专题05 等腰三角形中的动态问题-八年级数学秘籍之三角形全等、轴对称及几何动态问题思维训练

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专题05 等腰三角形中的动态问题



【典例解析】
【例1-1】（2020·安徽省泗县月考）如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝1．若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有(　　)

A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
【答案】D
【解析】解：如图，在OA、OB上分别截取OE=OP，OF=OP，作∠MPN=60°．

∵OP平分∠AOB，
∴∠EOP=∠POF=60°，
∵OP=OE=OF，
∴△OPE，△OPF是等边三角形，
∴EP=OP，∠EPO=∠OEP=∠PON=∠MPN=60°，
∴∠EPM=∠OPN，
∴△PEM≌△PON
∴PM=PN，
∵∠MPN=60°，
∴△PNM是等边三角形，
只要∠MPN=60°，△PMN就是等边三角形，
故这样的三角形有无数个．
故答案为：D．
【例1-2】（2020·贵州六盘水期末）如图，在中，，，点D在边BC上运动（点D不与点重合），连接AD，作，DE交边AC于点E．
（1）当时， ，
（2）当DC等于多少时，，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出的度数；若不可以，请说明理由．

【答案】（1）30，100；（2）（3）见解析.
【解析】解：（1）在 △BAD中，
∵∠B=50°，∠BDA=100° ，
∴∠EDC=30°，∠DEC=100°.
（2）当CD=3时，△ABD≌△DCE，理由如下：
∵AB=CD=3，∠B=50°，∠ADE=50°
∴∠B=∠ADE
∵∠ADB+∠ADE+∠EDC=180°，∠DEC+∠C+∠EDC=180°
∴∠ADB=∠DEC
又∠B=∠C
∴△ABD≌△DCE
（3）可以，理由如下：
∵∠B=∠C=50°，
∴∠BAC=80°
①当AD=DE时，∠DAE=∠DEA=65°，
∴∠BAD=∠BAC－∠DAE=15°
∴∠BDA=115°
②当AD=AE时，∠AED=∠ADE=50°
∴∠DAE=180°－∠AED－∠ADE=80°
又∵∠BAC=80°
∴∠DAE=∠BAE
∴点D与点B重合，不合题意．
③当AE=DE时，∠DAE=∠ADE=50°
∴∠BAD=∠BAC－∠DAE=30°
∴∠BDA=100°.
综上所述，当∠BDA的度数为115°或100°时，△ADE是等腰三角形．
【变式1-1】（2019·霍林郭勒市期中）点A的坐标是（2，2），若点P在x轴或y轴上，且△APO是等腰三角形，这样的点P共有（ ）个
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C.
【解析】解：分两种情况进行讨论，

当OA是底边时，作OA的垂直平分线，和坐标轴的交点有2个；
当OA是腰时，以点O为圆心，OA为半径画弧，和坐标轴有4个交点；以点A为圆心，OA为半径画弧，和坐标轴出现2个交点；
∴满足条件的点P共有8个，
故答案为：C．
【变式1-2】（2020·山西初二月考）综合与探究：
在中，.点从点出发以的速度沿线段向点运动．

（1）如图1，设点的运动时间为，当______时，是直角三角形．
（2）如图2，若另一动点从点出发，沿线段向点运动，如果动点都以的速度同时出发，设运动时间为，求当为何值时，是直角三角形．
（3）如图3，若另一动点从点出发，沿射线方向运动，连接交点，且动点都以的速度同时出发．
①设运动时间为，那么当为何值时，是等腰三角形？
②如图4，连接.请你猜想：在点的运动过程中，和的面积之间的数量关系为______．
【答案】（1）；（2）（3）见解析．
【解析】解：（1）当△PBC是直角三角形时，则∠BPC=90°，
∵∠B=60°，
∴BP=AP=cm，
∴t=，
故答案为：；
（2）①当∠BPQ=90°时，BP=BQ，
即3-t=t，解得：t=2
②当∠BQP=90°时，BP=2BQ，
即3-t=2t，解得：t=1
故当t=1或2s时，△PBQ是直角三角形；
（3）①∵∠DCQ=120°
∴当△DCQ是等腰三角形，CD=CQ，
∴∠PDA=∠CDQ=∠CQD=30°
∵∠A=60°
∴∠APD=90°
∴AD=2AP
3-t=2t，解得：t=1
②S△PCD=S△QCD，

过点P作PE⊥AC于E，过点Q作QG⊥AC于点G，
∴∠CGQ=∠AEP=90°
∵AB=AC=BC
∴∠A=∠ACB=∠QCG=60°
∴△EAP≌△GCQ
∴PE=QG
∴△PCD与△QCD同底等高
故S△PCD=S△QCD．
【例2】（2020·江苏江阴月考）如图，在△ABC中，AB=AC=10cm；BC=6cm，点D为AB的中点．
（1）如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B出发都逆时针沿△ABC三边运动，直接写出经过多少秒后，点P与点Q第一次在△ABC的那一条边上相遇．

【答案】（1）①△BPD与△CQP全等，②点Q的运动速度是cm/s．（2）经过30秒后点P与点Q第一次在△ABC的边BC上相遇．
【解析】解：（1）①△BPD与△CQP全等，
∵点P的运动速度是1cm/s，点Q的运动速度是1cm/s，
∴运动1秒时，BP=CQ=1cm，
∵BC=6cm，
∴CP=5cm，
∵AB=10，D为AB的中点，
∴BD=5，
∴BD=CP，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴△BPD≌△CQP．
②点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，则BP≠CQ，
若△BPD与△CQP全等，只能BP=CP=3cm，BD=CQ=5cm，
此时，点P运动3cm，需3秒，而点Q运动5cm，
∴点Q的运动速度是cm/s．
（2）设经过t秒时，P、Q第一次相遇，
∵P的速度是1厘米/秒，Q的速度是厘米/秒，
∴10+10+t=t，
解得：t=30，
此时点Q的路程=30×=50（厘米），
∵50＜2×26，
∴此时点Q在BC上，
∴经过30秒后点P与点Q第一次在△ABC的边BC上相遇．
【例3-1】（2019·武汉市期中）如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3、…在射线ON上，点B1、B2、B3、…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、…均为等边三角形，若OA1=1，则△A9B9A10的边长为（　　）

A．32 B．64 C．128 D．256
【答案】D
【解析】解：如图，

∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，
∴∠2=120°，
∵∠MON=30°，
∴∠1=180°-120°-30°=30°，
又∵∠3=60°，
∴∠5=180°-60°-30°=90°，
∵∠MON=∠1=30°，
∴OA1=A1B1=1，
∴A2B1=1，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，
∵∠4=∠12=60°，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，
∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3，
∴A3B3=4B1A2=4，
A4B4=8B1A2=8，
A5B5=16B1A2=16，
…
∴△AnBnAn+1的边长为 2n-1，
∴△A9B9A10的边长为29-1=28=256．
故答案为D．
【例3-2】（2020·浙江温州月考）如图，图①是一块边长为1，周长记为P1的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的）后，得图③、④，…，记第n（n≥3）块纸板的周长为Pn，则Pn－Pn－1等于…（ ）

A． B．3－ C．1－ D．＋
【答案】A
【解析】解：P1＝1＋1＋1＝3，
P2＝1＋1＋＝，
P3＝1＋1＋×3＝，
P4＝1＋1＋×2＋×3＝，
…
∴P3－P2＝－＝，
P4－P3＝－＝，
∴Pn－Pn－1＝，
故答案为：A．
【变式3-1】（2020·山东牡丹期末）如图，已知，点，，，在射线上，点，，，在射线上，，，，均为等边三角形．若，则的边长为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解:∵△A1B1B2 是等边三角形，
∴A1B1=A1B2，∠A1B1B2=∠A1B2O=60°
∵∠O=30°
∴∠A2A1B2=90°
∴∠O=∠OA1B1=30°
∴OB1=A1B1=A1B2=1
同理可得：A3B3=4，A4B4=8，AnBn=2n-1
∴△A8B8B9的边长为2=128.
故答案为：B.
【变式3-2】（2019·贵州印江月考）如图，已知 ……，若∠A＝70°，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：∵，
∴∠AA1B=∠A=70°
∵
∴∠A1A2B1=∠A1 B1A2
∵∠AA1B=∠A1A2B1＋∠A1 B1A2
∴∠A1A2B1=∠AA1B==35°
同理可得：∠A2A3B2=∠A1A2B1==
∠A3A4B3=∠A2A3B2==
∴=
故答案为C．
【习题精练】
1.（2020·山东青州期中）如图，平面直角坐标系中，点A在第一象限，∠AOx=40°，点P在x轴上，若△POA是等腰三角形，则满足条件的点P共有______个．

【答案】4.
【解析】解：有OA=OP、AO=AP、PO=PA三种情况：
①以O为圆心，OA长为半径画弧，于x轴有2个交点P2、P3，
②以A为圆心，OA长为半径画弧，与x轴有2个交点O、P1，
点O与OA不能构成三角形，P1符合条件，
③作线段OA的垂直平分线，交x轴有1个交点P4，
∴P4A=P4O，
∴P4符合条件，

综上所述：符合条件的点共有4个，
故答案为：4
2. （2019·浙江宁波模考）如图，，点在上．以点为圆心，为半径画弧，交于点（点与点不重合），连接；再以点为圆心，为半径画弧，交于点（点与点不重合），连接；再以点为圆心，为半径画弧，交于点（点与点不重合），连接；……按照上面的要求一直画下去，得到点，若之后就不能再画出符合要求点了，则________．

【答案】8
【解析】根据题意可知，画出的三角形是等腰三角形，第一个底角；
由三角形外角和定理可得，第二个等腰三角形的底角20°，第三个等腰三角形的底角30°，同理可得第n个等腰三角形的底角度数为10n，
因为等腰三角形的底角小于90°，10n