)求图中的值；

(2)估计该校高一学生周末“阅读时间”的中位数；

(3)采用分层抽样的方法从这两组中抽取7人，再从7人中随机抽取2人，求抽取的2人恰好在同一组的概率.

【答案】(1)

(2)小时

(3)

【分析】（1）根据频率分布直方图中小长方形的面积之和等于1即可求出结果；

（2）根据中位数的概念设出中位数，然后列出方程即可求出结果；

（3）根据古典概型的计算公式即可求出结果.

【详解】(1)由题意，高一学生周末“阅读时间”在的频率分别为，.

由，得.

(2)设该校高一学生周末“阅读时间”的中位数为小时.

因为前5组频率和为，前4组频率和为，所以

由，得.

故可估计该校高一学生周末“阅读时间”的中位数为小时.

(3)由题意得，周末阅读时间在中的人分别有15人､20人，按分层抽样的方法应分别抽取3人､4人，分别记作及.

从7人中随机抽取2人，这个试验的样本空间，，共包含21个样本点，且这21个样本点出现的可能性相等，

抽取的2人在同一组包含的样本点有，共9个，

故所求概率.

22．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量，，且．

(1)求角A的大小；

(2)若，求周长的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由正弦定理结合向量平行的坐标表示即可得出答案.

（2）由正弦定理可得，根据的范围求出的值域，即可求出周长的取值范围.

【详解】(1)∵，∴，

由正弦定理，得．

又，∴，

由于，∴．

(2)∵，，

由正弦定理，得，．

．

∵，∴，则．

∴．

∴，则．

故周长的取值范围为．