专题07 探索“一线三等角”模型-八年级数学秘籍之三角形全等、轴对称及几何动态问题思维训练

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专题07 探索“一线三等角”模型【常见图形】       【典例解析】【例1】（2020·广东高州期中）如图1，已知∠ACB＝90°，AC＝BC，BD⊥DE，AE⊥DE，垂足分别为D、E．（这几何模型具备“一线三直角”）如下图1：（1）①请你证明：△ACE≌△CBD；②若AE＝3，BD＝5，求DE的长；（2）迁移：如图2：在等腰Rt△ABC中，且∠C＝90°，CD＝2，BD＝3，D、E分别是边BC，AC上的点，将DE绕点D顺时针旋转90°，点E刚好落在边AB上的点F处，则CE＝　   　．（不要求写过程）【答案】（1）①见解析；②DE=8；（2）CE=1.【解析】（1）证明：∵BD⊥DE，AE⊥DE，∴∠E=∠D=90°．∵∠ACB=90°，∴∠1=∠2，在△ACE与△CBD中，，∴△ACE≌△CBD；②解：同（1），得△ACE≌△CBD，∴CE=BD=5，AE=CD=3，∴DE=CE+CD=5+3=8．(2)过F作FM⊥BC于M，则∠FMB=∠FMD=90°，∵∠C=90∘，AC=BC，∴∠B=∠A=45°，∴∠MFB=∠B=45°，∴BM=MF，∵DE⊥DF，∴∠EDF=∠FMD=∠C=90°，∴∠CED+∠CDE=90∘,∠CDE+∠FDM=90°，∴∠CED=∠FDM，在△CED和△MDF中，，∴△CED≌△MDF，∵CD=2，BD=3，∴DM=CE，CD=FM=2=BM，∴CE=DM=3−2=1，故答案为1.【例2】（2020·四川巴州期末）某建筑测量队为了测量一栋居民楼ED的高度，在大树AB与居民楼ED之间的地面上选了一点C，使B，C，D在一直线上，测得大树顶端A的视线AC与居民楼顶端E的视线EC的夹角为90°，若AB=CD=12米，BD=64米，请计算出该居民楼ED的高度．【答案】见解析.【解析】解：由题意可知：∠B=∠CDE=∠ACE=90°∴∠ACB+∠DCE=90°∴∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC∴∠DCE=∠BAC又AB=CD∴△ABC≌△CDE∴DE=BC，∴BC=DE=BD－CD=64-12=52故该居民楼ED的高度为52米.【例3】（2020·潮州市潮安区月考）问题背景：（1）如图1，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．求证：DE＝BD＋CE．拓展延伸：（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC．请写出DE、BD、CE三条线段的数量关系．（不需要证明）实际应用：（3）如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为(－2，0)，点A的坐标为(－6，3)，请直接写出B点的坐标．【答案】见解析.【解析】（1）证明：∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠ADB＝∠CEA＝90°∵∠BAC＝90°∴∠BAD＋∠CAE＝90°∵∠BAD＋∠ABD＝90°∴∠CAE＝∠ABD 在△ADB和△CEA中，∴△ADB≌△CEA∴AE＝BD，AD＝CE∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE 即：DE＝BD＋CE （2）数量关系：DE＝BD＋CE 理由如下：在△ABD中，∠ABD=180°-∠ADB-∠BAD，∵∠CAE=180°-∠BAC-∠BAD，∠BDA=∠AEC，∴∠ABD=∠CAE，在△ABD和△CAE中， ∴△ABD≌△CAE∴AE=BD，AD=CE，∴DE=AD+AE=BD+CE；（3）解：过A作AE⊥x轴于E，过B作BF⊥x轴于F，由（1）可知，△AEC≌△CFB，∴CF=AE=3，BF=CE=OE-OC=4，∴OF=CF-OC=1，∴点B的坐标为B（1，4）．【例4】（2020·广东广州月考）如图，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是___________．【答案】50.【解析】解：∵∠EAF+∠BAG=90°，∠EAF+∠AEF=90°，∴∠BAG=∠AEF，在△AEF和△BAG中，，∴△AEF≌△BAG，（AAS）同理△BCG≌△CDH，∴AF=BG=3，AG=EF=6，GC=DH=4，BG=CH=3，∵梯形DEFH的面积=(EF+DH)•FH=80，S△AEF=S△ABG=AF•AE=9，S△BCG=S△CDH=CH•DH=6，图中实线所围成的图形的面积：80-2×9-2×6=50，故答案为：50．【例5】（2020·曲阜月考）如图，已知点P(2m－1，6m－5)在第一象限角平分线 OC上，－直角顶点P在OC上，角两边与x轴y轴分别交于A点，B点，则OA＋BO＝______________【答案】2【解析】解：作过PPE⊥y轴于E，PF⊥x轴于F， 根据题意得：PE=PF， ∴2m-1=6m-5，∴m=1，∴P（1，1），∵∠EPF=90°，∵∠BPA=90°，PE=PF=1，∴∠EPB=∠FPA，在△BEP和△AFP中，，∴△BEP≌△AFP（ASA），∴BE=AF，∴OA+OB=OF+AF+OE-BE=OF+OE，∵P（1，1），∴OE=OF=1，∴OA+OB=2．故答案为：2．【习题专练】1.（2020·广东英德期末）（1）如图1，已知：在中，，，直线经过点，，垂足分别为点、．证明：①；②．图1（2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，，、、三点都在上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．图2（3）如图3，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点，求证：是的中点．图3【答案】见解析【解析】解：（1）①∵BD⊥l，CE⊥l∴∠BDA=∠CEA=90°∵∠BAC=90°∴∠BAD+∠CAE=90°∵∠BAD+∠ABD=90°∴∠CAE=∠ABD②在△ADB和△CEA中，∴△ADB≌△CEA∴AE=BD，AD=CE∴DE=AE+AD=BD+CE；（2）成立：DE=BD+CE证明如下：∵∠BDA=∠BAC=α∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°﹣α∴∠DBA=∠CAE在△ADB和△CEA中，∴△ADB≌△CEA∴AE=BD、AD=CE∴DE=AE+AD=BD+CE；（3）过E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延长线于N∴∠EMI=GNI=90°由（1）和（2）的结论可知EM=AH=GN∴EM=GN在△EMI和△GNI中，∴△EMI≌△GNI∴EI=GI∴I是EG的中点．2.（2020·湖北武汉月考）如图，A点的坐标为（0，3），B点的坐标为（-3.0），D为x轴上的一个动点，AE⊥AD，且AE=AD，连接BE交y轴于点M（1）若D点的坐标为（-5.0），求E点的坐标:（2）求证:M为BE的中点（3）当D点在x轴上运动时，探索:为定值【答案】见解析.【解析】解：(1)过E点作EF⊥y轴于F，∵AD⊥AE ，EF⊥AF∴∠AOD=∠AFE=90°∵∠DAO+∠EAF=90°，∠EAF+∠AEF=90°∴∠DAO=∠AEF在△AOD和△EFA中，∴△AOD≌△EFA(AAS)∴EF=OA=3  AF=OD=5∴OF=AF-OA=5-3=2即E(3,-2)(2)D点有3个位置 根据题意：AE=AD，∠AEF+∠DAO=90°，又∵∠AEF+∠EAF=90°，∴∠AEF=∠DAO∴△AOD≌△EFA∴OB=EF，∠BOM=∠EMF=90° ∴△BOM≌△EFM(AAS) ∴BM=EM=BE.(3)根据(2)可知，D点在可以在3个位置，当D点如下图的位置时，过D作直线a⊥x轴于D，过A作AG⊥a于G，由(2)知△BOM≌△EFM，∴EF=OB，由(1)知△AOD≌△EFA即：EF=OA =OB，AF=OD∴OF=AF-OA=OD-OB ，∵OM=OF=BD∴=，当D在另外两个位置时，同理可证：=.3.（2019·黑龙江齐齐哈尔期中）观察推理：如图1，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线l过点C，点A、B在直线l同侧，BD⊥l，AE⊥l，垂足分别为D、E．（1）求证：△AEC≌△CDB；（2）类比探究：如图2，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB′，连接B′C，求△AB′C的面积；（3）拓展提升：如图3，∠E=60°，EC=EB=4cm，点O在BC上，且OC=3cm，动点P从点E沿射线EC以2cm/s速度运动，连结OP，将线段OP绕点O逆时针旋转120°得到线段OF．要使点F恰好落在射线EB上，求点P运动的时间．【答案】见解析.【解析】解：(1)∵∠ACB=90°，∴∠ACE+∠DCB=90°，∵BD⊥l，AE⊥l，∴∠AEC=∠BDC=90°，∴∠EAC＋∠ACE=90°，∴∠EAC=∠DCB，∵AC=BC，∴△AEC≌△CDB；(2)过B’作B'D⊥AC于D，由旋转知，AB’=AB，∠B’AB=90°，∠B′AC＋∠BAC=90°，又∠B＋∠CAB=90°，∴∠B=∠B'AC，∴△B’AD≌△AB′D，∴B′D=AC=6，△A B′C的面积=6×6÷2=18；(3)由旋转知，OP=OF，∵△BCE是等边三角形，∴∠CBE=∠BCE=60°∴∠OCP=∠FBO=120°，∠CPO＋∠COP=60°，∵∠POF=120°，∴∠COP＋∠BOF=60°，∴∠CPO=∠BOF，在△BOF和△PCO中，∠OBF=∠PCO=120°,∠BOF=∠CPO，OF=OP∴△BOF≌△PCO，∴CP=OB，∵EC=BC=4cm，OC=3cm，∴OB=BC-OC=1，∴CP=1，∴EP=CE＋CP=5，点P运动的时间为：5÷2=2.5秒.4.（2020·三台县月考）王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离．【答案】见解析．【解析】解：由题意得：AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE∴∠ADC=∠CEB=90°∴∠BCE=∠DAC在△ADC和△BCE中，，∴△ADC≌△CEB由题意得：AD=CE=6，CD=BE=14，∴DE=CD+CE=20答：两堵木墙之间的距离为20cm．5．（2019·舞钢市月考）小强为了测量一幢楼的高度AB，在旗杆CD与楼之间选定一点P（如图）．测得视线PC与地面所成的夹角∠DPC=36°，视线PA与地面所成的夹角∠APB=54°，已知旗杆的高度CD是10米，量得P到楼底距离PB也是10米，量得旗杆与楼之间距离为DB=25米，小强计算出了楼高，(旗杆与楼都和地面垂直）请问楼高AB是_____________米．【答案】15.【解析】解：由题意，得：∠D=90°，∠DPC=36°，∴∠PCD=180°－90°－36°=54°，∵∠APB=54°，∴∠APB=∠PCD，在△APB和△PCD中，∵∠APB=∠PCD，PB=CD=10米，∠ABP=∠D=90°，∴△APB≌△PCD，∴AB=DP，∵DB=25米，PB=10米，∴DP=15米，即AB=15米．故答案为：15．6.（2019·海口市月考）在中，，，直线经过点，且于，于．(1)当直线绕点旋转到图1的位置时，①求证：≌；②求证：；(2)当直线绕点旋转到图2的位置时，（1）中的结论②还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由．  【答案】见解析．【解析】证明：（1）①∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC=∠BEC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE，又∵AC=BC，∴△ADC≌△CEB；②∵△ADC≌△CEB，∴CD=BE，AD=CE，∵DE=CE+CD，∴DE=AD+BE；（2）DE=AD+BE不成立，DE=AD－BE，理由如下：∵BE⊥MN，AD⊥MN，∴∠ADC=∠BEC=90°，∴∠EBC+∠ECB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ECB+∠ACE=90°，∴∠ACD=∠EBC，又∵AC=BC，∴△ADC≌△CEB，∴AD=CE，CD=BE，∵DE=CE－CD，∴DE=AD－BE．7.（2019·齐齐哈尔市期中）综合与探究如图，等腰直角中，，，现将该三角形放置在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为.（1）过点作轴，求的长及点的坐标；（2）连接，若为坐标平面内异于点的点，且以、、为顶点的三角形与全等，请直接写出满足条件的点的坐标；（3）已知，试探究在轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】见解析.【解析】解：（1）∵点B坐标为（0，1），点C坐标为（3，0）∴OB=1，OC=3∵∠ACB=90°，∠ADC=90°∴∠CAD=∠BCO又AC=BC，∠ADC=∠COB=90°∴△ACD≌△CBO∴CD=OB=1，AD=OC=3∴OD=OC+CD=4.∴点A坐标为（4,3）.（2）①△OP1C≌△OAC时，此时P1（4，-3）②△OP2C≌△OAC时，此时P2（-1,3）③△OP3C≌△OAC时，此时P3（-1,-3）（3）①当以点A为顶点时，且OA是腰Q1（8,0），AQ1=AO②当以点O为顶点时，且OA是腰的锐角三角形时，即OQ2=OA=5∴点Q2的坐标为（5,0）；③当以点O为顶点时，且OA是腰的钝角三角形时，即OQ3=OA=5∴点Q3的坐标为（-5,0）.