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专题06 巧作辅助线,构造全等形-八年级数学秘籍之三角形全等、轴对称及几何动态问题思维训练
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专题06 巧作辅助线,构造全等形【典例解析】【例1】(2020·江苏江都月考)问题背景:如图1:在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°,E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=60°.探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系.小王同学探究此问题的方法是,延长FD到点G.使DG=BE.连结AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,可得出结论,他的结论应是 ;探索延伸:如图2,若在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=∠BAD,上述结论是否仍然成立,并说明理由;实际应用:如图3,在某次军事演习中,舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°的A处,舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处,并且两舰艇到指挥中心的距离相等,接到行动指令后,舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进,舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进,1.5小时后,指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E,F处,且两舰艇之间的夹角为70°,试求此时两舰艇之间的距离. 【变式1-1】(2020·重庆巴南月考)(1)问题背景:如图 1,在四边形 ABCD 中,AB = AD,∠BAD= 120°,∠B =∠ADC= 90°,E,F 分别是 BC, CD 上的点,且∠EAF = 60°,探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系.小明同学探究此问题的方法是延长FD到点G,使DG=BE, 连结AG,先证明ΔΔADG,再证明ΔΔAGF,可得出结论,他的结论应是 .(2)探索延伸:如图 2,在四边形ABCD 中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E,F分别是BC,CD上的点,∠EAF=∠BAD,上述结论是否依然成立?并说明理由. 【变式1-2】(2019·山东嘉祥·初二期中)现阅读下面的材料,然后解答问题:截长补短法,是初中数学几何题中一种常见辅助线的做法.在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用.截长法:在较长的线段上截一条线段等于较短线段,而后再证明剩余的线段与另一段线段相等.补短法:就是延长较短线段与较长线段相等,而后证延长的部分等于另一条线段.请用截长法解决问题(1)(1)已知:如图1等腰直角三角形中,,是角平分线,交边于点.求证:.图1请用补短法解决问题(2)(2)如图2,已知,如图2,在中,,是的角平分线.求证:.图2 【例2-1】(2020·唐山市丰南区)如图,在△ABC中,AC=5,中线AD=7,则AB边的取值范围是( )A. B.C. D. 【例2-2】(2020·余干县月考)(1)阅读理解:课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:在△ABC中,AB=9,AC=5,求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法(如图1):①延长AD到Q,使得DQ=AD;②再连接BQ,把AB、AC、2AD集中在△ABQ中;③利用三角形的三边关系可得4<AQ<14,则AD的取值范围是_____________.感悟:解题时,条件中若出现“中点”“中线”等条件,可以考虑倍长中线,构造全等三角形,把分散的己知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中.(2)请你写出图1中AC与BQ的位置关系并证明.(3)思考:已知,如图2,AD是△ABC的中线,AB=AE,AC=AF,∠BAE=∠FAC=90°.试探究线段AD与EF的数量和位置关系,并加以证明.图1 图2 【变式2-1】(2019·山西模考)阅读材料,解答下列问题.如图1,已知△ABC中,AD 为中线.延长AD至点E,使 DE=AD.在△ADC和△EDB中,AD=DE,∠ADC=∠EDB,BD=CD,所以,△ACD≌△EBD,进一步可得到AC=BE,AC//BE等结论.图1 图2在已知三角形的中线时,我们经常用“倍长中线”的辅助线来构造全等三角形,并进一步解决一些相关的计算或证明题.解决问题:如图2,在△ABC中,AD是三角形的中线,点F为AD上一点,且BF=AC,连结并延长BF交AC于点E,求证:AE=EF. 【变式2-2】(2020·北京朝阳期末)阅读下面材料:数学课上,老师给出了如下问题:如图,AD为△ABC中线,点E在AC上,BE交AD于点F,AE=EF.求证:AC=BF.经过讨论,同学们得到以下两种思路:思路一如图①,添加辅助线后依据SAS可证得△ADC≌△GDB,再利用AE=EF可以进一步证得∠G=∠FAE=∠AFE=∠BFG,从而证明结论.图①思路二如图②,添加辅助线后并利用AE=EF可证得∠G=∠BFG=∠AFE=∠FAE,再依据AAS可以进一步证得△ADC≌△GDB,从而证明结论.图②完成下面问题:(1)①思路一的辅助线的作法是: ;②思路二的辅助线的作法是: .(2)请你给出一种不同于以上两种思路的证明方法(要求:只写出辅助线的作法,并画出相应的图形,不需要写出证明过程). 【例3-1】(2020·华中科技大学附属中学月考)如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC+∠BDC=180°. (1)求证:AD为∠BDC的平分线;(2)若∠DAE=∠BAC,且点E在BD上,直接写出BE、DE、DC三条线段之间的等量关系_______. 【例3-2】(2020·无锡市胡埭中学月考)如图,BD是△ABC的外角∠ABP的角平分线,DA=DC,DE⊥BP于点E,若AB=5,BC=3,则BE的长为 _____________ 【变式3-1】(2020·江苏江都月考)如图,点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点,且∠MPN与∠AOB互补.若∠MPN在绕点P旋转的过程中,其两边分别与OA,OB相交于M、N两点,则以下结论:(1)PM=PN恒成立,(2)OM+ON的值不变,(3)四边形PMON的面积不变,(4)MN的长不变,其中正确的为__________(请填写结论前面的序号).
【变式3-2】(2020·四川达州期末)已知:如图,BD为△ABC的角平分线,且BD=BC,E为BD延长线上的一点,BE=BA,过E作EF⊥AB,F为垂足.下列结论:①△ABD≌△EBC;②∠BCE+∠BCD=180°;③AD=AE=EC;④BA+BC=2BF;其中正确的是( )A.①②③ B.①③④ C.①②④ D.①②③④ 【变式3-3】(2020·四川成都开学考试)如图,AD是ABC的角平分线,DF⊥AB,垂足为F,DE=DM,△ADM和△AED的面积分别为58和40,则EDF的面积为( )A.11 B.10 C.9 D.8 【变式3-4】(2020·内蒙古扎鲁特旗期末)已知∠BAC的平分线与BC的垂直平分线DG相交于点D,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F,(1)连接CD、BD,求证:△CDF≌△BDE;(2)若AE=5,AC=3,求BE的长. 【习题专练】1.(2020·南部县月考)如图,在△ABC中,AB=AC,点D是BC的中点,点E是△ABC内一点,若∠AEB=∠CED=90°,AE=BE,CE=DE=2,则图中阴影部分的面积等于__________. 2.(2020·江苏泰州月考)如图,四边形ABCD中,AB=AD,AC=5,∠DAB=∠DCB=90°,则四边形ABCD的面积为_____. 3.(2020·启东市月考)P是△ABC内一点,∠PBC=30°,∠PBA=8°,且∠PAB=∠PAC=22°,则∠APC的度数为_____. 4.(2020·四川成华期末)(1)如图1,在ABC中,AB=4,AC=6,AD是BC边上的中线,延长AD到点E使DE=AD,连接CE,把AB,AC,2AD集中在ACE中,利用三角形三边关系可得AD的取值范围是 ;(2)如图2,在ABC中,AD是BC边上的中线,点E,F分别在AB,AC上,且DE⊥DF,求证:BE+CF>EF;(3)如图3,在四边形ABCD中,∠A为钝角,∠C为锐角,∠B+∠ADC=180°,DA=DC,点E,F分别在BC,AB上,且∠EDF=∠ADC,连接EF,试探索线段AF,EF,CE之间的数量关系,并加以证明. 5.(2020·武汉市期中)在中,D是BC的中点,E,F,分别在AB,AC上. 且DE⊥DF,连EF.(1)如图1,AB=AC,∠BAC=90°,求证:∠DEF=45°;(2)如图2,求证:BE + CF>EF .图1 图2 6.(2020·北京海淀期中)已知,如图:AD是△ABC的中线,AE⊥AB,AE=AB,AF⊥AC,AF=AC,连结EF.试猜想线段AD与EF的关系,并证明. 7.(2020·四川成都)已知,如图AD为△ABC的中线,分别以AB和AC为一边在△ABC的外部作等腰三角形ABE和等腰三角形ACF,且AE=AB,AF=AC,连接EF,∠EAF+∠BAC=180°(1)如图1,若∠ABE=63°,∠BAC=45°,求∠FAC的度数;(2)如图1请探究线段EF和线段AD有何数量关系?并证明你的结论;(3)如图2,设EF交AB于点G,交AC于点R,延长FC,EB交于点M,若点G为线段EF的中点,且∠BAE=70°,请探究∠ACB和∠CAF的数量关系,并证明你的结论. 8.(2020·湖北黄石期末)如图1,△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,CD平分∠ACB,BE⊥CD,垂足E在CD的延长线上.请解答下列问题:(1)图中与∠DBE相等的角有: ;(2)直接写出BE和CD的数量关系;(3)若△ABC的形状、大小不变,直角三角形BEC变为图2中直角三角形BED,∠E=90°,且∠EDB=∠C,DE与AB相交于点F.试探究线段BE与FD的数量关系,并证明你的结论. 9.(2020·江苏泰州月考)如图,△ABC中,点D在边BC上,DE⊥AB于E,DH⊥AC于H,且满足DE=DH,F为AE的中点,G为直线AC上一动点,满足DG=DF,若AE=4cm,则AG= _____cm. 10.(2020·黄石经济技术开发区月考)如图,A(-t,0)、B(0,t),其中t>0,点C为OA上一点,OD⊥BC于点D,且∠BCO=45°+∠COD(1) 求证:BC平分∠ABO(2) 求的值(3) 若点P为第三象限内一动点,且∠APO=135°,试问AP和BP是否存在某种确定的位置关系?说明理由
11.(2020·四川师范大学附属中学期中)△ABC是等边三角形,点D、E分别在边AB、BC上,CD、AE交于点F,BD=CE.(1)如图1,求证:∠AFD=60°;(2)如图2,FG为△AFC的角平分线,点H在FG的延长线上,HG=CD,连接HA、HC,求证:AC=HC;(3)在(2)的条件下,若AD=2BD,AF+CF=12,求AF长.
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