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    专题06 巧作辅助线,构造全等形-八年级数学秘籍之三角形全等、轴对称及几何动态问题思维训练

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    专题06  巧作辅助线,构造全等形【典例解析】【例1】(2020·江苏江都月考)问题背景:如图1:在四边形ABCD中,ABADBAD120°BADC90°EF分别是BCCD上的点,且EAF60°.探究图中线段BEEFFD之间的数量关系.小王同学探究此问题的方法是,延长FD到点G.使DGBE.连结AG,先证明ABE≌△ADG,再证明AEF≌△AGF,可得出结论,他的结论应是     探索延伸:如图2,若在四边形ABCD中,ABADB+D180°EF分别是BCCD上的点,且EAFBAD,上述结论是否仍然成立,并说明理由;实际应用:如图3,在某次军事演习中,舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°A处,舰艇乙在指挥中心南偏东70°B处,并且两舰艇到指挥中心的距离相等,接到行动指令后,舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进,舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进,1.5小时后,指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达EF处,且两舰艇之间的夹角为70°,试求此时两舰艇之间的距离. 【变式1-1】(2020·重庆巴南月考)(1)问题背景:如图 1,在四边形 ABCD 中,AB = ADBAD= 120°B =ADC= 90°EF 分别是 BC, CD 上的点,且EAF = 60°,探究图中线段BEEFFD之间的数量关系.小明同学探究此问题的方法是延长FD到点G,使DG=BE 连结AG,先证明ΔΔADG,再证明ΔΔAGF,可得出结论,他的结论应是         (2)探索延伸:如图 2,在四边形ABCD 中,AB=ADB+D=180°EF分别是BCCD上的点,EAF=BAD,上述结论是否依然成立?并说明理由.   【变式1-2】(2019·山东嘉祥·初二期中)现阅读下面的材料,然后解答问题:截长补短法,是初中数学几何题中一种常见辅助线的做法.在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用.截长法:在较长的线段上截一条线段等于较短线段,而后再证明剩余的线段与另一段线段相等.补短法:就是延长较短线段与较长线段相等,而后证延长的部分等于另一条线段.请用截长法解决问题(11)已知:如图1等腰直角三角形中,是角平分线,交边于点.求证:1请用补短法解决问题(22)如图2,已知,如图2,在中,的角平分线.求证:2 【例2-1】(2020·唐山市丰南区)如图,在ABC中,AC=5,中线AD=7,则AB边的取值范围是(    )A BC D 【例2-2】(2020·余干县月考)(1)阅读理解:课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:ABC中,AB9AC5,求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法(如图1):延长ADQ,使得DQAD再连接BQ,把ABAC2AD集中在ABQ中;利用三角形的三边关系可得4<AQ<14,则AD的取值范围是_____________感悟:解题时,条件中若出现中点”“中线等条件,可以考虑倍长中线,构造全等三角形,把分散的己知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中.2)请你写出图1ACBQ的位置关系并证明.3)思考:已知,如图2ADABC的中线,ABAEACAFBAEFAC90°.试探究线段ADEF的数量和位置关系,并加以证明.1                                     2    【变式2-1】(2019·山西模考)阅读材料,解答下列问题.如图1,已知ABC中,AD 为中线.延长AD至点E,使 DE=AD.在ADCEDB中,AD=DEADC=EDBBD=CD,所以,ACD≌△EBD,进一步可得到AC=BEAC//BE等结论.1                           2在已知三角形的中线时,我们经常用倍长中线的辅助线来构造全等三角形,并进一步解决一些相关的计算或证明题.解决问题:如图2,在ABC中,AD是三角形的中线,点FAD上一点,且BF=AC,连结并延长BFAC于点E,求证:AE=EF     【变式2-2】(2020·北京朝阳期末)阅读下面材料:数学课上,老师给出了如下问题:如图,ADABC中线,点EAC上,BEAD于点FAEEF.求证:ACBF经过讨论,同学们得到以下两种思路:思路一如图,添加辅助线后依据SAS可证得ADC≌△GDB,再利用AEEF可以进一步证得GFAEAFEBFG,从而证明结论.思路二如图,添加辅助线后并利用AEEF可证得GBFGAFEFAE,再依据AAS可以进一步证得ADC≌△GDB,从而证明结论.完成下面问题:1思路一的辅助线的作法是:     思路二的辅助线的作法是:     2)请你给出一种不同于以上两种思路的证明方法(要求:只写出辅助线的作法,并画出相应的图形,不需要写出证明过程).        【例3-1】(2020·华中科技大学附属中学月考)如图,ABC中,ABACBACBDC=180°    1)求证:ADBDC的平分线;2)若DAE=BAC,且点EBD上,直接写出BEDEDC三条线段之间的等量关系_______       【例3-2】(2020·无锡市胡埭中学月考)如图,BDABC的外角ABP的角平分线,DADCDEBP于点E,若AB5BC=3,则BE的长为 _____________      【变式3-1】(2020·江苏江都月考)如图,点P为定角AOB的平分线上的一个定点,且MPNAOB互补.若MPN在绕点P旋转的过程中,其两边分别与OAOB相交于MN两点,则以下结论:(1PMPN恒成立,(2OMON的值不变,(3)四边形PMON的面积不变,(4MN的长不变,其中正确的为__________(请填写结论前面的序号).      
    【变式3-2】(2020·四川达州期末)已知:如图,BDABC的角平分线,且BD=BCEBD延长线上的一点,BE=BA,过EEFABF为垂足.下列结论:①△ABDEBC②∠BCE+BCD=180°AD=AE=ECBA+BC=2BF;其中正确的是(   )A①②③ B①③④ C①②④ D①②③④         【变式3-3】(2020·四川成都开学考试)如图,ADABC的角平分线,DFAB,垂足为FDEDMADMAED的面积分别为5840,则EDF的面积为(  )A11 B10 C9 D8      【变式3-4】(2020·内蒙古扎鲁特旗期末)已知BAC的平分线与BC的垂直平分线DG相交于点DDEABDFAC,垂足分别为EF1)连接CDBD,求证:CDF≌△BDE2)若AE5AC3,求BE的长. 【习题专练】1.2020·南部县月考)如图,在ABC中,AB=AC,点DBC的中点,点EABC内一点,若AEB=CED=90°AE=BECE=DE=2,则图中阴影部分的面积等于__________ 2.2020·江苏泰州月考)如图,四边形ABCD中,ABADAC5DABDCB90°,则四边形ABCD的面积为_____      3.2020·启东市月考)PABC内一点,PBC30°PBA,且PABPAC22°,则APC的度数为_____     4.2020·四川成华期末)(1)如图1,在ABC中,AB=4AC=6ADBC边上的中线,延长AD到点E使DE=AD,连接CE,把ABAC2AD集中在ACE中,利用三角形三边关系可得AD的取值范围是     2)如图2,在ABC中,ADBC边上的中线,点EF分别在ABAC上,且DEDF,求证:BE+CFEF3)如图3,在四边形ABCD中,A为钝角,C为锐角,B+ADC=180°DA=DC,点EF分别在BCAB上,且EDF=ADC,连接EF,试探索线段AFEFCE之间的数量关系,并加以证明.       5.(2020·武汉市期中)在中,DBC的中点,EF,分别在ABAC上. DEDF,连EF1)如图1AB=ACBAC=90°,求证:DEF=45°2)如图2,求证:BE + CFEF 1                                      2     6.2020·北京海淀期中)已知,如图:ADABC的中线,AEABAE=ABAFACAF=AC,连结EF.试猜想线段ADEF的关系,并证明.         7.2020·四川成都)已知,如图ADABC的中线,分别以ABAC为一边在ABC的外部作等腰三角形ABE和等腰三角形ACF,且AEABAFAC,连接EFEAF+BAC180°1)如图1,若ABE63°BAC45°,求FAC的度数;2)如图1请探究线段EF和线段AD有何数量关系?并证明你的结论;3)如图2,设EFAB于点G,交AC于点R,延长FCEB交于点M,若点G为线段EF的中点,且BAE70°,请探究ACBCAF的数量关系,并证明你的结论. 8.2020·湖北黄石期末)如图1ABC中,ABACBAC90°CD平分ACBBECD,垂足ECD的延长线上.请解答下列问题:1)图中与DBE相等的角有:     2)直接写出BECD的数量关系;3)若ABC的形状、大小不变,直角三角形BEC变为图2中直角三角形BEDE90°,且EDBCDEAB相交于点F.试探究线段BEFD的数量关系,并证明你的结论.      9.(2020·江苏泰州月考)如图,ABC中,点D在边BC上,DEABEDHACH,且满足DE=DHFAE的中点,G为直线AC上一动点,满足DGDF,若AE=4cm,则AG= _____cm 10.2020·黄石经济技术开发区月考)如图,A(t0)B(0t),其中t0,点COA上一点,ODBC于点D,且BCO=45°COD(1) 求证:BC平分ABO(2) 的值(3) 若点P为第三象限内一动点,且APO=135°,试问APBP是否存在某种确定的位置关系?说明理由 
    11.2020·四川师范大学附属中学期中)ABC是等边三角形,点DE分别在边ABBC上,CDAE交于点FBDCE1)如图1,求证:AFD60°2)如图2FGAFC的角平分线,点HFG的延长线上,HGCD,连接HAHC,求证:ACHC3)在(2)的条件下,若AD2BDAF+CF12,求AF长.  

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