2022-2023学年黑龙江省鹤岗市第一中学高二上学期开学考试数学试题含解析

  2022-2023学年黑龙江省鹤岗市第一中学高二上学期开学考试

数学试题

一、单选题

1．复数的共轭复数是（其中为虚数单位），则的虚部是（       ）

A． B． C． D．

2．从装有2个红球和2个白球的口袋里任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（       ）

A．“至少1个白球”与“都是白球” B．“至少1个白球”与“至少1个红球”

C．“至少1个白球”与“都是红球” D．“恰好1个白球”与“恰好2个白球”

3．在中，，，，则（       ）

A．3 B．4 C．5 D．6

4．设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且，

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

5．已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为，方差为，则　　

A．， B．， C．， D．，

6．已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（       ）

A． B． C．1 D．

7．设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为（       ）

A． B．

C． D．

8．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（       ）

A． B． C． D．

二、多选题

9．已知复数满足为虚数单位，复数的共轭复数为，则（       ）

A． B．

C．复数的实部为 D．复数对应复平面上的点在第二象限

10．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，若甲的中靶概率为 0.8，乙的中靶概率为 0.9，且两个人射击的结果互不影响，则下列结论正确的是（       ）

A．两人都中靶的概率为 0.72

B．至少一人中靶的概率为 0.88

C．至多一人中靶的概率为 0.26

D．恰好有一人脱靶的概率为 0.26

11．某中学为了解高三男生的体能情况，通过随机抽样，获得了200名男生的100米体能测试成绩（单位：秒），将数据按照，，…，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.

由直方图推断，下列选项正确的是（       ）

A．直方图中的值为0.38

B．由直方图估计本校高三男生100米体能测试成绩的众数为13.75秒

C．由直方图估计本校高三男生100米体能测试成绩不大于13秒的人数为54

D．由直方图估计本校高三男生100米体能测试成绩的中位数为13.7秒

12．如图，在正四棱柱中，与交于点，是上的动点，下列说法中一定正确的是（       ）

A．

B．平面

C．点在上运动时，三棱锥的体积为定值

D．点在上运动时，始终与平面平行

三、填空题

13．已知向量､满足，，则___________.

14．一组数6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的分位数为______．

15．某同学进行投篮训练，在甲、乙、丙三个不同的位置投中的概率分别，，，该同学站在这三个不同的位置各投篮一次，至少投中一次的概率为，则的值为________.

16．在三棱锥中，侧棱、、两两垂直，、、的面积分别为、、，则三棱锥的外接球的体积为__________．

四、解答题

17．如图，在长方体中，点为的中点，且，.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的正切值.

18．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，.

(1)求C；

(2)若，求△ABC面积的最大值

19．如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为上一点，∠APC=90°．

（1）证明：平面PAB⊥平面PAC；

（2）设DO=，圆锥的侧面积为，求三棱锥P−ABC的体积.

20．某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：

甲分厂产品等级的频数分布表

乙分厂产品等级的频数分布表

（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；

（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务?

21．如图，已知三棱柱ABC–A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点．过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．

（1）证明：AA1//MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；

（2）设O为△A1B1C1的中心，若AO=AB=6，AO//平面EB1C1F，且∠MPN=，求四棱锥B–EB1C1F的体积．

22．在中，角的对边分别为，已知.

（1）求角的大小；

（2）若，点满足，求的面积；

（3）若，且外接圆半径为2，圆心为，为上的一动点，试求的取值范围.

参考答案：

1．D

【解析】

【分析】

由复数的共轭复数求出复数，再由虚部的定义即可求解.

【详解】

复数的共轭复数是，

所以，所以的虚部是，

故选：D.

2．D

【解析】

【分析】

根据互斥与对立事件的定义逐个选项判断即可

【详解】

对A，“至少1个白球”与“都是白球”均包含“至少1个白球”的情况，故不为互斥或对立事件，故A错误；

对B，“至少1个白球”与“至少1个红球” 均包含“1个白球，1个红球” 的情况，故不为互斥或对立事件，故B错误；

对C，“至少1个白球”与“都是红球”为对立事件，故C错误；

对D，“恰好1个白球”与“恰好2个白球” 互斥而不对立，故D正确；

故选：D

3．C

【解析】

【分析】

由题可得，然后利用余弦定理即得.

【详解】

∵，

∴，

由余弦定理可得，，

∴，即，

解得，或（舍去）.

故选：C.

4．A

【解析】

【详解】

试题分析：由面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一平面的一条垂线，则两面垂直，可得，

可得

考点：空间线面平行垂直的判定与性质

5．A

【解析】

由题设条件，利用平均数和方差的计算公式进行求解即可．

【详解】

解：某7个数的平均数为，方差为，

则这8个数的平均数为，

方差为．

故选：．

【点睛】

本题考查了平均数和方差的计算应用问题，属于基础题．

6．C

【解析】

【分析】

根据球的表面积和的面积可求得球的半径和外接圆半径，由球的性质可知所求距离.

【详解】

设球的半径为，则，解得：.

设外接圆半径为，边长为，

是面积为的等边三角形，

，解得：，，

球心到平面的距离.

故选：C.

【点睛】

本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面.

7．A

【解析】

【分析】

列出从5个点选3个点的所有情况，再列出3点共线的情况，用古典概型的概率计算公式运算即可.

【详解】

如图，从5个点中任取3个有

共种不同取法，

3点共线只有与共2种情况，

由古典概型的概率计算公式知，

取到3点共线的概率为.

故选：A

【点晴】

本题主要考查古典概型的概率计算问题，采用列举法，考查学生数学运算能力，是一道容易题.

8．C

【解析】

【分析】

设，利用得到关于的方程，解方程即可得到答案.

【详解】

如图，设，则，

由题意，即，化简得，

解得（负值舍去）.

故选：C.

【点晴】

本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容易题.

9．BD

【解析】

【分析】

因为复数满足，利用复数的除法运算化简为，再逐项验证判断.

【详解】

因为复数满足，

所以

所以，故A错误；

 ，故B正确；

复数的实部为 ，故C错误；

复数对应复平面上的点在第二象限，故D正确.

故选：BD

【点睛】

本题主要考查复数的概念，代数运算以及几何意义，还考查分析运算求解的能力，属于基础题.

10．AD

【解析】

【分析】

按照独立事件的概率计算公式和对立事件的概率计算公式求解即可，具体可见解析.

【详解】

设事件A为：“甲中靶”，设事件B为：“乙中靶”，这两个事件相互独立

A选项：都中靶的概率为，故A项对；

B选项：至少一人中靶，其对立事件为：两人都不中靶

故至少一人中靶的概率为，故B项不对；

C选项：至多一人中靶的对立事件为：两人都中靶

至多一人中靶的概率为，故C错；

D选项：恰好有一人脱靶的概率为，故D对.

故选：AD

11．BC

【解析】

【分析】

A：根据频率直方图中，所有小矩形的面积之和为1，进行求解判断即可；

B：根据众数的定义，结合频率直方图进行判断即可；

C：根据直方图，结合题意进行判断即可；

D：根据中位数的定义，结合结合频率直方图进行判断即可.

【详解】

A：因为频率直方图中，所有小矩形的面积之和为1，

所以，

因此本选项说法不正确；

B：分布在小组的矩形面积最大，因此众数出现在这个小组内，因此估计众数为

，因此本选项说法正确；

C：高三男生100米体能测试成绩不大于13秒的小组有：，，，

频率之和为：，因此估计估计本校高三男生100米体能测试成绩不大于13秒的人数为，所以本选项说法正确；

D：设中位数为，因此有，

所以本选项说法不正确，

故选：BC

12．ACD

【解析】

【分析】

依题意可得，，即可得到平面，即可判断A；

根据正四棱柱的性质可得不一定成立，即可判断B，易知平面，即可判断C，由面面平行的判定定理得到平面平面，由平面，即可得到平面，即可得证；

【详解】

解：对于选项A，由条件得，，，平面，所以平面．又因为平面，所以，故选项A正确；

对于选项B，由于正四棱柱的侧面不一定是正方形，所以不一定成立，所以平面不一定成立，故选项B错误；

对于选项C，易知平面，所以点到平面的距离为定值，所以三棱锥的体积为定值，故选项C正确；

对于选项D，由于，，所以平面，且，平面，且，所以平面平面，点在上运动时，平面，所以平面，故选项D正确．

故选：ACD．

13．

【解析】

【分析】

由向量的数量积公式将两边平方可得，再将平方运算即可得解.

【详解】

由可得，故.

又，故，

故答案为：.

14．

【解析】

【分析】

将数据按从小到大的顺序排列，第和第个数的平均数即可.

【详解】

一组数6，5，4，3，3，3，2，2，2，1按从小到大的顺序排列，

可得，共个，

由，

所以该组数据的分位数为，

故答案为：.

15．

【解析】

【分析】

由概率的乘法公式求三次均不中的概率后列方程求解

【详解】

该同学在三个不同的位置各投篮一次，至少投中一次的概率为：

，解得．

故答案为：

16．.

【解析】

【详解】

在三棱锥中，侧棱、、两两垂直，

补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的体对角线即为球的直径，

设长方体的三度分别为、、，

则有，，，

解得：，，，

所以球的直径，

球的半径，

∴三棱锥的外接球的体积为

．

点睛:空间几何体与球接、切问题的求解方法

(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．

(2)若球面上四点构成的三条线段两两互相垂直，且，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解．

17．（1）证明见解析；（2）.

【解析】

【分析】

（1）连接，设，连接得，由线面平行的判定定理可得答案；

（2）与全等，可得，底面为正方形，得，

可得为二面角的平面角，在中计算可得答案.

【详解】

（1）证明：连接，设，连接，

在中，为的中点，为的中点，

所以，

又平面，平面，

所以平面.

（2）因为，

所以与全等，

所以，

因为为的中点，所以，

又，所以底面为正方形，

所以，

所以为二面角的平面角，

在中，，

，

所以，

所以二面角的正切值为.

18．(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）由正弦定理及三角公式求出，即可求出.

（2）由余弦定理和基本不等式求出△ABC面积的最大值.

(1)

由已知及正弦定理得，

∴.

∴.

∵，∴.

∵,,∴.

(2)

由（1）知，又，

由余弦定理得，

∴.

∵，

∴，

∴，当且仅当时取等号.

∴.

∴△ABC面积的最大值为.

19．（1）证明见解析；（2）.

【解析】

【分析】

（1）根据已知可得，进而有≌，可得

，即，从而证得平面，即可证得结论；

（2）将已知条件转化为母线和底面半径的关系，进而求出底面半径，由正弦定理，求出正三角形边长，在等腰直角三角形中求出，在中，求出，即可求出结论.

【详解】

（1）连接，为圆锥顶点，为底面圆心，平面，

在上，，

是圆内接正三角形，，≌，

，即，

平面平面，平面平面；

（2）设圆锥的母线为，底面半径为，圆锥的侧面积为，

，解得，，

在等腰直角三角形中，，

在中，，

三棱锥的体积为.

【点睛】

本题考查空间线、面位置关系，证明平面与平面垂直，求锥体的体积，注意空间垂直间的相互转化，考查逻辑推理、直观想象、数学计算能力，属于中档题.

20．（1）甲分厂加工出来的级品的概率为，乙分厂加工出来的级品的概率为；（2）选甲分厂，理由见解析.

【解析】

【分析】

（1）根据两个频数分布表即可求出；

（2）根据题意分别求出甲乙两厂加工件产品的总利润，即可求出平均利润，由此作出选择．

【详解】

（1）由表可知，甲厂加工出来的一件产品为级品的概率为，乙厂加工出来的一件产品为级品的概率为；

（2）甲分厂加工件产品的总利润为元，

所以甲分厂加工件产品的平均利润为元每件；

乙分厂加工件产品的总利润为

元，

所以乙分厂加工件产品的平均利润为元每件．

故厂家选择甲分厂承接加工任务．

【点睛】

本题主要考查古典概型的概率公式的应用，以及平均数的求法，并根据平均值作出决策，属于基础题．

21．（1）证明见解析；（2）.

【解析】

【分析】

（1）由分别为，的中点，，根据条件可得，可证，要证平面平面，只需证明平面即可；

（2）根据已知条件求得和到的距离，根据椎体体积公式，即可求得.

【详解】

（1）分别为，的中点，

又

在等边中，为中点，则

又侧面为矩形，

由，平面

平面

又，且平面，平面，

平面

又平面，且平面平面

又平面

平面

平面

平面平面

（2）过作垂线，交点为，

画出图形，如图

平面

平面，平面平面

又

为的中心.

故：，则，

平面平面，平面平面，

平面

平面

又在等边中

即

由（1）知，四边形为梯形

四边形的面积为：

，

为到的距离，

.

【点睛】

本题主要考查了证明线线平行和面面垂直，及其求四棱锥的体积，解题关键是掌握面面垂直转为求证线面垂直的证法和棱锥的体积公式，考查了分析能力和空间想象能力，属于中档题.

22．（1），（2），（3）

【解析】

【分析】

（1）根据正弦定理和余弦定理，进行边角互化得，再利用余弦定理可求得，从而可求出角，

（2）由余弦定理求出，再根据向量的线性运算可得,根据三角形的面积公式可求得答案，

（3）由已知和余弦定理可得三角形为等边三角形，再运用向量的数量积运算可求得的范围

【详解】

（1）因为，

所以由正弦定理和余弦定理得，

化简得，

所以由余弦定理得，，

因为，所以，

（2）由余弦定理得，，

所以，即，

所以，因为，所以，

因为，

所以，

所以的面积为，

（3）由，利用余弦定理得，得，

所以三角形为等边三角形，

所以，，,

所以,

所以,

所以

因为，所以，

所以的取值范围为